2023-2025北京高三一模數(shù)學(xué)匯編

離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征

一、解答題

1.(2025北京海淀高三一模)某工廠有一組型號(hào)相同的設(shè)備，在日常維護(hù)中發(fā)現(xiàn)部分設(shè)備有發(fā)熱的情況，

經(jīng)過(guò)查閱歷史數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)設(shè)備是否發(fā)熱與設(shè)備狀態(tài)(完好或損壞)有較強(qiáng)的相關(guān)性.從發(fā)熱和未發(fā)熱情況

的數(shù)據(jù)中各自隨機(jī)抽取1000條數(shù)據(jù)，整理如下圖所示：

出現(xiàn)發(fā)熱情況時(shí)設(shè)備狀態(tài)的頻數(shù)未出現(xiàn)發(fā)熱情況時(shí)設(shè)備狀態(tài)的頻數(shù)

:□完好

300\口完好/400

\700^7口損壞V605□損壞

日常維護(hù)時(shí)，對(duì)單臺(tái)設(shè)備有三種可能的操作：保留觀察、停機(jī)更換或檢查維修.對(duì)單臺(tái)設(shè)備的不同狀態(tài),

這三種操作給工廠帶來(lái)的經(jīng)濟(jì)損失如下(單位：千元)：

操作

保留觀停機(jī)更檢查維

經(jīng)濟(jì)損失設(shè)

察換修

備狀態(tài)

完好0105

損壞1257

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且各設(shè)備之間的狀態(tài)相互獨(dú)立.

(1)已知某設(shè)備未出現(xiàn)發(fā)熱情況，試估計(jì)該設(shè)備損壞的概率；

(2)該工廠現(xiàn)有2臺(tái)設(shè)備出現(xiàn)發(fā)熱情況，準(zhǔn)備對(duì)這2臺(tái)設(shè)備都進(jìn)行檢查維修.記檢查維修這2臺(tái)設(shè)備給工廠

帶來(lái)的總經(jīng)濟(jì)損失為X千元，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X)；

(3)該工廠的某車間現(xiàn)有2臺(tái)設(shè)備，維護(hù)時(shí)發(fā)現(xiàn)其中一臺(tái)出現(xiàn)發(fā)熱情況，另一臺(tái)未出現(xiàn)發(fā)熱情況.下面有三

種維護(hù)這2臺(tái)設(shè)備的操作方案：

發(fā)熱情況

操作方案發(fā)熱未發(fā)熱

編號(hào)

檢查維保留觀

①

修察

停機(jī)更檢查維

②

換修

③停機(jī)更保留觀

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換察

直接寫(xiě)出使得工廠總經(jīng)濟(jì)損失的期望最小的方案的編號(hào).

2.(2025北京豐臺(tái)高三一模)京廣高速鐵路是世界上運(yùn)營(yíng)里程最長(zhǎng)的高速鐵路之一，也是中國(guó)客運(yùn)量最大、

運(yùn)輸最為繁忙的高速鐵路之一.某日從北京西到廣州南的部分G字頭高鐵車次情況如下表：

注：以下高鐵車次均能準(zhǔn)點(diǎn)到達(dá)

上午(00:00至11:59)下午(12:00至23:59)

07:26G335>17:4912:26G339?22:51

北京西10小時(shí)23分廣州南北京西10小時(shí)25分廣州南

08:00G77.15:3514:00G81.21:43

北京西7小時(shí)35分.廣州南北京西7小時(shí)43分.廣州南

+1

08:32G1579>19:1220:13G897yQ6:07

北京西10小時(shí)40分廣州南北京西9小時(shí)54分廣州南

10:00G79,17:17

北京西7小時(shí)17分.廣州南

(1)某乘客從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，求這趟列車的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的

概率；

(2)甲、乙、丙3人分別從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，其中甲必須上午出發(fā)，乙

必須下午出發(fā)，丙的出發(fā)時(shí)間沒(méi)有限制，且甲、乙、丙3人的選擇互不影響.

(i)記隨機(jī)變量X為甲、乙、丙選取的列車中運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望;

(ii)甲、乙、丙3人中，誰(shuí)選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率最大？(結(jié)論不要求證明)

3.(2025北京西城高三一模)發(fā)展純電動(dòng)、插電式混合動(dòng)力等新能源汽車是我國(guó)從汽車大國(guó)邁向汽車強(qiáng)國(guó)

的必由之路.為調(diào)查研究，某地統(tǒng)計(jì)了轄區(qū)內(nèi)從2017年至2024年這8年的新能源汽車和純電動(dòng)汽車的銷量,

得到如下折線圖(單位：百輛)：

百輛，

600

500

400

300

200

100

0

,一?一新能源一?一純電動(dòng)

在每一年中，記該年純電動(dòng)汽車銷量占該年新能源汽車銷量的比重為。.

