第20課時圓周運動

【目標要求】1.掌握描述圓周運動的各物理量及它們之間的關系。2.掌握勻速圓周運動由周期性引起的多解問

題的分析方法。3.掌握圓周運動的動力學問題的處理方法。

考點一圓周運動的運動學問題

1.描述圓周運動的物理量

方向:沿圓周的切線方向

公式”喑=誓

描

述

物理意義:描述物體繞圓心轉動的快慢

圓

周公八式#：3=缶A。=2工IT

運

動:物體沿圓周運動一周所用的時間

一｛周期

的.T=2TL=2TLT

（）

物*xV

理：單位時間內物體轉過的圈數

-

量:"4

方向:始終指向圓心

T向心加速度）一

,公式:凡=搟'=3/=早r=a）v

2.勻速圓周運動

⑴定義：如果物體沿著圓周運動，并且線速度的大小處處相笠，所做的運動叫作勻速圓周運動。

（2）特點：加速度大小不變,方向始終指向圓心，是變加速運動。

⑶條件：合外力大小丕變，方向始終與速度方向垂直且指向圓心。

■判斷正誤-------------------------------------------------------------------------

1.勻速圓周運動是勻變速曲線運動。（x）

2.物體做勻速圓周運動時，其線速度是不變的。（x）

3.物體做勻速圓周運動時，其所受合外力是變力。（d）

4.向心加速度公式在非勻速圓周運動中不適用。（x）

Z討論交流

在＜2n=—,an=/r兩式中期與r成正比還是成反比？

r

答案在。一定時，On與r成反比；在0—定時，On與r成正比。

【例I】A、B兩艘快艇在水平湖面上做勻速圓周運動，在相同時間內（該時間小于A、B的周期），它們通

過的路程之比是4：3,運動方向改變的角度之比是3：2,則它們（）

A.線速度大小之比為4:3

B.角速度之比為3:4

C.圓周運動的半徑之比為2：I

D.向心加速度大小之比為1：2

答案A

解析由。=籌知，時間相同，路程之比即線速度大小之比，為4：3,A項正確；由:知，時間相同，

運動方向改變的角度之比等于快艇與圓心連線掃過的圓心角之比，即角速度之比，為3：2,B項錯誤；由。

=3丫知半徑之比為8：9,C項錯誤；由向心加速度加=?知,向心加速度大小之比為2：1,D項錯誤。

【例2】如圖所示，B和C是一組塔輪，即B和C半徑不同，但固定在同一轉軸上，其半徑之比為RB：

&=3：2,A輪的半徑大小與C輪相同，它與B輪緊靠在一起，當A輪繞過其中心的豎直軸轉動時，由

于摩擦力作用，B輪也隨之無滑動地轉動起來。a、b.c分別為三輪邊緣的三個點，則a、b,c三點在運

動過程中的（）

A.線速度大小之比為3：2：2

B.角速度之比為3：3：2

C.轉速之比為2：3：2

D.向心加速度大小之比為9：6：4

答案D

解析A、B靠摩擦傳動，則兩輪邊緣上a、b兩點的線速度大小相等，即?！埃毫?1：1,選項A錯誤；B、

C同軸轉動，則兩輪邊緣上b、c兩點的角速度相等，即Sb=Sc,轉速之比?=處="選項B、C錯誤；對

nc3c1

=2

a、b兩點，由〃n=匕得%=詈=?,對A、c兩點,由ancor得"=詈=:,故：恁：以=9：6：4,選項

rabRA2acRc2

D正確。

B總結提升

同軸轉動皮帶傳動齒輪傳動

A、B兩點在同軸的一兩個輪子用皮帶連接，兩個齒輪輪齒嚙合，

個圓盤上A、B兩點分別是兩個4、8兩點分別是兩個

裝置

B

輪子邊緣上的點齒輪邊緣上的點

特點角速度、周期相同線速度大小相等線速度大小相等

轉向相同相同相反

線速度與半徑成正角速度與半徑成反比：角速度與半徑成反比：

比：幺=二3a_丫2

VR3BR3B丁1

規(guī)律B

向心加速度與半徑成向心加速度與半徑成反向心加速度與半徑成反

正比：吆=二比：吆=工比：吆="

