第25講解直角三角形

勾股定理（共1小題）

1.（2021?丹東）如圖，在△ABC中，ZB=45°,AB的垂直平分線交48于點。，交BC

于點E（BE>CE）,點P是AC的中點，連接AE、EF,若8C=7,AC=5,則尸的

周長為.

2.（2020?盤錦）我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》記載了一道有趣的問題.原文是：今有池

方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.譯為：

有一個水池，水面是一個邊長為10尺的正方形，在水池正中央有一根蘆葦，它高出水面

1尺，如果把這根蘆葦拉向水池一邊，它的頂端恰好到達池邊的水面，水的深度與這根蘆

葦?shù)拈L度分別是多少？設(shè)蘆葦?shù)拈L度是x尺.根據(jù)題意，可列方程為（）

A./+1。2=（x+i）2B.（x-1）2+52—^

C.?+52=（無+1）2D.（x-1）2+102=/

三.三角形函數(shù)與圓（共1小題）

3.（2021?遼寧）如圖，由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A,B,C都在格點上，以

AB為直徑的圓經(jīng)過點C和點D,貝han/AOC=

A、C

V/\

/

7乙5

四.三角形函數(shù)與切線（共2小題）

4.（2022?遼寧）如圖，△ABC內(nèi)接于O。，AC是的直徑，過OA上的點尸作PDLAC,

交C8的延長線于點。，交48于點E,點P為。E的中點，連接BF.

（1）求證：3尸與O。相切;

4

(2)若AP=OP,cosA=g,AP=4,求BE的長.

5.（2022?阜新）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,。是BC邊上一點，以。為圓心,

。2為半徑的圓與AB相交于點。，連接C。，且O）=AC.

（1）求證：C。是。。的切線；

（2）若NA=60°，AC=2回求皿的長.

五.三角形函數(shù)與弧長的計算（共1小題）

6.（2022?大連）如圖，正方形ABCD的邊長是魚，將對角線AC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)NCA。

的度數(shù)，點C旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為E,則弧CE的長是（結(jié)果保留n）.

7.（2022?大連）AB是OO的直徑，C是。。上一點，垂足為￡）,過點A作。。

的切線，與。。的延長線相交于點E.

（1）如圖1,求證NB=NE；

（2）如圖2,連接A。，若。。的半徑為2,OE=3,求的長.

8.（2022?沈陽）如圖，一條河的兩岸互相平行，為了測量河的寬度PT（PT與河岸尸。垂

直），測量得P,。兩點間距離為優(yōu)米，ZPQT=a,則河寬PT的長為（）

m

A.msinaB.mcosaC.mtanaD.-------

tana

A.解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共1小題）

9.（2020?阜新）如圖，為了了解山坡上兩棵樹間的水平距離，數(shù)學(xué)活動小組的同學(xué)們測得

該山坡的傾斜角a=20°,兩樹間的坡面距離AB=5m,則這兩棵樹的水平距離約為

相（結(jié)果精確到0.1相，參考數(shù)據(jù)：sin20°仁0.342,cos20°^0.940,tan20°仁0.364）.

九.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共15小題）

10.（2021?阜新）如圖，甲樓高21〃z,由甲樓頂看乙樓頂?shù)难鼋鞘?5°,看乙樓底的俯角

是30°,則乙樓高度約為機（結(jié)果精確到Lw,V3

甲乙

11.（2022?阜新）如圖，小文在數(shù)學(xué)綜合實踐活動中，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量居民樓的高

度A3,在居民樓前方有一斜坡，坡長8=15根，斜坡的傾斜角為a,cosa=1.小文在

C點處測得樓頂端A的仰角為60。，在。點處測得樓頂端A的仰角為30°（點A,B,

C,。在同一平面內(nèi)）.

（1）求C,。兩點的高度差；

（2）求居民樓的高度A3.

