第45講拋物線

鏈教材夯基固本

激活思維

1.(人A選必一P132例1改)拋物線儼=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(D)

A.(0,2)B.(0,1)

C.(2,0)D.(1,0)

【解析】因?yàn)?p=4,p=2,所以々=1,所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0).

2.(人A選必一P133練習(xí)T3改)已知拋物線上一點(diǎn)/的縱坐標(biāo)為4,則點(diǎn)/到

拋物線焦點(diǎn)的距離為(D)

A.XB」

1616

C.6D.5

【解析】由題意知，拋物線的準(zhǔn)線方程為y=-1,所以由拋物線的定義知，點(diǎn)/到拋

物線焦點(diǎn)的距離為5.

3.(人A選必一P135例4改)已知直線/過(guò)拋物線x2=2加g>0)的焦點(diǎn)，且與拋物線

交于4B兩點(diǎn),若線段的長(zhǎng)是12,42的中點(diǎn)到x軸的距離是4,則此拋物線的方程是

(B)

A.X2—12yB.x2—8y

C.x2—6yD.x2—4y

【解析】設(shè)4gyi),B(xi,yi),則|4陰="+1+0=8+.=12,所以p=4,故拋物

線的方程為x2=8y.

4.(人A選必一P135例4改)已知拋物線爐=即與直線y=2x—2交于M,N兩點(diǎn)，若

上W中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則此拋物線的方程為上三基

tx2=ay,

【解析】聯(lián)立，消去y,得，-2ax+2a=0,則/=4層-8a>0.設(shè)M(xi,

y=2x―2,

力)，Ng/),則*2=—=3,即。=3,滿足/>0,因此所求拋物線的方程是N=3y.

5.(人A選必一P134例3改)已知拋物線產(chǎn)=28。>0)上一點(diǎn)M(3,。與焦點(diǎn)廠的距離

\MF\=p,則點(diǎn)M到坐標(biāo)原點(diǎn)0的距離為_(kāi)3近_.

【解析】拋物線產(chǎn)=20x的準(zhǔn)線為x=一由拋物線的定義得3—[—解得p=6,

所以拋物線的方程為/=12x.由點(diǎn)M(3,。在拋物線上，得i=36,所以由。|=4亞>=345,

所以點(diǎn)”到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離為3^5.

聚焦知識(shí)

1.拋物線的概念

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)廠和一條定直線/（/不經(jīng)過(guò)點(diǎn)切的距離一揖箜一的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線,

點(diǎn)方叫做拋物線的一焦點(diǎn),直線/叫做拋物線的_準(zhǔn)線」

2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

y2=2px(p>0)y2=~2px(p>0)x2=2py(p>0)x2^—2py(p>0)

標(biāo)準(zhǔn)方程

P的幾何意義：焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線/的星m離

1

X八_.r

圖形L_

中w*FTO]xx\x

KA/k\

11\11

對(duì)稱軸X軸y軸

4J。閭

焦點(diǎn)坐標(biāo)上。）「

_2pp

準(zhǔn)線方程X二=x=2y—~尸

2222

范圍x20,y￡RxWO,>￡RyWO,x￡R

開(kāi)口方向向右向左向上向下

研題型素養(yǎng)養(yǎng)成

舉題說(shuō)法

目幀U拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程

例1（1）（2025?金華一模）已知/為拋物線C：產(chǎn)=2.勿＞0）的焦點(diǎn)，點(diǎn)M3,根）在拋物

線。上，且|M]=4,則拋物線。的方程為（C）

A.y^--xB.y2=2x

C.y2=4xD.y2=6x

【解析】根據(jù)題意，連接九田，過(guò)M作"4垂直于拋物線C的準(zhǔn)線x=一々垂足為X,

2

如圖，由拋物線定義可知|〃F|=|MH|=XM+g=3+g=4,解得P=2,故拋物線。的方程為

，=4x.

