2024北京重點(diǎn)校高一（下）期末數(shù)學(xué)匯編

平面向量及其應(yīng)用章節(jié)綜合（選擇題）1

一、單選題

1.（2024北京海淀高一下期末）已知向量。=（0,1）,心曰1,則cos（a?=（）

A.0B.1C.—D.在

222

2.（2024北京懷柔高一下期末）設(shè)非零向量2B,貝廣,+萬-5）”是“商=坂或『'的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.即不充分也不必要條件

3.（2024北京朝陽高一下期末）已知|而|=2,AM=2MB＞若動點(diǎn)P，。與點(diǎn)A，M共面，且滿足

\AP\=\AM\,\BQ\=\BM\,則亞?麗的最大值為（）

A.0B.1C.1D.2

4.（2024北京豐臺高一下期末）己知點(diǎn)4L2）,3（3,1）,C（4M）（meR）,若麗，能，則機(jī)的值為

（）

A.-1B.1C.1D.3

5.（2024北京豐臺高一下期末）在A/8C中，點(diǎn)。是邊AB的中點(diǎn).記CD=b,則屈=

（）

A.—a—2bB.—a+2bC.a—2bD.a+2b

6.（2024北京通州高一下期末）已知向量Z=（T,2）,aYb，那么向量5可以是（）

A.（2,1）B.（2,-1）C.（-2,1）D.（1,-2）

7.（2024北京通州高一下期末）在三角形A3C中，角A,B,C所對的邊分別為“力,。，已知

A=y,a=l,b=yf2,則8=（）

6

.717T7C__p,3兀兀__p.2兀

A.—B.—C.一或一D.一或一

344433

8.（2024北京豐臺高一下期末）八卦是中國傳統(tǒng)文化中的一部分，八個方位分別象征天、地、風(fēng)、雷、

水、火、山、澤八種自然現(xiàn)象.八卦模型如圖1所示，其平面圖形為正八邊形，如圖2所示，點(diǎn)。為該正八

邊形的中心，設(shè)|況|=1,點(diǎn)P是正八邊形ABCDEFGH邊上任一點(diǎn)，下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）

@\OA-OC\=^\DH\-,

③次在歷上的投影向量為-理工（其中工為與歷同向的單位向量）；

2

①以2+國2+*+附2+在2+亦2+用2+血2的取值范圍是[12+20,16].

A.1B.2C.3D.4

7T

9.（2024北京101中學(xué)局一下期末）在AA8C中，角4氏。所對的邊分別為。也c,已知A=§,6=2,

給出下列五個。的值：①四；②百；③程；④2；⑤3.其中能使得△ABC存在且唯一確定的是（）

A.①④B.②③C.④⑤D.②④⑤

10.（2024北京石景山高一下期末）八卦是中國文化的基本哲學(xué)概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形

記為圖2中的正八邊形ABCDEFGH,其中。4=2,則下列命題:

圖1圖2

①礪祿=-夜；

@OA+OC=-y/2OF;

③西在而上的投影向量為孝麗;

④若點(diǎn)尸為正八邊形邊上的一個動點(diǎn),則麗?麗的最大值為4.

其中正確的命題個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

11.（2024北京北師大附中高一下期末）已知在△ABC中，B='AC=B設(shè)左G[0,2],記

的最大值為了（左），則/（幻的最小值為（）

A.73B.2C.2A/3D.2幣

12.（2024北京北師大附中高一下期末）在△ABC中，A+C=2Bb?=ac,則△ABC的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形

C.等邊三角形D.鈍角三角形

13.（2024北京北師大附中高一下期末）在VABC中，asinC+acosC~b—A/2C=0>則A=()

.萬c兀-2兀-3兀

A.—B.—C.—D.—

4334

14.（2024北京北師大附中高一下期末）己知向量4，方滿足S=（-l,0）,且則&=

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

15.（2024北京順義高一下期末）已知向量萬=（-1,2）,bl1a，那么向量很可以是（）

A.(-2,-1)B.(—2,1)C.(1,2)D.(1,-2)

371

16.（2024北京順義高一下期末）在VABC中，已知sinB=g,A=y,a=6，貝Ub=()

色更

A8R673C.D.