（結(jié)果精確到1根，參考數(shù)據(jù)：V3?1.7）

BC

12.（2022?朝陽）某數(shù)學(xué)興趣小組準備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺

階）.該小組在C處安置測角儀CD,測得旗桿頂端A的仰角為30°,前進8m到達E處，

安置測角儀斯，測得旗桿頂端A的仰角為45°（點2,E,C在同一直線上），測角儀支

架高CO=EF=1.2m,求旗桿頂端A到地面的距離即A8的長度.（結(jié)果精確到參考

數(shù)據(jù)：V3~1.7）

A

13.（2022?鞍山）北京時間2022年4月16日9時56分，神舟十三號載人飛船返回艙成功

著陸.為弘揚航天精神,某校在教學(xué)樓上懸掛了一幅長為8m的勵志條幅（即GF=8〃z）.小

亮同學(xué)想知道條幅的底端尸到地面的距離，他的測量過程如下：如圖，首先他站在樓前

點2處，在點B正上方點A處測得條幅頂端G的仰角為37°,然后向教學(xué)樓條幅方向

前行12機到達點。處（樓底部點E與點8,。在一條直線上），在點。正上方點C處測

得條幅底端廠的仰角為45°,若AB,均為1.65%（即四邊形為矩形），請你

幫助小亮計算條幅底端F到地面的距離FE的長度.（結(jié)果精確到0.1加.參考數(shù)據(jù):sin37°

^0.60,cos37°^0.80,tan37°^0.75）

14.（2022?大連）如圖，蓮花山是大連著名的景點之一.游客可以從山底乘坐索道車到達山

頂，索道車運行的速度是1米/秒.小明要測量蓮花山山頂白塔的高度，他在索道A處測

得白塔底部8的仰角約為30°,測得白塔頂部C的仰角約為37。，索道車從A處運行

到B處所用時間約為5分鐘.

（1）索道車從A處運行到B處的距離約為米；

（2）請你利用小明測量的數(shù)據(jù)，求白塔的高度.（結(jié)果取整數(shù)）

（參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.60,cos37°七0.80,tan37°-0.75,V3=1.73）

B

15.（2022?盤錦）某數(shù)學(xué)小組要測量學(xué)校路燈尸-M-N的頂部到地面的距離，他們借助皮

尺、測角儀進行測量，測量結(jié)果如下:

測量項目測量數(shù)據(jù)

從A處測得路燈頂部P的仰角aa=58°

從。處測得路燈頂部P的仰角B0=31°

測角儀到地面的距離AB=DC^1.6m

兩次測量時測角儀之間的水平距離BC=2m

計算路燈頂部到地面的距離PE約為多少米？（結(jié)果精確到0.1米.參考數(shù)據(jù)：cos31°

仁0.86,tan31°心0.60,cos58°"0.53,tan58°仁1.60)

16.（2022?營口）在一次數(shù)學(xué)課外實踐活動中，某小組要測量一幢大樓MN的高度，如圖,

在山坡的坡腳A處測得大樓頂部M的仰角是58°,沿著山坡向上走75米到達3處，在

8處測得大樓頂部M的仰角是22。，已知斜坡42的坡度i=3：4（坡度是指坡面的鉛直

高度與水平寬度的比），求大樓的高度.（圖中的點A,B,M,N,C均在同一平面

內(nèi)，N,A,C在同一水平線上，參考數(shù)據(jù)：tan22°心0.4,tan58°F.6）

M

17.（2022?遼寧）數(shù)學(xué)活動小組欲測量山坡上一棵大樹CD的高度，如圖，于點E,

在A處測得大樹底端C的仰角為15°,沿水平地面前進30米到達2處，測得大樹頂端

。的仰角為53°,測得山坡坡角/C8M=30°（圖中各點均在同一平面內(nèi)）.

