專題12數(shù)列

第36練數(shù)列的概念

1維練基礎(chǔ)

1.（2022?云南曲靖?二模（文））設(shè)S”是數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若5="+2",則為022=（）

A.4045B.4043C.4041D.2021

【答案】A

【解析】解：因?yàn)?“=1+2%

S22

所以021m=2022-邑021=2022+2x2022-（2021+2x2021）=4045；

故選：A

2.（2022,江西南昌?一k模（文））數(shù)列｛q｝中，“1=2,am+n=ciman,則。4=（）

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛〃〃｝中，4=2,am+n=aman,

所以令機(jī)=〃=1,則％+i=2x2=4,即%=4,

令m=n=2,貝|。2+2=%%=4x4=16,gptz4=16,

故選：B

3.（2022?山東濟(jì)南?二模）在數(shù)列｛q｝中，q=3,a2=-lfan+2=3an+i+anf則〃5等于（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】%=3%+q=-3+3=0,%=3%+%=—1,

a5=3%+%=-3.

故選：D

4.（2022?四川省瀘縣第二中學(xué)模擬（文））己知數(shù)列｛〃"｝滿足％+廣%=2",%=1,則%=（）

A.30B.31C.22D.23

【答案】B

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛%｝滿足。用-%=2",4=1,

234

所以出一4=2]，a3-a2=2,a4-a3=2fa5-a4=2,

所以（％—《）+（%—。2）+（“4—%）+（〃5—。4）=2]+2?+23+2,‘

所以的=1+2]+22+23+24=31,

故選：B

2

5.（2022?陜西?交大附中模擬（文））設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，Sn=n+n,則a“=.

【答案】2〃

【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，…i=2,

22

當(dāng),22時(shí)，Sn_t=（?-1）+（n-1）=n-M,

所以%=S“-S"_1=2",

4=2也符合上式，

所以4=2”.

故答案為：In

6.（2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬（文））己知S”是數(shù)列｛an｝的前〃項(xiàng)和，的=2,a,=l--（n>2）,

an-l

貝”§2022=?

【答案】1011

【解析】因?yàn)?=2,an=l--（n>2）,所以。3=T,%=:嗎=2嗎=:，3=T，因此數(shù)列｛瑪｝具有周期

an-\22

332022

性，7=3,%+%+%=],故邑022=5*~~-=1011.

故答案為：1011.

7.（2022?內(nèi)蒙古?烏蘭浩特一中模擬（文））已知數(shù)列｛%｝滿足芻=2,約+1=3則求60°=

【答案】T948

【解析】馬=2,%+i=an-n,

?*-%-4二一上

.?2—4二-1,

a3-a2=-2^

%一%=—3,

%oo-%9=-99,

將以上99個(gè)式子都加起來可得4oo-4=-1-2-3-…-99=-99x（；+99）=_495（）,

010G=-4948.

故答案為：-4948.

8.（2022?北京?人大附中模擬）能說明命題“若無窮數(shù)列｛4｝滿足外…），則｛4｝為遞增數(shù)列”

an

為假命題的數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式可以為%=.

【答案】-〃

【解析】因無窮數(shù)列｛%｝滿足->1（〃=1，2,3,…），當(dāng)4>0時(shí)，an+l>an,數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，給定命

an

題是真命題，

當(dāng)“<0時(shí)，a,1+1<an,數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列，給定命題是假命題，

。2-（n+1）n+1<

因此，取為=一九，顯然有---=-------=---->1,〃〃+]=_（〃+D<_〃=〃“，

an—nn

所以為二-九.

故答案為：-〃

1.（2022?上海普陀?二模）數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)的和S”滿足S"M+S”=〃5€N*）,則下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.數(shù)列｛。用+%｝是常數(shù)列

B.若％<；,則｛4｝是遞增數(shù)列

C.若。1=一1,則$2022=1°13

D.若%=1,則｛%｝的最小項(xiàng)的值為-1

【答案】D

【解析】當(dāng)〃=1時(shí)，邑+y=2%+%=1,

當(dāng)“22時(shí)，S“+S“T=〃-1,則%+4=1,

而％+4=1不一定成立，故｛。用+%｝不一定是常數(shù)列，A錯(cuò)誤；

由%+1+%=。"+""-1=…=/+。2=1，顯然%+1=4,-1="”一3=…旦。"=。"-2=。"-4=…，即｛4｝不單調(diào)，B錯(cuò)

誤；

若％=-1,貝|2=3,%=-2,故〃22,｛%｝偶數(shù)項(xiàng)為3,奇數(shù)項(xiàng)為-2,

而$2022=01+（°2+。3）+（。4+。5）+…+（。2020+。2021）+。2022=-1+1010+3=1012,C錯(cuò)誤；

若％=1,則2=T，/=2,故"22,｛%｝偶數(shù)項(xiàng)為-1,奇數(shù)項(xiàng)為2,故｛%｝的最小項(xiàng)的值為-1,D正確.

