專題13函數(shù)模型及其應(yīng)用

【命題方向目錄】

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

題型二：對勾函數(shù)模型

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型

題型四：已知函數(shù)模型的實際問題

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題

【2024年高考預(yù)測】

2024年高考可能結(jié)合函數(shù)與生活應(yīng)用進行考察，對學(xué)生建模能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力綜合

考查.

【知識點總結(jié)】

1、三種函數(shù)模型的性質(zhì)

函數(shù)

y=優(yōu)(〃〉1)y=log?x(a>l)y=0)

性質(zhì)

在(0,+00)上的增

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨尤的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸隨尤的增大逐漸表現(xiàn)為

圖象的變化隨〃值變化而各有不同

平行與X軸平行

2、幾種常見的函數(shù)模型:

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型f{x}=ax+b{a,〃為常數(shù)且Qw0)

反比例函數(shù)模型k

f(x)=—+b(k,Z?為常數(shù)且aw0)

二次函數(shù)模型/(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù)且。工0)

指數(shù)函數(shù)模型/(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù)，bwO,a>0,awl)

對數(shù)函數(shù)模型f(x)=b\ogax+c(a,b,c為常數(shù)，bw0,a>0,awl)

幕函數(shù)模型n

f(x)=ax+b(afb為常數(shù)，〃。0)

【方法技巧與總結(jié)】

1、解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟：

（1）審題：弄清題意，識別條件與結(jié)論，弄清數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；

（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用已有知識

建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出結(jié)論；

（4）還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實際問題.

【典例例題】

題型一：二次函數(shù)模型，分段函數(shù)模型

例1.（2023?河南商丘?高三睢縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為

200萬元，并且生產(chǎn)量每增加一單位產(chǎn)品，成本增加1萬元，又知總收入R是單位產(chǎn)量。的

函數(shù)：尺（。）=4。-擊。2,則總利潤的最大值是_____萬元.（總利潤=總收入一成

本）

【答案】250

【解析】根據(jù)題意得

=4。-擊。2-（200+。）

1

-------Q29+30—200

200

一短電300）、250,

所以當(dāng)。=300時，總利潤取得最大值250萬元,

故答案為：250

例2.（2023?甘肅蘭州?高三統(tǒng)考階段練習(xí)）某商場銷售A型商品，已知該商品的進價是每件

17

【答案】y/8.5

【解析】設(shè)定價為羽14＞尤＞3元，利潤為y元,

由題意可知：y=。-3）［400-40（x-4）］=40（-x2+17x-42）,

故當(dāng)x=8.5時，丁最大，且最大值為1210.

故答案為：8.5

例3.（2023?安徽滁州?高三安徽省定遠縣第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）折紙是我國民間的一種傳

統(tǒng)手工藝術(shù)，明德小學(xué)在課后延時服務(wù)中聘請了民間藝術(shù)傳人給同學(xué)們教授折紙.課堂上，

老師給每位同學(xué)發(fā)了一張長為10cm,寬為8cm的矩形紙片，要求大家將紙片沿一條直線折

疊.若折痕（線段）將紙片分為面積比為1:3的兩部分，則折痕長度的取值范圍是

___________cm.

【答案】[8,2A/29]

【解析】由題意得：長方形紙片的面積為10x8=80（cm＞，又邑=1:3,

-20cm2,S2=60cm2,

當(dāng)折痕如下圖MN所示時，

—xy=20

^AM=x,AN=y貝xy=40

f"oWxWlO,解得:

5<x<10

0<y<8

...MN2=x2+y2=x2+^>80,即MN24石，當(dāng)且僅當(dāng)x=2歷時取等號；

令"fje[25,100],則/?)=/+竺史,

t

以t)在[25,40]上單調(diào)遞減，在[40,100]上單調(diào)遞增，

X/(25)=89,/(40)=80,/(100)=116,故/⑺?[80,116],故MNw[4方,2回]