（1）求斜坡BC的長；

（2）求這棵大樹CD的高度（結(jié)果取整數(shù)），

（參考數(shù)據(jù)：sin53°=3，cos53°?tan53°=*V3?1.73）

18.（2021?朝陽）一數(shù)學(xué)興趣小組去測量一棵周圍有圍欄保護的古樹的高，在G處放置一

個小平面鏡，當一位同學(xué)站在尸點時，恰好在小平面鏡內(nèi)看到這棵古樹的頂端A的像，

此時測得FG=3m,這位同學(xué)向古樹方向前進了9m后到達點在。處安置一高度為

1/77的測角儀CD,此時測得樹頂4的仰角為30°,已知這位同學(xué)的眼睛與地面的距離

EF=1.5m,點、B,D,G,尸在同一水平直線上，且AB,CD,EF均垂直于BE,求這棵

古樹AB的高.（小平面鏡的大小和厚度忽略不計，結(jié)果保留根號）

19.（2021?錦州）如圖，山坡上有一棵豎直的樹48,坡面上點。處放置高度為1.6口的測

傾器CZ）,測傾器的頂部C與樹底部8恰好在同一水平線上（即8c〃腦V）,此時測得樹

頂部A的仰角為50°.己知山坡的坡度i=l：3（即坡面上點B處的鉛直高度BN與水

平寬度MN的比），求樹AB的高度（結(jié)果精確到0.1加.參考數(shù)據(jù)：sin50°-0.77,cos50°

20.64,tan50°^1.19）

20.（2021?盤錦）如圖，小華遙控?zé)o人機從A處飛行到對面大廈MN的頂端無人機飛

行方向與水平方向的夾角為37。，小華在A點測得大廈底部N的俯角為31。，兩樓之

FN1

間一棵樹斯的頂點E恰好在視線⑷V上，己知樹的高度為6切，且—=樓AB,MN,

FB2

樹所均垂直于地面，問：無人機飛行的距離AM約是多少米？（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)

據(jù)：cos31°-0.86,tan31°-0.60,cos37°心0.80,tan37°七0.75）

21.（2021?丹東）如圖，一架無人機在空中A處觀測到山頂8的仰角為36.87°,山頂8在

水中的倒影C的俯角為63.44°,此時無人機距水面的距離4。=50米，求點2到水面距

離的高度.

（參考數(shù)據(jù)：sin36.87°仁0.60,cos36.87°^0.80,tan36.87°-0.75,sin63.44°-0.89,

cos63.44°七0.45,tan63.44°?2.00)

B

D

22.（2021?大連）如圖，建筑物BC上有一旗桿A8,從與BC相距20根的。處觀測旗桿頂

部A的仰角為57°,觀測旗桿底部2的仰角為50°,求旗桿A3的高度（結(jié)果取整數(shù)）.

(參考數(shù)據(jù)：sin50°^0.766,cos50°^0.643,tan50°?1.192；sin57°~0.839,cos57°

心0.545,tan57°?1.540)

23.（2021?遼寧）如圖，某地政府為解決當?shù)剞r(nóng)戶網(wǎng)絡(luò)銷售農(nóng)特產(chǎn)品物流不暢問題，計劃打

通一條東西方向的隧道A3.無人機從點A的正上方點C,沿正東方向以8%/s的速度飛

行15s到達點。，測得A的俯角為60°,然后以同樣的速度沿正東方向又飛行50s到達

點E,測得點B的俯角為37°.

（1）求無人機的高度AC（結(jié)果保留根號）；

（2）求48的長度（結(jié)果精確到加）.

（參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.60,cos37°"0.80,tan37°20.75,V3=1.73）

24.（2020?盤錦）如圖，某數(shù)學(xué)活動小組要測量建筑物的高度，他們借助測角儀和皮尺

進行了實地測量，測量結(jié)果如下表.