故選：D

2.（2022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬（理））已知數(shù)列｛%｝滿足：%=1024,點(diǎn)（〃,%）在函數(shù)y=qg）（aeR）

的圖象上，記S“為｛%｝的前w項(xiàng)和，則％-Sg=（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】由題得q=1024=ga,解得4=2”,故q=2?",所以L-SgMqo+aun,+ZOnS

故選:A.

3.（2022?湖北?模擬）函數(shù)y=7'（口（xe[O』）對(duì)任意q?O,l）,由="?乂〃€曰）得到的數(shù)列｛%｝均

是單調(diào)遞增數(shù)列，則下列圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)符合上述條件的是（）

【答案】A

【解析】由題可知4+1=/■(?,)(〃€N*),an+l>an,

故函數(shù)〃尤)滿足〃x)>x,即函數(shù)〃尤)的圖像在直線y=x的圖像上方，故排除BCD.

故選：A.

4.(2022?河南安陽(yáng)?模擬(理))已知數(shù)列｛叫滿足用q+2=-l(〃eN*),q=-3,若｛4｝的前w項(xiàng)積

的最大值為3,則出的取值范圍為()

A.[-l,0)u(0,l]B.[-1,0)C.(0,1]D.(-<x>,-l)o(l,+w)

【答案】A

【解析】數(shù)列｛4｝中，“eN*,an-an+1-an+2=-1,則有％?4用?4+3=T，因此，V〃eN*,

an+3=an，

因數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)積的最大值為3,則當(dāng)〃=6Z?￡N*,｛4｝的前幾項(xiàng)積力%…%=1工3,

當(dāng)〃=6左+1,左￡N*,{4}的前n項(xiàng)積q%“=4=一343,

當(dāng)方=6左+2,/$N*,{%}的前〃項(xiàng)積a?！！?。陷2=-3%<3,解得〃2之一1,

當(dāng)〃=6左+3,左wN*,{〃〃}的前幾項(xiàng)積。傷…=4。2。3=-143,

當(dāng)〃=6左+4,左wN*,{〃“}的前n項(xiàng)積…%==一％=3<3,

當(dāng)〃=6左+5,左￡N*,{q}的前n項(xiàng)積…?！?。1。2。3。4。5=-。1。2=34(3,解得。241，

顯然為W0,綜上得一1<％<0或0<生41，

所以出的取值范圍為[T，。)。(。，1].

故選：A

5.(2022?江蘇省木瀆高級(jí)中學(xué)模擬)已知數(shù)列｛?｝滿足：①先單調(diào)遞減后單調(diào)遞增：②當(dāng)〃=3時(shí)取得最

小值.寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式%=.

【答案】見=(〃-3)2(〃￡N*)

22

［解析］設(shè)%=(〃―3)2(〃WN)則4+1=("2)2,an+1-an=(n-2)-(n-3)=2n-5,

當(dāng)1"V2,限-。=2〃-5<0,數(shù)列單調(diào)遞減,

當(dāng)〃23,4,+1-。“=2〃-5>。，數(shù)列單調(diào)遞增，即q>4

可得當(dāng)"=3時(shí)數(shù)列取得最小值，

故答案為：=(〃-3)2(〃eN*)

6.(2022?湖南?長(zhǎng)沙一中模擬)已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足用，若｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,且

5s“=1電，則，=

【答案】1

a

【解析】因?yàn)檎?xiàng)數(shù)列｛〃“｝滿足風(fēng)=?！?n+l，

所以」a_+4也2=yi,即一1+—1二i,

冊(cè)冊(cè)+i%%+i

1111

則---+----=1,因此----=—，即4+2=%，

aaa

n+\n+2n+2冊(cè)

數(shù)列｛凡｝是周期為2的數(shù)列，

因止匕由5sli=1電可得，5[5(%+4)+%]=11[23+12)+4]，

解得4=%，即亍"=1，

故答案為：1.

