期末復(fù)習(xí)必考解答壓軸題（23大題型）

＞題型梳理

【題型1無理數(shù)的估算】.......................................................................1

【題型2與實數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究】..............................................................6

【題型3與實數(shù)有關(guān)的應(yīng)用】..................................................................10

【題型4求一元一次不等式（組）中參數(shù)】.....................................................13

【題型5解特殊不等式組】....................................................................20

【題型6一元一次不等式（組）的應(yīng)用】.......................................................25

【題型7巧用事的逆向運算】..................................................................30

【題型8利用暴的運算比較大小】.............................................................35

【題型9整式乘法中不含某項問題】...........................................................37

【題型10多項式乘法中的規(guī)律性問題】.........................................................42

【題型11巧用乘法公式求值】..................................................................48

【題型12乘法公式的幾何背景】...............................................................54

【題型13利用拆項或添項進(jìn)行因式分解】.......................................................61

【題型14因式分解的應(yīng)用】....................................................................65

【題型15利用分式性質(zhì)求值問題】.............................................................71

【題型16與分式有關(guān)的材料題】...............................................................76

【題型17由分式方程解的情況求值】...........................................................83

【題型18分式方程的實際應(yīng)用】................................................................89

【題型19相交線中的旋轉(zhuǎn)問題】...............................................................94

【題型20相交線中的角度綜合問題】..........................................................104

【題型21平行線中的輔助線構(gòu)造】.............................................................109

【題型22平行線中的定值問題】...............................................................119

【題型23平行線中的角度綜合問題】..........................................................130

?舉一反三

【題型1無理數(shù)的估算】

【例1】(24-25七年級?廣西玉林?期中)閱讀材料：

大家知道魚是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此魚的小數(shù)部分我們不可能全部寫出來，于是小明

用四一1來表示血的小數(shù)部分，你同意小明的表示方法嗎？

事實上，小明的表示方法是有道理的，因為魚的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部

分.

又例如：因為四<V7<V9,即2<V7<3,所以V7的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為V7—2.

請解答下列問題：

(1)后的整數(shù)部分是，小數(shù)部分是;

(2)如果的小數(shù)部分為a,何的整數(shù)部分為6,求a+b—VH的值；

(3)已知12+逐=2爪+n,其中m是整數(shù)，且0<n<l,求小一九的相反數(shù).

【答案】(1)4,V23-4

⑵3

(3)V5-9

【分析】本題考查了無理數(shù)的估算，正確掌握無理數(shù)的估算方法是解此題的關(guān)鍵.

(1)估算出4<后<5,即可得出答案；

(2)估算出3<后<4,6<V37<7,即可得出a、b的值，代入進(jìn)行計算即可；

(3)估算出2(而<3,得出14<12+而<15,從而得出小、n的值，計算即可得出答案.

【詳解】(1)解：16<23<25,

???V16<V23<V25,即4<歷<5,

???聞的整數(shù)部分是4,小數(shù)部分是何-4,

故答案為：4,V23—4；

(2)解：v9<13<16,

???V9<V13<V16,即3<VU<4,

;a=V13—3,

-.-36<37<49,

???V36<V37<V49，即6<歷<7,

b—6,

■■a+b-V13=V13-3+6-V13=3；

(3)解：?--4<5<9,

?1?V4<V5<V9,即2<店<3,

???14<12+V5<15.

12+V5=2m+n,其中"?是整數(shù)，且0<n<l,

■?.m=7,n=12+V5-14=V5—2,

.?.m—n=7—(V5—2)=9—V5,

■■■m-n的相反數(shù)為而-9.

【變式1-1](24-25七年級?陜西延安?期中)大家知道&是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此立

的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，于是小明用四一1來表示魚的小數(shù)部分，事實上，小明的表示方法是

有道理的，因為71<近<四，所以四的整數(shù)部分是1,將這個數(shù)減去其整數(shù)部分，差就是小數(shù)部分.

請根據(jù)上述材料解答：

(1)已知3a+2的立方根是2,6是舊的整數(shù)部分，求—a+2b的平方根；

(2)已知10+遮=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,請你求出久-y的值.

【答案】(1)±2

(2)14-V5

【分析】本題考查了立方根的定義、無理數(shù)的估算、平方根的定義，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解

此題的關(guān)鍵.

(1)先根據(jù)立方根的定義求出a=2,估算出眄<相<VI石得出6=3,求出一a+2b的值，再根據(jù)平方

根的定義求解即可；

(2)先求出y=V^—2,再求出乂=12,代入所求式子即可得解.

【詳解】(1)解：?；3a+2的立方根是2,

.t.23=3a+2,

解得a=2,

???V9<V13<V16,

???相的整數(shù)部分是3,

???b=3,

:.—CL+2b=—2+2x3=4,

???4的平方根為土2,

—a+2b的平方根為±2；

(2)解：???10+f=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,而2<遮<3,

■'■y=V5—2,

.-.10+V5=x+V5-2,

?,?%=12,

:.X-y=12—(通-2)=14—遮，則X—y的值為14-V5.

