專題15.解直角三角形

一、單選題

1.（2021?浙江溫州市?中考真題）圖1是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（/CME）的會(huì)徽，在其主體圖案中選擇

兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形04BC.若AB=BC=1.ZAOB=a,則

OC2的值為（）

A.—+1B.sin2a+\C.；-+1D.cos2a+1

sinacos'a

【答案】A

【分析】根據(jù)勾股定理和三角函數(shù)求解.

AB1

【詳解】???在R/VO43中，ZA0B=a,AB=\：-OB=--=--

sinasma

在RhOBC中，BC=\,OC2=OB2+BC2=（—1+/=—^+1故選：A.

（sinajsin-a

【點(diǎn)睛】本題主要考杳勾股定理和三角函數(shù).如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b,斜邊長(zhǎng)為c,

那么

2.（2021?浙江金華市?中考真題）如圖是一架人字梯，已知A3=AC=2米，AC與地面8c的夾角為a,

則兩梯腳之間的距離BC為（）

BDC

4

A.4cosa米B.4sina米C.4tana*D.-------米

cosa

【答案】A

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到3O=OC=-3C,根據(jù)余弦的定義即可，得到答案.

2

【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AO_LBC,如圖所示:

DC

VAB=AC,AD1BC,:?BD=DC,*,coa=----/.DC=AC-cosa=2cosa，

AC

/.BC=2DC=4cosa，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，明確等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（2021?湖北隨州市?中考真題）如圖，某梯子長(zhǎng)10米，斜靠在豎直的堵面上，當(dāng)梯子與水平地面所成角

為。時(shí)，梯子頂端靠在墻面上的點(diǎn)A處，底端落在水平地面的點(diǎn)A處,現(xiàn)將梯子底端向墻面靠近，使梯子

3

與地面所成角為已知sina=cos6=g,則梯子頂端上升了（）

C.2米D.2.5米

【答案】C

【分析】根據(jù)梯子長(zhǎng)分別利用三角函數(shù)的正弦定義求出C￡>:CEsin/?與欣ina,兩線段作差即可.

【詳解】解：如圖所示標(biāo)記字母，根據(jù)題意得AB=CE=10米，?；si叨=而最7/=

*c>.“CDCD44s。

在RsECD中,sin/?=——=—=一，ACD=-x1()=8,

CE1055

AOAD33

在a中，sina=——=——二二，<AO=-xlO=6,：.AC=CD-AD=S-f)=2.故選擇C.

AB1055

【點(diǎn)睛】本題考存三角函數(shù)的定義，解直角三角形，掌握正弦與余弦的平力關(guān)系以及銳角三角函數(shù)的定義

是解題關(guān)鍵.

4.（2021?湖南株洲市?中考真題）某限高曲臂道路閘口如圖所示，A3垂直地面4于點(diǎn)A,施與水平線4的

夾角為a（0"a<90。），EF//lJ/l2,若A8=1.4米，BE=2米,車(chē)輛的高度為力（單位：米），不考

慮閘口與車(chē)輛的寬度.

①當(dāng)a-90°時(shí)，h小于3.3米的車(chē)輛均可以通過(guò)該閘口；

②當(dāng)a=45°時(shí)，h等于2.9米的車(chē)輛不可以通過(guò)該閘口；

③當(dāng)a=60。時(shí)，〃等于3.1米的車(chē)輛不可以通過(guò)該閘口.

則上述說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（）

￡_______________F

A.0個(gè)B.I個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【分析】①AaE三點(diǎn)共線，直接計(jì)算可得；②做出輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用特殊角的三角函數(shù),

求出〃；③方法向②.

【詳解】如圖過(guò)E點(diǎn)作交A8的延長(zhǎng)線F點(diǎn)例，

???EF/〃1/〃24MEB=a則/=AM=A3+BExsina

①當(dāng)a=90。時(shí),AB,E三點(diǎn)共線，h=AE=AB+BE=\A+2=3A>3.3

??.h小于3.3米的車(chē)輛均可以通過(guò)該閘門(mén)，故①正確.

A.3B.—C.1D.2

32

【答案】A

【分析】根據(jù)30。的正切值直接求解即可.

【詳解】解：由題意可知，tan300=—,故選：A.

3

【點(diǎn)睛】本題考查30。的三角函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題，熟記其正切值即可.