7.(2022?上海?華師大二附中模擬)已知數(shù)列｛%滿足q=1,“同=""'(〃eN*).設(shè)a為

[an+n,an<n

烏，?，?.?，〃”中取值為1的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，貝！J4+H+----H^2022=.

【答案】12525

【解析】解：當(dāng)機(jī)N1時(shí)，若冊(cè)=1,貝|4+1=1+根，4+2=l+m+(m+l),

依此類推，可歸納證得4+2-=根+2-女，am+2k=2m+\+k(l<A:<m),

從而%?+i=1.

因此，an=i,當(dāng)且僅當(dāng)〃=??eN*),從而4=口幅(2〃+1)],

故恰有3,個(gè)〃,=%.

貝!?瓦+%+...+Z?2022，

=1X3+2X32+...+6X36+7X(2022-36-35-...-3)=12525,

故答案為：12525

8.(2022?山西運(yùn)城?模擬(文))斐波那契數(shù)列(Fibonaccisequence)又稱分割數(shù)列，是數(shù)學(xué)史上一個(gè)著名

a=\,

的數(shù)列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,........已知在斐波那契數(shù)列｛4｝中，％=1,2a?+2=a?+1+(neN+),

若?2022=m,則數(shù)列｛4｝的前2020項(xiàng)和為(用含m的代數(shù)式表示).

【答案】m-1

【解析】由2=。"+1+4，可知%+1=%+%_,……，a4=a3+a2,a3=a2+a,,

將以上各式相加得%+2+“"+i+…+/=4+1+2%+2an_1+---+2a2+ax,

整理得4+2=6+S“,

則$2020=°2022—%=〃?一1.

故答案為：7”-1.

3雉練素養(yǎng)

1.(2022?浙江?模擬)已知數(shù)列｛g｝滿足9=1，，M=C3；]”N,則()

A.GJB.島]C.GTD-盟

【答案】c

【解析】由C"M=3：]，〃eN,得-L-S±l一,9*112c11

-+cn,neN,------------=cn>0,所以--->—,又q=1〉0,

c〃+icncn+lcn

%+1C"+lC"cn

所以數(shù)列是遞增數(shù)列且]=]+3+3c「+g6〉[j_1+3,所以

nJ\^nJ\^nJ

J]>3,?eN"',

VCn+\J\Cn)

z\3rz\3z、3"|rz\3z、3/\3z\3"Iz、3

1][1)(1][1)(1][1]f1)\1]

所以一=一-一十---------F———+—>3x17+1=52,

Jlj<C18)\C17)<C17)\C16)\C2j\C1J\C1>

/[\3]___7

G1A、

所以一>52,一>為^>不.當(dāng)〃=1,得Q=c；；i=2,由°<c".得"We/,

J18J-

H，J+c2+3+3cc

[r-J=[r?J=[rJ>^[r]+3+4g3,

（iY(iV

33333

同上由累加法得—<1—J+3xl7+4(q+c2+c3+...+c17)<56+4-c2-16=64

<C18>

1,71,12

所以一<4,所以彳<一<4,則〈三.

18

%2c1847

故選：C.

71

a=b

n+ln+一

an

2.（2022?浙江金華?三模）已知數(shù)列也｝,也｝滿足弓=2,,〃eN*,則下列選項(xiàng)錯(cuò)

1

%=an+~T

bn

誤的是（)

a.1

A.~r~~：B.。50,"50<112

b24

D.1%)—b501Vl5

【答案】D

1

a+一j1ahn+1

?+i=b,b+————

【解析】因?yàn)閉￡NAT*,所以鏟

n+l1

b,,+ian+T~

b.b.

1

所以0_=幺_=2=J_，故A正確;

b2a24

l、

1

a+

由題意得：an+lbn+ln~T=a/n+2H------22+2=4,

n7aA

當(dāng)且僅當(dāng)。1A=4時(shí)，取等號(hào);

a?bn

所以即

1=2x2+〃48048+11

所以。50,，50=2+a49b49+

1

—...—2x49+aQiH-------!-,,?+

apx

又4=2,4=；，所以。so%>2+2x49=100,a50l>50<2+2x49+^x48=112,故B正確;

1+1a+b1

又〃計(jì)1+"+1=〃拉+2+一T-=(nn)1+^7

M"ah

2

+%)-=(%+b)1+--2%+2+l

所以（4+i=(a?+bn)

a?b?a,"

所以（4，+1+2+1『=（a“+b“y==（/+（『=25

aaba

?+A,+i??A4

所以回土出"na50+%,=*扃貳，故C正確；

她042

（1,

%+i-4+1=（么一%）1+-T

所以（%-%）2=（%-2）［+=（%-￡）2.5A1

Ianbn）a?b?

