致遠(yuǎn)初級中學(xué)2024-2025學(xué)年第一學(xué)期十月質(zhì)量監(jiān)測

九年級數(shù)學(xué)

總分值：120分總時長：120分鐘

注意事項：

1.本試卷共6頁.全卷滿分120分.考試時間為120分鐘.考生答題全部答在答題卡上，

答在本試卷上無效.

2.答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，請用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案.答非選擇題必須用0.5毫米黑色墨水簽字筆寫在答題卡上的指定位

置，在其他位置答題一律無效.

3.作圖必須用2B鉛筆作答，并請加黑加粗，描寫清楚.

一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分.在每小題所給出的四個選項中，恰

有一項是符合題目要求的，請將正確選項前的字母代號填涂在答題卡相應(yīng)位置上）

1.下列方程中，關(guān)于x的一元二次方程的是（）.

x+_1_4，

A.x+）=1B.-+J'=2C.2A-1-3=3D.

【答案】c

【解析】

【詳解】A、x+2y=l,是二元一次方程，故此選項錯誤；

B、x2+y=2,是二元二次方程，故此選項錯誤；

C、2X-X2=3,是一元二次方程，故此選項正確；

D、x+y=4,是分式方程，故此選項錯誤；

故選C.

2.方程/+儂」3=0的一個根是1,貝口"的值是（）.

A.2B.-2c.3D.-3

【答案】A

【解析】

【分析】本題考查一元二次方程的解，把丫=1代入方程，建立關(guān)于用的一元一次方程，求解即可.

【詳解】解：把1=1代入/=0得

l+w-3=0,

解得力=2,

故選：A.

3.下列說法中，正確的是（）

A.弧是半圓B.長度相等的弧是等弧

C.在圓中直角所對的弦是直徑D.任意一個三角形有且只有一個外接圓

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)弦、直徑、弧、半圓的概念一一判斷即可.

【詳解】解：A、錯誤，弧是圓上兩點間的部分，不符合題意；

B、如圖，

弧A8和弧C79長度相等，但是弧A8和弧C。不是等弧，故本選項錯誤，不符合題意；

C、在圓中，圓周角所對的弦才是直徑，并不是所有的直角所對的弦都是直徑，故本選項錯誤，不符合題

思；

D、任意一個三角形有且只有一個外接圓，故本選項正確，符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查圓的基本知識，解題的關(guān)鍵是記住弦、弧、半圓、直徑等一個概念，屬于基礎(chǔ)題，中考

?？碱}型.

4.已知扇形的圓心角為120°,半徑為2,則扇形的弧長為（）.

2244

——K——九

A.3B.3c.3D.3

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)弧長公式進(jìn)行計算即可求解.

_120TFX2_4

【詳解】解：z=W一一1803.

故選D.

Inm，

【點睛】本題考查了求弧長，掌握弧長公式-180是解題的關(guān)鍵.

5.己知正六邊形的邊長為2,則它的內(nèi)切圓的半徑為（）

A.1B.V3C.2出D.2

【答案】B

【解析】

【分析】正多邊形的內(nèi)切圓的半徑，即為每個邊長為2的正三角形的高，從而構(gòu)造直角三角形即可解.

360°

由題意得，ZAOB=6=60°,

ZAOC=3Q°,

在

.?.OC=2cos30°=2x）=出,

故選B.

【點睛】本題考查了正多邊形和圓，解答這類題往往通過連接半徑和作邊心距把問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形

的問題.

6.如圖，。。是正八邊形SBCDEPG的外接圓，則下列結(jié)論：①=尸；②而的度數(shù)為90°；

③S」加C'DFG*0F.其中所有正確結(jié)論的序號是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【解析】

【詳解】連接8,OF,求出正八邊形的中心角NO°E=45°,得到NOOR=90。，根據(jù)這條弧的度

r

OD=—DF

數(shù)等于它所對的圓心角的度數(shù)可得到②正確；由勾股定理求得2,可得①正確；由于

'MCMTOL5Asm,可得S：ABcoirta=-DF”于是得到③正確.