當(dāng)折痕如下圖所示時，

—(x+y)x8=20

卜+y=5

設(shè)AM=x,ON=y,貝卜0<x<10,角軍得：

[0<x<5,

0<y<10

MN2=(x-y)2+64=(2.x-5)2+64,0<x<5,

當(dāng)尤=g時，MN2=(2%-5)2+64取得最小值64,

當(dāng)x=0或5時，MV?=(2尤-5>+64取得最大值89,則MNe［8,廊］;

當(dāng)折痕如下圖所示時，

1(x+y)xl0=20

x+y=4

設(shè)AM=%3N=y,則04x48,解得:

0<x<4

0<y<8

貝ijMN2=(x-"+100=(2x-4)2+100,

令〃(X)=(2X-4)2+100,(0WXW4),則/z(x)在［0,2］上單調(diào)遞減，在［2,4］上單調(diào)遞增,

又Zz(2)=100,/i(0)=7X4)=116,故/i(x)e［100,116］,

???MNe［10,2屈］;

綜上所述：折痕長的取值范圍為［8,2月］,

故答案為：［8,2A/29］

變式1.（2023?全國?高三專題練習(xí)）我國的酒駕標(biāo)準(zhǔn)是指車輛駕駛員血液中的酒精含量大于

或者等于20mg/100ml,已知一駕駛員某次飲酒后體內(nèi)每100ml血液中的酒精含量了（單位：

mg）與時間x（單位：h）的關(guān)系是：當(dāng)0<x<T時，>=一*—+答尤；當(dāng)尤時，

y=—,那么該駕駛員在飲酒后至少要經(jīng)過h才可駕車.

X

【答案】5.5

［解析］當(dāng)時,270210802701080

0<x<?y=-------x+-------%=-----z---(x-2)+-------

11111111

當(dāng)％=2時，函數(shù)有最大值粵>20,所以當(dāng)0<%<?時，飲酒后體內(nèi)每100ml血液中的酒

113

精含量小于20mg/100ml,

當(dāng)當(dāng)記二時，函數(shù)y=——單調(diào)遞減，令丁=——=20nx=5.5,因此飲酒后5.5小時體內(nèi)

3xx

每100ml血液中的酒精含量等于20mg/100ml,

故答案為：5.5

變式2.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一

件產(chǎn)品，成本增加100元，若年收入我（元）與年產(chǎn)量x（件）的關(guān)系式

f尤3

_____I-400Y0<<3QO

K（無）=9005r,則當(dāng)年利潤最大時，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的件數(shù)是.

90090,%>390

【答案】300

-------+300.r-20000,0Wx<390

【解析】由題可得年利潤尸口）=

70090-100.r,x>390

當(dāng)0<x<390時，P\x）=-------+300,令P（x）=。，得x=300.

300

當(dāng)300Vx<390時，P（x）<0,此時尸（x）是減函數(shù)；當(dāng)0<x<300時，P（x）>0,此時尸（無）

是增函數(shù).

所以當(dāng)0W無W390時，尸⑴1mx=P（300）=40000.

當(dāng)x>390時，P（x）=—100X+70090是減函數(shù)，所以P（無）<31090.

所以當(dāng)x=300時，尸（x）取得最大值40000.

故答案為：300.

變式3.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某景區(qū)套票原價300元/人,如果多名游客組團購買套票，

則有如下兩種優(yōu)惠方案供選擇：方案一：若人數(shù)不低于10,則票價打9折；若人數(shù)不低于

50,則票價打8折；若人數(shù)不低于100,則票價打7折.不重復(fù)打折.方案二：按原價計算，

總金額每滿5000元減1000元.已知一個旅游團有47名游客，若可以兩種方案搭配使用，則

這個旅游團購票總費用的最小值為元.