叩（?！?1一2+1）2（%一2）==（。|—4）2「9

%+色+1他aa4

所以砥。一%）|=9^^菰＞9乂9=15,故D錯(cuò)誤.

故選：D.

3.（2022?河南?模擬（理））在數(shù)列｛q｝中，q=32（彳＜0）,%+22"=a"+2儲(chǔ)+、且對(duì)任意機(jī)，〃eN*,

—?jiǎng)t實(shí)數(shù)2的取值范圍是（）

anI。）

【答案】A

n+i1

［解析］an+i+2丸〃=%+2X"+i=>an+l—2A=cin—2儲(chǔ)=???=ax—22=3A—22=A

=an=2X'+A.

?「4=3X<0,且對(duì)任意九￡N*,」￡（Z，6］,故。<0,

?！ǎ?）

2

a2=22+2<0,.，?％e,止匕時(shí)對(duì)任意〃￡N*,〃〃w0.

ii

2n-1

當(dāng)一］<幾<0時(shí)，0<|2|<-,%=憶「"+%>%，a2?_1^-2|A|+Z<2,

由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性知，｛4｝的偶數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞減，奇數(shù)項(xiàng)單調(diào)遞增，且％,

故｛%｝的最大值為4=2%+2,最小值為％=32,

a%22+1a,3

由題意，Nm的最大值及最小值分別為上=^^和‘

anq3%2%+1

.24+113,左力/日1.八

由一~一>:及—;―7<6，斛得-7</<。?

3622+14

綜上所述，4的取值范圍為［-；,。］

故選：A.

4.（2022?江蘇?南京師大附中模擬）若數(shù)列｛%｝滿足：對(duì)Vi,/eN*,若i<j,則q,稱數(shù)列｛%｝為“鯉

魚躍龍門數(shù)列”下列數(shù)列｛4｝是“鯉魚躍龍門數(shù)列”的有（）

2

A.an=w-4n+1B.an=C.an=sinrm

【答案】BD

【解析】對(duì)于A,不妨取i=l</=3,但％=-2=%,不滿足故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,=1一一二對(duì)M/wN*,若，</，則」

〃+2〃+2i+2j+2

貝1J1一萬/<1一1衛(wèi),即《<%?,故B正確；

對(duì)于C,不妨取i=2<j=4，但。2=。=4，不滿足《<%,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,an=In—=ln（l一一二），對(duì)ViJcN*,若，<九則」

1~9

貝）1一」7<1-~~\故1口（1一」--^―）,gpat<aj,故D正確；

i+lj+li+lj+\

故選：BD

5.（2022?江蘇泰州?模擬）己知數(shù)列｛%｝滿足弓=1,-------=a?（/2eNT前〃項(xiàng)和為S“，貝U（）

一%%

A.an>1Caw100、<—cuD.S<n

【答案】BCD

【解析】由％=1知，A錯(cuò);

-------——+%,4=1>0,a>0f

aa

n+ln

〃=1時(shí)，5=1；

〃之2時(shí)，Sn=a{+a2-\-----an<ax+ax-\------a{=nfD對(duì);

7-11.

=4+2-1-->+2,

\2

111

9—<3

=%+2+W'..[tian，

7

匕"-I),/<3〃一2,”>1

2

11111

“22時(shí),-I-<<―/:,>-1———1之------,BX't

A/3/7-2yj2n-]V6066-2J'60641012

12

，C對(duì).

故選：BCD

6.(2022?重慶市求精中學(xué)校一模)設(shè)｛4｝是無窮數(shù)列，若存在正整數(shù)鼠使得對(duì)任意“eN*,均有％+*>%,

則稱｛%｝是間隔遞增數(shù)列，k是｛4｝的間隔數(shù).則下列說法正確的是()

A.公比大于1的等比數(shù)列一定是間隔遞增數(shù)列

B.已知乙=〃+?,則｛4“｝是間隔遞增數(shù)列

n

C.已知%=2〃+(-1)",則｛%｝是間隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是2

D.己知%=/-5+2021,若｛?！埃情g隔遞增數(shù)列且最小間隔數(shù)是3,貝U4Wf<5

【答案】BCD

【解析】〃，左wN*.