【解答】解：連接8,0F,如圖所示:

V30E=^EOF=360。+8=45。,

：.ADOF=9Q°,

...9的度數(shù)為90°,故②正確；

:乙0。斤=90。，OD=OF,

ZOD2=DF\

?OD=—、DF

??—,,

-,-AE=2OD,

:.AE=j2DF,故①正確；

..2S：、川DODJTE弓0E

V_4C、r）pCR

/.QABCDFFGH-、QDJF一一?,

OE=-AE

?1，

：.，ABCDSrGU=AiiDF,故③正確；

綜上分析可知，正確的是①②③.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了正多邊形和圓，勾股定理，三角形的面積公式，熟練掌握正多邊形的中心角和邊

數(shù)的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接

填寫在答題卡相應(yīng)位置上）

7.方程/=16廨為.

【答案】4或-4.

【解析】

【分析】直接利用開平方法解方程即可.

【詳解】解：???/=16,

解得：』=4,*=

故答案為：4或-4.

【點睛】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握直接開平方法解一元二次方程是解本題的關(guān)鍵.

8.已知。。的半徑為3,OP=2.5,則點尸與。。的位置關(guān)系是：點P在O。—.

【答案】內(nèi)

【解析】

【分析】本題考查了點與圓的關(guān)系，比較半徑與點到圓的距離是解題的關(guān)鍵.根據(jù)當(dāng)點到圓心的距離小于

圓的半徑時，點在圓內(nèi)；當(dāng)點到圓心的距離等于圓的半徑時，點在圓上；當(dāng)點到圓心的距離大于圓的半徑

時，點在圓外，即可解答.

【詳解】解：由題意，得：點到圓的距離d=OP=2.5,圓的半徑「=3,

d<r,

點在圓內(nèi)，

故答案為：內(nèi).

9.圓錐的底面半徑為2cm,母線長為3cm,則圓錐的側(cè)面積為C11F.

【答案】6兀

【解析】

【分析】本題考查了圓錐的側(cè)面積的計算，圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的

周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長.代入數(shù)值計算即可作答.

一x2x2兀x3=6?r(cmi

【詳解】圓錐的側(cè)面積為：2

故答案為：6兀

10.設(shè)XI、X2是方程X2-5x+m=0的兩個根，且Xl+%2-%LX2=2,則機(jī)=_.

【答案】3

【解析】

【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系可得Xl+X2=5、XlX2=m,結(jié)合X1+X2-XLX2=2可得出關(guān)于根的一元一次方程，

解之即可得出結(jié)論.

【詳解】解：TX1、X2是方程X2-5x+機(jī)=0的兩個根，

??-X1+X2=5,xix2=m.

???xi+x2-XIX2=5-m=2,

故答案為：3.

【點睛】此題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到Xl+X2=5、

xix2=m.

IL已知關(guān)于X的一元二次方程g'-41+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則上的取值范圍是—.

【答案】二<4且上工0

【解析】

【分析】題目主要考查一元二次方程的定義及根的判別式，熟練掌握根的判別式是解題關(guān)鍵，當(dāng)A>0,

方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)△=（）,方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△<（）,方程沒有實數(shù)根.

根據(jù)一元二次方程的定義及根的判別式求解即可.

【詳解】解：..?關(guān)于x的一元二次方程h'-4x+l=°有兩個不相等的實數(shù)根，

.?.心0且4>0,即（-4）'-4X上xl>0,

解得：E<4且木工0.

故答案為：太<4且上工0.

12.在二中，NC=90°,AC=3,BC=4t則一”（？的內(nèi)切圓的半徑為.

【答案】1

【解析】

【分析】本題考查求直角三角形的內(nèi)切圓的半徑，勾股定理求出的的長，設(shè)內(nèi)切圓的半徑為「，根據(jù)切

線長定理，得到3=進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：?.■“=90°,AC=3,BC=4j

.?.期=5,

設(shè)AR3C的內(nèi)切圓與三邊的切點分別為￡>,￡,尸，內(nèi)切圓的半徑為r,如圖，

B

則：四邊形。DCE為正方形，CD=CE=r,AD=AF,BE=BF,

:.AB=AF+BF=BE+AD=BC-r+AC-r,

5=3+4-2r,

.1.r=1；

故答案為：i.

13.已知x2-2x-1=0,則3AJ-6.T=.

【答案】3

【解析】

【詳解】試題解析：安2以-1=0,

X2-2X=1,

3X2-6X=3(X2-2X)=3X1=3.

14.如圖，扇形Q43的圓心角為120°,。是月3上一點，則=

AB

O

【答案】120

【解析】

【分析】補(bǔ)畫出。。在優(yōu)弧43上取點。，連接A。，80,根據(jù)圓周角定理求出/ADB=60。，再根據(jù)圓

內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：如圖所示，畫出0。在優(yōu)弧43上取點O,連接A。，BD,

:408=120。，

11

，ZADB=2ZAOB^2xl20°=60°.