【答案】11710

【解析】方案一：滿1。人可打9折，則單人票價為270元，

方案二：滿5000元減1000元，按原價計算黑名16.7,則滿5000元至少湊齊17人，

17x300-1000=5100-1000=4100,則單人票價為'乎。241,

滿10000元時，嗯33.3,則需34人，單人票價為241元，

滿15000元時，嘿^=5。，人數(shù)不足，

因為241<270,

所以用方案二先購買34張票，剩余13不滿足方案二，但滿足方案一,

所以總費用為34x300-2000+13x300x0.9=11710（元），

故答案為：11710

【通性通解總結(jié)】

1、分段函數(shù)主要是每一段自變量變化所遵循的規(guī)律不同，可以先將其當(dāng)做幾個問題，

將各段的變化規(guī)律分別找出來，再將其合到一起，要注意各段自變量的范圍，特別是端點值.

2、構(gòu)造分段函數(shù)時，要準(zhǔn)確、簡潔，不重不漏.

題型二：對勾函數(shù)模型

例4.（2023?黑龍江?高三嫩江市高級中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）某公司租地建倉庫，已知倉庫每

月占用費〃與倉庫到車站的距離成反比，而每月車載貨物的運費”與倉庫到車站的距離成

正比.據(jù)測算，如果在距離車站10km處建倉庫，這兩項費用yi,”分別是2萬元和8萬元，

那么要使這兩項費用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站（）

A.5km處B.4km處C.3km處D.2km處

【答案】A

【解析】設(shè)倉庫到車站的距離為xkm,

由題意得竺=&,y?=k2X,其中x>0.

x

4

由當(dāng)x=10時，兩項費用y/,y2分別是2萬兀和8萬兀，可得左尸20,左2=二，

?204.12040

故yi+y2=---i--x>2J------x=8,

當(dāng)且僅當(dāng)‘20=白4，即x=5時取等號，

x5

故選：A.

例5.（2023?山東青島?高三?？茧A段練習(xí)）某校食堂需定期購買大米.已知該食堂每天需用

大米0.6t,每噸大米的價格為6000元，大米的保管費用z（單位：元）與購買天數(shù)無（單位：

天）的關(guān)系為z=9x（x+l）（xeN*）,每次購買大米需支付其他固定費用900元.若要使食

堂平均每天所支付的總費用最少，則食堂應(yīng)_____天購買一次大米.

【答案】10

【解析】設(shè)平均每天所支付的總費用為y元，

貝Uy=工[9x（尤+1）+900]+0.6x6000=—+9x+3609

>2^—x9x+3609=180+3609=3789,

當(dāng)且僅當(dāng)出=9x,即x=10時取等號，故該食堂10天購買一次大米，才能使平均每天所

支付的總費用最少.

故答案為：10.

例6.（2023?福建?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運

費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元，則一年的總運費與總存儲費之和關(guān)于龍的函

數(shù)表達式/（1）=.

?小上、“3600

【答案】4x+——

尤

【解析】依題意總費用為/（%）=4%+?、6=4%+等，

工…比但）3600

故答案為：4兀H--------.

X

變式4.（2023?新疆?高三?？茧A段練習(xí)）某人準(zhǔn)備購置一塊占地1800平方米的矩形地塊，

中間建三個矩形溫室大棚，大棚周圍均是寬為1米的小路（如圖陰影部分所示），大棚占地面

積為S平方米，其中〃"=1：2,若要使S最大，則＞=.

【答案】45

【解析】由題可得，孫=1800,b=2a,貝!jy=4+A+3=3〃+3,

v-38

S=(x~2)a+(x-3)b=(3x-8)〃=(3x-8)--=1808—3x--y.

81800(4800、

S—1808—3x——x------=1808—3xH---------(x>0)，

3xv)

31808—=1808—240=1568.

當(dāng)且僅當(dāng)3x=幽，即尤=40時取等號，S取得最大值.

X

I,.1800“

此時ny=------=45.

所以當(dāng)x=40,y=45時，S取得最大值.

故答案為：45

【通性通解總結(jié)】

1、解決此類問題一定要注意函數(shù)定義域；

2、利用模型/（x）=ox+上b求解最值時，注意取得最值時等號成立的條件.

X

題型三：指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、塞函數(shù)模型

例7.（2023?重慶沙坪壩?高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）我國國內(nèi)生產(chǎn)總值（GDP）2022年

比2013年翻了一番，則平均每年的增長率是.