5555

17.（2024北京懷柔高一下期末）在VA6C中，角A,5,C所對的邊分別為。，若a=8,Z?=5,cosA=

則角B為（）

71-兀7C57r7L-ri-t2兀

A.—B.—C.一和——D.一和——

636633

18.（2024北京懷柔高一下期末）已知向量2=（21）3=（1,—2）,若％，凡則實數(shù)/（）

A.-1B.1C.-4D.4

h4-r

19.（2024北京懷柔高一下期末）己知在VABC中，cosA+l=——,則判斷VABC的形狀（）

C

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

20.（2024北京大興高一下期末）已知平面向量￡=（1,1）萬=（-3,4）,則下列說法錯誤的是（）

A.cos（a,b\=—

\/10

B.B在￡方向上的投影向量為白）

C.與B垂直的單位向量的坐標(biāo)為（*|）或（*|）

D.若向量Z+xB與非零向量日一彳5共線，貝”=。

21.（2024北京101中學(xué)高一下期末）在VA2C中，若c=4,b-a=l,cosC=,貝!|$皿4為（）

7T

22.（2024北京順義高一下期末）如圖，在扇形中，半徑。0=1,圓心角/MON=5，B是MN上

的動點(diǎn)（點(diǎn)3不與M、N及“N的中點(diǎn)重合），矩形ABCD內(nèi)接于扇形OMN,且

OA=OD./BOM=cc,設(shè)矩形A2CD的面積S與a的關(guān)系為S=/（￡）,則最大值為（）

A.V2-1B.2-72C.叵D.1

42

23.（2024北京順義高一下期末）已知VABC,且麗.衣=0.點(diǎn)P是VABC所在平面內(nèi)的動點(diǎn)，滿足

網(wǎng)=1.則I聞+定1+1而-定I的最小值為（）

A.2B.-C.1D.1

22

24.（2024北京順義高一下期末）一個人騎自行車由A地出發(fā)向東騎行了xkm到達(dá)8地，然后由8地向北

偏西60。方向騎行了3瓜m到達(dá)C地，此時這個人由A地到C地位移的大小為3km,那么x的值為（）

A.3B.6C.3或6D.3A

25.（2024北京海淀高一下期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)4-1,6）,點(diǎn)尸（cossin。），其中

0,^.若|西+詼卜班，則夕=（）

,71—71―兀一兀

A.-B.-C.—D.一

6432

__.3__.1__.

26.（2024北京海淀高一下期末）在VABC中，點(diǎn)。滿足麗=%團(tuán)，若赤=:南十二七，則4=

44

（）

A.-B.JC.3D.4

34

__?3?1__?

27.（2024北京海淀高一下期末）在VABC中，點(diǎn)。滿足麗=丸及，^AD=-AB+-AC則丸=

4_____4f

A.-B.-C.3D.-4

34

28.(2024北京西城高一下期末)平面向量扇方在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若網(wǎng)格中每個小正方形

的邊長均為1,則弧5=()

A.-2B.0C.1D.2

參考答案

1.B

【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)公式求夾角余弦值即可.

__BOx^+lx-

【詳解】由題設(shè)cos||=2向~.

3

HHixj+i2

\44

故選：B

2.B

【分析】結(jié)合向量的運(yùn)算，根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可判斷

【詳解】因為k+到“萬-5)

所以(商+0<=>a2—b2=0oa2=b2<=>同=W，

又同=|可不能推出a=b^a=—b;

但若“乙=6或4=-5",則一定有同=|同，

所以"W+B)“萬-q”是=B或公工”的必要不充分條件，

故選：B.

