第一章

習(xí)題1證明e-6恒等式eijkeM=6於『3心斗

［證明］

方公分

。耿2isl=§ji§js§ji

"3ks"

=狐⑸s%-sks3jt)-.(8is8kt-5ks5it)+3ki(6is6jt-8js

=33js§k「33ks§jt-§js§k1§/?^SksSjt-SjsSkt

=Sjs3kt-Sks§jt

習(xí)題2證明若，貝I」

［證明］

又因為所有的指標(biāo)都是啞指標(biāo)，，所以，即

習(xí)題3已知某一點的應(yīng)力分量，，，不為零，而，試求過該點和z軸，與x軸夾角為的面上的正

應(yīng)力和剪應(yīng)力。

面如圖1.1,過該點和z軸，與X軸夾角為的面的法線，其與x機(jī)y軸和Z軸的方向余弦分別為cos

a,sina,0,則由斜面應(yīng)力公式的分量表達(dá)式，，可求得該面上的應(yīng)力為

vaav(T

b(y)i=jij=xxcosa+b”sina<7(v)2=j2j=<Tvrcos?+crvvsina(T(V)3=v7cr3j=0

由斜面正應(yīng)力表達(dá)式，可求得正應(yīng)力為

er,,=crcos'a+2cr...cosasina+<T....sina?

〃?%?r?v人jjy

剪應(yīng)力為

r=K)-

習(xí)題4如已知物體的表面由確定，沿物體表面作用著與其外法線方向一致分布載荷。試寫出其邊

界條件。

［解］物體表面外表面法線的方向余弦為

R

/=cos(/i,A)=比.十'小嚴(yán)

m=cos(/7,y)=―//'

fj

n=cos(4z)=i二

帶入應(yīng)力邊界條件，，得

fx^xx-P)+fyOxy+/>xz=。

fx°yx+fybyy-〃)+fzayz=。

/>.?+fyOyy+月(%-P)=0

習(xí)題5己知某點以直角坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量為，，，，，，試求該點以柱坐標(biāo)表示的應(yīng)力分量。

［解］如

圖1.2,兩

個坐標(biāo)軸

之間的方

Xz

向余弦如y

下表所

示：

rCOS0sin00

0-sin0cos00

Z001注意

由應(yīng)力分量轉(zhuǎn)換公式，求得

orr=<rrrcos_0+<7vvsin_0+2arvsin夕cos。

0=brrsin2e+cr....cos20-2cy....sin0cos0

unuo.、人j.y

=b=

22

crr0=-crxxsin0cos。+crvvsin8cos6+rrvy(cos-sin0)=c0r

o■企=<yvxcos0-sin0=o■二。

cyzr=crvzsin6+CFZXcos。

利用三角公式可將上面的式子改寫為

二仁+—+心cos2e+冊,sin切

rr22冷

b*x+b)、'^xx~^vy八八,cc

-cos20-(ysin20

。必w=--------------o--vVv

sin26+。白cos20

o"企=cryxcos0-<7.vsin0=(yzf)

仁=b”sinO+wcosO

習(xí)題6—點的應(yīng)力狀態(tài)由應(yīng)力張量給定，式中，，，為常數(shù)，是某應(yīng)力值，求常數(shù)，

,以使八面體面上的應(yīng)力張量為零

［解］由斜面應(yīng)力公式的分量表達(dá)式，，知八面體面上應(yīng)力張量為零需滿足如下方程組；

—=(cy+acy+h(y)=0,—=(a(7+fr+c(y)=0.—=?(bcr+c(y+(y)=0

V3V3V3

解得a=b=c=-—

2

習(xí)題7證明（1）應(yīng)力的三個主方向互相垂直；（2）三個主應(yīng)力，，必為實根

［證明］

（1）設(shè)任意兩個不同的主應(yīng)力為、，對應(yīng)的主方向為、。根據(jù)主應(yīng)力定義有:

a(k)=nke<T=crAnk?。⑺=n/"二外!!/

將以上兩式分別點乘和再相減，得

nk?G?ii|-n,?<J?nk=aknk?!1!-<7/11]?nk

是對稱應(yīng)力張量，上式可改寫為

0=（仆-cy,）nk叫

所以應(yīng)力的三個主方向互相垂直

（2）設(shè)任意兩個不同的主應(yīng)力為、，對應(yīng)的主方向為、

nk?11|=0,/./］/2+〃+〃i〃2=。

若為復(fù)數(shù)，則為其共規(guī)復(fù)數(shù)，從而方向余弦、互為共腕

../也+犯〃?2+〃1〃2>。與主方向相互垂直矛盾

所以三個主應(yīng)力必為實數(shù)