（例1⑴答）

（2）已知拋物線C：f=2x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,點(diǎn)尸在。上，過(guò)點(diǎn)尸作準(zhǔn)線/的垂

線，垂足為力,若/尸E4=:,貝！I凹=(D)

A.1B.也

C.SD.2

【解析】因?yàn)椤骸竱=|必/FPA=g所以/以9=/尸7弘=:如圖，設(shè)準(zhǔn)線/與x軸交

于點(diǎn)0.因?yàn)镽1〃0F,所以乙4尸。=/以尸=；.因?yàn)榧唡=°=1,所以|/用=2,所以在等邊

三角形E4尸中，\PF\=2.

(例1⑵答)

＜總結(jié)提煉A

(1)“看到準(zhǔn)線想到焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想到準(zhǔn)線”，許多拋物線問(wèn)題均可根據(jù)定義獲得簡(jiǎn)

捷、直觀的求解.

(2)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向.當(dāng)

焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，分情況討論.

目幀舊拋物線的幾何性質(zhì)

視角1焦半徑

例2-1已知拋物線C：7=2加防＞0)的焦點(diǎn)為R點(diǎn)尸(xo,2)在C上，|尸尸尸｝則直

線尸尸的斜率為(D)

人屋B.J

23

D.小

34

【解析】由焦半徑公式可得2+/='解得p=l,故拋物線C：爐=2"，則xo=±2.當(dāng)

xo=2時(shí)，P(2,2),J,直線小的斜率為L(zhǎng)=3當(dāng)xo=—2時(shí)，P(—2,2),

2-04

直線PF的斜率為_(kāi)__?_=-?綜上'直線尸尸的斜率為4

＜總結(jié)提煉A

拋物線尸2.叱。)上一點(diǎn)如“。)到焦點(diǎn)工,

也稱為拋物線

的焦半徑.

變式2-1已知拋物線C：產(chǎn)=人的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,尸是/上一點(diǎn)，0是直線尸尸

與。的交點(diǎn)，若訪=4成，則尸0]=（A）

【解析】易知拋物線C：產(chǎn)=?的焦點(diǎn)為"1,0）,準(zhǔn)線方程為x=-1.如圖，設(shè)點(diǎn)尸（一

_1

X——，

——|4（x—1）=-2,<2

1"）,。。,向，因?yàn)槭?4尸。，即（一2,。=4@—1,〉），可得?解得t

14尸，尸二,

i4

即點(diǎn)ot'J.由拋物線的焦半徑公式可得尸。尸;+1=土

（變式2-1答）

視角2焦點(diǎn)弦

例2-2已知拋物線產(chǎn)=28勿是正常數(shù)）上有兩點(diǎn)4（用，/），5（X2,⑶，焦點(diǎn)為產(chǎn).給出

下列條件：①X1X2=R②"/=一,2；③近而=一%④」二+—匚=2以上是“直線N8

4<\FA\\FB\p

經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)廠”的充要條件的個(gè)數(shù)為（B）

A.0B.1

C.2D.3

【解析】必要性：設(shè)過(guò)拋物線C歹2=2力⑦>o）的焦點(diǎn)廠的直線/B的方程為、=切

+4代入拋物線方程得產(chǎn)一2夕燈一p2=0,則/=4夕2加2+4夕2>0,可知—22,y}+y2

=2pm,

X1+X2+.Xl+%2+夕

_3p2XI+M+P_

p2故①②③④

—4'+P

[1+2tCX1X2+%1+X2)+=g+g(Xl+%2)

都是“直線45經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)廠”的必要條件.充分性：設(shè)直線45的方程為％=中+￡,則直線

交x軸于點(diǎn)?,0）,J2’4.聯(lián)立產(chǎn)叼+3得,2-2,町一2夕，=0,A=4/72m2+Spt>0,

y2=2px,

則》1+歹2=?冽，>U2=-2".對(duì)于①，若%1%2=（冽歹1+。（冽方+。=加2^1歹2+加。1+歹2）+~=

m\-2pt)+tm-2pm+t2=^,可得f=4，直線不一定經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)尸，所以條件①是“直線

■經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)/'的必要不充分條件.對(duì)于②，若92=—2向=—p2,則r，直線經(jīng)過(guò)

焦點(diǎn)6所以條件②是“直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)廠”的充要條件.對(duì)于③，ft4-<95=xix2+yij2=

F—2必=—42,可得或1=當(dāng)，直線43不一定經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)尸，所以條件③是“直線

Xl+x2+0_X1+&+

經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F”的必要不充分條件.對(duì)于④，工+―L。

\FA\\FB\X1X2+；(X1+X2)+：

修+土+2

=2可得，=與直線一定經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)G所以條件④是“直線?經(jīng)

P+g("l+%2)+(p

過(guò)焦點(diǎn)廠”的必要不充分條件.綜上，只有②是“直線經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)尸”的充要條件.