RQBR

【例3】（多選）一位同學玩飛鏢游戲，已知飛鏢距圓盤為3對準圓盤上邊緣的A點水平拋出飛鏢，初速

度為。o，飛鏢拋出的同時，圓盤繞垂直于盤面且過盤心O點的水平軸勻速轉動。不計空氣阻力，重力加

速度為g。若飛鏢恰好擊中A點，下列說法正確的是（）

A.從飛鏢拋出到恰好擊中A點，A點一定轉動到最低點位置

B.從飛鏢拋出到恰好擊中A點的時間為上

C.圓盤的半徑為七

2

4V0

D.圓盤轉動的角速度一定滿足生詈他=1,2,3,…）

答案ABC

解析飛鏢拋出后做平拋運動，則從飛鏢拋出到恰好擊中A點，A點一定轉動到了圓盤最低點位置，故A正

確；飛鏢水平拋出，在水平方向做勻速直線運動，因此上，故B正確；飛鏢擊中A點時，A恰好在圓盤最

v0

低點，有2r,解得，故C正確；飛鏢擊中A點，則A點轉過的角度滿足。=。/=兀+2①:（左=0,

1,2,…）,故口=空三7卬0（左=0,1,2,…）,故D錯誤。

總結提升勻速圓周運動的周期性和多解性問題

勻速圓周運動基本特征之一就是周期性，即在做勻速圓周運動過程中，物體的空間位置具有時間上的重復

性。這一特點決定了勻速圓周運動問題的多解性。在分析勻速圓周運動與其他運動（勻速直線運動、平拋運動

等）相聯(lián)系的問題時，利用運動的等時性（同時發(fā)生、同時結束）是解決此類問題的關鍵。

考點二圓周運動的動力學問題

1.勻速圓周運動的向心力

(1)作用效果

向心力產生向心加速度，只改變速度的方向,不改變速度的大小。

⑵大小

1；224互2

rn=mr-^=mrco=mr-^-r=mcovo

(3)方向

始終沿半徑方向指向圓心，時刻在改變，即向心力是一個變力。

2.勻速圓周運動中向心力的來源

運動模型向心力居的來源(圖示)

汽車在水平路面轉彎/汽車

入="

一產

水平轉臺(光滑)

Fn=FT=fflBg

圓錐擺

mg

Fn=mgtan0

r=/sin0

飛車走壁-------'

Fn=mg^n6

飛機水平轉彎嚷;

為g

Fn=mgtan0

火車轉彎

,Img

E^mgtan0

3.離心運動和近心運動

(1)離心運動：做圓周運動的物體，在所受合外力突然消失或不足以提供圓周運動所需向心力的情況下，就做

逐漸遠離圓心的運動。

(2)受力特點(如圖)