7.（2021?重慶中考真題）如圖，在建筑物A8左側(cè)距樓底8點(diǎn)水平距離150米的C處有一山坡，斜坡C。

的坡度（或坡比）為，=1：2.4,坡頂。到3c的垂直距離。E二50米（點(diǎn)43,C,D,E在同一平面內(nèi)）,

在點(diǎn)。處測(cè)得建筑物頂A點(diǎn)的仰角為50。，則建筑物4B的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.77；

A.69.2米B.73.1米C.80.0米D.85.7米

【答案】D

【分析】作。/_LA8于/點(diǎn)，得到四邊形。E8F為矩形，首先根據(jù)坡度的定義以及DE的長(zhǎng)度，求出CE,

8七的長(zhǎng)度，從而得到。F=8E,再在心尸中利用三角函數(shù)求解即可得出結(jié)論.

【詳解】如圖所示，作。凡LAB于/點(diǎn)，則四邊形。/為矩形，.?.。石=8尸=50,

???斜坡C。的坡度（或坡比）為i=l：2.4,???在?△CEO中，611/。=一!一二匹=工，

2.4CE12

VDE=50,/.CE=120,/.^E=BC-CE=150-120=30，ADF=30,

AF

在Rf△人/）產(chǎn)中，ZADF=50°,：.tanZADF=tan50°=——=1.19,

DF

將DF=30代入解得：A/7=35.7,???"=從?+/好=35.7+50=85.7米，故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，理解坡度的定義，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形，熟練運(yùn)用銳角三角

函數(shù)是解題關(guān)鍵.

3

8.（2021?云南中考真題）在A/WC中，ZABC=90°,若AC=100,sinA二一，則A3的長(zhǎng)是（）

5

50（）503

A.——B.——C.60D.80

35

【答案】D

【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到8c和AC的比值，求出8C,然后利用勾股定理即可求解.

BC3

【詳解】解：vZABC=90°tsinZA=-=-,40100,

AC5

，BC=100x3+5=60,JAC?_8C2=80,故選D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

9.（2021?山東泰安市?中考真題）如圖，為了測(cè)量某建筑物BC的高度，小穎采用了如下的方法：先從與建

筑物底端B在同一水平線上的4點(diǎn)出發(fā)，沿斜坡AO行走130米至坡頂。處，再?gòu)?。處沿水平方向繼續(xù)前

行若干米后至點(diǎn)E處，在七點(diǎn)測(cè)得該建筑物頂端C的仰角為60。，建筑物底端B的俯角為45。，點(diǎn)A、3、C、

。、￡在同一平面內(nèi)，斜坡4。的坡度i=1:2.4.根據(jù)小穎的測(cè)量數(shù)據(jù)，計(jì)算出建筑物8c的高發(fā)約為（）

（參考數(shù)據(jù)：6^1.732）

un

n

A.136.6米B.86.7米C.186.7米D.86.6米

【答案】A

【分析】作QFJU3于尸點(diǎn)，EGLBC于G點(diǎn)、,根據(jù)坡度求出0P=50,AF=120,從而分別在△血燈和aCEG

中求解即可.

【詳解】如圖，作。F_LAB于F點(diǎn)，EGLBC于G點(diǎn),則四邊形。F8G為矩形，DF=BG,

???斜坡AO的坡度i=l:2.4,???tanND4R='一=上=2￡?

2.412AF

VXD=130,：.DF=50,AF=\20,：.BG=DF=50,由題意，ZCEG=60°,NBEG=45°,

???△8EG為等腰直角三角形，BG=EG=50,在放aCEG中，CG=EG=50,

???BC=BG+CG=50+506al36.6米，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，正確理解坡度的定義，準(zhǔn)確構(gòu)建合適的直角三角形是解題關(guān)

鍵.

10.（2021?重慶中考真題）如圖，相鄰兩個(gè)山坡上，分別有垂直于水平面的通信基站M4和ND.甲在山腳

點(diǎn)C處測(cè)得通信基站頂端M的仰角為60。，測(cè)得點(diǎn)C距離通信基站MA的水平距離CB為30m；乙在另?

座山腳點(diǎn)尸處測(cè)得點(diǎn)尸距離通信基站NO的水平距離尸石為50加，測(cè)得山坡。尸的坡度i=l：1.25.若

ND=?E,前C,B,E,尸在同一水平線上，則兩個(gè)通信基站頂端M與頂端N的高度差為（）（參

8

考數(shù)據(jù)：V2?1.41,5/3?1.73）

A.9.0/nB.128〃C.13.1wD.22.1m

【答案】C

【分析】分別解直角三角形RlZ\OE尸和RJMBC,求出NE和MB的長(zhǎng)度，作差即可.