(1)從2017年至2024年這8年中隨機(jī)抽取1年，求該年。值超過(guò)50%的概率；

(2)現(xiàn)從2019年至2024年這6年中依次隨機(jī)抽取，每次抽取1個(gè)年份，若該年的。值超過(guò)50%,則停止抽取,

否則繼續(xù)從剩余的年份中抽取，直至抽到。值超過(guò)50%的年份.記抽取的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)

期望；

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(3)記2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為s；,且這5年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的方差為*,

寫(xiě)出s；與s；的大小關(guān)系.(結(jié)論不要求證明)

4.(2025北京順義高三一模)〃智能閱卷是一種利用人工智能技術(shù)對(duì)試卷進(jìn)行批改和評(píng)估的技米，它可以

幫助教師提高閱卷效率，并為學(xué)生提供更快速更有針對(duì)性的反饋.某教師嘗試使用4系統(tǒng)進(jìn)行閱卷，由甲、

乙兩種系統(tǒng)進(jìn)行獨(dú)立閱卷評(píng)分.如果兩個(gè)系統(tǒng)評(píng)分相差2分及以下，則以兩種系統(tǒng)評(píng)分的平均分作為最后得

分；如果兩個(gè)系統(tǒng)評(píng)分相差3分及以上，則人工進(jìn)行復(fù)核閱卷并給出最后得分.從兩種系統(tǒng)進(jìn)行閱卷的試卷

中隨機(jī)抽取12份試卷作為樣本，其評(píng)分情況如下表所示:

試卷序

123456789101112

號(hào)

系統(tǒng)甲

828876928766756990588684

評(píng)分

系統(tǒng)乙

808276908061716588548280

評(píng)分

最后得

818576918564746789568483

分

(1)從這12份試卷中隨機(jī)選取1份，求甲、乙兩種系統(tǒng)評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)2分的概率；

(2)從這12份試卷中隨機(jī)選取3份，甲、乙兩種系統(tǒng)評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)2分的份數(shù)記為X,求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)從上述的12份試卷中隨機(jī)抽取1份，設(shè)甲系統(tǒng)對(duì)其評(píng)分為匕乙系統(tǒng)對(duì)其評(píng)分為丫,，最后得分為Z.令

4=區(qū)-0，〃=憶-可，試比較方差。J和功的大小.(結(jié)論不要求證明)

5.(2025北京延慶高三一模)在北京延慶，源遠(yuǎn)流長(zhǎng)的傳統(tǒng)大集文化依舊煥發(fā)著生機(jī).這是一種融合了傳統(tǒng)

文化與飲食娛樂(lè)的民間活動(dòng)，人們?cè)谶@里沉浸于這份樸素而直接的歡樂(lè)之中.2025年延慶大集的時(shí)間和地點(diǎn)

信息匯總?cè)缦卤恚鶕?jù)下表的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，回答以下問(wèn)題.

時(shí)間周周周周周周周

地點(diǎn)四五六S

康莊鎮(zhèn)刁千營(yíng)村

康莊鎮(zhèn)榆林堡村7

康莊鎮(zhèn)小豐營(yíng)村

延慶鎮(zhèn)付余屯村

延慶鎮(zhèn)東小河屯q77

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村

香營(yíng)鄉(xiāng)屈家窯村

舊縣鎮(zhèn)米糧屯村7

舊縣鎮(zhèn)東羊坊村

永寧鎮(zhèn)古城北街N

(1)若從周一和周四的大集中各隨機(jī)選一個(gè)大集，求恰好選的都是延慶鎮(zhèn)大集的概率；

(2)若從周六和周日的大集中隨機(jī)選3個(gè)大集，記X為選延慶鎮(zhèn)東小河屯村大集的次數(shù)，求X的分布列及期

望E(X)；

(3)從周一到周四這四天的大集中任選2個(gè)大集，設(shè)4為選永寧鎮(zhèn)古城北街大集的個(gè)數(shù)，從周五到周日這三

天的大集中任選2個(gè)大集，設(shè)〃為選永寧鎮(zhèn)古城北街大集的個(gè)數(shù)，比較隨機(jī)變量J和隨機(jī)變量〃的數(shù)學(xué)期望