F=0

0<F<wr（o2X2j\\

F=mra）2）

yF>mru）2J

①當尸=0時，物體沿切線方向飛出,做勻速直線運動。

②當0<F<%①2時，物體逐漸遠離圓心,做離心運動。

③當Q”/時，物體逐漸向圓心靠近,做近心運動。

⑶本質：離心運動的本質并不是受到離心力的作用，而是提供的力小壬做勻速圓周運動需要的向心力。

■判斷正誤------------------------------------------------------------------

1.做勻速圓周運動的物體，當所受合外力突然減小時，物體將沿切線方向飛出。（X）

2.摩托車轉彎時速度過大就會向外發(fā)生滑動，這是摩托車受沿轉彎半徑向外的離心力作用的緣故。（x）

3.向心力可以由物體受到的某一個力提供，也可以由物體受到的合力提供。（X）

4.在變速圓周運動中，向心力不指向圓心。（x）

【例4】（多選）（2024?廣東深圳市期中）如圖所示，雜技演員進行表演時，可以懸空靠在以角速度。勻速轉

動的圓筒內壁上而不掉下來。設圓筒半徑為r,最大靜摩擦力等于滑動摩擦力。重力加速度為g,雜技演

員與圓筒內壁間的動摩擦因數為小則該演員（）

A.受到4個力的作用

B.所需的向心力由彈力提供

C.角速度越大，人受到的摩擦力越大

D.圓筒的角速度戶

答案BD

解析雜技演員受到重力、筒壁的彈力和靜摩擦力共3個力作用，A錯誤；由于雜技演員在圓筒內壁上不掉

下來，豎直方向根據平衡條件，有mg=Ff,筒壁的彈力提供向心力，水平方向有尸=小蘇「，角速度越大，彈

力變大，人受到的摩擦力不變，B正確，C錯誤；要想不下滑，最大靜摩擦力需要大于等于重力，所以

juF^mg,F=mco2r,解得&?2戶，D正確。

【例5】（2023?福建卷45）一種離心測速器的簡化工作原理如圖所示。細桿的一端固定在豎直轉軸00上的

。點，并可隨軸一起轉動。桿上套有一輕質彈簧，彈簧一端固定于。點，另一端與套在桿上的圓環(huán)相

連。當測速器穩(wěn)定工作時，圓環(huán)將相對細桿靜止，通過圓環(huán)的位置可以確定細桿勻速轉動的角速度。已

知細桿長度工=0.2m,桿與豎直轉軸的夾角a始終為60。，彈簧原長Xo=O」m,彈簧勁度系數％=100

N/m,圓環(huán)質量"=lkg；彈簧始終在彈性限度內，重力加速度大小取10m/s2,摩擦力可忽略不計。

(1)若細桿和圓環(huán)處于靜止狀態(tài)，求圓環(huán)到O點的距離；

(2)求彈簧處于原長時，細桿勻速轉動的角速度大小；

(3)求圓環(huán)處于細桿末端尸時，細桿勻速轉動的角速度大小。

答案(1)0.05m(2)竽rad/s(3)10rad/s

解析⑴當細桿和圓環(huán)處于靜止狀態(tài)，對圓環(huán)受力分析得受彈簧彈力FTo=mgCosa=5N

根據胡克定律F=kAx得&0=畢=0.05m

k

彈簧彈力沿桿向上，故彈簧處于壓縮狀態(tài)，彈簧此時的長度即為圓環(huán)到。點的距離

即=%0-AXQ—0.05m

(2)若彈簧處于原長，則圓環(huán)僅受重力和支持力，其合力使得圓環(huán)沿水平方向做勻速圓周運動。根據牛頓第二

定律得鬻=加3卜

由幾何關系得圓環(huán)此時做勻速圓周運動的半徑為F-'%osin(X

聯(lián)立解得^o--^―rad/s

(3)圓環(huán)處于細桿末端P時，圓環(huán)受重力、支持力、沿桿向下的彈力。

根據胡克定律得F^=k(L—xo)—10N

對圓環(huán)受力分析并正交分解，豎直方向受力平衡，水平方向合力提供向心力，

則有mg+Freosa=F^sina,

Frsin?+FNCOSa=mco2r,

由幾何關系得r'=￡sina

聯(lián)立解得口=10rad/s。

B總結提升

圓周運動中動力學問題的分析思路

審題意，確定即以做圓周運動的

Ef)研究對象物體為研究對象

［二確］——-〔確定圓周運動的軌道平面，確定圓心］

［四列）——一［根據牛頓運動定律和圓周運動知識列獲］

【例6】（多選）（2025?湖南衡陽市段考）四個完全相同的小球A、B、C、D均在水平面內做圓錐擺運動。如

圖甲所示，小球A、B在同一水平面內做圓錐擺運動（連接B球的繩較長）；如圖乙所示，小球C、D在不

同水平面內做圓錐擺運動，但是連接C、D的繩與豎直方向的夾角相等（連接D球的繩較長），則下列說法

正確的是（）

A.小球A、B角速度大小相等

B.小球A、B線速度大小相等

C.小球C、D向心加速度大小相等

D.小球D受到繩的拉力與小球C受到繩的拉力大小相等

答案ACD

解析對題圖甲中A、B分析，設繩與豎直方向的夾角為6，繩長為I，小球的質量為m，小球A、B到懸點

O的豎直距離為h,則mgtan0=mco2lsm0,解得。=,所以小球A、B的角速度大小相等，A、B

做圓周運動的半徑不同，則線速度大小不相等，故A正確，B錯誤；對題圖乙中C、D分析，設繩與豎直方

向的夾角為0，小球的質量為m，繩上拉力為FT,則有mgtan0=man,FTcos6=mg,得an=gtan3,尺=

嗯，所以小球C、D向心加速度大小相等，小球C、D受到繩的拉力大小也相等，故C、D正確。

cost/

總結提升圓錐擺模型

2__________________

1.如圖所示，向心力尸向=mgtan根亍=根口2/，且〃=￡sin。,聯(lián)立解得o=JgLtanOsin。,

_I9

CD——/--------o

7LcosO

2.穩(wěn)定狀態(tài)下，e角越大,對應的角速度。和線速度。就越大，小球受到的拉力產=器和運動所需的向心力

cos”