習(xí)題8證明球形應(yīng)力張量在任意斜面上的剪應(yīng)力為零，且正應(yīng)力為

［證明］球形應(yīng)力張量，設(shè)任意斜面的方向余弦為

由斜面應(yīng)力公式，得

由斜面正應(yīng)力公式，得

由斜面前應(yīng)力公式，得

習(xí)題9求應(yīng)力偏量張量的不變量

［解］應(yīng)力張量可分解為球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量，

應(yīng)力偏量張量，其主應(yīng)力方程為，即

上述方程存在非零解的必要條件是系數(shù)行列式為零，即

得到關(guān)于的三次代數(shù)方程，

其中，和分別為應(yīng)力偏量張量的第一、第二、第三不變量

設(shè)，和為應(yīng)力偏量張量的三個主值，則

J；=S］［十S22+S33=<711十b”十033一女?！倍?/p>

+："=(s22S33+S33S“+Sn522)—(S玄+S4+SM)=5島+S2S3+S3S1

》33》3I。33322

S"S\2s13

△=$21S22S23=S[S2s3

S31S32S33

習(xí)題11設(shè)為二階對稱張量，證明由導(dǎo)出的應(yīng)力一定滿足無體力的平衡方程

［證明］又關(guān)于，反對稱，關(guān)于，對稱

,即滿足無體力的平衡方程，一忽略體力下的平衡微分方程

習(xí)題12已知直角坐標(biāo)系中各點的應(yīng)力張量，試求體積力分量

［解］根據(jù)平衡微分方程，得對誰偏導(dǎo)的問題

dxdydz

得體枳力分量為

Fv=13X2,FV=2,F:=0

習(xí)題13如圖1.3所示的三角形截面水壩，材料的比重為，承受著比重為液體的壓力，己求得應(yīng)力

解為，試根據(jù)直邊及斜邊上的表面條件確定系數(shù)，，和

［解］如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系

水壩左側(cè)表面法線的方向余弦為，受外力的作用

根據(jù)應(yīng)力邊界條件，，在處

0=(ax+by)cos/7+(-dx-sin0)

~Yy=\~dx-?y)cos/7+(cv+dy-與X-sin(i)

水壩右側(cè)表面法線的方向余弦為，受外力的作用

根據(jù)應(yīng)力邊界條件，，在處

0=dx+ay

由卜述兩個方程組，得外力是如何確定的

習(xí)題14如圖1.4所示的三角形截面水壩，其左側(cè)作用著比重為的液體，右側(cè)為自由表面，試寫出以

應(yīng)力分量表示的邊界條件。

［解］如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系

水壩左側(cè)表面法線的方向余弦為，受外力的作用

根據(jù)應(yīng)力邊界條件，，在處

11

-<rrcosa-bxy5a=/ycosa

-axycosa-crvsina=sina

水壩右側(cè)表面法線的方向余弦為，受外力的作用

根據(jù)應(yīng)力邊界條件，，在處

trvcos[i-crxysin/?=0

(rxycos/3-<JXsin/?=0

第二章

習(xí)題1初始時刻位于的質(zhì)點在某時刻的位置為，其中，求格林應(yīng)變張量的分量。

［解I采用拉格朗日描述法，，得

%=依3；“2=g3；〃3=。

由格林應(yīng)變張量，，，得

亡1(C?MIduidu,duidu-i、八

EM=------L+—L+----------L+----+----=0

da]西cfl]daica}da}血)