【變式1-2](24-25七年級?遼寧鞍山?階段練習(xí))閱讀下面的文字，解答問題：

(一)大家知道但是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此血的小數(shù)部分我們不可能全部地寫出來，

于是小明用魚一1來表示位的小數(shù)部分.

例如：V4<V7<V9,即2<夕<3,.?.V7的整數(shù)部分為2,小數(shù)部分為77—2.

(1)如果店的小數(shù)部分為a,而的整數(shù)部分為6,貝必=，b=.

(2)已知a是后的整數(shù)部分，b是它的小數(shù)部分，求。3+(6一”①的平方根.

(二)據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有道智力

題：一個數(shù)是59319,希望求它的立方根，華羅庚脫口而出：39.鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙.

你知道華羅庚是怎樣迅速準(zhǔn)確地計算出來的嗎？請按照下面的問題試一試：

(1)由13=1,103=1000,1003=1000000,能確定打59319是兩位數(shù);

(2)由59319的個位上的數(shù)是9,能確定W59319的個位上的數(shù)是9；

(3)如果劃去59319后面的三位319得到數(shù)59,而33=27,43=64,由此你能確定W59319的十位上的數(shù)

是3；

(4)已知110592是整數(shù)的立方，按照上述方法，請你直接寫出：V110592=.

【答案】(一)(1)迷一2,3；(2)±6；(-)48

【分析】本題主要考查了無理的估算，求一個數(shù)的立方根，平方根，實數(shù)的混合運算等知識，讀懂題意是

解題的關(guān)鍵.

(一)(1)根據(jù)無理數(shù)的估算方法估算即可.

(2)先根據(jù)無理數(shù)的估算法則得出a,6的值，再代入式子計算出a3+(6-師的值，最后再求平方根

即可.

(二)根據(jù)舉例的方法求一個數(shù)的立方根即可.

【詳解】解：（一）（1）?.?22=4<5<9=32,

.?,2<V5<3,

■,■a-V5—2,

??-32=9<13<16=42

??3<V13<4,

：.b=3

(2)v32=9<10<16=42,

.-.3<V10<4,

.,.a=3,b=V10—3,

.-.a3+(b-V10)=33+(VT0-3-V10)=33+9=36,

7

.-.a3+(b-V10)的平方根為±6.

(二)由1。3=1000,1003=1000000,而1000<110592<1000000,

則110592的立方根也是兩位數(shù)；

由110592的個位數(shù)字是2,因此可知110592的個位數(shù)字為8,

劃去110592后面的三位592得到數(shù)110,而43=64,53=125,

由此可以確定義110592的十位數(shù)字為4

所以110592的立方根，即W110592=48.

【變式1-3](24-25七年級?福建福州?期中)閱讀材料中

四是無理數(shù)，而無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，因此好的小數(shù)部分不能全部寫出來，但由于1〈魚<2,所以應(yīng)

的整數(shù)部分為1,將魚減去其整數(shù)部分1，差就是小數(shù)部分，其小數(shù)部分為魚一1.

(1)己知9+逐=久+了,其中x是整數(shù)，且求7-y的值;

閱讀材料2.

小李同學(xué)探索71^7的近似值的過程如下：

,??面積為167的正方形的邊長是71而且12<V167<13,

.??可設(shè)VI而=12+x,其中畫出示意圖，如圖所示.根據(jù)示意圖，可得圖中正方形的面積

S正方形=122+2X12%+%2；又；S正方形=167,.'.122+2x12%+%2=167.由0</<1,可忽略/,得

144+24x=167,得到久~0.96,即VW笈12.96.

(2)仿照材料2中的方法，探究解答國的近似值.(要求：畫出圖形，標(biāo)明數(shù)據(jù)，結(jié)果保留兩位小數(shù))

【答案】(1)9-V5；(2)畫圖見解析，V230?15.17

【分析】本題主要考查了無理數(shù)的估算，掌握無理數(shù)估算方法是解題的關(guān)鍵.

(1)首先估算出11<9+乃<12,然后求出x=11,y=9+V5-ll=V5-2,然后代入7—y求解即可.

(2)仿照題意畫出示意圖進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：(1)：4<5<9

.-.2<V5<3

.-.11<9+V5<12

??19+V5=x+y,其中x是整數(shù)，且0<y<l,

.-.%=11,y=9+V5-11=V5-2

??-7—y=7—(V5—2)=9—V5；

(2)vlS<V230<16,

???可設(shè)后5=15+x,其中0<x<l,畫出示意圖，如圖所示，

根據(jù)示意圖，可得圖中正方形的面積S正方形=152+2x15%+%2,

又「S正方形=230,

.,.152+2x15x+/=230,

由/<1,可忽略了,

??.225+30%?230,得到久仁0.17,即夜而215.17.

【題型2與實數(shù)有關(guān)的規(guī)律探究】

【例2】(24-25七年級?安徽合肥?期中)先觀察下列等式，再回答問題:

①J1+卷+/=1+：②小+專+專=1+冷；③小+專+Ai+H

（1）請寫出第④個等式：

（2）猜想第n個等式：；（用含〃的式子表示）

（3）根據(jù)上述規(guī)律計算：Jl+*+++Jl+J+I+Jl+J+I+-+J1+P高

【答案】（l）Jl+]+]=l+:—"

（2）Ji+《+恐=1+5T

⑶…T

【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，掌握題干規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵.