也越大。

課時精練

（分值：100分）

H基礎落實練

1~6題每小題8分，共48分

1.（多選）（2024?甘肅卷?8）電動小車在水平面內做勻速圓周運動，下列說法正確的是（）

A.小車的動能不變

B.小車的動量守恒

C.小車的加速度不變

D.小車所受的合外力一定指向圓心

答案AD

解析做勻速圓周運動的小車速度大小不變，方向時刻在改變，故動能不變，但動量不守恒，故A正確，B

錯誤；

做勻速圓周運動的小車加速度大小不變，方向時刻在改變，故C錯誤；

小車所受的合外力一定指向圓心，故D正確。

2.（2024?黑吉遼2）“指尖轉球”是花式籃球表演中常見的技巧。如圖，當籃球在指尖上繞軸轉動時，球面上

P、。兩點做圓周運動的（）

A.半徑相等

B.線速度大小相等

C.向心加速度大小相等

D.角速度大小相等

答案D

解析由題意可知，球面上P、Q兩點轉動時屬于同軸轉動，故角速度大小相等，故D正確；由題圖可知，

球面上尸、。兩點做圓周運動的半徑的關系為,故A錯誤；根據。=心可知，球面上P、Q兩點做圓周

運動的線速度的關系為在<。2，故B錯誤；根據的=廠。2可知，球面上p、Q兩點做圓周運動的向心加速度的

關系為ap<aQ,故C錯誤。

3.（2021?全國甲卷」5）“旋轉紐扣”是一種傳統(tǒng)游戲。如圖，先將紐扣繞幾圈，使穿過紐扣的兩股細繩擰在一

起，然后用力反復拉繩的兩端，紐扣正轉和反轉會交替出現。拉動多次后，紐扣繞其中心的轉速可達50r/s,

此時紐扣上距離中心1cm處的點向心加速度大小約為（）

A.10m/s2B.100m/s

C.l000m/s2D.10000m/s2

答案C

解析根據勻速圓周運動的規(guī)律，

此時co=2m=1OOnrad/s,

22

向心加速度大小a—a>r^l000m/s,故選Co

4.（2025?浙江大學附屬中學月考）齒輪傳動是現代各種設備中應用最廣泛的一種機械傳動方式。它具有傳動效

率高，結構緊湊，工作可靠，壽命長等優(yōu)點。如圖甲所示為某款機械手表內部的部分結構圖，A、B、C三個

傳動輪通過齒輪咬合，C、D與軸承咬合，A、B、C、D為四個輪子，現將其簡化成如圖乙所示模型。a、

b、c、d分別為A、B、C、D輪緣上的點，半徑之比ra'rb：rc：rd=2：1：2：1。貝!J（）

二.a,

A..3=2?1B.①c?①d=2?1

?Clb2?1D.『：Td=l：1

答案D

解析A、B屬于齒輪傳動，邊緣點的線速度大小相等，則為：柱=1：1,由向心加速度公式4=/得a：a

Vab

=rb:%=1：2,A、C錯誤；C、D屬于同軸轉動，角速度相等，則a）c:a）d=l：1,B錯誤；根據勻速圓周

運動的周期,可得T：T=co：co=l：1,D正確。

COcddc

5.（多選）如圖為質點尸以。為圓心做勻速圓周運動的軌跡圓，角速度為。，圓周上水平虛線8。與虛線AC垂

直，若質點從C點開始運動的同時在。點正上方有一小球自由下落，重力加速度為g,要使小球與質點P相

遇，則小球下落時離。點的高度可能為（）

A

C5°冗2D?誓

?4a)2

答案BD

解析質點P經過。點的時間為r=（"+；）T（〃=O,1,2,3,???）,其中,要使小球與質點尸在。點相

40）

遇，則兩者運動時間相等，所以小球自由下落的高度,1,2,3,-），當〃=0,

有〃1=嗎，當??=1,有/?2=空駕，故選B、Do

8a）z8a）z

6.（2024?廣東卷S）如圖所示，在細繩的拉動下，半徑為r的卷軸可繞其固定的中心點。在水平面內轉動。卷軸