E_i儼2?弧?Ma%?eg弧?弧弧]_0

22

2(加23a2加2ba?ca2da2ca2da2)

習(xí)題2證明是二階對稱張量的分量,而不是任何張量的分量。

［證明］

-：!)，顯然可■得其對稱性

對于笛卡爾直角坐標(biāo)Xyz

系和，各坐標(biāo)軸

之間的方向余弦如F

表

hm\n\

(2,〃2〃2

f

Z嗎〃3

由彈性力學(xué)理論知，，恰與張量定義相吻合,

???&是二階對稱張量的分量

12)設(shè)有一剪應(yīng)變張量，其分量

取任一矢量，則

en

Yk=(2-%匕游四?以=(2-^X/i*elej*ek

,但不能縮并為，與假設(shè)是張量矛盾。

根據(jù)張量的商判則，不是任何張量的分量。

習(xí)題3為求平面應(yīng)變分量、、，將電阻應(yīng)變片分別貼在方向，與成和方向上，測得應(yīng)變值以

、、表示，試求、、

［解］平面應(yīng)變狀態(tài)下，沿方向，與成和方向上的方向余弦分別為

根據(jù)方向線元的工程正應(yīng)變公式，，得

13后

彌=］4+片尹——'

13石

與2。=；分+^￡、「彳九＞

求得

￡x=￡0

_2-的+2￡120一￡。

L3

V_2^60-2^120

'a=6

習(xí)題4假設(shè)體積不可壓縮位移與很小，，在一定區(qū)域內(nèi)已知，其中，，為常數(shù)，求。

［解］題目條件適用小變形，，得

(1xi\b^2cXl)叼(〃+法]+4「)+-o

乙OXi

(2、?M1dll2

c=x2\cl+bXi+cxf)+~-

2ox^ux^2dx2

00

I2&3J

體積不可壓縮,

即〃2=^22^V2=(8+2CX]

習(xí)題5在平面應(yīng)變狀態(tài)下，使用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)中應(yīng)變分量、位移分量的轉(zhuǎn)換公式，寫出在極坐標(biāo)中

的應(yīng)變和位移的關(guān)系式。

【解］在平面應(yīng)變狀態(tài)下，由應(yīng)變分量轉(zhuǎn)換公式，，得

2

￡rr=￡rrcos。+￡、,、.sin2e+￡rvsin2G

Enn=￡..sin20+ccos2sin20

wz人人r.vvy人J(1)

F￡

E,-———sin20+——sin20+f：cos10

(“)22人)xv

代入，即

aM

a&v

K

。

1

2-

u=ucos。-”。sin0]

r*(4)

v=w,.csine+cos。J

因此,

—cos。,

du

r(5)

dv

sin0、COS0

dur°"。

2

a-z-￡(V.V+y

ax

電a

-

力￥

絲A(6)

&-

aA

明3

￥-￥=-cos?

將式(2)-(6)代入式(1),得平面應(yīng)變狀態(tài)下，極坐標(biāo)中的應(yīng)變和位移的關(guān)系式:

dur

」也+土

_du0ii01dur

drrrcO

習(xí)題7證明由下式確定的應(yīng)變恒滿足變形協(xié)調(diào)方程，。

［證明］=；(%+〃川)

emjkenil￡ij.kl=Qemjkenil(ui.jkl+"A刈)=耳(5〃emjklti.jkl+emjkenil11j.ikl)

對于單值連續(xù)位移場，并存在三階以上連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)時，偏導(dǎo)數(shù)的值與求導(dǎo)順序無關(guān)

關(guān)于，對稱：關(guān)于，對稱

對于排列符號

關(guān)于，反對稱；關(guān)于，反對稱

的冰勺加=0；的=0

即應(yīng)變恒滿足變形協(xié)調(diào)方程，

習(xí)題8假定物體被加熱至定常溫度場時，應(yīng)變分量為；，其中為線膨脹系數(shù)，試根據(jù)應(yīng)變協(xié)調(diào)方

程確定溫度場的函數(shù)形式。

［解I由應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，，得

02(")__”(")_”(㈤_標(biāo)⑻_密打)_0

dx^dx}泥dxidx2dx2dx3dx^

又定常溫度場應(yīng)滿足拉普拉斯方程，

故T(x},x2,x3)的函數(shù)形式中不應(yīng)含有高于或等于2次的項

溫度場T的函數(shù)形式為

勺Y+X+C

7(1］,“2，13)=2+^2-2^33

其中，，，和均為常數(shù)。

習(xí)題9試導(dǎo)出平面應(yīng)變軸對稱情況下的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程