（1）觀察所給的幾個等式直接寫出第④個等式即可；

（2）觀察所給的幾個等式的規(guī)律直接寫出第〃個等式即可；

（3）根據(jù)（2）中規(guī)律化簡即可.

【詳解】⑴解：:①J1+0+*=1+1—卜②Jl+1+>1+9"；③J1+++2=1+卜卜

11111

1+-+--+--

根據(jù)以上規(guī)律可得第④個等式是:4-5

4252

(2)解：根據(jù)以上規(guī)律可得第力個等式是：

qn2+(n+1)2nn+i

(3)解：/1+—+—+11+—+—+11+—+—+???+/1+—+————

q1222q22丁32q32丁42q九2丁(n+iy

/i111111111\

=(1+1+1+1...+1)+(彳一不+不一不+三一7+…+---7_—+—---I

)7\122334H—1nnn+1/

.(1

=n+1-^T

【變式2-1]（24-25七年級?廣東東莞?階段練習(xí)）（1）填表:

a0.0000010.00010.01110010000

0.0010.1100

（2）利用上表中的規(guī)律，解決下列問題：已知份=1900,V361=19,貝必的值為_；

（3）當(dāng)aN0時，比較6和a的大小.

【答案】（1）填表見解析；（2）3610000；（3）當(dāng)0<a<l時，歷>a；當(dāng)a>l時，歷<a；當(dāng)a=0

或a=1時，=a；

【分析】本題考查了實數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根的規(guī)律探究，弄清題中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)算術(shù)平方根的含義填表即可；

(2)根據(jù)表格得出規(guī)律，再利用得出的規(guī)律求出。的值即可；

(3)分類討論。的范圍，再比較大小即可.

【詳解】解：(1)填表如下：

a0.0000010.00010.01110010000

0.0010.010.1110100

(2)觀察表格可得規(guī)律：當(dāng)被開方數(shù)a的小數(shù)點向左或向右移動2位，它的算術(shù)平方根的小數(shù)點相應(yīng)地向

左或向右移動1位；

"Va=1900,V361=19,

即從19到1900小數(shù)點向右移動2位，則a的小數(shù)點向右移動了4位

.??a=3610000；

(3)根據(jù)題意得：當(dāng)0<a<l時，Va>a；

當(dāng)a>1時，Va<a；

當(dāng)a=0或a=1時，Va=a

【變式2-2](2025七年級?全國?專題練習(xí))觀察下列規(guī)律回答問題：

V-0.001=-0.1,=-i,V-iooo=-io,Wool=o.i.VT=l/Viooo=io,…

(i)Vo.oooooi=,Vioe=；

(2)已知g=1.587,若近=—0.1587,用含尤的代數(shù)式表示y,則丫=；

(3)根據(jù)規(guī)律寫出正與a的大小情況.

【答案】⑴0.01,100

⑵―1000

(3)當(dāng)一1<a<0或a>1.時，y/a<a；當(dāng)a=—1或a=1或a=。時，\[a—a-,當(dāng)a<—1或0<a<1時，

Va>a

【分析】此題考查了立方根的求解與規(guī)律歸納能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運用該知識進(jìn)行正確地計算、歸

納.

(1)根據(jù)立方根的概念進(jìn)行求解、歸納；

(2)運用(1)題規(guī)律進(jìn)行求解；

（3）根據(jù)題目中求立方根的結(jié)果進(jìn)行規(guī)律歸納.

【詳解】（1）解：（1）VU麗麗1=0.01；loo；

按上述規(guī)律，被開方數(shù)小數(shù)點向右（或左）移三位，則所得數(shù)的小數(shù)點向右（或左）移一位，

故答案為：0.01、100；

（2）已知7^=1887,若行=—0.1587,用含x的代數(shù)式表示y,則丫=—就^，

故答案為：

（3）???V-0.001=-o.i,=-1,V-iooo=-io,Vo.ooi=o.i,VT=i,Viooo=io...

???VH與a的大小情況為：

當(dāng)一1<a<0或a>1時，Va<a；

當(dāng)a=-1或a=1或a=。時，y/a=a；

當(dāng)a<—1或0<a<1時，\[a>a.

【變式2-3]（24-25七年級?甘肅隴南?階段練習(xí)）觀察下列一組算式的特征及運算結(jié)果，探索規(guī)律：

第1個等式：Vl2-2xlxl+12=VO=0；第2個等式：V22-2x2x1+12=V1=1；第3個等式:

732-2x3x1+12=74=2；第4個等式：,42—2x4x1+12=7^=3；...

規(guī)律發(fā)現(xiàn)：

（1）根據(jù)上述規(guī)律，直接寫出下列算式的值：

①〃52—2x5x1+12=；

（2）V1012-2xl01xl+12=.

（2）用含n（n為正整數(shù)）的代數(shù)式表示出第九個等式：.