1

對(duì)A,設(shè)也｝公比為4,貝IJan+k-an=-W'T=-1),因?yàn)閝>1,所以q-(二一1)>0,若%<0,

則an+k-an<0,不是間隔遞增數(shù)列.A錯(cuò)誤；

(4\(4、+JctT一4

對(duì)B,an+k-an=\n+k+---n+-\=k--~--,易得《")="+初一4是遞增數(shù)列，貝心(1)=左一3,

所以k>3時(shí)，?｝一定是間隔遞增數(shù)列.B正確；

對(duì)C,。”一。“=2(〃+%)+(-1)""一[2〃+(-1)[=24+(-1)"[(一琰一1],

“為奇數(shù)時(shí)，an+k-an,顯然％=1時(shí)，an+k-an>0,

”為偶數(shù)時(shí)，氏+上-。“=2/+[(-以-1],顯然左=2時(shí)，a.+「a”>0.C正確；

對(duì)"D,a,.—=(〃+4—r(w+Z^)+2021—廣一tn~\-2021)=2kn+k~—tk>0對(duì)〃cN*恒成貝！I

2左+左2—很>0恒成立，因?yàn)樽钚￠g隔是3,所以2上+左2-很>0即左>/一2對(duì)于左23恒成立，且上W2時(shí),

k<t-2,于是4W/<5.D正確.

故選：BCD.

7.（2022?上海?模擬）若數(shù)列｛%｝滿足?！?1=242,存在MeR,對(duì)任意”eN*,使得1*<加，則%022的取

值范圍是.

【答案】0,1

【解析】由題意得，當(dāng)心2時(shí)，??>0,而am=2*，收=2".，

IanI

①當(dāng)。”>3時(shí)，儲(chǔ)>1,｛|%|｝為遞增數(shù)列，且當(dāng)〃趨向于無窮大時(shí)，為趨向于無窮大，故不合題意，

②當(dāng)時(shí)，，*41,此時(shí)當(dāng)〃趨向于無窮大時(shí)，。“趨向于0,符合題意，

故答案為：04

8.（2022?上海?復(fù)旦附中模擬）已知｛《｝是各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，且4=3,%=8,對(duì)任意％wN*,

ak+\=ak+1與%+1=g%+2有且僅有一個(gè)成立,則a\+出+…+。7的最小值為.

【答案】20

【解析】由已知/￡N*(i=2,3,4,5,6),所以4=2,3,4,5,6),

若4=1(1=23,4,5,6),,因?yàn)椋0,所以q—0_戶1,故%1=2《=2,

所以q+4+i23,

(1)若“2=1，則%=2,

當(dāng)。4=1時(shí),%=2,若“6=1，則〃7=2,與條件相矛盾，

當(dāng)包=1時(shí)，%=2,若4=2,則%=4,與條件相矛盾，

當(dāng)包=1時(shí)，%=2,若。6=3,則為可以取8,此時(shí)%+%+~+%=20,

當(dāng)。4=2時(shí)，%=4,又。621,則q+%+…+%>21,

當(dāng)包?3時(shí)，a5+々623,則%+%H—+>20,

(2)若。2=2,則g=4,貝lj/24,則％+。2~1----F%221,

(3)若。2=3,貝?。?=6,則。4+。5+。6?4,則%+%+…+%224,

(4)若出》4,貝IJ/+%+〃5+〃626,貝ljq+〃2+…+〃7221,

所以q+4+…+%的最小值為20.

故答案為：20

9.(2022?北京海淀?二模)在現(xiàn)實(shí)世界，很多信息的傳播演化是相互影響的.選用正實(shí)數(shù)數(shù)列｛%｝,｛2｝分

別表示兩組信息的傳輸鏈上每個(gè)節(jié)點(diǎn)處的信息強(qiáng)度，數(shù)列模型：a?+1=2a?+bn,bn+i=an+2bn(?=1,2L),描

述了這兩組信息在互相影響之下的傳播演化過程.若兩組信息的初始信息強(qiáng)度滿足%>4,則在該模型中，

關(guān)于兩組信息，給出如下結(jié)論：

@VneN*,a?>bn-

②也cd；

使得當(dāng)〃〉上時(shí)，總有