?/四邊形ADBC是圓內(nèi)接四邊形，

，ZACB=180°-60°=120°.

故答案為：120.

【點睛】本題考查圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，構(gòu)造圓周角NAO8是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，S3是的直徑，3。是弦，H5=5cm,BC=3cm.若點尸是上一動點，當(dāng)二P3C是

等腰三角形時，AP=cm.

【解析】

【分析】本題考查了等腰三角形的定義及性質(zhì)，勾股定理，三角形的外接圓，解答本題的關(guān)鍵分三種情況

討論：18C=BP,②CP=CB,^CP=BP

當(dāng)尸時，線段和差即可求解；當(dāng)CE=C8時，利用勾股定理求得A?=4cm,利用等面積法求得

CD=24cm,再利用等腰三角形的性質(zhì)即可求解；"=8尸，根據(jù)外接圓的定義即可得到P與。重

A口?

【詳解】解：①3C=3尸=3cm時,

②CP=CB時，過點。作CD1as于點。，連接力（?

RtA班。中：月。={AB；-BCJ=4cm,

=BC=-ABCD

CD=24cm,

BD=4BC)-CD"=18cm,

.AP^AB-BPy=AB-2BD=\Actn.

③。尸=8尸時，此時P與。重合，

APZ=r=^AB=2.5cm

綜上加為1.4cm,2cm或2.5cm.

故答案為：14,2或2.5.

16.如圖，在邊長為3的正方形中，E、斤分別是邊48、8c上的動點，且后尸=?,M為EF

中點，P是邊4。上的一個動點，則1+FM的最小值是.

【答案】-1##-1+3A/5

【解析】

【分析】延長到。'，使。'D=CD=3,則C'C=6,CP+PM=C'P+PM,當(dāng)。，p,M三點

共線時，C'P+FM的值最小，根據(jù)題意，點M的軌跡是以B為圓心，1為半徑的圓弧上，圓外一點°

到圓上一點〃距離的最小值C'M=C'B-1.根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：延長到C',使。'。=。）=3,則「。=6,

?.?四邊形斯。。是正方形，

ZADC=ZABC=ZBCD=90°,BC=CD=3,

:.PDA.CD,

.?.PQ是。。'的垂直平分線，

:.CP=CP,

,-,CP+PM=C'P+PM,

當(dāng)「，P,M三點共線時，c'F+P"的值最小，

：一EE產(chǎn)=90。，點M是昉的中點，EF=2,

...點M的軌跡是以3為圓心，1為半徑的圓弧上，圓外一點?！綀A上一點M距離的最小值

C'M=CB-\.

?:BC=3,CC'=6,

C'B=y/CC'3+BC3=V63+33=3亞

CP+產(chǎn)M的最小值是3耳-1.

故答案為：3君-1.

【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，正方形的性質(zhì),

勾股定理，正確的找到尸點的位置是解題的關(guān)鍵.

三、解答題(本大題共11小題，共88分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字

說明、證明過程或演算步驟)

17.解方程：

(1)2.1*+41-1=0.

⑵A(.X-1)=2-2.T.

-2+\/6-2-乖

.T1=------------.X,=------------

【答案】⑴22

(2)$=一2與=1

【解析】

【分析】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握直接開平方法，因式分解法，配方法，公式法是解題的關(guān)

鍵.

(1)運(yùn)用公式法求解即可；

(2)運(yùn)用因式分解法求解即可.

【小問1詳解】

解：2?+4x-l=0,

a-2.h-4,c--l

△=42-4x2x(-l)=24>0

9

-4±2^6-2±j6

A-----------------

-2+V6-2-A/6

M=-—=-—

【小問2詳解】

解：x(x-l)=2-2x

^(.x-l)-(2-2x)=0

x(l-x)+2(x-l)=0

(.T+2)(T-1)=0

r+2-?；騲-l=0

Ti=_2,占=1.

18.某市有A、B兩個公園，甲、乙、丙三位同學(xué)隨機(jī)選擇其中一個公園游玩.

(1)甲去A公園游玩的概率是；

(2)求三位同學(xué)恰好在同一個公園游玩的概率.

1_1_

【答案】(1)2.(2)4.