（3）根據(jù)上述規(guī)律計算：

J12-2X1X1+12-722-2x2x1+12+732-2x3x1+12-742-2x4x1+12

+……+,20252—2x2025x1+仁-V20262-2x2026x1+12

【答案】（1）①4；@100

（2）Vn2—2xnxl+l2=yj（n—I）2=n—1

（3）—1013

【分析】本題考查了算術(shù)平方根、數(shù)字類規(guī)律探索，正確得出規(guī)律考出—2XnX1+12=7（n-l）2=n-l

是解此題的關(guān)鍵.

(1)①根據(jù)己知算式得出規(guī)律，即可得出答案；②根據(jù)己知算式得出規(guī)律，即可得出答案;

(2)根據(jù)已知算式得出規(guī)律，即可得出答案；

(3)根據(jù)V根—2X-X1+12=^(n—1)2-n—1,計算即可得出答案.

【詳解】(1)解：①由題意得：V52—2x5x1+12=J(5—1)2=4；

②,1012—2x101x1+12=V1002=100；

(2)解：第1個等式：V12-2x1x1+12=^/(i_i)2=VO=0；

第2個等式：722-2x2x1+12=J(2—1尸=VT=1；

第3個等式：＜32-2x3x1+12=43—1)2=V4=2；

第4個等式：V42-2x4x1+12=7(4-1)2=炳=3；

第5個等式：752-2x5x1+12=7(5-I)2=V16=4；

第九個等式：Vn2—2xnxl+l2--yj(n—l)2=n—1；

(3)解:“2—2x1x1+12-V22-2x2x1+12+V32-2x3x1+12-V42-2x4x1+12+-+

V20252-2x2025x1+12-V20262-2x2026x1+12=0—1+2-3+4-5+…+2024-2025

=(0-1)+(2-3)+(4-5)+…+(2024-2025)

=_1+(_1)+(_1)d—+(-1)

=-1013.

【題型3與實數(shù)有關(guān)的應(yīng)用】

【例3】(2023?四川攀枝花?中考真題)2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊進(jìn)行決賽階段的比賽.決賽階

段分為分組積分賽和復(fù)賽.32支球隊通過抽簽被分成8個小組，每個小組4支球隊，進(jìn)行分組積分賽，分

組積分賽采取單循環(huán)比賽(同組內(nèi)每2支球隊之間都只進(jìn)行一場比賽)，各個小組的前兩名共16支球隊將

獲得出線資格，進(jìn)入復(fù)賽；進(jìn)入復(fù)賽后均進(jìn)行單場淘汰賽，16支球隊按照既定的規(guī)則確定賽程，不再抽簽,

然后進(jìn)行!決賽，［決賽，最后勝出的4支球隊進(jìn)行半決賽，半決賽勝出的2支球隊決出冠、亞軍，另外2支

球隊決出三、四名.

(1)本屆世界杯分在C組的4支球隊有阿根廷、沙特、墨西哥、波蘭，請用表格列一個C組分組積分賽對陣表

(不要求寫對陣時間).

（2）請簡要說明本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？

（3）請簡要說明本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了多少場比賽？

【答案】（1）C組分組積分賽對陣表見解答過程；

（2）本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了7場比賽；

（3）本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了64場比賽.

【分析】（1）根據(jù)同組內(nèi)每2支球隊之間都只進(jìn)行一場比賽列表即可；

（2）冠軍阿根廷隊分組積分賽踢了3場，!決賽，"決賽，半決賽，決賽又踢了4場，即可得到答案；

（3）分組積分賽48場，5決賽一共8場，；決賽一共4場，半決賽2場，冠、亞軍決賽和三、四名決賽各1

O4

場，相加即可.

【詳解】（1）c組分組積分賽對陣表：

阿根廷沙特墨西哥波蘭

阿根廷阿根廷：沙特阿根廷：墨西哥阿根廷：波蘭

沙特沙特：阿根廷沙特：墨西哥沙特：波蘭

墨西哥墨西哥：阿根廷墨西哥：沙特墨西哥：波蘭

波蘭波蘭：阿根廷波蘭：沙特波蘭：墨西哥

（2）冠軍阿根廷隊分組積分賽踢了3場，!決賽，"決賽，半決賽，決賽又踢了4場，

二一共踢了3+4=7（場），

本屆世界杯冠軍阿根廷隊在決賽階段一共踢了7場比賽；

（3）分組積分賽每個小組6場，8個小組一共8X6=48（場）；

《決賽一共8場，:決賽一共4場，半決賽2場，冠、亞軍決賽和三、四名決賽各1場；

O4

-■共踢了48+8+4+2+1+1=64（場）；

?-?本屆世界杯32支球隊在決賽階段一共踢了64場比賽.

【點睛】本題考查數(shù)學(xué)在實際生活中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，理解世界杯比賽的對陣規(guī)則.

【變式3-1］（24-25七年級?河南周口?階段練習(xí)）座鐘的擺針擺動一個來回所需的時間稱為一個周期，其計

算公式為7=2'其中7表示周期（單位：s）,/表示擺長（單位：m）.假如一臺座鐘的擺長為

0.2m.(7取3,g=9.8m/s2)

（1）求擺針擺動的周期.