【答案】V2-1

【解析】設(shè)年均增長率為x，根據(jù)題意得，

（1+X）9=2,解得犬=癢1，

所以平均每年的增長率應(yīng)是3-1.

故答案為：V2-1

例8.（2023?全國?高三專題練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家牛頓曾提出：物體在空氣中冷卻，

如果物體的初始溫度為01℃,空氣溫度為do℃,則t分鐘后物體的溫度/單位：℃）滿足：

0=%+（為一仇）eZ/.若常數(shù)4=0.05,空氣溫度為30℃，某物體的溫度從90℃下降到50℃,

大約需要的時間為分鐘.（參考數(shù)據(jù)：In3=1.1）

【答案】22

【解析】由題知仇=30,31—90,0=50,

.\50=30+（90-30）e~005t,

'.e0051=—,

3

-0.05z=ln—,

3

/.0.05r=ln3,

.\t=處3=20xln3H22.

0.05

故答案為：22

例9.（2023?全國?高三專題練習(xí)）“喊泉”是一種地下水的毛細現(xiàn)象，人們在泉口吼叫或發(fā)出

其他聲響時，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲水池，進而產(chǎn)生“共鳴”等物理聲學(xué)作用，激起水波，形成

涌泉.聲音越大，涌起的泉水越高.已知聽到的聲強加與參考聲強恤（恤約為10*,單位：

W/n?）之比的常用對數(shù)稱作聲強的聲強級，記作Z（單位：貝爾），即L=lg一,取貝爾

機o

的io倍作為響度的常用單位，簡稱為分貝.已知某處“喊泉”的聲音響度y（單位：分貝）

與噴出的泉水高度Xdm滿足關(guān)系式y(tǒng)=2無，現(xiàn)知A同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度為

50dm,若A同學(xué)大喝一聲的聲強大約相當(dāng)于10個8同學(xué)同時大喝一聲的聲強，則B同學(xué)

大喝一聲激起的涌泉最高高度約為dm.

【答案】45

【解析】設(shè)3同學(xué)的聲強為mW/m"噴出泉水高度為xdm,

則A同學(xué)的聲強為lOmW/n?,噴出泉水高度為50dm,

m

由101g—=2%,得Igzn-lg%=0.2x①，

mo

10mcf

'：101g——=2x50,l+lg/77-lgm=10②，①一②得-l=0.2x-10,

mo0

解得x=45，,B同學(xué)大喝一聲激起的涌泉最高高度約為45dm.

故答案為：45.

變式5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）在如今這個5G時代，6G研究己方興末艾，2021年8

月30日第九屆未來信息通信技術(shù)國際研討會在北京舉辦，會上傳出消息，未來6G速率有

望達到ITbps,并啟用毫米波、太赫茲、可見光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立體

網(wǎng)絡(luò)，預(yù)計6G數(shù)據(jù)傳輸速率有望比5G快100倍，時延達到亞毫秒級水平.香農(nóng)公式

C=Wlog2（l+Ej是被廣泛公認的通信理論基礎(chǔ)和研究依據(jù)，它表示：在受噪聲干擾的信

道中，最大信息傳遞率C取決于信道寬帶W,信道內(nèi)信號的平均功率S,信道內(nèi)部的高斯噪

聲功率N的大小，其中三叫做信噪比.若不改變寬帶W,而將信噪比三從H提升至499,

NN

則最大信息傳遞率C會提升到原來的倍.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

【答案】2.5/1

【解析】設(shè)提升前最大信息傳遞率為G，提升后最大信息傳遞率為Cz，則

由題意可知，￡=皿陛2（1+11）=卬1嗎12,

C2=Wlog2（l+499）=Wlog2500,

J=Wlog2500=1%（*5）=Iog2（22x53）

22

明以a二Wlog212-log2（2x3）=log2（2x3）

_logzZ'+logzSS_2+3幅5_2+3x2.32_826~.

2

-log22+log^-2+log23-2+1.58"?58'?

所以最大信息傳遞率C會提升到原來的2.5倍.