［解］軸對稱平面應(yīng)變情況下，應(yīng)變分量為

du

￡r仙=土；％e=°

r山

du\f)d%.u

/*---0=/*■=■——r

drdrdrr

因此，平面應(yīng)變軸對稱情況下的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為

習(xí)題10在某一平面軸對稱變形情況下，軸向應(yīng)變?yōu)槌?shù)，試確定其余兩個應(yīng)變分量和的表達(dá)式

(材料是不可壓縮的)

［解］平面軸對稱情況下，變形協(xié)調(diào)條件為：

當(dāng)材料不可壓縮時，體積應(yīng)變?yōu)榱?，即，代入上式，?/p>

「字+2為-%=°

dr

解得，式中,C是右邊界條件確定的常數(shù)

習(xí)題11試問什么類型的曲面在均勻變形后會變成球面。

［解］均勻變形狀態(tài)可表示為

￡*=4；￡y=b；￡二=°；/?，=%*=4；Yyz=y=y=^2；/zt=/x==^3

其中，為常量

設(shè)均勻變形前的坐標(biāo)為，則變形后的坐標(biāo)為

x=(l+C；y=(l+￡ybo；Z=(l+￡z)z0

曲面在均勻變形后變成球面，即

略去剛體位移，當(dāng)、、為主軸時，變形前的坐標(biāo)滿足

(1+〃)2(1+獷(]+?2

變形前半軸為，，的橢球面在均勻變形后會變成球面。

特別的，當(dāng)時，表示球面均勻變形后仍為球面。

6

習(xí)題12若物體內(nèi)各點的位移分量為，其中，均是常數(shù)。

試證明，物體內(nèi)所有各點的應(yīng)變分量為常數(shù)(這種變形狀態(tài)稱為均勻變形)，并分別證明在均勻變形后

的物體內(nèi)有：

(1)直線在變形后仍然是直線；

(2)相同方向的直線按同樣的比例伸縮；

［證明］由位移分量求得物體內(nèi)各點的應(yīng)變分量為

%=為，￡?=%,J』

\I)

九丫…+仇，人=/)3+。2，4=%+。，

即物體內(nèi)所有各點的應(yīng)變分量為常數(shù)(均勻變形)

(1)若物體內(nèi)任意一點，變形后變?yōu)樽鴺?biāo)和之間的關(guān)系為

x'=(l+4.Jv;y'=(l+4,),卜；z'=(l+￡=)z(2)

變形前，直線上的點，和滿足

=>3--2=Z3-2（3）

42一七乃一）‘IZ2-Z］

將式（3）代入式（2）,并整理，得

耳一右二乂一鳧-；⑷

X2-X\%一乂Z：T；

式（4）表明直線在均勻變形后仍然是直線

（2）變形前連接兩點，的直線長度為，方向余弦為、、，變形后的兩對應(yīng)點，的直線長度為

，方向余弦為、、（圖2.1）

|PM|-J（用-X）2+（"，；）+（Z'Z；）2

將式（2）代入上式，得

產(chǎn)=J（1+4J（必一XJ2+（1+￡抄）2（乃一乃）2+（1+￡（Z2-Z|）2（5）

將上式兩端除以，得

而二=”"J1+￡.其中,￡）為r方向的應(yīng)變（6）

rr

對于方向相同的直線，具有相等的方向余弦、、，在均勻變形情況下，由式（6）和（7）,知

為常數(shù)。即

相同方向的直線按同樣的比例伸縮；

習(xí)題13物體的位移對稱于坐標(biāo)原點，試用球坐標(biāo)和笛卡兒坐標(biāo)表示位移分量和應(yīng)變分量。

［解］位移對稱于坐標(biāo)原點，則任意一點的位移沿半徑向量的方向，并且只是的函數(shù)，其余位移。

（1）由球坐標(biāo)系中的應(yīng)變-位移關(guān)系，得

（2）笛卡兒坐標(biāo)中

u=-x=f（r）x-v=—y=/（r）y；=

rr

式中,

因此，由，得

⑺+日華，2.vydfU)

yxy-f

rdr

2yzdf⑺

Zyz-.