（2）如果座鐘每擺動一個來回發(fā)出一次滴答聲，那么在6分鐘內(nèi)，該座鐘大約發(fā)出了多少次滴答聲？

【答案】（琮

（2）該座鐘大約發(fā)出了420次滴答聲

【分析】（1）將數(shù)據(jù)代入函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)行計算即可；

（2）用總時間除以一個周期的時間進(jìn)行計算即可.

【詳解】（1）解：仃=？兀

:.當(dāng)I—0.2m時，T=2x3—63f；

79.8q497

（2）6x60+9=420（次）.

答：該座鐘大約發(fā)出了420次滴答聲.

【點睛】本題考查求實數(shù)運算的實際應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題型，正確的計算，是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2]（24-25七年級?全國?課后作業(yè)）將一個半徑為10cm的圓柱體容器里的藥液倒進(jìn)一個底面是正

方形的長方體容器內(nèi)，如果藥液在兩個容器里的高度是一樣的，那么長方體容器的底面邊長是多少？（結(jié)

果精確到0.1）

【答案】17.7cm

【分析】由題意得，圓柱體和長方體里面的藥液是一樣的，所以體積相同，根據(jù)高度一樣，結(jié)合體積公式

可得兩個容器底面積相等，列出式子求出即可.

【詳解】解：由題意得兩個容器底面積相等，所以體積相同，再根據(jù)體積公式可得兩個容器的底面積相等,

即正方形面積為兀xl（）2=]00兀

設(shè)長方體容器底面邊長為X

■,■X2=1007t

■,?x=V1007r

長方體容器底面邊長為VI而元=17.7cm.

答：長方體容器的底面邊長約為17.7cm.

【點睛】本題主要考查了實數(shù)的實際應(yīng)用，能夠得出底面積相等，列出方程，準(zhǔn)確的解出方程是解決本題

的關(guān)鍵.

【變式3-3]（24-25七年級?重慶?階段練習(xí)）我們知道，每個自然數(shù)都有正因數(shù)，將這個自然數(shù)的所有正奇

數(shù)因數(shù)之和減去所有正偶數(shù)因數(shù)之和，再除以這個自然數(shù)所得的商叫做這個自然數(shù)的“完美指標(biāo)".例如：10

的正因數(shù)有1,2,5,10,它的正奇數(shù)因數(shù)是1,5,它的正偶數(shù)因數(shù)是2,10.所以10的“完美指標(biāo)”是:

[(1+5)—(2+10)]+10=—|.我們規(guī)定，若一個自然數(shù)的“完美指標(biāo)”的絕對值越小，這個數(shù)就越“完

美”.例如：因為6的“完美指標(biāo)”是[(1+3)—(2+6)]+6=—|,沒有正偶數(shù)因數(shù)，7的“完美指標(biāo)”是

(1+7)-7=|,M|-||<|||,所以6比7更“完美”.

根據(jù)上述材料，求出18,19,20,21這四個自然數(shù)中最“完美”的數(shù).

【答案】18.

【分析】根據(jù)題意把一個自然數(shù)a所有正奇數(shù)因數(shù)之和減去所有正偶數(shù)因數(shù)之和，再除以這個自然數(shù)a所得

的商，即可求自然數(shù)的“完美指標(biāo)”，“完美指標(biāo)”絕對值越小，就說這個數(shù)越“完美”即可求解.

【詳解】解：18的正因數(shù)有1、2、3、6、9、18,其中1、3、9是正奇數(shù)因數(shù)，

18的完美指標(biāo)為[(1+3+9)—(2+6+18)]18=——；

19的正因數(shù)有1、19,其中1、19是正奇數(shù)因數(shù)，

19的完美指標(biāo)為(1+19)+19=皆，

20的正因數(shù)有1、2、4、5、10、20,其中1、5是正奇數(shù)因數(shù)，

20的完美指標(biāo)為[(1+5)-(2+44-104-20)]+20=—了

21的正因數(shù)有1、3、7、21,其中1、3、7、21是正奇數(shù)因數(shù)，

21的完美指標(biāo)為(1+3+7+21)+21=并

所以四個自然數(shù)中最“完美”的數(shù)是18.

【點睛】本題考查了有理數(shù)的混合運算，解決本題的關(guān)鍵是理解題意.

【題型4求一元一次不等式(組)中參數(shù)】

【例4】(24-25七年級?河南信陽?期末)我們定義：如果兩個一元一次不等式有公共解(兩個不等式解集

的公共部分)，那么稱這兩個不等式互為“云不等式”，其中一個不等式是另一個不等式的“云不等式”.

(1)在不等式①3x—5<0,@x>1,③x—(3x—1)<—5中，不等式xW1的“云不等式”是

_____________.(填序號)

(2)若a芋—2,若關(guān)于X的不等式2x+422a與不等式ax—2<a—2%互為“云不等式”，求a的取值范圍.