【詳解】解：???莊=50m，。尸的坡度i=l：1.25,???。￡所=1:1.25,解得OE=40m,

:,ND=2DE=25m,：,NE=ND+DE=65m，

8

,//MCB=60。，BC=30m，,MBSan60°=306〃，

???頂端M與頂端N的高度差為NE—M3=65-30GBi3.1〃z，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵.

11.（2021?四川瀘州市?中考真題）在銳知△ABC中，ZA,/B,/C所對(duì)的邊分別為小江c,有以下結(jié)論:

------=-------=-------=2R（其中R為的外接圓半徑）成立.在△居（?中，若NA=75。，NB=45。,

sinAsinBsinC

『4,則△ABC的外接圓面積為（）

【答案】A

【分析】方法?：先求出NC,根據(jù)題目所給的定理，-J=2R，利用圓的面枳公式SI行?.

方法二：設(shè)△A8C的外心為0,連結(jié)04,0B,過(guò)。作OO1A8于。，由三角形內(nèi)角和可求NC=60。，由圓

周角定理可求NAOB=2NC=120。，由等腰三角形性質(zhì)，N048=N08A=30。，由垂徑定理可求2，

利用三角函數(shù)可求迪，利用圓的面積公式S肝匝.

33

【詳解】解:方法一：VZA=75°,ZB=45°,AZC=180°-ZA-ZB=180o-75°-45o=60°,

44873

2R=16笈

有題意可知sinC-sin60°~5/3-3，Z.R=—,??.5冏=乃/?2=)。42=乃

T3

方法二：設(shè)△A3C的外心為。，連結(jié)。A,OB,過(guò)。作0Q_LA8于。,

???NA=75。，ZB=45°,AZC=180°-ZA-ZB=180o-75°-45o=60°,AZAOB=2ZC=2x60°=120°,

\'OA=OB,：.ZOAB=Z0BA=(180°-120°)=30°,

V0D1AB,A3為弦，：,AD=BD=-AB=2,.\/AD=OACOS30°,

2

/.0A=AD-i-cos300=2-r?/.Sbi=^r/?2=TVOA2=it故答案為A.

23I3J3

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，銳角三角

函數(shù)，圓的面枳公式，掌握三角形的外接圓，三角形內(nèi)角和，圓周角定理，等腰三角形性質(zhì)，垂徑定理，

銳角三角函數(shù)，圓的面積公式是解題關(guān)鍵.

12.（2020?柳州市柳林中學(xué)中考真題）如圖，在RSA8C中，ZC=90°,AB=4,AC=3,則cosB=——=（）

AB

A

34不

A.-B.cD

5I4-I

【答案】C

【分析】直接利用勾股定理得出BC的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.

【詳解】???在中，ZC=90°,AB=4tAC=3,

?*,BC=VAB2—AC2=A/42—32=幣fcosB=——=-故選：C.

AB4

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義，正確掌握邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

13.（2020?山東濟(jì)南市?中考真題）如圖，AABC、ZkFED區(qū)域?yàn)轳{駛員的盲區(qū)，駕駛員視線PB與地面BE

的央角NPBE=43。，視線PE與地面BE的夾角NPEB=20。，點(diǎn)A,F為視線與車(chē)窗底端的交點(diǎn)，AF//BE,

AC1BE,FD1BE.若A點(diǎn)到B點(diǎn)的距離AB=1.6m,則盲區(qū)中DE的長(zhǎng)度是（）（參考數(shù)據(jù):5吊43吆0.7,

tan43°-0.9,sin20°^0.3,tan20°^04)

【答案】B

【分析】首先證明四邊形ACDF是矩形,利用NPBE的正弦值可求出AC的長(zhǎng)，即可得DF的長(zhǎng)，利用/

PEB的正切值即可得答案.

【詳解】VFDXAB,ACJ_EB,.??DF〃AC,???AF〃EB,???四邊形ACDF是平行四邊形,

VZACD=90°,，四邊形ACDF是矩形，ADF=AC,

在Rt^ACB中，VZACB=90°,ZABE=43°,AAC=AB-sin43°=l.6x0.7=1.12(m),

.*.DF=AC=L12(m),在Rt/kDEF中，VZFDE=90°,ZPEB=20°,

AtanZPEB=—-0.4,ADE^—=2.8(m),故選：B.