廣汽2用rar

2zx"⑺

7xy

”/⑺+r5a,r~rdr

??第三章彈性本構(gòu)關(guān)系和彈性問題的求解習(xí)題

習(xí)題1.試?yán)酶飨虍愋岳硐霃椥泽w的廣義虎克定律導(dǎo)出：在什么條件下，理想彈性體

中的主應(yīng)力方向和主應(yīng)變方向相重合？

解：各向異性理想彈性體的廣義虎克定律為：

bxx=+C12^v>,+CI3^+CI4/rv+八,z+

C

=2.￡XX+C22￡yy+C2.￡zz+c24yxy+c25yyz+

=c\J,+cy2evy+c^e22+c^yxv+cy5yV2+c%,、

(a)

^xy=CRJX+%￡?+C43czz+C4AYxy+。45八z+。46九r

。院+C

耳z=5+C524y+與3￡=5AYXy+。55乙？+。56yh

rzx-=+062J)，+0632rz+GJ”+。5八z+%心

當(dāng)時，三個互相垂直的應(yīng)力方向為主應(yīng)力方向。當(dāng)時，三個互相垂直的應(yīng)變方

向為主應(yīng)變方向。在主應(yīng)變方向上，剪應(yīng)力分量為：

々），=［建4++

丁尸=GlJ*+C52J,+C53J(b)

Tzx=C6\￡XX+C62^yy+。63%

若使，則式中，，具有非零解的條件為

(c)

上式即為x,y,z軸同時為應(yīng)力主軸和應(yīng)變主軸的條件。如果材料性能對

稱于一個平面，如Oxy平面，則，而且，此時（c）式恒等于零。在此情況下，當(dāng)存在以x,y,z軸為主

方向的應(yīng)變狀態(tài)時，其對應(yīng)的剪應(yīng)力分量將成為

Txy=C4\^xx+C42^yy+

ryz=0（d）

G=°

若應(yīng)變分量之間滿足，則此點的應(yīng)變主方向和應(yīng)力主方向重合。如果材料性能對稱于Oxy,Oyz,

Ozx三個平面，則有，此時（d）式總是滿足的。由此可知，當(dāng)x,y,z軸為應(yīng)變的主方向時，也必定為應(yīng)

力的主方向。但是，當(dāng)應(yīng)變主方向和止交軸不重合時，一般它與應(yīng)力的主方向是小重合的。對十各向同

性彈性體，不需要任何補(bǔ)充條件，應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向總是重合的。

習(xí)題2.對于各向同性彈性體，試導(dǎo)出正應(yīng)力之差和正應(yīng)變之差的關(guān)系式。且進(jìn)一步證明：當(dāng)其主應(yīng)

力的大小順序為時，其主應(yīng)變的排列順序為O

解：各向同性條件下的廣義虎克定律為

%、二-b5-曲》+0』—⑴

E

%、，=-[<Tv>.-v(crvx+cr;j]一⑵

乜

q二5b二-v((yxx+%J]—(3)

將上式中的（1）一（2）,（2）-（3）,（3）—（1）分別得:

匕

==9(*「J)即

L

1+V*/\

一￡xx~~r~(b=一axx)