【解析】

【分析】(1)直接利用概率公式計算可得；

(2)畫樹狀圖列出所有等可能解果，從中找到甲、乙、丙三名同學(xué)恰好選擇了同一家公園的結(jié)果數(shù)，利

用概率公式計算可得.

1

【詳解】(1)共兩個公園，所以甲去A公園游玩的概率是？.

(2)畫樹狀圖如下：

由樹狀圖知共有8種等可能結(jié)果，其中甲、乙、丙三名同學(xué)恰好選擇了同一家公園的有2種結(jié)果,

1_

甲、乙、丙三名同學(xué)恰好選擇了同一家公園的概率為彳

【點睛】此題考查的是用列表法或樹狀圖法求概率.列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，適

合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；解題時要注意此題是放回實驗還是不放

回實驗.用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

19.教練想從甲、乙兩名運(yùn)動員中選拔一人參加射擊錦標(biāo)賽，故先在射擊隊舉行了一場選拔比賽.在相同

的條件下各射靶5次，每次射靶的成績情況如圖所示.

甲射靶成績的條形統(tǒng)計圖乙射靶成績的折線統(tǒng)計圖

(1)請你根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)填寫下表:

平均眾方

數(shù)數(shù)差

甲60.4

乙6

(2)根據(jù)選拔賽結(jié)果，教練選擇了甲運(yùn)動員參加射擊錦標(biāo)賽，請給出解釋.

【答案】(1)6,6,2.8

(2)理由見詳解

【解析】

【分析】本題考查了折線統(tǒng)計圖，條形統(tǒng)計圖，主要涉及了求平均數(shù)、眾數(shù)、方差等知識.

(1)根據(jù)方差公式列式計算求出甲運(yùn)動員的成績的平均數(shù)，乙運(yùn)動員的成績的方差，乙運(yùn)動員的成績眾

數(shù)即可；

(2)根據(jù)方差越小，則成績越穩(wěn)定，找出方差小的運(yùn)動員即可.

【小問1詳解】

5+6+7+6+6公

解:甲的平均數(shù)為：5,

乙的眾數(shù)為：6；

q(3-6)3+(6-6)J+(6-6)3+(7-6)3+(8-6)a-|=2,8

方差為：5L」.

平均眾方

數(shù)數(shù)差

甲660.4

乙662.8

故答案為:6628

【小問2詳解】

解：理由：因為甲、乙的平均數(shù)與眾數(shù)都相同，甲的方差小，所以更穩(wěn)定，因此甲的成績好些，因此選

甲.

20.已知關(guān)于x的方程MU2-(m+2)x+2=0.

(1)若方程有一個根是2,求根的值；

(2)求證：不論相為何值，方程總有實數(shù)根.

【答案】(1)1；(2)證明見解析.

【解析】

【分析】(1)將x=2代入方程計算即可得出答案；

(2)當(dāng)機(jī)=0時，原方程為一次方程，有實數(shù)根；當(dāng)相邦時，判斷AM即可.

【詳解】解：(1)將尤=2代入原方程，得：4m-2(m+2)+2=0,

解得：m—1.

故m的值為1：

(2)當(dāng)根=0時，原方程為一次方程，此時x=l；

當(dāng)：存0時，△=(m+2)2-4x2m—(m-2)2>0,

當(dāng)/”知時，方程有實數(shù)根.

綜上所述：不論比為何值，方程總有實數(shù)根.

【點睛】本題主要考查的是一元二次方程根的判別式，當(dāng)A=/-4ac>0時，有兩個不相等的實數(shù)根;

當(dāng)△=廿-48=0時，有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)△=/-4團(tuán)<0時，沒有實數(shù)根.

21.如圖，在以點。為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦幺8交小圓于點c、D.

(1)求證力。=30；

(2)若幺0=6,大圓和小圓的半徑分別為12和8,則00的長度是—.

【答案】(1)見解析(2)3

【解析】

【分析】本題考查了垂徑定理，圓與圓的位置關(guān)系，勾股定理，熟練掌握知識點，正確添加輔助線是解題

的關(guān)鍵.

(1)過點。作0E_LCD于點五'，利用垂徑定理及等式的性質(zhì)即可求證；

(2)連接℃,設(shè)CS=x,在Rt￡L40E中，由勾股定理得：,在Rt^COE

中，由勾股定理得：。肥=8'7’，即可建立方程l￥-(6+x)=8-,解方程即可，利用

CD=2CE求解.