【答案】⑴①②

(2)a<—2或—2Va<3

【分析】(1)分別解出每個不等式，再求出其與不等式％41的公共解，最后由“云不等式”的定義判斷即可；

(2)解不等式2%+4N2a,得％Na—2.由不等式a%—2<a—2%,得(a+2)%<a+2.再分類討論：①

當(dāng)@+2>0即@>一2時，％Vl和②當(dāng)a+2vO,即。<一2時，%>1結(jié)合“云不等式”的定義求解即可.

【詳解】(1)解不等式①得：%<|,

二一元一次不等式3x—5<0和一元一次不等式x<1有公共解為：x<1,

.??03%-5<0是不等式x<1的“云不等式”；

一元一次不等式X>1和一元一次不等式X<1有公共解為：X=1,

②X>1是不等式X<1的“云不等式”：

解不等式③得：久>3

二一元一次不等式x—(3尤—1)<—5和一元一次不等式％<1沒有公共解，

.?.③x—(3%—1)<—5不是不等式x<1的“云不等式

故答案為：①②；

(2)由2x+4>2a得：x>a—2,

由ax—2<a—2x得：(a+2)x<a+2,

分類討論：①當(dāng)a+2>0即a>—2時，%<1.

???其與x>a-2互為“云不等式”，

??CL—2V1,

解得：a<3.

*,*—2<a<3；

②當(dāng)a+2<0,即a<—2時，x>1.

此時與x>a-2一定互為“云不等式”

綜上所述，當(dāng)a<—2或—2<a<3時，兩不等式互為“云不等式”.

【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組，由不等式組的解集情況求參數(shù).理解“云不等式”的定義和掌握

求不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小大小中間找，大大小小找不到“是解題關(guān)鍵.

【變式4-1](24-25七年級,湖南長沙,期末)我們約定：不等式組m<x<n,m<x<n,m<x<n,m<x<n

的“長度”均為d=n—(m<n),不等式組的整數(shù)解稱為不等式組的“整點”.例如：一2<xW2的“長度”

d=2—(―2)=4,“整點”為久=—1,0,1,2.根據(jù)該約定，解答下列問題:

(1)不等式組｛合二彳^音的“長度”d=;“整點”為

1<<

X-

-1

(2)若不等式組3<-2的“長度”d=2,求Q的取值范圍；

-2

f1<x<3

(3)若不等式組\a<x<-a+2的"長度'd=I，此時是否存在實數(shù)m使得關(guān)于y的不等式組｛武士屋爆

恰有4個“整點”，若存在，求出〃?的取值范圍；若不存在，請說明理由.

【答案】(1)2；x=—1,0

13

(2)。WT

(3)存在，1.5W巾<2.5

【分析】本題考查解一元一次不等式組及求不等式組的整數(shù)解，正確理解“長度”與“整點”的定義，并分類討

論是解題關(guān)鍵.

(1)先解不等式組，求出不等式組的解集，根據(jù)d=n-6及“整點”的定義即可得答案；

1

(2)先整理不等式ax—3</+2得出(2a—l)x<10,分2a-1>0和2a-1<0兩種情況，根據(jù)d=2及

1<%<3列不等式完成不等式的解集即可得答案；

(3)分情況，根據(jù)d=?得出a值，得出不等式組嘉，用血表示不等式組的解集，根據(jù)恰有4個“整

點”列不等式組求出解集即可得答案.

【詳解】⑴解：｛笠t立豁

解不等式①得：%>-|,

解不等式②得：

二不等式組的解集為—?!<xWa

=整點為x=—1,0

故答案為：2；x=-1,0；

夫(1<%<3

⑵斛：_3VN+2

解不等式Q%-3V/+2得：(2a-l)x<10,

當(dāng)2a—1>0時，即a>［時,x<10,

vd=2,1<x<3,3—1=2,

解得：a<o

1,13

,■-i<a-^

iin

當(dāng)2a—l<0時，即a<5時，x>--

2za—1

'：d=2,1<%<3,3—1=2,

.?白W1,

解得，a<y,

1

???a<-

當(dāng)。=次寸，方程組解為：1WXW3,

滿足題意，

綜上所述：a的取值范圍aS葺.

(3)解：存在，理由如下：

1<%<3

1

a<%<—a+2

當(dāng)aW1<3W5a+2時，不等式的解集為1WxW3,

'-d=2,不符合d=5，

-1_-1

當(dāng)aW1V萬。+243時，不等式的解集為1<%<-a+2,

,：d=I，

弓a+2—l=|,

解得：a=1,

當(dāng)1<a<-a+2<3時，不等式的解集為a<%<-a+2,

i,_3

+2Q—a=-,

解得：a=1,

當(dāng)1Wa<3W義。+2，不等式的解集為。<%<3,

??r3—a=~3,

?2Q11II

解得：a=-,當(dāng)a=5時，5a+2=丁<3,不符合1<a<3V5a+2,

當(dāng)、+2<1或a>3,方程組無解，

綜上所述：a=l,

.[y+1>my+1>m

''kay—1<2m刃l(wèi)y—1<2m'

解不等式組｛『廣；]器得：m-l<y<2m+l,

?.?關(guān)于了的不等式組｛《±]爆恰有4個“整點”，

.,.3.5<2m+1—(m—1)<4.5,

解得：1.54mV2.5.