DE0.4

【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用及矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握各三角函數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.

14.（2020?貴州黔南布依族苗族自治州?中考真題）如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)小組利用測(cè)角儀和皮尺測(cè)量學(xué)校旗桿的

高度，在點(diǎn)D處測(cè)得旗桿頂端A的仰角NAOE為55。，測(cè)角儀CO的高度為1米，其底端C與旗桿底端B

之間的距離為6米，設(shè)旗桿A3的高度為x米，則下列關(guān)系式正確的是（）

tan55vx—

C.sin55°=—D.cos55°=—

66

【答案】B

【分析】根據(jù)仰角的定義和銳角三角函數(shù)解答即可.

【詳解】解：???在用AADE中，OE=6,AE=AB-BE=4B-CD=x—LZADE=55。,

..__AE__DE__AEx-\

..sin55°o=-----,cos55o=------，tan55°o==--------故選:B.

ADADDE6

【點(diǎn)睛】本題考查了銳角三角函數(shù)和解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用.注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

15.（2020?遼寧大連市?中考真題）如圖，小明在一條東西走向公路的。處，測(cè)得圖書(shū)館4在他的北偏東60

方向，且與他相距200m,則圖書(shū)館A到公路的距離AB為（）

D."「

A.100mB.100>/2mC.100V3m

3

【答案】A

【分析】據(jù)題意可得40AB為直角三角形，ZAOB=30°,OA=200m,根據(jù)三角函數(shù)定義即可求得AB的長(zhǎng).

【詳解】解：由已知得，ZAOB=900-60o=30°,OA=2（X）m.則AB=LoA=l（）（）m.故選：A.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查解直角三角形的應(yīng)用——方向角問(wèn)題，正確記憶三角函數(shù)的定義是解決本題的關(guān)鍵.

16.（2020?內(nèi)蒙古赤峰市?中考真題）如圖，OA經(jīng)過(guò)平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。，交4軸于點(diǎn)￡-4,0）,交），

軸于點(diǎn)C（0,3）,點(diǎn)。為第二象限內(nèi)圓上一點(diǎn).則NCOO的正弦值是（）

D

34

A.-BD.

5--75

【答案】A

【分析】連接BC,且NBOC=90。，用勾股定理求出BC的尺度，/CDO與NOBC均為0C所對(duì)圓周角，

所以sinZCDO=sinZOBC,即NCDO的正弦值可求.

【詳解】解：如下圖所示，連接BC,

???GA過(guò)原點(diǎn)。且NB0090。，0B=4,0C=3,

???根據(jù)勾股定理可得：BC=JOB?+OC『，

又?，?同弧所對(duì)圓周角相等，NCD。與NOBC均為0C所對(duì)圓周用，

OC3

AZCDO=ZOBC,故sin/CDO=sin/OBC=——二一，故選：A.

BC5

【點(diǎn)睛】本題考察了勾股定理、同弧所對(duì)圓周角相等以及求角的正弦值，解題的關(guān)鍵在于找出/CDO與/

OBC均為0C所對(duì)圓周角，求出NOBC的正弦值即可得到答案.

17.（2020?江蘇鎮(zhèn)江市?中考真題）如圖①，AB=5,射線AM〃BN,點(diǎn)C在射線6/V上，將zVlB。沿4c所

在直線翻折，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在射線及V上，點(diǎn)P,Q分別在射線AM、BN上,PQ//AB.設(shè)QD

=y.若y關(guān)于x的函數(shù)圖象（如圖②）經(jīng)過(guò)點(diǎn)E（9,2）,則cosB的值等于（）

圖①

217

A.-B.—D.——

5210

【答案】D

【分析】由題意可得四邊形A8QP是平行四邊形，可得4P=BQ=x,由圖象②可得當(dāng)工=9時(shí)，y=2,此時(shí)

點(diǎn)。在點(diǎn)。下方，且BQ=x=9時(shí)，y=2,如圖①所示，可求8/5=7,由折疊的性質(zhì)可求8c的長(zhǎng)，由銳

角三角函數(shù)可求解.

【詳解】解：?:AM〃BN,PQ//AB,???四邊形A6Q尸是平行四邊形，：,AP=BQ=x.