測量項目測量數(shù)據(jù)

測角儀到地面的距離CD=1.6根

點D到建筑物的距離BD=4m

從C處觀測建筑物頂部A的仰角ZACE=67°

從C處觀測建筑物底部B的俯角ZBCE=22°

請根據(jù)需要，從上面表格中選擇3個測量數(shù)據(jù)，并利用你選擇的數(shù)據(jù)計算出建筑物AB

的高度結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù):sin67°?0.92,cos67°~0.39,tan67°~2.36.sin22°

~0.37,cos22°^0.93,tan22°入。40）（選擇一種方法解答即可）

一十.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共7小題）

25.（2022?錦州）如圖，一艘貨輪在海面上航行，準備要停靠到碼頭C,貨輪航行到A處時，

測得碼頭C在北偏東60°方向上.為了躲避A,C之間的暗礁，這艘貨輪調(diào)整航向，沿

著北偏東30°方向繼續(xù)航行，當它航行到8處后，又沿著南偏東70。方向航行20海里

到達碼頭C.求貨輪從A到8航行的距離（結(jié)果精確到0.1海里.參考數(shù)據(jù)：sin50°

0.766,cos50°"0.643,tan50°"1.192).

北

26.（2022?丹東）如圖，我國某海域有A,B,C三個港口，8港口在C港口正西方向332nmile

Simile是單位“海里”的符號）處,A港口在8港口北偏西50°方向且距離B港口40nmile

處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點。處有一艘貨船，求貨船與A

港口之間的距離.

（參考數(shù)據(jù)：sin50°?0.77,cos50°20.64,tan50°^1.19,sin53°"0.80,cos53°弋

0.60,tan53°仁1.33.)

27.（2022?遼寧）如圖，8港口在A港口的南偏西25°方向上，距離A港口100海里處.一

艘貨輪航行到C處，發(fā)現(xiàn)A港口在貨輪的北偏西25°方向，2港口在貨輪的北偏西70°

方向.求此時貨輪與A港口的距離（結(jié)果取整數(shù)）.

（參考數(shù)據(jù)：sin50°七0.766,cos50°"0.643,tan50°心1.192,V2?1.414）

28.（2021?鞍山）小明和小華約定一同去公園游玩，公園有南北兩個門，北門A在南門B

的正北方向，小明自公園北門A處出發(fā)，沿南偏東30。方向前往游樂場。處；小華自南

門B處出發(fā)，沿正東方向行走150機到達C處，再沿北偏東22.6°方向前往游樂場。處

與小明匯合（如圖所示），兩人所走的路程相同.求公園北門A與南門8之間的距離.（結(jié)

果取整數(shù).參考數(shù)據(jù)：sin22.6°2cos22.6°?tan22.6°?遍=1.732)

29.（2021?遼寧）某景區(qū)A、B兩個景點位于湖泊兩側(cè)，游客從景點A到景點B必須經(jīng)過C

處才能到達.觀測得景點B在景點A的北偏東30°,從景點A出發(fā)向正北方向步行600

米到達C處，測得景點3在C的北偏東75°方向.

（1）求景點3和C處之間的距離；（結(jié)果保留根號）

（2）當?shù)卣疄榱吮憬萦慰陀斡[，打算修建一條從景點A到景點B的筆直的跨湖大橋.大

橋修建后,從景點A到景點8比原來少走多少米？（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)據(jù)=1.414,

V3-1.732）

30.（2021?營口）小張早起在一條東西走向的筆直馬路上晨跑，他在A處時，。處學(xué)校和E

處圖書館都在他的東北方向，當小張沿正東方向跑了600m到達8處時，E處圖書館在他

的北偏東15°方向，然后他由8處繼續(xù)向正東方向跑600m到達C處，此時。處學(xué)校在

他的北偏西63.4°方向，求。處學(xué)校和E處圖書館之間的距離.（結(jié)果保留整數(shù)）

（參考數(shù)據(jù)：sin63.4°-0.9,cos63.4°七0.4,tan63.4°??2.0,V2?1.4,V3?1.7,V6?2.4）

北

▲

31.（2020?錦州）如圖，某海岸邊有8,C兩碼頭，C碼頭位于8碼頭的正東方向，距8碼

頭40海里.甲、乙兩船同時從A島出發(fā)，甲船向位于A島正北方向的8碼頭航行，乙

船向位于A島北偏東30°方向的C碼頭航行，當甲船到達距B碼頭30海里的E處時，

乙船位于甲船北偏東60°方向的。處，求此時乙船與C