【變式4-2](24-25七年級?四川南充?期末)閱讀下面材料：

關(guān)于x的不等式?>l(a豐0)的所有解都滿足久>1,求a的取值范圍.

-----1-----1-----.^J>

-101a

解：>1,???當(dāng)avO時，x<a,當(dāng)a>0時，x>a.

???x的不等式;>1的所有解都滿足1>1,

：.a>1.

根據(jù)材料，完成下列各題：

(1)解關(guān)于X的不等式;

(2)關(guān)于x不等式號<￡—1的所有解都滿足不等式?<發(fā)求。的取值范圍.

>￡_1

(3)如果不等式組2Al332非負(fù)整數(shù)解的和為3,求a的取值范圍.

(—<2

【答案】(1)當(dāng)a<0時，%>|a；當(dāng)a>0時，%<

12

(2)0<a<—

(3)-<a<三或g<a<2

【分析】（1）分兩種情況討論解不等式即可;

（2）仿照閱讀材料解答即可;

（3）解每個不等式，然后仿照閱讀材料討論，由于不等式組非負(fù)整數(shù)解的和為3,貝必<0不合題意，于是

得到三種情況，分別求解即可.

【詳解】⑴解：?*<：,

???當(dāng)a<0時，x>-a,

當(dāng)a>0時，x<|a.

(2)

_5a—6

?'?X<---,

???關(guān)于x不等式號<三—1的所有解都滿足不等式;<

、△口5a—6.1

.,.a>。且一-—<-a,

,12

???a<

12

???0VQ工—;

年〉…

(3)解:?<l②

、

由①得,x>-5a—3l,

31

X<-a+>

由

得2

31

X>-a+<

2

???不等式組廠工1非負(fù)整數(shù)解的和為3,

丁<5

53

.■.a<0不合題意，-a—l<x<-a+1,

???非負(fù)整數(shù)解的和為3,

??.①非負(fù)整數(shù)解為0,1,2,

5

-

3

3

-c

2

/3

o<<

Ha-

解得

<-5無解

24

I<<

-a--

K33

②非負(fù)整數(shù)解為1,2,

5

o<a1<

-一

-3

3

2<+1<

-a-

2

6

<a<

5-

解-

4

<<

a--

3

③非負(fù)整數(shù)解為3,

2<-a-l<3

"3<^a+1<4

(91,12

.i-a<T

"j<a<2'

解得標(biāo)aW2,

綜上:<a<:或:<a<2.

【點睛】本題考查了一元一次不等式組的整數(shù)解，解一元一次不等式(組)，仿照閱讀材料的解題思路求

解是解題的關(guān)鍵.

+25

【變式4-3](24-25七年級?福建福州?期末)若點P(x,y)的坐標(biāo)滿足仔^y=b-S-

(1)若點Q的坐標(biāo)為(一2,—1),求a,b的值；

(2)若點P在第二象限，且符合要求的整數(shù)a只有五個，求6的取值范圍；

(3)若點P為不在久軸上的點，且關(guān)于z的不等式"+3%+15>0的解集為2<|,求關(guān)于t的不等式at<6的解

集.

【答案】⑴居或

(2)-1<b<0

(3)t<6

【分析】⑴解方程組得々二，當(dāng)X=—2,y=—1時，可得｛二之二:，解之即可得出答案；

(2)解方程組得c或二表由點尸在第二象限，得乃二看微，則6<a<5,由題意得出a=0,1,2,

3,4,得出一1W6<0即可；

(3)由⑴得甘或二發(fā)P(a—5,a—協(xié)由題意得出y=a—6#0,即a羊b,由不等式的解集得

號理=|可得6=6如a<b,求出a>0,解不等式即可.

【詳解】⑴解：解方程組仔:匕:留力/得：仁或二［

,?,點P的坐標(biāo)為(-2,-1)

北二之、，解得：

(2)???點》在第二象限,則｛二??；,

.,.a<5,a>b,

：.b<a<5,

???符合要求的整數(shù)〃只有五個，

.?.a=0,1,2,3,4；

:.—1Wb<0,

即b的取值范圍為一1工b<0；

(3)由(1)得：二彳，P(a—5,a—b),

??,點尸為不在X軸上的點，

?,.y=Q—bWO,即aWb,

Q

???關(guān)于Z的不等式y(tǒng)z+3x+15>0的解集為z<I，

???yz>—3(%+5),

1-tI_3(x+5)

■-y<o,貝！］z<--一,

—3(x+5)3

J-y—-5J

代入《二二］得：b=6a,且a<b,

.,.a<6a,

：.a>0,

,：at<b,

.，.t<a

At<6.

【點睛】本題是綜合題，考查了二元一次方程組的解法、點的坐標(biāo)特征、一元一次不等式組的解法等知識;

本題綜合性強，熟練掌握二元一次方程組的解法和一元一次不等式組的解法是解題的關(guān)鍵.