3.C

【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)P,。的軌跡，由此設(shè)其坐標(biāo)，再利用數(shù)量積的坐標(biāo)

表示，結(jié)合三角恒等變換及三角函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

【詳解】以點(diǎn)M為原點(diǎn)，直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則A(-2,0),3(l,0),

由|Q|=|函7|=2,得點(diǎn)尸在以A為圓心，2為半徑的圓(X+2)2+;/=4上,

由|麗|=|而j=l,得點(diǎn)。在以8為圓心，1為半徑的圓(x-l)2+y2=1上,

設(shè)P(-2+2cosa,2sin。),。(1+cos0,sin/?),

貝UMP,MQ=(-2+2cosa)(l+cos/)+2sinasin0

=2coscrcosB+2sincrsin(3+2(cosa-cos/?)一2

=2cos(a一尸)+2cos信^+三^］一一寫州一2

A.2a—B.oc+B.cc—B.ex,—B.cc+/32.++

=-4sin-------4sin-----sin------=-(2sin----—+sm------)+sin-------<sin-----—<1,

2222222

當(dāng)e==g時，能取到所有等號，

所以旃.祈0的最大值為1.

故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)最值處理是解題的關(guān)鍵.

4.D

【分析】先求出通，肥的坐標(biāo)，再由君，而，得通?交=0可求出機(jī)的值.

【詳解】因為A(l,2),3(3,1),C(4,m)(meR),

所以通=(2,-1),反,

因為荏_1_而，

所以通?元=2-(租-1)=0,解得m=3.

故選：D

5.B

【分析】利用向量的線性運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】如圖，因為。為邊的中點(diǎn)，

―.1—.1—,—.1—.1—.

所以AD=—A2=—(CB—CA)=—CB——CA,

2222

---*---"----*---*I---?I---?I---?I---?

所以C￡)=CA+AD=CA+-CB——CA=-CA+-CB,

2222

所以屈=2麗-m=25-7

故選:B.

6.A

【分析】由可得7B=o,逐個驗證即可.

【詳解】因為aJ_B，所以。4=0，

對于A,若加=(2,1),貝心.力=一2+2=0，所以A正確，

對于B,若辦=(2,-1),貝U；W=-2_2wO，所以B錯誤,

對于C,若后=(-2,1),則)力=2+2*0,所以C錯誤，

對于D,若石=(1,一2),則二力=一1一4片0,所以D錯誤.

故選:A

7.C

【分析】由>>。得3>A,再由正弦定理計算即可.

【詳解】由題意，A=Ja=l,b=&,

6

因為>>“，所以3>A,

由正弦定理得三b

sinAsinB

即.bsinA2加，

sinB=-----=------=——

a12

因為5?0,兀），

所以8=9或序.

44

故選：C.

8.C

【分析】根據(jù)平面向量夾角的定義即可判斷①；根據(jù)正八面體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合向量減法法則即可判斷②；

根據(jù)投影向量的定義即可判斷③；以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，由正八面體的對稱性，不妨設(shè)

點(diǎn)尸在邊上，再根據(jù)坐標(biāo)公式計算即可判斷④.

7T

【詳解】對于①，由題意4。八“

則麗與前的夾角為彳,故①錯誤；

對于②，由正八面體的結(jié)構(gòu)特征得AC=0,￡）77=2,

對于③，ZAOD=—,即次與歷的夾角為千，

44

所以向量函在向量而上的投影向量為（西卜。巨，故③正確;

對于④，網(wǎng)=\pB-O^=J（赤—網(wǎng)2=sjoB+OA-2OBOA=42-g,

如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，

由正八面體的對稱性，不妨設(shè)點(diǎn)P在邊A3上，設(shè)尸（元,O）,xe0,72-72],

則山2+通2+?+&2+/+療+出2+謬

+x+中五^卜？2一@

=8x2-872-72%+16-

當(dāng)x=0時，取得最大值16,

當(dāng)彳=也一也時,取得最小值12+20，

2

所以7^2+廂2+的2+加2+在2+所2+跖2+尸源2的取值范圍是口2+20,16],

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求向量的模的兩種基本策略：

(1)字母表示下的運(yùn)算：利用萬2=慟2,將向量模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為向量與向量的數(shù)量積的問題;

(2)坐標(biāo)表示下的運(yùn)算：若商=(x,y),則M也=求=同LV+yZ,于是有同=尸衣.