的大小.(結(jié)論不要求證明)

6.(2024北京房山高三:一模)《中華人民共和國(guó)體育法》規(guī)定，國(guó)家實(shí)行運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)制度，下表是我國(guó)

現(xiàn)行《田徑運(yùn)動(dòng)員技術(shù)等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)》(單位：m)(部分摘抄)：

項(xiàng)目國(guó)際級(jí)運(yùn)動(dòng)健將運(yùn)動(dòng)健將一級(jí)運(yùn)動(dòng)員二級(jí)運(yùn)動(dòng)員三級(jí)運(yùn)動(dòng)員

男子跳遠(yuǎn)8.007.807.306.505.60

女子跳遠(yuǎn)6.656.355.855.204.50

在某市組織的考級(jí)比賽中，甲、乙、丙三名同學(xué)參加了跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽，其中甲、乙為男生，丙為女生，為

預(yù)測(cè)考級(jí)能達(dá)到國(guó)家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的人數(shù)，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績(jī)，并整理得到如下

數(shù)據(jù)(單位：)：

甲：6.60,6.67,6.55,6.44,6.48,6.42,6.40,6.35,6.75,6.25；

乙：6.38,6.56,6.45,6.36,6.82,7.38；

丙：5.16,5.65,5.18,5.86.

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績(jī)相互獨(dú)立，

(1)估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率；

(2)設(shè)X是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù)，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望

E(X)；

(3)在跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中，每位參加者按規(guī)則試跳6次，取6次試跳中的最好成績(jī)作為其最終成績(jī)本次考級(jí)比

賽中，甲已完成6次試跳，丙已完成5次試跳，成績(jī)(單位：m)如下表：

第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳

甲6.506.486.476.516.466.49

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丙5.845.825.855.835.86a

若丙第6次試跳的成績(jī)?yōu)閍,用s；,s22分別表示甲、丙試跳6次成績(jī)的方差，當(dāng)sins??時(shí)，寫(xiě)出a的值.（結(jié)

論不要求證明）

7.（2024北京門(mén)頭溝高三一模）2024年1月11日，記者從門(mén)頭溝區(qū)兩會(huì)上獲悉，目前國(guó)道109新線高速

公路（簡(jiǎn)稱新高速）全線35坐橋梁主體結(jié)構(gòu)已全部完成，項(xiàng)目整體進(jìn)度已達(dá)到95%,預(yù)計(jì)今年上半年開(kāi)始通

車，通車后從西六環(huán)到門(mén)頭溝區(qū)清水鎮(zhèn)車程將縮短到40分鐘。新高速全線設(shè)頑主線收費(fèi)站兩處（分別位于

安家莊和西臺(tái)子）和匝道收費(fèi)站四處（分別位于雁翅、火村、清水和齋堂）。新高速的建成為市民出行帶來(lái)了

很大便利，為此有關(guān)部門(mén)特意從門(mén)頭溝某居民小區(qū)中隨機(jī)抽取了200位打算利用新高速出行的居民，對(duì)其

出行的原因和下高速的出口進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查（問(wèn)卷中每位居民只填寫(xiě)一種出行原因和對(duì)應(yīng)的一個(gè)下高速的

出口），具體情況如下：

（假設(shè)該小區(qū)所有打算利用新高速出行的居民的出行相對(duì)獨(dú)立，且均選擇上表中的一個(gè)高速出口下高速）。

項(xiàng)齋堂出清水出安家莊出雁翅出火村出西臺(tái)子出

目□□□□□□

上

4082532

班

旅

30201010128

游

探

161010554

親

（1）從被調(diào)查的居民中隨機(jī)選1人，求該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率；

（2）用上表樣本的頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取2人，從出行旅游

的人中隨機(jī)抽取1人，這三人中從齋堂出口下高速的人數(shù)記為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（3）用上表樣本的頻率估計(jì)概率，從該小區(qū)所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取1人，用“5=1”

表示此人從齋堂出口下高速，“。=0”表示此人不從齋堂出口下高速：從該小區(qū)所有打算利用新高速出行旅

游的人中隨機(jī)抽取1人，用“5=1”表示此人從齋堂出口下高速，"2=0”表示此人不從齋堂出口下高速，

寫(xiě)出方差%D｝的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）.

8.（2024北京豐臺(tái)高三一模）某醫(yī)學(xué)小組為了比較白鼠注射/,8兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選

20只健康白鼠做試驗(yàn).將這20只白鼠隨機(jī)分成兩組，每組10只，其中第1組注射藥物第2組注射藥

物反試驗(yàn)結(jié)果如下表所示.