故答案為：2.5

變式6.（2023?安徽六安?高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)?？茧A段練習(xí)）美國對中國芯片的技術(shù)

封鎖激發(fā)了中國“芯”的研究熱潮.某公司研發(fā)的A,8兩種芯片都已經(jīng)獲得成功.該公司研

發(fā)芯片已經(jīng)耗費資金2千萬元，現(xiàn)在準(zhǔn)備投入資金進行生產(chǎn).經(jīng)市場調(diào)查與預(yù)測，生產(chǎn)A芯

片的毛收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）成正比，已知投入1千萬元，公司獲得

毛收入0.25千萬元；生產(chǎn)B芯片的毛收入,（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數(shù)關(guān)

系為y=Ax"（x>0）,其圖象如圖所示.現(xiàn)在公司準(zhǔn)備投入40千萬元資金同時生產(chǎn)A,8兩

種芯片，則可以獲得的最大利潤是千萬元.（毛收入=營業(yè)收入一營業(yè)成本）

【解析】因為生產(chǎn)A芯片的毛收入與投入的資金成正比，所以設(shè)>=如（根>0）,

因為當(dāng)x=l時，y=0.25,所以：〃=0.25,所以y=0.25x,

即生產(chǎn)A芯片的毛收入y（千萬元）與投入資金x（千萬元）的函數(shù)關(guān)系式為>=Q25X.

口=女尸1

對于B芯片，因為函數(shù)y=H“（x>0）的圖象過點（L1）,（4,2）,所以…解得1,

K-4=2a=—

112

所以y=戶，

即生產(chǎn)B芯片的毛收入y（千萬元）與投入的資金x（千萬元）的函數(shù)關(guān)系為y=O（x>0）.

設(shè)投入x,xe[0,40]千萬元生產(chǎn)B芯片，則投入（40-尤）千萬元生產(chǎn)A芯片，

則公司所獲利潤f（-V）=0.25（40—尤—2=——（A/X—2）2+9,xe[0,40],

所以當(dāng)?=2,即x=4時，公司所獲利潤最大，最大利潤為9千萬元.

故答案為：9

【通性通解總結(jié)】

1、在解題時，要合理選擇模型，指數(shù)函數(shù)模型是增長速度越來越快（底數(shù)大于1）的

一類函數(shù)模型，與增長率、銀行利率有關(guān)的問題都屬于指數(shù)模型.

2、在解決指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)、幕函數(shù)模型問題時，一般先需通過待定系數(shù)法確

定函數(shù)解析式，再借助函數(shù)圖像求解最值問題.

題型四：已知函數(shù)模型的實際問題

例10.（2023?重慶渝中?高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）某公司的收入由保險業(yè)務(wù)收入和

理財業(yè)務(wù)收入兩部分組成.該公司2020年總收入為200億元，其中保險業(yè)務(wù)收入為150億元，

理財業(yè)務(wù)收入為50億元.該公司經(jīng)營狀態(tài)良好、收入穩(wěn)定，預(yù)計每年總收入比前一年增加20

億元.因越來越多的人開始注重理財，公司理財業(yè)務(wù)發(fā)展迅速.要求從2021年起每年通過理財

業(yè)務(wù)的收入是前一年的f倍，若要使得該公司2025年的保險業(yè)務(wù)收入不高于當(dāng)年總收入的

60%,貝!k的值至少為（）

A.際B.^6C.^24D.球

【答案】A

【解析】因為該公司2020年總收入為200億元，預(yù)計每年總收入比前一年增加20億元，

所以2025年的總收入為300億元，

因為要求從2020年起每年通過理財業(yè)務(wù)的收入是前一年的/倍，

所以2025年通過理財業(yè)務(wù)的收入為50尸億元，所以300-50r4300x0.6,解得的^2A.故/的

值至少為也？，

故選：A.