由圖②可得當(dāng)x=9時(shí)，＞,=2,此時(shí)點(diǎn)Q在點(diǎn)。下方，且距=1=9時(shí)，y=2,如圖①所示,

@0

：.BD-=BQ-QD=x-y=7,

???將"8C沿AC所在直線翻折，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。落在射線BN上,

7

I78c—7

：.RC=CD=-BD=-,AC1BD,：.cosB=—=］二一，故選：D.

22AB-T10

?1

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí).理解函數(shù)圖象上的點(diǎn)

的具體含義是解題的關(guān)鍵.

18.（2020?吉林長(zhǎng)春市?中考真題）比薩斜塔是意大利的著名建筑，其示意圖如圖所示.設(shè)塔頂中心點(diǎn)為點(diǎn)8,

塔身中心線A3與垂直中心線AC的夾角為NA，過(guò)點(diǎn)8向垂直中心線AC引垂線，垂足為點(diǎn)。.通過(guò)測(cè)

量可得A8、BD、AO的長(zhǎng)度，利用測(cè)量所得的數(shù)據(jù)計(jì)算NA的三角函數(shù)值，進(jìn)而可求NA的大小.下列

關(guān)系式正確的是（）

塔身中心線

A.如人處B.cosA二理AA。AD

C.tanA=---D.sinA=

ABADBD~AB

【答案】A

【分析】確定NA所在的直角三角形，找出直角，然后根據(jù)三隹函數(shù)的定義求解;

【詳解】由題可知，aABD是直角三角形，ZBDA=90°^

：.sinA=—,cosA=42,tanA=02..,.選項(xiàng)B、C、D都是錯(cuò)誤的，故答案選A.

ABARAD

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形中三角函數(shù)的定義理解，準(zhǔn)確理解是解題的關(guān)鍵.

19.（2020?山東威海市?中考真題）如圖，矩形43co的四個(gè)頂點(diǎn)分別在直線A，4，，2，4上.若直線

/J///。/且間距相等，AB=4,BC=3,則tana的值為（）

D.715

cTIT

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，可以得到BG的長(zhǎng)，再根據(jù)/ABG=90。，AB=4,可以得到/BAG的正切值，再根據(jù)

平行線的性質(zhì)，可以得到NBAG=Na,從而可以得到tana的值.

【詳解】解：作CFJJ』于點(diǎn)F,交13于點(diǎn)E,設(shè)CB交b于點(diǎn)G,

.CE_CG

由已知可得〃

GEBF,CE=EF,AACEG^ACFB,~CF~~CB

..CE_1*CG13

,?=一VBC=3,???GB=一，

,CF2CB22

Vb#l4,AZa=ZGAB,'??四邊形ABCD是矩形，AB=4,AZABG=90o,

3

RG—37

/.tanZBAG=-----=?=-,.'tana的值為一,故選:A.

AB亍88

4

【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解答本題的關(guān)

鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答.

20.（2020?廣東深圳市?中考真題）如圖，為了測(cè)量一條河流的寬度，一測(cè)量員在河岸邊相距200米的P、Q

兩點(diǎn)分別測(cè)定對(duì)岸一棵樹(shù)7的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70。方向，則河寬（PT的長(zhǎng)）

可以表示為（）

北

二,東

P200Q

200200

A.2（）（）lan7（）。米B.-----------米C.200sin70。米D.-----------米

tan70°sin70°

【答案】B

【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的長(zhǎng)，以及NPQT的度數(shù)，進(jìn)而得到NPTQ的度數(shù)，根據(jù)三角函

數(shù)即可求得PT的長(zhǎng).

【詳解】解：在RsPQT中，VZQPT=90°,ZPQT=90°-70o=20°,AZPTQ=70°,

”。PQn.PQ2002（w）

tan70=----,PT=----=----即河寬，——米，故選：B.

PTtan70°tan70°tan70°

【點(diǎn)睛】此題考皆了解直角三角形的應(yīng)用?方向角問(wèn)題，掌握方向角與正切函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

21.（2020?湖南婁底市?中考真題）如圖，撬釘子的工具是一個(gè)杠桿，動(dòng)力臂4=L,cosa,阻力臂

J=l，如果動(dòng)力尸的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時(shí)，則杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)力變化

情況是（)

A.越來(lái)越小B.不變C.越來(lái)越大D.無(wú)法確定

【答案】A

【分析】根據(jù)杠桿原理及的值隨著々的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案.