皰疹面積（單位：mm?）[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)

第1組（只）34120

第5頁(yè)/共23頁(yè)

第2組（只）13231

（1）現(xiàn)分別從第1組，第2組的白鼠中各隨機(jī)選取1只，求被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于60mm2的

概率；

（2）從兩組皮膚皰疹面積在［60,80）區(qū)間內(nèi)的白鼠中隨機(jī)選取3只抽血化驗(yàn)，求第2組中被抽中白鼠只數(shù)X的

分布列和數(shù)學(xué)期望E（X）;

（3）用“短=0''表示第4組白鼠注射藥物后皮膚皰疹面積在［30,50）區(qū)間內(nèi)，“芻=1”表示第4組白鼠注射藥物

后皮膚皰疹面積在［50,80）區(qū)間內(nèi)（左=1,2）,寫(xiě)出方差。（切，。催）的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）

9.（2024北京延慶高三一模）第十四屆全國(guó)冬季運(yùn)動(dòng)會(huì)雪橇項(xiàng)目比賽于2023年12月16日至17日在北京

延慶舉行，賽程時(shí)間安排如下表：

9:30單人雪橇第1輪

10:30單人雪橇第2輪

12月16日星期六

15:30雙人雪橇第1輪

16:30雙人雪橇第2輪

9:30單人雪橇第3輪

12月17日星期日10:30單人雪橇第4輪

15:30團(tuán)體接力

（1）若小明在每天各隨機(jī)觀看一場(chǎng)比賽，求他恰好看到單人雪橇和雙人雪橇的概率;

（2）若小明在這兩天的所有比賽中隨機(jī)觀看三場(chǎng)，記X為看到雙人雪橇的次數(shù)，求X的分布列及期望E（X）；

（3）若小明在每天各隨機(jī)觀看一場(chǎng)比賽，用“5=1”表示小明在周六看到單人雪橇，“4=0”表示小明在周六

沒(méi)看到單人雪橇，“5=1”表示小明在周日看到單人雪橇，"2=0”表示小明在周日沒(méi)看到單人雪橇，寫(xiě)出

方差。（4,。（與）的大小關(guān)系.

10.（2023北京房山高三一模）某社區(qū)組織了一次公益講座.向社區(qū)居民普及垃圾分類知識(shí).為了解講座效果,

隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民.讓他們?cè)谥v座前和講座后分別回答一份垃圾分類知識(shí)向卷.這10位社區(qū)居民的講座

前和講座后答卷的正確率如下表：

號(hào)

1號(hào)2號(hào)3號(hào)4號(hào)5號(hào)6號(hào)7號(hào)8號(hào)9號(hào)10號(hào)

準(zhǔn)確￡\

講座前65%60%70%100%65%75%90%85%80%60%

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講座后90%85%80%95%85%85%95%100%85%90%

(1)從公益講座前的10份垃圾分類知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取一份.求這份答卷正確率低于80%的概率；

(2)從正確率不低于90%的垃圾分類知識(shí)答卷中隨機(jī)抽取3份，記隨機(jī)變量X為抽中講座前答卷的個(gè)數(shù).求隨

機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(3)判斷此次公益講座的宣傳效果.并說(shuō)明你的理由.

11.(2023北京朝陽(yáng)高三一模)某地區(qū)組織所有高一學(xué)生參加了“科技的力量”主題知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，根據(jù)答題

得分情況評(píng)選出一二三等獎(jiǎng)若干，為了解不同性別學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況，從該地區(qū)隨機(jī)抽取了500名參加活動(dòng)

的高一學(xué)生，獲獎(jiǎng)情況統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：

獲獎(jiǎng)人數(shù)

性別人數(shù)

一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)

男生200101515

女生300252540

假設(shè)所有學(xué)生的獲獎(jiǎng)情況相互獨(dú)立.

