專題22數(shù)列的概念與表示目錄01思維導(dǎo)圖02知識(shí)清單03核心素養(yǎng)分析04方法歸納1．?dāng)?shù)列的有關(guān)概念概念含義數(shù)列按照確定的順序排列的一列數(shù)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)數(shù)列的通項(xiàng)數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的序號(hào)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用一個(gè)式子來(lái)表示，那么這個(gè)式子叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和把數(shù)列{an}從第1項(xiàng)起到第n項(xiàng)止的各項(xiàng)之和，稱為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，記作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an2．?dāng)?shù)列的表示方法列表法列表格表示n與an的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖象法把點(diǎn)(n，an)畫在平面直角坐標(biāo)系中公式法通項(xiàng)公式把數(shù)列的通項(xiàng)使用an＝f(n)表示的方法遞推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示數(shù)列的方法3．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義/性質(zhì)按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列?an<an＋1遞減數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列?an>an＋1常數(shù)列各項(xiàng)都相等的數(shù)列?an＝an＋1擺動(dòng)數(shù)列從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列溫馨提示：1．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，則an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))2．在數(shù)列{an}中，若an最大，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2，n∈N*)；若an最小，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2，n∈N*)．本專題主要考查利用遞推公式求通項(xiàng)公式，an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用，常結(jié)合等差或等比數(shù)列以解答題的形式出現(xiàn)。題型一由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式例1設(shè)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且滿足.(1)求an(2)設(shè)，數(shù)列bn的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，求的取值范圍.答案(1)(2)分析（1）根據(jù)與之間的關(guān)系分析可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，進(jìn)而可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）可知：，利用錯(cuò)位相減法可得，結(jié)合恒成立問(wèn)題分析求解即可.解析（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，由，解得；當(dāng)時(shí)，則，兩方程相減得，即ana可知數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，所以.（2）由（1）可知：，則，，兩式相減得，可得，即.因?yàn)?，可知是單調(diào)遞增數(shù)列，且，可得，因?yàn)閷?duì)任意的恒成立，可得，解得，所以的取值范圍為.方法歸納：(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式．(2)Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．題型二由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式命題點(diǎn)1累加法例2數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．答案(1)(2)．分析（1）利用累加法結(jié)合等差數(shù)列求和公式即可得解；（2）直接用裂項(xiàng)相消法即可求解.解析（1）因?yàn)?，所以，又因此是以為首?xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，設(shè)的前n項(xiàng)和為，則，又由，得，，當(dāng)時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)也滿足，∴．（2）．因此．命題點(diǎn)2累乘法例3已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式.(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.答案(1)(2)分析（1）根據(jù)題意利用累乘法可求得通項(xiàng)公式；（2）由（1）得，然后利用錯(cuò)位相減法可求得前項(xiàng)和.解析（1）因?yàn)?，所以，，，……，，所以，所以，得；?）由（1）得，令數(shù)列的前項(xiàng)和為，則所以，所以，所以所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.方法歸納：(1)形如an＋1－an＝f(n)的數(shù)列，利用累加法，即利用公式an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1(n≥2)，即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．(2)形如eq\f(an＋1,an)＝f(n)的數(shù)列，常令n分別為1,2,3，…，n－1，代入eq\f(an＋1,an)＝f(n)，再把所得的(n－1)個(gè)等式相乘，利用an＝a1·eq\f(a2,a1)·eq\f(a3,a2)·…·eq\f(an,an－1)(n≥2)即可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．題型三數(shù)列的性質(zhì)命題點(diǎn)1數(shù)列的單調(diào)性例4已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且單調(diào)遞增，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．答案D分析根據(jù)題意，分析可得，即數(shù)列從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)均為正數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出不等式，即可求解．解析解：由為等差數(shù)列，且，所以，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，則，即從第二項(xiàng)開始，各項(xiàng)均為正數(shù)，又因?yàn)楹愠闪?，所以?shù)列為常數(shù)數(shù)列或遞增數(shù)列，所以d≥0，則有，解可得，綜上可得，，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：D．命題點(diǎn)2數(shù)列的周期性例5若首項(xiàng)為1的數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．1答案C分析利用此數(shù)列的遞推關(guān)系，依次求出下一項(xiàng)，直到出現(xiàn)重復(fù)，則可以判斷周期，從而利用周期性來(lái)得到結(jié)果.解析由，得：，，，，，，因?yàn)?，由此得?shù)列an是一個(gè)周期為的數(shù)列，所以，則，故選：C.命題點(diǎn)3數(shù)列的最值例6已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，，則數(shù)列的最大項(xiàng)為（

）A． B．130 C． D．答案C分析借助等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合所給條件可計(jì)算出，表示出后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可得.解析因?yàn)?，所以是?為公差的等差數(shù)列，又，所以，即，則當(dāng)時(shí)，，又符合上式，故，則，令，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可得：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列的最大項(xiàng)為．故選：C.方法歸納：(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的方法用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．(2)解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值．(3)求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法①函數(shù)法