【題型5解特殊不等式組】

【例5】(24-25七年級?福建泉州?期末)閱讀下列材料：

我們知道因的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)萬對應(yīng)的點與原點的距離，即|x|=|x—0|,也就是說，|xi—冷|表示在

數(shù)軸上數(shù)句與數(shù)冷對應(yīng)的點之間的距離；

例1.解方程田=2,因為在數(shù)軸上到原點的距離為2的點對應(yīng)的數(shù)為±2,所以方程因=2的解為

x=±2.

例2.解不等式|無一1|>2,在數(shù)軸上找出比一1|=2的解(如圖)，因為在數(shù)軸上到1對應(yīng)的點的距離等

于2的點對應(yīng)的數(shù)為一1或3,所以方程|x—1|=2的解為x=—l或x=3,因此不等式打一1|>2的解集為

x<—1.或x>3.

參考閱讀材料，解答下列問題：

(1)方程|久+3|=5的解為」

(2)解不等式:\x-2\<3；

(3)解不等式：|%-4|+|x+2|>8.

-2-101234

【答案】(1)x=2或x=-8；(2)-l<x<5；(3)x>5或x<-3.

【分析】(1)利用在數(shù)軸上到-3對應(yīng)的點的距離等于5的點的對應(yīng)的數(shù)為2或-8求解即可；

(2)先求出|x—2|=3的解，再求出|x—2|W3的解集即可；

(3)先在數(shù)軸上找出|%—4|+|久+2|=8的解，即可得出|久一4|+比+2|>8的解集.

【詳解】解：(1)???在數(shù)軸上到-3對應(yīng)的點的距離等于5的點的對應(yīng)的數(shù)為2或-8

???方程+3|=5的解為x=2或x=-8

(2)???在數(shù)軸上到2對應(yīng)的點的距離等于3的點的對應(yīng)的數(shù)為-1或5

方程-2|=3的解為x=-l或x=5

??.|x-2|<3的解集為-1WXW5.

(3)由絕對值的幾何意義可知，方程|久一4|+|x+2|=8就是求在數(shù)軸上到4和-2對應(yīng)的點的距離之和等

于8的點對應(yīng)的x的值.

???在數(shù)軸上4和-2對應(yīng)的點的距離是6

二滿足方程的x的點在4的右邊或-2的左邊

若x對應(yīng)的點在4的右邊，可得x=5；若x對應(yīng)的點在-2的左邊，可得x=-3

???方程|x—4|+|x+2|=8的解為x=5或x=-3

.?.|x-4|+|x+2|>8的解集為x>5或x<-3.

故答案為(1)x=2或x=-8；(2)-l<x<5；(3)x>5或x<-3.

【點睛】本題考查了絕對值及不等式的知識.解題的關(guān)鍵是理解久21表示在數(shù)軸上數(shù)5與數(shù)尤2對應(yīng)的點

之間的距離.

【變式5-1](24-25七年級?湖北武漢?期末)記R(x)表示正數(shù)x四舍五入后的結(jié)果，例如

R(2.7)=3,R(7.11)=7R(9)=9

(1)R⑺=__,R?)=

(2)若—1)=3,則x的取值范圍是

(3)若R(曾2)=4則x的取值范圍是

【答案】(1)3,2；(2)7<x<9；(3)4.5<x<6.5

【分析】(1)根據(jù)R(x)定義法則即可得出答案

(2)根據(jù)R(x)定義法則可知括號內(nèi)的值的取值范圍，列出不等式求解可得；

(3)根據(jù)R(x)定義可列出含有R(x+2)的不等式組，進(jìn)而得出含有x的不等式組，即可得出答案

【詳解】解：⑴誨3.14

???R(7T)=3；

???V3x1,73

.,./?(V3)=2

即：R(7T)=3；R(遍)=2

(2)-R^x-1)=3,

.,12.5<|x—1<3,5

解得：7Wx<9

(3)?,%(寫生)=4

.-.3.5<<4.5

??.7<R(x+2)<9

???R(x+2)為整數(shù)

.?.R(x+2)=7或R(x+2)=8

.,.6.5<%+2<8.5

.,.4.5<x<6.5

【點睛】此題考查新定義運算中的不等式組，理解R(x)運算法則為解題關(guān)鍵

【變式5-2](24-25七年級?福建三明?期中)【閱讀思考】閱讀下列材料：

已知“x-y=2,且x>l,y<0,試確定x+y的取值范圍”有如下解法：

解：?.》-尸2,

■?■x—y+2

又「x>l

號+2>1

■■y>-1

又”<0

-l<y<0①

同理1cx<2@

由①+②得-l+l<x+y<0+2

???x+y的取值范圍是0<x+y<2

【啟發(fā)應(yīng)用】請按照上述方法，完成下列問題：

已知尤=3,且x>2,y<1,則x+y的取值范圍是」

【拓展推廣】請按照上述方法，完成下列問題：

已知x4^=2,且x>l,y>-4,試確定x-y的取值范圍.

【答案】(1)l<x+y<5；(2)0<x-y<lO.

【分析】(1)模仿材料