(1)分別從上述200名男生和300名女生中各隨機(jī)抽取1名，求抽到的2名學(xué)生都獲一等獎(jiǎng)的概率；

(2)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一男生中隨機(jī)抽取1名，從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，以X表示這

2名學(xué)生中獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EY；

(3)用頻率估計(jì)概率，從該地區(qū)高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為P。；從該地區(qū)高一男

生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲獎(jiǎng)的概率為回；從該地區(qū)高一女生中隨機(jī)抽取1名，設(shè)抽到的學(xué)生獲

獎(jiǎng)的概率為2,試比較P。與互愛(ài)的大小.(結(jié)論不要求證明)

12.(2023北京東城高三一模)甲、乙兩名同學(xué)積極參與體育鍛煉，對(duì)同一體育項(xiàng)目，在一段時(shí)間內(nèi)甲進(jìn)行

了6次測(cè)試，乙進(jìn)行了7次測(cè)試.每次測(cè)試滿分均為100分，達(dá)到85分及以上為優(yōu)秀.兩位同學(xué)的測(cè)試成績(jī)

如下表：

次數(shù)同學(xué)第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次

甲807882869593——

乙76818085899694

(1)從甲、乙兩名同學(xué)共進(jìn)行的13次測(cè)試中隨機(jī)選取一次，求該次測(cè)試成績(jī)超過(guò)90分的概率;

(2)從甲同學(xué)進(jìn)行的6次測(cè)試中隨機(jī)選取4次，設(shè)X表示這4次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，求X的分布列及

數(shù)學(xué)期望EX；

(3)從乙同學(xué)進(jìn)行的7次測(cè)試中隨機(jī)選取3次，設(shè)￥表示這3次測(cè)試成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的次數(shù)，試判斷數(shù)學(xué)期望

EY與(2)中EX的大小.(結(jié)論不要求證明)

13.(2023北京豐臺(tái)高三一模)交通擁堵指數(shù)(TPI)是表征交通擁堵程度的客觀指標(biāo)，TPI越大代表?yè)矶?/p>

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程度越高.某平臺(tái)計(jì)算TPI的公式為：TPI=e二:二二二,并按TPI的大小將城市道路擁堵程度劃分為

如下表所示的4個(gè)等級(jí):

TPI[1,1.5)[1.5,2)[2,4)不低于4

擁堵等級(jí)暢通緩行擁堵嚴(yán)重?fù)矶?/p>

某市2023年元旦及前后共7天與2022年同期的交通高峰期城市道路TP1的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下圖:

12月29日12月30日12月31日1月1日1月2日1月3日1月4日

------.-------2023年------?----2022年

(1)從2022年元旦及前后共7天中任取1天，求這一天交通高峰期城市道路擁堵程度為“擁堵”的概率；

(2)從2023年元旦及前后共7天中任取3天，將這3天中交通高峰期城市道路TPI比2022年同日TPI高的

天數(shù)記為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)；

⑶把12月29日作為第1天，將2023年元旦及前后共7天的交通高峰期城市道路TPI依次記為4M，

將2022年同期TPI依次記為4也，…,與，記C[=a「a(i=1,2,…,7),請(qǐng)直接寫(xiě)出卜取得最大

?Z=1

值時(shí)，的值.

14.(2023北京石景山高三一模)某高?！爸参餇I(yíng)養(yǎng)學(xué)專業(yè)”學(xué)生將雞冠花的株高增量作為研究對(duì)象，觀察長(zhǎng)

效肥和緩釋肥對(duì)農(nóng)作物影響情況.其中長(zhǎng)效肥、緩釋肥、未施肥三種處理下的雞冠花分別對(duì)應(yīng)1,2,3三組.觀

察一段時(shí)間后，分別從1,2,3三組隨機(jī)抽取40株雞冠花作為樣本，得到相應(yīng)的株高增量數(shù)據(jù)整理如下表.

株高增量(單位：厘米)(4,7](7，叫(10,13](13,16]

第1組雞冠花株數(shù)92092

第2組雞冠花株數(shù)416164

第3組雞冠花株數(shù)1312132

假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且所有雞冠花生長(zhǎng)情況相互獨(dú)立.

(1)從第1組所有雞冠花中隨機(jī)選取1株，估計(jì)株高增量為(7,10]厘米的概率；

(2)分別從第1組，第2組，第3組的所有雞冠花中各隨機(jī)選取1株，記這3株雞冠花中恰有X株的株高增

第8頁(yè)/共23頁(yè)

量為（7,10］厘米，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EY；

⑶用“4=1”表示第左組雞冠花的株高增量為（4,叫，“5=0”表示第斤組雞冠花的株高增量為（10,16］厘米,

k=W,直接寫(xiě)出方差D4,。女的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）

第9頁(yè)/共23頁(yè)

參考答案

（2）分布列見(jiàn)解析，E[X）=—；

（3）①，理由見(jiàn)解析.