<總結(jié)提煉A

設(shè)45是過(guò)拋物線產(chǎn)=2必0>0)的焦點(diǎn)尸的弦，若4(xi,6)，5(x2,yi),則：

(1)弦長(zhǎng)M5|=xi+x2+p=，^-(。為弦AB的傾斜角).(2)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相

sin2a

切.(3)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于對(duì)稱軸的弦(通徑)的長(zhǎng)為2pf通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦.

變式2-2設(shè)拋物線C：產(chǎn)=2.防>0),直線％—27+1=0與。交于4,5兩點(diǎn)，且|45|

=4\/15,貝!Jp=_2_.

x一2y+1=0

【解析】設(shè)/(X4,y)，B(XB,ye),由，可得產(chǎn)一4加+20=0,則/=

F=2px,

16/?—*>0,又p>0,可得所以刃+丹=40,yAyB=2p,所以—尸

/XW，+y4—4yM=4v15,即202—p—6=0,因?yàn)閜>J解得p=2.

視角3與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題

例2-3(2024?邯鄲三調(diào))已知拋物線爐=8x的焦點(diǎn)為凡P(x,四為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，

點(diǎn)/(6,3),則△為尸周長(zhǎng)的最小值為(A)

A.13B.14

C.15D.16

【解析】由題知網(wǎng)2,0),準(zhǔn)線方程為x=—2.如圖，過(guò)尸作準(zhǔn)線的垂線，垂足為。，

過(guò)N作準(zhǔn)線的垂線，垂足為8,所以△為尸的周長(zhǎng)為上川+|口|+|/同=/0|+必|+|4^^/8|

+|^F|=8+5=13,當(dāng)P為48與拋物線的交點(diǎn)P時(shí)等號(hào)成立，即△以尸周長(zhǎng)的最小值為13.

（例2-3答）

〈總結(jié)提煉A

與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題的兩個(gè)轉(zhuǎn)化策略

轉(zhuǎn)化策略一：將拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，根據(jù)“兩點(diǎn)之間

線段最短”“三角形兩邊之和大于第三邊”，使問(wèn)題得以解決.

轉(zhuǎn)化策略二：將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，利用“與直線上

所有點(diǎn)的連線中垂線段最短”原理解決.

變式2-3（2024?莆田二檢）已知拋物線爐=4x的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)M在拋物線上.若點(diǎn)0

在圓（x—3>+產(chǎn)=1上，則附用+此@的最小值為（C）

A.5B.4

C.3D.2

【解析】由題意拋物線產(chǎn)=4x的準(zhǔn)線方程為x=—1,它與x軸的交點(diǎn)為（一1,0）,焦

點(diǎn)為尸（1,0）.如圖，過(guò)點(diǎn)又向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足為N.設(shè)圓（X—3尸+y=1的圓心為

P（3,0）,則|胡|+|河0|=|加+圈。|2卬0》|出|—尸|—1=4-1=3,SL\MF\

+此@|=3成立的條件是。重合且0,￡重合.綜上所述，也用+圈。|的最小值為3.

（變式2-3答）

目幀E1直線與拋物線

例3（2025?唐山期初）已知P（2,2啦）為拋物線C：產(chǎn)=28；仍>0）上一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且

斜率為k的直線I與C的另一個(gè)交點(diǎn)為力,與I垂直的直線相與C的另一交點(diǎn)為B.

（1）若直線/經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)R求直線/的方程；

【解答】由尸（2,2也）在拋物線C：爐=2/3>0）上，得（2也）2=40,解得p=2,故拋

物線。產(chǎn)=4居所以焦點(diǎn)廠（1,0）.若直線/經(jīng)過(guò)P,廠兩點(diǎn)，則直線/的方程為

即2亞%一廠2也=0.