【詳解】解：???動(dòng)力X動(dòng)力臂=阻力X阻力臂，，當(dāng)阻力及阻力臂不變時(shí)，動(dòng)力X動(dòng)力臂為定值，且定值>0,

???動(dòng)力隨著動(dòng)力臂的增大而減小，???杠桿向下運(yùn)動(dòng)時(shí)。的度數(shù)越來(lái)越小，此時(shí)cosa的值越來(lái)越大，

又7動(dòng)力臂。=L?cosa,.?.此時(shí)動(dòng)力臂也越來(lái)越大，，此時(shí)的動(dòng)力越來(lái)越小，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解決本

題的關(guān)鍵.

22.（2020?江蘇揚(yáng)州市?中考真題）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,B,C都在格點(diǎn)上,

以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D,則sin/A/X?的值為（）

【答案】A

【分析】首先根據(jù)圓周角定理可知，ZABC=ZADC,在RSACB中，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求出N

ABC的正弦值.

【詳解】???/AZ）C和NABC所對(duì)的弧長(zhǎng)都是AC，J根據(jù)圓周角定理知，ZABC=ZADC,

???在RSACB中，AB=7AC2+BC2=>/22+32=V13

根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義知，sin/ABC=4￡=3=^!叵，.?.sinZA。。二名叵，故選A.

ABJ131313

【點(diǎn)睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義和圓周角的知識(shí)點(diǎn)，解答本題的關(guān)鍵是利用圓周角定理把求

/ADC的正弦值轉(zhuǎn)化成求NABC的正弦值，本題是一道比較K錯(cuò)的習(xí)題.

23.（2020?湖南湘西土家族苗族自治州?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。），中，矩形A3C。的頂點(diǎn)A

在K軸的正半軸上，矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上，矩形的邊A8=Q,3C=AND4O=X.則

A.?cosx+Z?sinxB.acosx+〃8sxC.asinx+bcosxD.?sinx+Z?sinx

【答案】A

【分析】作CE_Ly軸于E.解直角三角形求出OD,DE即可解決問(wèn)題.

【詳解】作CE_Ly軸于E.

在R@OAD中，VZAOD=90°,AD=BC=Z?,ZOAD=x,OD=ADsin^OAD=Z?sinx,

■:四邊形ABCD是矩形，:.ZADC=90°,ZCDE+ZADO=W,

XVZOAD+ZADO=90°,ZCDE=ZOAD=X,???在RMCDE中,

「CD=AB=〃，NCDE=X,DE=CDcos^CDE=acosX,

???點(diǎn)C到X軸的距離=￡0=口￡+0口=488工+/油11工，故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

24.（2019?浙江中考真題）如圖，矩形A5c。的對(duì)角線交于點(diǎn)0,已知48=〃7,/氏4。=/。,則下列結(jié)論

塔用的是（）

A.ZBDC=ZaB.BC=nitanaC.AO=———D.BD=

2sinacos4

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出NABC=NDCB=90。，AC=BD,AO=CO,BO=DO,AB=DC,再解直角

三角形判定各項(xiàng)即可.

【詳解】選項(xiàng)A,???四邊形48CZ)是矩形，???NA8C=NQC8=90。，AC=BD,AO=CO,BO=DO,

：.AO=OB=CO=DO,,?.NDBC=NACB,,由三角形內(nèi)角和定理得：ZBAC=ZBDC=Za,

選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)8,在RsABC中，tana=-----,即Z?C="tana,選項(xiàng)B正確;

m

選項(xiàng)C,在RtZkABC中，AC=—,即A0=---,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

cosa2cosa

選項(xiàng),四邊形43C。是矩形，???QC=A3=〃?，

?：NBAC=NBDC=a,???在RMDCB中，BD=,選項(xiàng)D正確.故選C.

cosa

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和解直角三角形，能熟記矩形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵.

25.（2019?山東中考真題）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓頂A處看乙樓樓頂B處

仰角為30。，則甲樓高度為（）

A.11米B.(36?I5JJ)米C.15G米D.(36-1073)米

【答案】D

【分析】分析題意可得：過(guò)點(diǎn)A作AE_LBD,交BD于點(diǎn)E：可構(gòu)造RsABE,利用已知條件可求BE；而

乙樓高AC=ED=BD-BE.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE_LBD,交BD于點(diǎn)E,在Rtz\ABE中，AE=30米，ZBAE=30°,

.'.BE=30xtan300=1073(米)，/.AC=ED=BD-BE=(36-1()百)(米).

二甲樓高為（36-106）米.故選D.