【分析】（1）根據(jù)題意，直接寫(xiě)出即可；（2）求得X的取值，進(jìn)而計(jì)算出其對(duì)應(yīng)概率，即可寫(xiě)出分布列,

求得數(shù)學(xué)期望；（3）計(jì)算不同方案下總經(jīng)濟(jì)損失的數(shù)學(xué)期望，比較大小，即可判斷.

【詳解】（1）設(shè)“一臺(tái)設(shè)備未出現(xiàn)發(fā)熱情況，設(shè)備損壞”為事件A,則尸（/）="二，八八=三

''400+6005

73

（2）依題意，一臺(tái)設(shè)備出現(xiàn)發(fā)熱情況，設(shè)備損壞的概率為自，設(shè)備正常的概率為本；

易知，^=10,12,14,

P（^=10）=—X—=—,P（^=12）=C2x—x—=—=—,P（^=14）=—x—=—,

''1010100'7101010050''1010100

故X的分布列如下所示：

X101214

92149

尸（X）

WO50Too

o214964

故E（X）=10x——+12x—+14x——

（3）使得工廠總經(jīng)濟(jì)損失的期望最小的方案的編號(hào)為①，理由如下:

記采用不同方案，這2臺(tái)設(shè)備給工廠帶來(lái)的總經(jīng)濟(jì)損失為y千元,

采用方案①：丫的取值為：5,7,17,19,

…八339「&_、7321C…、3263八、72147

P（Y=5）=—x-=—,P億=7）=—x-=—；P憶=17￥-x—=―?=19學(xué)一興=-=-

'710550v710550r1055025A71055025

故采用方案①，總經(jīng)濟(jì)損失的期望成0=5,2+7*2+17'4+19'（=?；

JyJJVzJJJ

采用方案②：y的取值為：10,12,15,17,

7372143263

P（Y=10）=—x———x—=——=^（y=i5）=Ax|——x—=——

v7105105501055025

故采用方案②，總經(jīng)濟(jì)損失的期望E（Y）=10x三71+12'（7+15、4Q+17、5=靠1；

采用方案③：丫的取值為：5,10,17,22,

八37211八、3397”271472363

P（Y=5）=—x——=——,P（Y=10）=—x——二——,P（Y=17）=—x——=——=——,P（Y=22）=—x——=——=——

'751050v751050v75105025v75IO5025

71g73113

故采用方案③：總經(jīng)濟(jì)損失的期望E（y）=5x獲+10XG+17X^+22X寶

第10頁(yè)/共23頁(yè)

綜上，故采用方案①，可使得總經(jīng)濟(jì)損失的期望最小.

4

2.(Dy

73

(2)(i)分布列見(jiàn)解析，—；(ii)甲

【分析】(1)根據(jù)古典概型計(jì)算求解；

(2)(i)先應(yīng)用獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算概率，再得出分布列，進(jìn)而計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；(ii)根據(jù)古典概型

判斷即可.

【詳解】(1)上表中的7趟車次中，列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的有4趟.

設(shè)事件”="從上表中隨機(jī)選取一趟高鐵車次從北京西出發(fā)到廣州南，這趟列車的運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)”,

4

則「(/)=]

21

(2)(i)甲選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的概率為二=彳，乙選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的

42

24

概率為,丙選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)不超過(guò)10小時(shí)的概率為三.

37

X的所有可能取值為0,1,2,3,

P（^f=0）=—X—X—=—

'723714

13

'/23723723742

P（X=2）=；241141233

X—X——I——X—X——I——X—X

372372377

1944

尸（X=3）=—x—x—二——

'723721

所以X的分布列為:

X0123

11334

P

1442721

a]a1R274

%的數(shù)學(xué)期望石（入）=0*——+]義——+2*——+3*——=——

v74242424242

（ii）甲.

列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短為7小時(shí)17分，甲選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率為:，乙選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的

4

概率為0,丙選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率為:，所以甲選取的列車運(yùn)行時(shí)長(zhǎng)最短的概率最大.

3.(1)7

第11頁(yè)/共23頁(yè)

7

(2)分布列見(jiàn)解析，j

⑶s；>s；

【分析】(1)求出各年的。值，利用古典概型概率公式求結(jié)論；

(2)確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求X取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望；

(3)先求新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)，純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求兩組數(shù)據(jù)的方差，比較大小

即可.