9.D

【分析】利用三角形的圖形性質(zhì)來判斷唯一解的充要條件解題即可.

【詳解】

c

A

根據(jù)已知A=M，b=2,可知三角形AB邊上的高//=bsinA==S',

32

所以要使得VABC存在且唯一確定的解，則。=6,或。22,

故有②④⑤滿足，

故選：D.

10.C

【分析】正八邊形ABCDEFG〃中，每個邊所對的角都是45。，中心到各頂點(diǎn)的距離為2,然后再由數(shù)量積

的運(yùn)算判斷①②,由投影向量和投影數(shù)量判斷③④得答案.

【詳解】由題意可知，正八邊形每個邊所對的角都是45。，中心到各頂點(diǎn)的距離為2,

對于①，OBOE=|OB||dE|xcosZBOE=2x2xcosl35=-2夜，故①錯誤；

對于②，ZAOC=9ff,則以O(shè)C為鄰邊的對角線長是|。4|的四倍，

^^OA+OC=42OB=-42OF，故②正確；

______OA-OBpyg2x2cos45°V2

對于③，次在加上的投影向量為下=-4一3，故③正確；

對于④，設(shè)Q,布的夾角為。，則Q?市=|A5||/cos。，其中|Q|cos。表示Q在而上的投影數(shù)量，

易知OC，AB，延長DC交AB延長線于。，當(dāng)P在線段DC上運(yùn)動,投影數(shù)量最大，

易知△Q4C為等腰直角三角形，且/。45=弛二也=67.5°,

2

則在RUCA2中，AQ=ACcosZCAQ=ACcos(67.5°-45°)=ACcos22.5°,

在等腰三角形OAB中AB=2OAsin22.5。，

貝"審砌=ACcos22.5。x2OAsin225

\/max

=ACOAsin450=2后x2x比=4.故④正確.

2

則正確的個數(shù)共有3個.

故選：C.

FE

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題問題④的關(guān)鍵是利用數(shù)量積的幾何意義確定市在旗上的投影的最大值.

11.B

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理、輔助角公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出/(左)，再求出最小值.

【詳解】在VABC中，令內(nèi)角ABC所對邊分別為。也

a_c_b_百_2

由正弦定理得sin)—sin。—sin5一.兀一，則Ja=2sinA,c=2sinC

sin—

3

27r2兀

而A+C=3-,貝!JA3+H3C=2sinC+2%sinA=2sin(與--A)+2ZsinA

二(1+2k)sinA+GcosA=J(1+2kf+3sin(A+°)，由kG[0,2],得1+24e[l,5],

/o'27r27r

銳角。由tan0=-------確定，X0<A<—~,貝!J0<A+0<q-+0，

1+2%33

因此當(dāng)A+0=1時，AB+當(dāng)3c取得最大值"(1+2上了+3，即/(Q=J(l+2Q2+3,

顯然函數(shù)/(6在[0,2]上單調(diào)遞增，所以/伏)*=/(0)=2.

故選：B

______b

【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：asinx+bcos光=J^+^sina+oX"。。)，其中tan0=,.

12.C

【分析】根據(jù)給定條件，求出5,再利用余弦定理推理判斷即得.

7T

【詳解】在VABC中，A+C=2B,則5=

由余弦定理得廿=Q2+°2_2QCCOS3,即〃2=a2+c2-ac,而/=時,

于是a2+c2-2ac=(a—c)2=0,即。=c,

所以VABC是等邊三角形.

故選：C

13.D

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦化簡求解即可.

【詳解】在VABC中，由QsinC+acosC-b_0c=0及正弦定理，

得sinAsinC+sinAcosC-sinB-V2sinC=0，

即sinAsinC+sinAcosC-sin(A+C)-A/2sinC=0,

整理得sinAsinC-cosAsinC一行sinC=0，而sinC>。，

,JTJTJTjTT

因此sinA—cosA=,即sin(A—:)=1,由。VAVTI,得一■-<A——<——,

4444

則=所以A=學(xué).