（2）若直線E4與直線尸3關(guān)于x=2對(duì)稱，求△以8的面積.

【解答】由題意知，直線處的斜率后存在且不為0,設(shè)N（xi,ji）,直線E4的方程為

y—2也=左。-2）,聯(lián)立）可得處2一例+8/一8左=0,則1=16—44（8/

V=4x,

—8發(fā)）>0,解得上wj.由根與系數(shù)的關(guān)系可得解得力=匕濘.因

k

為直線為與直線尸8關(guān)于x=2對(duì)稱，則可得直線P8的斜率為一左設(shè)3（X2,歹2）,直線心的

方程為了一2也=一左。一2）,聯(lián)立?可得到2+%一8也-8后=0,則/

2

y=4xf

理+2也=一，，

k

=16+44（8也+8左）〉0,解得左力—由根與系數(shù)的關(guān)系可得2毋=曰^.解

k

Z0——4——2啦左?4—2\[2k,——4——2仍左c口17H-V】竺―Xi

得H=------^^+y2=-----I-----------」=一472,貝！J自3=^—―==

kkkX2~X\11(y^—yj)

‘一=」T=一啦，又ABLPA,則左=也，因此可得yi=4—2.X也=0,則無(wú)]=(),故

y2+yi-4V22也

/(0,0),?=一4—2?義/=_4也,則m=8,故5(8,一4仍)，如圖，|^4|=^22+(2^)2

=23，\AB\=A/82+(-4AJ2)2=4^6,所以品98=3上卜|/同=3*23義4#=12也.

（例3答）

新視角|阿基米德三角形

拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，如圖.

性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊上的中線平行于拋物線的軸.

性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊A8過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)。的軌跡為一

條直線，該直線與以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行.

性質(zhì)3若直線/與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，則以/上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊

過(guò)定點(diǎn)［若直線/的方程為"+6y+c=0,則定點(diǎn)的坐標(biāo)為J?—"fD.

性質(zhì)4底邊的長(zhǎng)為a的阿基米德三角形的面積最大值為Q.

3P

性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊48過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)。的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三

角形的面積最小值為p2.

例4設(shè)拋物線C：/=2.①>0）的焦點(diǎn)為凡拋物線過(guò)點(diǎn)1）.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程與其準(zhǔn)線I的方程；

【解答】由p2=20Xl,得p=2,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為爐=①，準(zhǔn)線/的方程

為尸一1.

（2）過(guò)點(diǎn)廠作直線與拋物線C交于/,3兩點(diǎn)，過(guò)N,8分別作拋物線的切線，證明：

兩條切線的交點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線I上.

【解答】根據(jù)題意，直線N3的斜率一定存在，又焦點(diǎn)廠（0,1）,設(shè)過(guò)點(diǎn)k的直線

y=kx-\-l,

的方程為歹=點(diǎn)+1,聯(lián)立“得A2—4點(diǎn)一4=0.設(shè)4（xi,刃），B（X2,⑶，則％I+%2

廿=僅

=4左，XlX2=—4,所以X彳+x3=（xi+X2）2—2X1X2=16左2+8.由>得歹'=$，分別以/,

5為切點(diǎn)的拋物線的切線方程為y—yi=$i（x—xi）,y—j2=^X2（x—X2）,即；君，y

=—兩式相加得>=；（X1+X2）X—化簡(jiǎn)得>=—（2左2+1）,即y—2k）

—1,所以兩條切線交于點(diǎn)（2左，—1）,該點(diǎn)顯然在拋物線C的準(zhǔn)線/：y=—1上.

隨堂內(nèi)化

1.（2024?南通一調(diào)）已知直線y=x—l與拋物線C：N=2力防>0）相切于點(diǎn)M,則M到C

的焦點(diǎn)的距離為（B）

A.1B.2

C.3D.4

y—x—1,

【解析】設(shè)拋物線。的焦點(diǎn)為尸，聯(lián)立消去》可得N—2.+2,=0.因?yàn)?/p>

E=2py,

直線與拋物線相切，則/=4°2—*=0,因?yàn)椤?gt;0,所以p=2,貝］M（2,1）,故陽(yáng)用=沖+彳

=1+1=2.