【詳解】(1)設(shè)從2017年至2024年這8年中隨機(jī)抽取1年，且該年的。值超過(guò)50%為事件A,

由圖表知，

3555

2017年的。值為一xl00%<50%,2018年的。值為——x100%<50%,

80121

2019年的。值為名*100%<50%,QC

2020年的。值為一x100%<50%,

163182

121298

2021年的。值為一x100%>50%,2022年的。值為荻x100%〉50%,

221

312

2023年的。值為——x100%>50%,2024年的。值為"xl00%>50%,

412528

所以在2017年至2024年這8年中，有且僅有2021年至2024年這4年的。值超過(guò)50%,

41

所以尸(/)=^=L

oZ

(2)由圖表知，在2019年至2024年這6年中，。值超過(guò)50%的有4年,

所以隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3.

則…=那，尸(>2)=怒$,5)=急算1

15

所以X的分布列為:

X123

241

P

31515

7417

故X的數(shù)學(xué)期望￡(X)=lx：+2xt+3xa=；.

11741

(3)從2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為82+221+398+412+528)=—=348.2,

所以從2020年至2024年這5年新能源汽車銷量數(shù)據(jù)的方差

所以4=16536.16

111QO

從2020年至2024年這5年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的平均數(shù)為1(85+121+298+312+366)=三一=236.4,

第12頁(yè)/共23頁(yè)

從2020年至2024年這5年純電動(dòng)汽車銷量數(shù)據(jù)的方差

s；=g[(85-236.4)2+(121—236.4『+(298—236.4『+(312—236.4)2+(366—236.4)1,

所以s；=12509.04,

所以s；>s；

4.(1)|

(2)分布列見(jiàn)解析，1

(3)耳＜?！?/p>

【分析】(1)由古典概型概率公式即可求解；

(2)確定X的可能取值，求得對(duì)應(yīng)概率即可求解；

(3)由方差計(jì)算公式即可求解；

【詳解】(1)設(shè)事件A為從這12篇份試卷中隨機(jī)抽取1份，甲、乙兩種系統(tǒng)評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)2分,

又在這12篇份試卷中，甲、乙兩種系統(tǒng)評(píng)分之差的絕對(duì)值不超過(guò)2分的有4篇，

41

所以尸(/)=衛(wèi)=丁

(2)由已知X的可能取值為0,1,2,3

。2rl

尸(x=o)，14C228尸。=)什=12

尸(X=1)=N2=

55^125555

尸(X=3)=

C55

所以X的分布列為

X0123

1428121

P

55555555

14171

所以X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=0x&+lx空+2x上+3x^=1；

(3)。自證明如下：

J的取值依次為：1,3,0,1,2,2,1,2,I,2,2,1,

平均數(shù)為：1.5,

_(1-1.5)2+(3-1.5)2+(0-1.5/+Q-1.5j+?-1.5j+好1.5)+(-1.5j+[-1.5%1(-1.5[-1.52)b(2

方=n

a0.5833

〃的取值依次為：1,3,0,1,5,3,3,2,1,2,2,3,

13

平均數(shù)為：

6

第13頁(yè)/共23頁(yè)

22222222

13i+(51313

+I3--I+12+2二+21

+V+Yi+h66I66+Y

Dr)=

12

?1.6389,

所以行

5.(1)|

o

（2）分布列見(jiàn)解析,1

⑶EC）＞ES）.

【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式得解；

（2）求出隨機(jī)變量的概率，列出分布列，求期望即可；

（3）分別計(jì)算兩個(gè)隨機(jī)變量的期望，即可得解.

【詳解】（1）記“周一和周四的大集中各隨機(jī)選一次大集，恰好選的都是延慶鎮(zhèn)大集”為事件A,

由表可知，周一選一次大集，恰好選的是延慶鎮(zhèn)大集的概率為

周四選一次大集，恰好選的是延慶鎮(zhèn)大集的概率為:，

所以==[

Zi4o

（2）隨機(jī)變量X的所有可能取值為（M,2,

r°r3in7

根據(jù)題意，p(x=0)=^=-=-f

。2rl

尸(X=2)=專5

357

隨機(jī)變量X的分布列是:

X012

241

P———

777

Bc^M!M^(^)=0x|+ix1+2xy=

（3）￡6）＞即）.

由題意，4可能取值為01,2,

C245C1C1

^14

,,廠/八?45140_652

故￡(J)=Ox----nix——+2x—=——

91919191

由題意，〃可能取值為0』,2,

第14頁(yè)/共23頁(yè)

P（〃=o）="空一匕p仿一1)一生1240尸（〃=2）="=[1

6633'舊)C'

^126622

-/、八28124c35

故￡（〃）=0x—+lx——+2x——=一

v7666666II

所以￡4)＞頤〃).