B

甲cD2

【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知特殊角的三角函數(shù)值.

26.（2019?四川綿陽(yáng)市?中考真題）公元三世紀(jì)，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的“趙爽弦

圖”如圖所示，它是由四個(gè)全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果大正方形的面積

是125,小正方形面積是25,則（sin。一cos=（）

3石9

D.

—5

【答案】A

【分析】根據(jù)止方形的面積公式可得大正方形的邊長(zhǎng)為5逐，小正方形的邊長(zhǎng)為5,再根據(jù)直角三角形的

邊角關(guān)系列式即可求解.

【詳解】解：???大正方形的面積是125,小正方形面積是25,

???大正方形的邊長(zhǎng)為5君，小正方形的邊長(zhǎng)為5,

*1*5\[5cos3-5\f5sin=5?cos^-sin/9=—>j(sinJ-cose)~=：.故選A.

55

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、勾股定理的證明和正方形的面積，難度適中，解題的關(guān)鍵是正確得出

cos。-sin。=正

5

27.（2019?重慶中考真題）如圖，AB是垂直于水平面的建筑物.為測(cè)量AB的高度，小紅從建筑物底端8

點(diǎn)出發(fā)，沿水平方向行走了52米到達(dá)點(diǎn)C,然后沿斜坡CD前進(jìn)，到達(dá)坡頂￡＞點(diǎn)處，DC=BC.在點(diǎn)。

處放置測(cè)角儀，測(cè)角儀支架。石高度為0.8米，在E點(diǎn)處測(cè)得建筑物頂端A點(diǎn)的仰角NA斯為27°（點(diǎn)A,

B,C,D,E在同一平面內(nèi)）.斜坡C。的坡度（或坡比）z=1：2.4,那么建筑物A8的高度約為（）

（參考數(shù)據(jù)sin27°R0.45，cos27°?0.89，tan27°?0.51）

A.65.8米B.71.8米C.73.8米D.119.8米

【答案】B

（分析?】過(guò)點(diǎn)￡作EW_LA6與點(diǎn)根據(jù)斜坡CD的坡度（或坡比）j一1:2.4可設(shè)CD-x,則CG一2.4x,

利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出CG與。G的長(zhǎng)，故可得出EG的長(zhǎng).由矩形的判定定理得出四邊形

EGBM是矩形，故可得出EM=BG,8W=EG,再由銳角三角函數(shù)的定義求出人”的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出

結(jié)論.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)E作￡M與點(diǎn)M,延長(zhǎng)E。交3CTG,

???斜坡C。的坡度（或坡比）z=l:2.4,8C=CD=52米，.??設(shè)QG=x,則CG=2.4x.

在Rt\CDG中，???DG2+CG2=DC"即x2+（2.4x）2=522,解得x=20,

???DG=20米，CG=48米，???EG=20+0.8=20.8米，8G=52+48=100米.

VEMLAB,EGJ.BG,工四邊形EG8M是矩形，

???EM=BG=100米，BM=EG=20.8米.

在RtAAEM中，???NAEW=27°，???AM=EMTan27°。100x0.51=51米，

???A3=AA/+3M=51+20.8=71.8米.故選火

【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用■仰角俯角問(wèn)題，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是

解答此題的關(guān)鍵.

三、填空題

28.（2021?四川廣元市?中考真題）如圖，在4x4的正方形網(wǎng)格圖中，已知點(diǎn)A、B、C、。、。均在格點(diǎn)上,

其中A、B、。又在。0上，點(diǎn)E是線段CO與。0的交點(diǎn).則NK4E的正切值為.

D

【答案】；

【分析】由題意易得8。=4,BC=2,NOBC=90。，NBAE=NBDC,然后根據(jù)三角函數(shù)可進(jìn)行求解.

【詳解】解：由題意得：BD=4,BC=2,NDBC=9。。,

VZBAE=ZBDC,：.tanZBAE=lanZBDC=-=故答案為

BD22

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)及圓周角定理，熟練掌握三角函數(shù)及圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

29.（2021?浙江衢州市?中考真題）圖1是某折疊式靠背椅實(shí)物圖，圖2是椅子打開(kāi)時(shí)的側(cè)面示意圖，椅面

與地面平行，支撐桿A。，8C可繞連接點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，且。4=。8,椅面底部有一根可以繞點(diǎn)〃轉(zhuǎn)動(dòng)的連

桿HD,點(diǎn)”是C。的中點(diǎn)，M,破均與地面垂直，測(cè)得用二54cm,EB=45cm,44=48cm.