2.（2024?泉州三檢）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線為/.若C

恰過(guò)（一2,I）,!?J,（-2,—2）三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，則C的方程為j2=4y；若過(guò)C的焦點(diǎn)的

直線與C交于/,8兩點(diǎn)，且/至I"的距離為4,則|/引=*_.

【解析】因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，準(zhǔn)線為/,且C恰過(guò)（一

2,1）,1'4）,（-2,—2）三點(diǎn)中的兩點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)（一2,1）和（一2,—2）不關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，

所以拋物線不可能過(guò)（一2,1）和（一2,—2）兩點(diǎn)，又因?yàn)镮'I在第一象限，（一2,—2）在第

三象限，即拋物線C不可能同時(shí)過(guò)J'［和（一2,—2）兩點(diǎn)，所以拋物線C經(jīng)過(guò)（一2,1）與

rn1-2）2=2°,

I4J兩點(diǎn).設(shè)拋物線C的方程為爐=2處初>0）,貝『12=2°義1,解得P=2,即r=4N

由拋物線的定義，可得刈+彳=刃+1=4,解得刃=3,則焉=4丹=12,可得刈=±2函，結(jié)

合拋物線的對(duì)稱性，不妨設(shè)/(23，3),因?yàn)閽佄锞€r=4y的焦點(diǎn)為尸(0,1),則直線4B

3尸”+1，

的方程為>=—x+l,聯(lián)立’3消去x得3/-lQy+3=0,可得以+抄=—10,

3上=4y,3

則=)>A+yB+p=：+2=g.

3.(2025?八省聯(lián)考)(多選)已知網(wǎng)2,0)是拋物線C：產(chǎn)=2"的焦點(diǎn)，M是C上的點(diǎn)，。

為坐標(biāo)原點(diǎn)，貝1(ABC)

A.p=4

B.\MF\^\OF\

C.以“為圓心且過(guò)點(diǎn)廠的圓與。的準(zhǔn)線相切

D.當(dāng)/OE%=120。時(shí)，△?？诩印龅拿娣e為23

「溫馨提示.

_________________________________________________________________________________________________J

練案?趁熱打鐵，事半功倍.請(qǐng)老師布置同學(xué)們及時(shí)完成《配套精練》.

練案?1.補(bǔ)不足、提能力，老師可增加訓(xùn)練《抓分題?高考夯基固本天天練》(提高版)

對(duì)應(yīng)內(nèi)容，成書(shū)可向當(dāng)?shù)匕l(fā)行咨詢購(gòu)買.

2.為提高高考答卷速度及綜合應(yīng)考能力，老師可適時(shí)安排《一年好卷》或《抓分卷?高

考增分提速天天練》(提高版)，成書(shū)可向當(dāng)?shù)匕l(fā)行咨詢購(gòu)買.

配套精練

A組夯基精練

一、單項(xiàng)選擇題

1.(2024?十堰4月調(diào)研)已知尸(2,加)是拋物線C：爐=2.(p>0)上的一點(diǎn)，尸為拋物線

C的焦點(diǎn)，且尸尸|=2,則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(C)

A.(1,0)B.(2,0)

C.(0,1)D.(0,2)

2pm—4,

【解析】由題意可得％+2=2解得P=2,則拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1).

2.已知M為拋物線產(chǎn)=4x上的動(dòng)點(diǎn)，下為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)尸(1,1),則幽尸|+|九田|

的最小值為(A)

A.2B.4

C.8D.16

【解析】設(shè)點(diǎn)/在準(zhǔn)線x=—1上的射影為N,根據(jù)拋物線的定義可知=所

]^\MP\+\MF\^\MP\+\MN\,要使也。|+昭川最小，只需要圈尸|+也見(jiàn)最小即可，由于P(l,

1）在拋物線內(nèi)，故當(dāng)M,N,P三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)|VP|+|河最小，故最小值為|「網(wǎng)=白一（一

1)=2.