【小問1詳解】

證明：過點。作OE_LCD于點E,

???/過圓心，

,,,CE=DE,AE=BE，

：,AE-CE=BE-DE,

...AC=BD;

【小問2詳解】

解：連接℃,

設(shè)0』,

在P.tZiHOE中，由勾股定理得：=12'-(6+x),

在Rt^COB中，由勾股定理得：。p=8'-/，

1123-(6+.T)3=83-X3

,,，

11

x=一

解得：3,

CD=2CE=—

3,

故答案為：T.

22.如圖，在AA5C中，乙4=70°,Z5=55°,以3C為直徑作0°,分別交48、于瓜F.

(1)求8F的度數(shù)；

(2)求證：BE=CF.

【答案】⑴110°；

(2)證明見詳解.

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出/c,然后根據(jù)赤的度數(shù)=工30月，/5OE=2NC而求

解；

(2)由/8=/。，得BF=CE,再得CF=BE,于是BE=CF.

【小問1詳解】

解：如圖，連接。凡

?.Z=70°,Zfi=55。

ZC=180°-Z5-ZZ

=180°-55o-70°

=55°

4=NC,

..Z5OF=2ZC=2x55°=110°,

加的度數(shù)=/H。尸=110。.

AB

【小問2詳解】

證明：由(1)知N3=NC,

BF=CE,

BE=CF,

Bi=CF.

【點睛】此題主要考查了圓周角定理，三角形的內(nèi)角和定理，弧的度數(shù)的概念以及弧、弦、圓心角的關(guān)系

定理.熟練掌握圓周定理與弧、弦、圓心角關(guān)系定理是解此題的關(guān)鍵.

23.1016年巴西里約奧運(yùn)會期間，南京某奧運(yùn)特許經(jīng)營商店以每件40元的價格購進(jìn)了一批奧運(yùn)紀(jì)念T

恤，定價為80元時，平均每天可售出20件，為了擴(kuò)大銷售，增加盈利，此奧運(yùn)特許經(jīng)營商店決定采取適

當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在一定范圍內(nèi)，奧運(yùn)紀(jì)念T恤的單價每降1元，每天可多售出2件.當(dāng)這種

奧運(yùn)紀(jì)念T恤每件的價格定為多少元時，商店每天獲利1200元？

【答案】60元

【解析】

【分析】設(shè)每件T恤應(yīng)降價無元，根據(jù)均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷售，增加利潤，

盡量減少庫存，要降價，如果每件T恤降價1元，商場平均每天可多售出2件，若商場每天要獲利潤

1200元，可列方程求解即可.

【詳解】解：設(shè)每件7恤應(yīng)降價x元，據(jù)題意得：

(40-x)(20+2x)=1200,

解得尤=10或尤=20.

因為要擴(kuò)大銷售，增加盈利，所以無取20.

所以這種奧運(yùn)紀(jì)念T恤每件的價格定為80-20=60元，

答：這種奧運(yùn)紀(jì)念T恤每件的價格定為60元時，商店每天獲利1200元.

【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及二次函數(shù)的最值問題，表示出降價后的盈利與銷售的件數(shù)，然后

得到平均每天的盈利與降價之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵.

24.如圖，一個圓與正方形的四邊都相切，切點分別為A、B、C、D.僅用無刻度的直尺分別在圖①，圖

②中畫出22.5。，135。的圓周角并標(biāo)明角的度數(shù).

【答案】見解析.

【解析】

【分析】要作22.5。的角先作出45。的角，再用同弧所對圓周角是圓心角一半作圖即可；要作135。的角先

作出270。的角，即可.

【詳解】解：①連接AC,3。相交于點。，連接正方形的對角線，則/EOC=45。，連接EA,則

1

乙EAC==z￡OC=22.5°；

②連接AC,BD.在弧AB上任意取一點E,連接BE、AE,則乙4仍=135。.

【點睛】本題主要考查了同弧所對的圓心角和圓周角之間的關(guān)系，熟練地掌握“同弧所對的圓周角是圓心

角的一半”是解題的關(guān)鍵.

25.如圖，四邊形內(nèi)接于O。，ND45=90°,點5在的延長線上，且超.

A

（1）求證：DE是OO的切線；

（2）若RCDE,當(dāng)48=4,。。=2時，求力。的長.

8.