例11.（2023?全國?高三專題練習(xí)）中國是茶的故鄉(xiāng)，也是茶文化的發(fā)源地，茶文化是把茶、

賞茶、聞茶、飲茶、品茶等習(xí)慣與中國的文化內(nèi)涵相結(jié)合而形成的一種文化現(xiàn)象，具有鮮明

的中國文化特征.其中沏茶、飲茶對水溫也有一定的要求，把物體放在空氣中冷卻，如果物

體原來的溫度是4C,空氣的溫度是dC,經(jīng)過r分鐘后物體的溫度為滿足公式

eud+la-qk-25'.現(xiàn)有一壺水溫為92℃的熱水用來沏茶，由經(jīng)驗可知茶溫為52℃時口

感最佳，若空氣的溫度為12℃,那從沏茶開始，大約需要（）分鐘飲用口感最佳.（參考

數(shù)據(jù)；ln3=1.099,In2^0,693）

A.2.57B.2.77C.2.89D.3.26

【答案】B

【解析】由題意得。二^+w-為卜"5',代入數(shù)據(jù)得52=12+（92—⑵小/，

11

整理得葭g=_,BP-0.25/=In---In2~-0.693,解得62.77；

22

所以若空氣的溫度為12℃,從沏茶開始，大約需要2.77分鐘飲用口感最佳.

故選：B.

例12.（2023?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谀┽t(yī)學(xué)上常用基本傳染數(shù)

A（尺=1+44+3-0）。應(yīng)）2）來衡量傳染病的傳染性強弱，其中力=乎”，丫⑺）表示

f天內(nèi)的累計病例數(shù).據(jù)統(tǒng)計某地發(fā)現(xiàn)首例A型傳染性病例，在41內(nèi)累計病例數(shù)達到425例，

取Tg=l。，。=0.6,根據(jù)上面的信息可以計算出A型傳染病的基本傳染數(shù)R.已知A型傳染

病變異株的基本傳染數(shù)仆=［國（］用表示不超過R的最大整數(shù)），平均感染周期為7天（初始

感染者傳染&個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這幾個人每人再傳染凡個人為第二輪傳

染，以此類推），則感染人數(shù)由1個初始感染者增加到9000人大約需要的天數(shù)為（）（參考

數(shù)據(jù):ln425-41x0.15,39=6667,46=4096）

A.63B.70C.77D.84

【答案】A

ln(F(41))in425

【解析】由“41)=425,2=

可以得到Ra1+0.15x10+0.6x(1-0.6)x(0.15x10)=3.04.

A型傳染病變異株的基本傳染數(shù)總=因=3,

感染人數(shù)由1個初始感染者增加到9000人大約需要”輪傳染,

則每輪新增感染人數(shù)為尺3

經(jīng)過〃輪傳染，總共感染人數(shù)為:1+&+底+&=

因為&=3,由題意可得----->9000

1-3

解得"29,

又因為平均感染周期為7天，

所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到9000人大約需要9x7=63天.

故選：A

變式7.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?高三?？计谀┰诓豢紤]空氣阻力的條件下，從發(fā)射開始，火箭的

最大飛行速度丫滿足公式：v=+其中M為火箭推進劑質(zhì)量，機為去除推進劑后

的火箭有效載荷質(zhì)量，w為火箭發(fā)動機噴流相對火箭的速度.當(dāng)河=3皿時，v=5.544千米/

秒.在保持w不變的情況下，若“7=25噸，假設(shè)要使v超過第一宇宙速度達到8千米/秒，則M

至少約為（）（結(jié)果精確到1,參考數(shù)據(jù)：e2?7.389,ln2?0.693）

A.135噸B.160噸C.185噸D.210噸

【答案】B

【解析】由題意知，當(dāng)M=3機時，v=5.544千米/秒，

C5544（MA

故可以得到5.544=winl+—=2”，ln2,解得卬=土當(dāng)。4,故v=41n1+一,

Im）21n2（m）

由題意知，當(dāng)加=25噸，v=8千米/秒時，可以得到8=41111+2），

解得M=25（e?-1卜160噸.