3.（2024?武漢2月調(diào)研）設(shè)拋物線y=2x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)拋物線上點(diǎn)尸作其準(zhǔn)線的垂線,

設(shè)垂足為。，若/尸。尸=30。，則|尸0|=（A）

【解析】如圖，設(shè)M為準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，因?yàn)?尸。尸=30。，且|「引=甲。］,所以/尸F(xiàn)。

=30。，N0尸尸=120。.因?yàn)镋W〃尸Q,所以/0四1/=30。，而tan30。=坦陷=4必=|。加=砧，

\MF\13

所以3=個(gè)，所以附=|P0尸巖屋0530。=孑^='

（第3題答）

4.（2025?南京零模）已知拋物線C：f=8x的焦點(diǎn)為產(chǎn)，準(zhǔn)線為/,點(diǎn)尸在C上，點(diǎn)。在

/上.若干引=2］。尸PFLQF,則△尸尸。的面積為（B）

A-7B.25

C,更D.55

2

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)尸作軸于點(diǎn)準(zhǔn)線/與x軸交于點(diǎn)N,拋物線C：產(chǎn)=

8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為網(wǎng)2,0）.設(shè)P（xo,次），。（一2,。，由拋物線的定義可得|尸產(chǎn)|=xo+2,\PM\

=N.IM=xo—2,I四=4,|。川=川.因?yàn)閨尸尸|=2|。「|,所以止丹=2.因?yàn)镻F_LQR所以

一一\QF\

%o=8,

APFMsAFQN,則您=回叨=比必=2,所以獨(dú)二三=國(guó)=2,解得.g=8或

\QF\\QN\沖吊4yoS,

t=3

xo~8,

.yo=-8,所以|尸尸|=祝+2=10,\QF\=5,所以SyF°=jp尸卜|QR=gx10X5=25.

t=-3,

(第4題答)

二、多項(xiàng)選擇題

5.(2025?湛江期中)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線C：V=4x的焦點(diǎn)為尸，4為C上第一象

限的點(diǎn)，且|/尸|=2,過(guò)點(diǎn)下的直線/與。交于P,0兩點(diǎn)，圓瓦/+產(chǎn)――=0,貝!](ACD)

A.\OA\=y15

B,若「。|=6,則直線/傾斜角的正弦值為日

C.若△。尸。的面積為6,則直線/的斜率為力

D.過(guò)點(diǎn)/作圓E的兩條切線，則兩切點(diǎn)連線的方程為x—27+2=0

【解析】設(shè)N(xo,yo),貝|祝+1=2,x0=l,yi=4,故尸出而故A正確；

x=iny~\~l

設(shè)直線/：x=my+l聯(lián)立，9消去x得/一4叼-4=0.設(shè)尸(xi,芹)，。(必，㈤，

9儼=4%,

則yi+?2=4冽，yiy2=-4,故|尸。|=1+加2.歷一冽="++/>—4yly2=4(1+冽2)=

6,解得加=士?，則直線/傾斜角的正弦值為半，故B錯(cuò)誤；=外歷一方尸

-XlX4^1+m2=6,解得加=±2啦，則直線/的斜率為士也，故C正確；由上述分析可知

24

xo=l,yo=2,4(1,2),圓E可化為(x—2)2-\-y2=4,圓心雙2,0),半徑r=2,易知y=2

2—0

為其中一條切線，切點(diǎn)為(2,2),且兩切點(diǎn)連線與4E垂直，心月=工=一2，兩切點(diǎn)連線

的斜率為上故兩切點(diǎn)連線的方程為y—2=g(x—2),即x—2y+2=0,故D正確.