E

證明：當(dāng)其主應(yīng)力的大小順序為時，其主應(yīng)變的排列順序為。且，利用上述正應(yīng)力之差

和正應(yīng)變之差的關(guān)系式有。

習(xí)題3.將某一小的物體放入高壓容器內(nèi)，在靜水壓力作用下，測得體積應(yīng)變,若泊松比=0.3,

試求該物體的彈性模量。

解：設(shè)為第一應(yīng)力不變量，而，

據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律為有：，其中體積應(yīng)變，故有

12x036IQ24

E=^^O=-s（-1.35xl0）=1.5xl07V//n=1.5xl07V/W。

e-3.6xl（r5v7

習(xí)題4.在各向同性柱狀彈性體的軸向施加均勻壓力，且橫向變形完全被限制?。ㄈ鐖D所示）。試求

應(yīng)力與應(yīng)變的比值(稱為名義楊氏模量，以表示)。

解：設(shè)柱體的軸線Z軸，。因為橫向變形被限制，所以。據(jù)各向同性條件下的廣義虎克定律

~一而丫丫+。J]二0

?<**uL人人\))心/J

￡?="[%「(％+*)]=()

￡二=背二一心+外』

得：，，將此兩式相減得：

，而泊松比的理論取值范圍為，故，將其代入廣義虎克定律得；

1「n]1「2v2cr..

￡?=—lcr?-2vcrJ=—<T?-----------

Et'E\_1-v

從而

,得解。

習(xí)題5.在某點測得正應(yīng)變的同時，也測得與它成60。和90o

方向上的正應(yīng)變，其值分別為，，，試求該點的主應(yīng)變、最大剪應(yīng)變和主應(yīng)力

解：設(shè)該點的軸向的止應(yīng)變分別為，，剪應(yīng)變?yōu)?。?/p>

圖3-1x,y

意方向(為與x軸正向的夾角)上的正應(yīng)變?yōu)椋?/p>

J+4,?J-

ycos2a-^^sinla,

T~22

所以

,解由此三式組成的方程組得該點的，和分別為:

(1)計算該點的主應(yīng)變：

由、、和得該點的主應(yīng)變?yōu)?

_6-6

0=157.29X1O=￡max，￡，=-107.29xIO=^min。

(2)該點的最大剪應(yīng)變兀皿=與一J=264.58x10"。

(3)計算該點的主應(yīng)力：

現(xiàn)、、，據(jù)向同性條件下的廣義虎克定律得，即，所以

vE父E

5飛+'Xs產(chǎn)"+黃々

vEcE

vE<E

將、、、及、代入上面三式得：

22

er】=31.46N/nvn,（72=—11.27A^Zzzz/z?,cr,=6.06N/inm?。

習(xí)題6.根據(jù)彈性應(yīng)變能理論的應(yīng)變能公式，導(dǎo)出材料力學(xué)中桿件拉伸、彎曲及

圓軸扭轉(zhuǎn)的應(yīng)變能公式分別為：

也轉(zhuǎn)24J05GJP小噂卜。

解：（1）桿件拉伸的應(yīng)變能公式推導(dǎo)：

設(shè)桿件橫截面積為，彈性模量為，如圖建立坐標(biāo)系。桿件為單向拉伸，只存在軸向的伸長或縮短,

軸向纖維間無剪切變形，即。

同時軸向纖維間無相互作用力，即。據(jù)彈性應(yīng)變能理論的應(yīng)變能公式（其余分量產(chǎn)生的應(yīng)變能為

零）。

現(xiàn)在桿件上X處取一微段dx,其體積為，其應(yīng)變能

dU=WdV=-巴￡/公，而"Tgl-

整個桿件的拉伸應(yīng)變能為：

而=—,7cr=Ee=E—,

XAajxXXXAajx

2

1ducdu［以丫〃

故dU=WdV=2-aA.slAAAdx=------E—Adx=-EJ\—dx

2dxdx2\dxJ

整個桿件的拉伸應(yīng)變能為：

（2）桿件彎曲的應(yīng)變能公式的推導(dǎo)：

在材料力學(xué)中桿件在外力作用下發(fā)生純彎曲，僅軸向纖維發(fā)生拉伸或壓縮變形（其中中性層以內(nèi)