424

故選：D

14.B

【分析】設(shè)2=(%,y),利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，及模的坐標(biāo)表示列出方程組求解即得.

【詳解】設(shè)〃=O,y),而B=(-1,0),則〃-21=(x+2,y),又-2坂|=1且|。|=1,

f2y2=1

因此,x+L2/解得％=Ty=。，

[(尤+2)2+/=I

所以￡=(-1,0).

故選：B

15.D

【分析】利用共線向量的坐標(biāo)表示判斷即得.

【詳解】對于A,由-2x2w(-l)x(-l),得之與萬不共線，A不是；

對于B,由-2X2N1X(-1),得日與分不共線，B不是；

對于C,由lx2*2x(-l),得￡與石不共線，C不是；

對于D,由1x2=(-2)x(—1),得5//萬，D是.

故選：D

16.C

【分析】由正弦定理求解即可.

【詳解】由正弦定理一工=—二可知，basinB56

smAsinBsinAG5,

~2

故選：C

17.A

【分析】根據(jù)題意，由正弦定理代入計算,結(jié)合三角形的大邊對大角，即可求解.

【詳角軍】因為1=8力=5,<：054=3,則sin/L=V1-COS2A=-,

55

由正弦定理可得一^7=工，則,；5x-

sinAsmBS1小竺凡二」

a82

㈤,所以或|兀,

又b<a,所以BvA,即8為銳角,所以Ng.

0

故選：A

18.B

【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案.

【詳解】若則2x1-2%=0,解得，=1.

故選：B.

19.C

【分析】利用余弦定理可得答案.

【詳解】由余弦定理得cosA+1=-+L一"+1=,

2bcc

所以+c2—cT+2bc—2b（^b+c^,

可得c2=t?+62,所以VABC是直角三角形.

故選：C.

20.B

【分析】根據(jù)夾角公式即可求解A,根據(jù)投影向量的計算公式即可求解B,根據(jù)向量垂直以及模長的坐標(biāo)

公式，即可求解C,根據(jù)向量共線定理即可求解D.

【詳解】由題意可得小5=1,同=&,忖=5,

_ra-b1^2

對于A,cos"，底環(huán)同二姮=而,A正確,

對于B,B在Z方向上的投影向量為|方卜。5（。,5）.=[;5=擊義擊5=3萬

14,B錯誤;

44

一3x+4y=0x=—x=-

;或?5痂

對于c,設(shè)與五垂直的單位向量的坐標(biāo)為1=（x,y）,所以，解得3，故

yjx2+y2=1

y=一

『55

對于D,若向量￡+必與非零向量共線，則存在左eR,使得

商+=左（4一46）=（左一1）萬=（幾+左N）6,由于6,a不共線，所以及一1=0且X,+左％=0,故2=0,D正

確，

故選：B

21.B

【分析】利用余弦定理和己知聯(lián)立求解可得“，然后利用平方關(guān)系求出sinC,結(jié)合正弦定理可得.

15

【詳解】由余弦定理得/+/+—=0一。了9+士。6=16,即。％=6,

2v72

\b-a=1

聯(lián)立,4,解得a=2,6=3,

\ab=o

因為cosC=-』，Ce(0,7t),所以sinC=Jl-cos?C=Jl-上

4V164

。姮

由正弦定理可得..asinC‘X丁后.

sinA=--------=--------2―=-----

c48

故選：B

22.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出A5,Q4,并求出函數(shù)7(%),再利用三角恒等變換，正弦函數(shù)

性質(zhì)求出最大值.

【詳解】依題意，在VA08中，ZAOB=a,ZOAB=—,ZOBA=--a(0<a<-),

444

0AOBr-

由正弦定理得sin1一./兀一.3兀一,即A5=J5sina,Q4=JJsin(3-a),

sm(——a)sm——4

44

S=f(a)=ABAD=A/2sina-2sin(^-a)=