（1）椅面CE的長(zhǎng)度為cm.

（2）如圖3,椅子折疊時(shí)，連桿”。繞著支點(diǎn)〃帶動(dòng)支撐桿AD8C轉(zhuǎn)動(dòng)合攏，椅面和連桿夾角/CHZ）的

度數(shù)達(dá)到最小值30°時(shí),A,8兩點(diǎn)間的距離-為cm（結(jié)果精確到0.1cm）.（參考數(shù)據(jù)：sin15°?0.26,

cos15°?0.97,tan15°?0.27）

圖i圖2圖3

【答案】4012.5

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CM垂直八E垂足為M,斜1FCS&AFB，列比例求出CM長(zhǎng)度，則CE=48-CM：

（2）根據(jù)圖2可得△OCOs^OBA，對(duì)應(yīng)袋圖3中求出CD長(zhǎng)度，列比例求AB即可.

【詳解】解：（1）過(guò)點(diǎn)。作CM垂直4A垂足為M,

圖3

???椅面CE與地面平行，.??^MFC^AFB，

CMFMFA-EBCM54-45

-----------------------------------------=-----------解得:CM=Scm,

ABFAFA4854

：.CE=AB-CM=4SS=40cm；故答案為：40；

（2）在圖2中，-：OA=OB,椅面CE與地面平行，???NBC￡=NAOM,

?:AM=BE,ZAMD=NBEC=90。，

：.DM=CE,/.MC=ED=Scm,：.CD=48-8-8=32cm.

是CD的中點(diǎn),：.CH=HD=-CD=\e,

2

COCD322

???椅面CE與地面平行，???△COQs^BOA,???——=—

BOAB483

圖3中，過(guò)〃點(diǎn)作CO的垂線，垂足為M因?yàn)镃H=HD=1CD=16,ZCHD=30°，

2

QQCD9832

???/CHN=NDHN=15。，，CD=2CHsinl50=8.32an,—=~^,

OBAB3AB

解得：A3=12.48a12.5cm，故答案為：12.5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)，找到對(duì)應(yīng)相似三角形并正確列

出比例是解決本題的關(guān)鍵.

30.（2021?浙江紹興市?中考真題）圖1是一種矩形時(shí)鐘，圖2是時(shí)鐘示意圖，時(shí)鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD

的對(duì)角線8。上，時(shí)鐘中心在矩形ABC。對(duì)角線的交點(diǎn)。上.若AB=30cm,則8c長(zhǎng)為cm（結(jié)

果保留根號(hào)）.

【答案】30G

【分析】根據(jù)題意即可求得NMOD=2NNO。，即可求得NNOA30。，從而得出乙4。8=30。，再解直角三角

形A8O即可.

【詳解】解：：時(shí)鐘數(shù)字2的刻度在矩形ABCD的對(duì)角線BD上，時(shí)鐘中心在矩形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)O,

???ZMOD=2ZNOD,???/MOD+ZNOD=90°,/./NOD=30。,

丁四邊形ABC。是矩形，：,AD//BC,ZA=90°,AD=BC,:?/ADB=/NOD=30°,

AB^^7=306（5）故答案為：30技

BC=AD=

tan30°

【點(diǎn)睛】本題考查的矩形的性質(zhì)、解直角三角形等知識(shí)：理解題意靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)得出NNO/>30。是解

題的關(guān)鍵.

31.（2021?湖北武漢市?中考真題）如圖，海中有一個(gè)小島A,一艘輪船由西向東航行，在8點(diǎn)測(cè)得小島A在

北偏東60。方向上；航行12nmi怙到達(dá)。點(diǎn)，這時(shí)測(cè)得小島A在北偏東300方向上.小島A到航線8C的

距離是nmile（$1.73,結(jié)果用四舍五入法精確到0.1）.

【答案】10.4

【分析】過(guò)點(diǎn)A作AOJ_8C,垂足為。，根據(jù)題意，得NABC=30。，ZACD=60°,從而得到AC=8C=12,利

An

用s加60。=——計(jì)算4）即可

AC

【詳解】過(guò)點(diǎn)A作4O_LBC,垂足為。，根據(jù)題意，得NABG30。，乙4。。=60。,

???N4〃C=NC/W=30。，：.AC=BC=\2,

V.w?60°=—,AD=AC