2

6.(I)j

⑵E(X)=l.4

(3)(2=5.81或＜7=5.87.

【分析】(1)由已知數(shù)據(jù)計(jì)算頻率，用頻率估計(jì)概率;

(2)由X的取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，由公式計(jì)算數(shù)學(xué)期望￡(X)；

(3)當(dāng)兩人成績(jī)滿足%=毛+g=1,2,3,4,5,6)的模型，方差相等.

【詳解】(1)甲以往的10次比賽成績(jī)中，有4次達(dá)到國(guó)家二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員標(biāo)準(zhǔn),

用頻率估計(jì)概率，估計(jì)甲在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的概率為需4=(2；

(2)設(shè)甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員分別為事件4瓦C,

711

以往的比賽成績(jī)中，用頻率估計(jì)概率，有尸(/)=:P(B)=3,P(C)=-,

x是甲、乙、丙在此次跳遠(yuǎn)考級(jí)比賽中成績(jī)達(dá)到二級(jí)及二級(jí)以上運(yùn)動(dòng)員的總?cè)藬?shù),

則X可能的取值為0,1,2,3,

3113

P（^=o）=p（lsc）=—X—x—

52220

2113113118

尸（X=1）=p（ABC]+P（ABC]+P[ABC）=——X——X——|——X—X——|——X—X—=——

52252252220

__oiloilnil7

P（^=2）=P（^C）+P（^C）+P（^C）=-x-x-+-x-x-+-x-x-=-,

P(X=^=P(ABC}=-^-'^-=—,

l7v752220

^2Q7O

估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望用工)=0喘+]喻+2x5+3x茄=L4；

(3)甲的6次試跳成績(jī)從小到大排列為：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51,

設(shè)這6次試跳成績(jī)依次從小到大為％[=1,2,3,4,5,6),

丙的5次試跳成績(jī)從小到大排列為：5.82,5.83,5.84,5.85,5.86,

設(shè)丙的6次試跳成績(jī)從小到大排列依次為％[=1,2,3,4,5,6),

當(dāng)a=5.81時(shí)，滿足％=%一0.65?=1,2,3,4,5,6）,sJuSz?成立;

當(dāng)a=5.87時(shí)，滿足％=玉-0.64。=1,2,3,4,5,6）,成立.

所以。=5.81或。=5.87.

第15頁(yè)/共23頁(yè)

1

7.（1）—

20

（2）見(jiàn)詳解

（3）D4=%2

【分析】（1）根據(jù)古典概型在清水出口下高速的人數(shù)比總樣本數(shù)即可得到概論。

（2）由題意，隨機(jī)變量X的所有可能為0,1,2,3,分別求出概率，X即可求出分布列，利用期望公式

求出期望。

（3）通過(guò)對(duì)。，乙方差的估算，即可得出。4=。$。

【詳解】（1）解：樣本中被調(diào)查的居民人數(shù)為200,

其中利用新高速出行探親且在清水出口下高速的人數(shù)為10,

所以該居民利用新高速出行探親且在清水出口下高速的概率為：器=5，

（2）解：從樣本中所有打算利用新高速出行上班的人中隨機(jī)抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為

從樣本中所有打算利用新高速出行旅游的人中隨機(jī)抽取1人，此人從齋堂出口下高速的概率為:，

由題設(shè)，X的所有可能取值為0,1,2,3.

尸。=°）吧2年小

''2333⑴327

小211/2丫212

P（X—2）=C,x_x_x—F_x_=—,

'7~333⑴327

P（X=3）=02

所以隨機(jī)變量X的分布列為：

X0123

29124

P

27272727

所以X的數(shù)學(xué)期望EX=0xe2+lxZ9+2x上12+3x上4=L5

272727273

（3）解：D&LD&Z

8.⑴竺

25

（2）分布列見(jiàn)解析，￡（X）=2

（3）。信）＜。但）

【分析】（1）根據(jù)古典概型的概率公式及相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算可得;

第16頁(yè)/共23頁(yè)

（2）依題意X的可能取值為1、2、3,求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望；

（3）分別求出尸仁=0）,P4=1），尸/=。），尸信2=1），從而求出。4、即可比較.

【詳解】（1）記被選出的2只白鼠皮膚皰疹面積均小于60mm2為事件C,

O

其中從第1組中選出的1只白鼠皮膚皰疹面積小于60mm2的概率為二，

從第2組中選出的1只白鼠皮膚皰疹面積小于60mm2的概率為2,

12

所以