(第5題答)

6.(2024?新高考II卷)設(shè)拋物線C：產(chǎn)=4x的準(zhǔn)線為/,尸為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作圓/：

N+(y—4)2=1的一條切線，0為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作/的垂線，垂足為2,貝！J(ABD)

A./與圓/相切

B.當(dāng)尸，A,3三點(diǎn)共線時(shí)，|尸0尸后

C.當(dāng)|尸2|=2時(shí)，PALAB

D.滿足|以|=上引的點(diǎn)尸有且僅有2個(gè)

【解析】對(duì)于A,拋物線f=4x的準(zhǔn)線為x=—1,圓/的圓心(0,4)到直線x=—1

的距離顯然是1,等于圓的半徑，故準(zhǔn)線/和圓/相切，故A正確；對(duì)于B,當(dāng)尸，A,B

三點(diǎn)共線，即時(shí)，點(diǎn)尸的縱坐標(biāo)9=4.由?=4仃，得加=4,故尸(4,4),此時(shí)切線

長(zhǎng)|PQ=N|E4F一產(chǎn)=442—12=5^,故B正確；對(duì)于C,當(dāng)歸叫=2時(shí)，％p=l,此時(shí)濟(jì)=4制>

4—94+2

=4,故尸(1,2)或P(l,—2).當(dāng)P(l,2)時(shí)，4(0,4),5(-1,2),以=k=-2,丘=。_(_])

=2,不滿足kp4kAB=1T;當(dāng)尸(1,一2)時(shí)，4(0,4),5(—1,—2),屆=匕示\^=-6,RAB

=4+2=6,不滿足"自￡=—1,所以43不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,設(shè)尸(？1

o-(-i)

由尸2，/得2(—1,?).省0，4),又啟|=|尸為，故、/9+。-4)2=。+1,整理得祥一6+

v164

30=0,J=162-4X30=136>0,則關(guān)于/的方程有兩個(gè)解，所以存在兩個(gè)這樣的點(diǎn)P,故

D正確.

(第6題答)

三、填空題

7.若拋物線x2=2py(/?>0)上一點(diǎn)必1,加)到焦點(diǎn)的距離是2根，則p=1.

【解析】設(shè)焦點(diǎn)為尸，則|的|=機(jī)+彳=2〃[3>0),即加=：.又點(diǎn)M(l,加)在拋物線上，

代人方程可得2。加=1,解得p=l.

8.(2025?寧波期中)若拋物線C：V=取的焦點(diǎn)為尸，尸為C上一點(diǎn)且=3,。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，則品0戶F=_啦_.

【解析】如圖，不妨設(shè)點(diǎn)P(x,y)在第一象限，過(guò)點(diǎn)尸作與拋物線的準(zhǔn)線x=—1

垂直，垂足為X,則|尸網(wǎng)=|尸F(xiàn)|=3.又[PA]=x+l,所以x=2,所以儼=4X2=8,y=2也，

所以SAOPf=1-|OF|-H=1xiX2A)2=^2.

四、解答題

9.(2025?石家莊期中)已知拋物線C：爐=2口g>0)的焦點(diǎn)為尸，N是拋物線上橫坐標(biāo)為

2且位于x軸上方的點(diǎn)，點(diǎn)/到拋物線焦點(diǎn)的距離與

(1)求拋物線C的方程;

【解答】由題意得彳+2=會(huì)解得p=l,故拋物線C的方程為f=2x.

（2）若過(guò)點(diǎn)廠的直線/交拋物線C于8,。兩點(diǎn)（異于點(diǎn)。），連接。2,OD,若SAOBF=

-S^ODF,求8。的長(zhǎng).

2

【解答】由題意得直線/的斜率不為0,設(shè)直線/：x=ty+^與f=2x聯(lián)立得產(chǎn)一2卬

—1=0.設(shè)5（X1,yi）,。（工2,歹2）,由韋達(dá)定理得刃+y2=2"W=—'1①，由品03b廠，

得|。葉歷|=：]。耳卜卜2|,即歹1=—52②，聯(lián)立①②得戶=：,故=N（1+P）（yi—P2）2=

22o

\]++/）2-4yi/=：.

10.（2025?杭州一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：產(chǎn)=2.g>0）的焦點(diǎn)為凡

點(diǎn)河在拋物線C上，若的外接圓與拋物線C的準(zhǔn)線相切，且該圓的面積為定.

64

（1）求拋物線C的方程；

【解答】因?yàn)楦沟耐饨訄A的面積為電，則其半徑為3,且△OEM外接圓的圓心一

648

定在。尸的垂直平分線上，其中焦點(diǎn)上’°）,準(zhǔn)線方程為X=—2,所以圓