的纖維層受壓縮，中興層以外的纖維層伸長），而軸向纖維之間無相互作用的內(nèi)力，即和。

在桿件上沿軸向大取一微段，在此微段的橫截面上取一個微面，在上的應(yīng)力可為相同的，而

???W=g弓/=\1丁，dU=WdV=WdAclx=Wdydzdx°

故，其中只與x有關(guān)。

hh

22

jjy2dydz=（"）

?"彎曲-2［曰2

AA2nEI2

桿件彎曲的撓度為.撓度曲線的曲率為

（3）圓軸扭轉(zhuǎn)的變形能公式推導(dǎo)：

設(shè)圓軸的軸向為z軸。在材料力學(xué)中，圓軸扭轉(zhuǎn)變形后，其橫截面仍為平面，半徑仍為直線，且沿z軸相

鄰兩截面的距離不變，故有

八1111

%x=￡yy=屋=Yyz=九二°，:?卬=耳%%=-+萬匯=%/，二萬。

在圓軸軸向Z處取一微段，在微段的橫截面（圓截面）上的半徑處取一微面積，上的應(yīng)力

可為相同的，那么。

據(jù)平衡方程有：

而，故，令。

,而，

故，只與Z有關(guān)，

習(xí)題7、試推導(dǎo)體積變形應(yīng)變能密度及畸變應(yīng)變能密度的公式分別為:

W=~（7〃￡萬=」一（bJ

*6""18K'打

叼=；=擊（。產(chǎn)〃）=擊氣巴廠!（。J

解：應(yīng)變張量可分為球形應(yīng)變張量和應(yīng)變偏量張量之和：

，即。

其中球形應(yīng)變張量表示體積變形（體積的等向收縮或膨脹），不產(chǎn)生形狀畸變，它由球形應(yīng)力張量

所引起，僅產(chǎn)生體積變形應(yīng)變能；而應(yīng)變偏量張量表示形狀畸變，不產(chǎn)生體積變形，它由應(yīng)力

偏量張量所引起，僅產(chǎn)生畸變應(yīng)變能。應(yīng)力張量可分為球形應(yīng)力張量和應(yīng)力偏量張量之和：

,即，

變形應(yīng)變能密度分為體積變形應(yīng)變能密度與畸變應(yīng)變能密度之和，

1川川if1丈.Y1..

u卬/=尹％=叱+叼=5［產(chǎn)居+5“產(chǎn)學(xué)+力

即

1(111.，八

=5卜代MjBij+Nid+2QQ+o寸￡狀

417JJJ

其中

所以無論如何有：，故

w=叱,+vvz1%哂%+0+0+o總

11,1..11..

=T-*3ok聞+-°iFij=-<y￡+-bj/ij

292okku2

111..

?,?叱=7%J=7biG，W=彳5汽…

00zf

據(jù)虎克定律有：，

._1CT---V3_I/\2

..IuV/,=-(T---------=----((T.)0

、G"k18"

據(jù)虎克定律有：，

行1/產(chǎn)“一3%盧產(chǎn)"+9%。出初，

1(23

=—產(chǎn)產(chǎn)廠§巴巴+5an(jii

習(xí)題8、如圖所示結(jié)構(gòu)，梁AB在A處固支，長為1,截面積為F1,截面慣性矩為I。桿BC在B處

與梁較接，截面積為F2,。材料彈性模量為E,B點受載荷P的作用，設(shè)梁的壓縮量為，撓度曲線為

,和a均為待定的變形參數(shù)?？紤]桿BC的拉伸及梁AB的壓縮與彎曲，用最小勢能原理求B點的水

平和垂直位移。

解：梁AB被壓縮，其變形能為。

桿BC被拉伸，其變形能為。2=g8與。

其中，。梁AB的撓度曲線為，其彎曲變形能為

22

U3=—[dx=—\(2a)dx=2aEli

2idx-21

U返=q+&+6=gPA+半。J(/+w)2+(/_k_而|+2a2Ell

外力功為：。

總勢能為

n=U總+V=g尸A+[P[j(/+wy+(/_A)2-VI']+2a?EH-Pal2

據(jù)最小勢能原理：，，

其中可以取任何值，。

an?