上沿半徑方向固定著長度為/的細管，管底在。點。細管內有一根原長為《勁度系數為上的輕質彈簧，彈簧

底端固定在管底，頂端連接質量為相、可視為質點的插銷。當以速度。勻速拉動細繩時，插銷做勻速圓周運

動。若。過大，插銷會卡進固定的端蓋，使卷軸轉動停止。忽略摩擦力，彈簧在彈性限度內。要使卷軸轉動

不停止，v的最大值為（）

插銷多

細管

kk

2m2m

答案A

解析由題意可知當插銷剛卡進固定端蓋時彈簧的伸長量為Ax=-,

根據胡克定律有F=k\x=?

插銷與卷軸同軸轉動，角速度相同，對插銷，彈力提供向心力，則有尸=初療

對卷軸有v—ra>

聯(lián)立解得。=r4,故選A。

ID能力綜合練

7、8題每小題9分，9題16分，10題18分，共52分

7.（2024?吉林通化市檢測）如圖為帶車牌自動識別系統(tǒng)的直桿道閘，離地面高為1m的細直桿可繞。在豎直面

內勻速轉動。汽車從自動識別線仍處到達直桿處的時間為2.3s,自動識別系統(tǒng)的反應時間為0.3s；汽車可

看成高1.6m的長方體，其左側面底邊在°優(yōu)直線上，且。到汽車左側面的距離為0.6m,要使汽車安全通過

道閘，直桿轉動的角速度至少為（）

A.-rad/sB.—rad/s

68

C.-rad/sD.—rad/s

812

答案C

解析設汽車恰好通過道閘時直桿轉過的角度為a,由幾何關系得tano=HU=l,解得,直桿轉動的

0.64

71

時間，=%汽一，反=2s,直桿轉動的角速度內=q=?rad/s=2rad/s,故選C。

t28

8.（多選）（2021.河北卷.9）如圖，矩形金屬框MNQP豎直放置，其中MN、PQ足夠長，且PQ桿光滑，一根輕

彈簧一端固定在“點，另一端連接一個質量為機的小球，小球穿過PQ桿，金屬框繞MN軸分別以角速度。

和“勻速轉動時，小球均相對PQ桿靜止，若。則與以。勻速轉動時相比，以“勻速轉動時（）

A.小球的高度一定降低

B.彈簧彈力的大小一定不變

C.小球對桿壓力的大小一定變大

D.小球所受合外力的大小一定變大

答案BD

解析對小球受力分析，設彈簧彈力為FT,彈簧與水平方向的夾角為9,則對小球豎直方向有

Fsin6=mg,而/o）

TCOS0

可知d為定值，瓦不變，則當轉速增大后，小球的高度不變，彈簧的彈力不變，A錯誤，B正確；

22

水平方向當轉速較小，桿對小球的彈力背離轉軸時，則FTCOSe-F^=ma)r,即FN=FTcose-ma)r

當轉速較大，桿對小球的彈力指向轉軸時，

則FTCOS6+FN'—mcoar

,2

即FN—r—FTCOS3

因(D'>(D,根據牛頓第三定律可知，小球對桿的壓力不一定變大，C錯誤；

根據產合=根。2r可知，因角速度變大，則小球所受合外力變大，D正確。

9.(16分)(八省聯(lián)考?陜西44)圖(a)是某小河的航拍照片，河道彎曲形成的主要原因之一可解釋為：河道彎曲處

的內側與外側河堤均受到流水重力產生的壓強，外側河堤還受到流水沖擊產生的壓強。小河某彎道處可視為

半徑為R的圓弧的一部分，如圖(b)所示，假設河床水平，河水密度為Q,河道在整個彎道處寬度d和水深

均保持不變，水的流動速度V大小恒定，4?七忽略流水內部的相互作用力。取彎道某處一垂直于流速的觀

測截面，求在一極短時間。內：(R、p、d、h、v、均為已知量)

(a)(b)

(1)(5分)通過觀測截面的流水質量Nm；

(2)(5分)流水速度改變量Av的大??；

(3)(6分)外側河堤受到的流水沖擊產生的壓強p。

答案(l)pdhvAt⑵?。⑶喑

解析(1)由題可知，極短時間X內水流的長度M=