【答案】（1）見解析（2）5

【解析】

【分析】（1）先判斷出3。是圓。的直徑，再判斷出即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出月。上班），進(jìn)而求出3C=HS=4,再用勾股定理求出8。，根據(jù)三角形的面積公式即

可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：如圖，連接AD,

.點。必在8。上，即：AD是直徑,

ZBCD=9Q°,

ZDEC+NCDE=90。,

?:力EC=ABAC,

4AC+NCDE=90。,

...BC=BC,

:.ABAC=ABDC,

4DC+2CDE=90。,

:.ABDE=9Q°,即：BD1.DE,

...點。在。。上，

QE是OO的切線；

【小問2詳解】

解：-DEWAC,

?"DE=90。,

Z5/T-9O0,

即8尸上HC,

cnn,AF=CF=-AC

：,CB=AB=4,2,

在RtzlBCD中，BD=>lBC2+CD2=275,

.BCCD2x44J5

:.CF=-------=—『=」一

BD2宕5,

AC=2CF=^~

5.

【點睛】此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，三角形的面積公式，切線的判定和性質(zhì)，勾股定理，求

出BC=4是解本題的關(guān)鍵.

26.解題時，最容易想到的方法未必是最簡單的，你可以再想一想，盡量優(yōu)化解法.

例題呈現(xiàn)

關(guān)于X的方程a（X+加）2+b=0的解是4=L毛=_?（a、加、6均為常數(shù)，ah0）,

則方程a（x+m+?>+6=0的解是.

解法探討

（1）小明的思路如下所示，請你按照他的思路解決這個問題；

小明的思路

第1步把1、-2代入到第1個方程中求出加的值；

_b_

第2步把m的值代入到第1個方程中求出一a的值；

第3步解第二個方程.

（2）小紅仔細(xì)觀察兩個方程，她把第2個方程“（1+^+二尸+6=°中的“x+?”看作第1個方程中的

“x”，則“x+2”的值為，從而更簡單地解決了問題.

策略運(yùn)用

（3）小明和小紅認(rèn)真思考后發(fā)現(xiàn)，利用方程結(jié)構(gòu)的特點，無需計算“根的判別式”就能輕松解決以下問

題，請用他們說的方法完成解答.

已知方程（才一⑵*+西-的升g一才點有兩個相等的實數(shù)根，其中*b、c是

A43c三邊的長，判斷AHBC的形狀.

【答案】⑴&=T三=一4；⑵1或一2；（3）AHBC是直角三角形.

【解析】

【分析】此題考查根的判別式，勾股定理逆定理，一元二次方程的解，解題關(guān)鍵在于掌握根的判別式及勾

股定理逆定理.

(1)根據(jù)題意利用待定系數(shù)法求解即可.

(2)把后面一個方程中的'+?看作整體，相當(dāng)于前面一個方程中的X求解.

(3)先根據(jù)方程有兩個相等的實數(shù)根，求得方程的根，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系列出方程，找到“、6、

。的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀.

【詳解】解：(1)將玉=1'%二一2代入到方程a(x+力『+)=°中，

°(加+1)~+6=0

<

殂a(加一2)"+b=0

.?.加+1=±(zn-2),

1

m=—

解得

b9

——=—

a4

a(x+-+2)2+b=0

第2個方程可變形為2

解得：a=-1%=-4；

(2)?..關(guān)于x的方程a"+巾『+6=°的解是X=L玉=一？，

...把第？個方程?,+愕+二『+》=°中的“x+2”看作第1個方程中的“工”，則“x+2”的值為1或

-2,

故答案為：1或一2；

(3)?.?當(dāng)x=l時，

(2a2-463).x2+(4Z>2-4c2).x+4c2-2a2=(才-4乂)+(步-41)+4)-2a2=0

方程(2/-49)/+(462-41).丫+41-2/=°必有一根是*=1

方程(2。"出)—+(4A2-4C3)X+4C2-2a3=0的兩根為』=出=】.

4c2-2a2

X]'X,=1=\A

；.1-2a--4b-.

:.a2=br2+ic2,

.?.AHSC是一個直角三角形

27.問題提出

如圖①，AB.月。是。。的兩條弦，AC>AB,”是瓦4c的中點，MD1AC,垂足為。，求證:

CD=BA+AD

如圖②，延長C4至后，使AE=.4B,連接1￡4、MB、MC、ME、3c.

(請你在下面的空白處完成小敏的證明過程.)

推廣運(yùn)用

如圖③，等邊A&C內(nèi)接于0°,48=2,。是而上一點，乙45。=45。，AELBD,垂足為

E,則ZQC的周長是

如圖④，若將“問題提出”中“M是荻的