故選：B

變式8.（2023?北京?高三北京市第十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）長江流域水庫群的修建和聯(lián)合調(diào)

度，極大地降低了洪澇災(zāi)害風(fēng)險，發(fā)揮了重要的防洪減災(zāi)效益.每年洪水來臨之際，為保證

防洪需要、降低防洪風(fēng)險，水利部門需要在原有蓄水量的基礎(chǔ)聯(lián)合調(diào)度，統(tǒng)一蓄水，用蓄滿

水庫實際蓄水量

指數(shù)（蓄滿指數(shù)=與巖粵HxlOO）來衡量每座水庫的水位情況.假設(shè)某次聯(lián)合調(diào)度

水庫總蓄水量

要求如下：

(i)調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)仍屬于區(qū)間［0,100］；

(ii)調(diào)度后每座水庫的蓄滿指數(shù)都不能降低；

(iii)調(diào)度前后，各水庫之間的蓄滿指數(shù)排名不變.

記x為調(diào)度前某水庫的蓄滿指數(shù)，y為調(diào)度后該水庫的蓄滿指數(shù)，給出下面四個y關(guān)于x的

函數(shù)解析式：

］_兀

(T)y=~X2+6x；(2)y=10y［x；③y=1()5°;④y=100sin%,

則滿足此次聯(lián)合調(diào)度要求的函數(shù)解析式的個數(shù)為().

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

［解析］①y=_，彳2+6尤=_，(彳2_120x)=_，(彳-60)2+180,

該函數(shù)在x=60時函數(shù)值為180,超過了范圍，不合題意；

②y=10&為增函數(shù)，>xe［0,100］,ye［0,100］

且?<10,貝!JxW10?,符合題意；

③y=1()50,當(dāng)X=50H'JIQ50=［0<50'不合題意

④y=100sin—當(dāng)xe［0,100］時，-^—x&0,—,

200200L2_

IT

故該函數(shù)在［0,100］上單調(diào)遞增，又y=100sin礪xe［0,100］

jr

設(shè)g(x)=100sin-----x-X,XG[0,100]

「200

71

g[x)=100-^-?cos-----X-1,XG[0,100]

「200200

71Y

即/(元)=5,COS-------X—1

200

易知g'(x)=?cos肅尤-1在［0,100］上為減函數(shù)

由g'(x)在［0,100］上連續(xù)，且g，(O)=方-1>0,

,

g(100)=ycosy-l=-l<0,

則存在[0,100],有g(shù)[x)=0

當(dāng)xe[0,%],g<x)>0；

當(dāng)xe［x0,100］,g'(x)<0；

故g(x)在［0,%］遞增,在［%,100］遞減.

g(0)=0,g(100)=0

故［0,100］上g(x)NO

71

BP[0,100]±100sin—x>%

200

故④符合題意，

所以②④滿足題意，

故選：B.

變式9.（2023?河南?高三信陽高中校聯(lián)考期末）閃光指數(shù)｛guidenumber,GN）是一個衡量

閃光燈在感光度及視角確定的情況下照射目標(biāo)的能力，是進行閃光攝影時決定適當(dāng)光圈的主

要依據(jù).通常在手動閃光攝影時，由已知的閃光指數(shù)和攝影距離來計算適當(dāng)?shù)墓馊?，且三?/p>

存在這樣的關(guān)系：P=T其中：F——光圈；GN——閃光燈的閃光指數(shù)，單位為米（或

英尺）；L——光閃燈到被攝體的距離，單位為米（或英尺）.今有/SO100感光度的膠卷的

閃光燈，其閃光指數(shù)為24米，若光圈值為8,則閃光燈到被攝體的距離為（）

A.3米B.16米C.32米D.192米

【答案】A

GNGN

【解析】由題意知GN=24米，/=8,則由尸=竽，得L=?~=2±43（米）.

LF8

故選:A.

變式10.（2023?河南鄭州?高三統(tǒng)考期末）等額分付資本回收是指起初投資產(chǎn)，在利率3回

收周期數(shù)〃為定值的情況下，每期期末取出的資金A為多少時，才能在第〃期期末把全部本

利取出，即全部本利回收，其計算公式為：4=.、“，?某農(nóng)業(yè)種植公司投資33萬元購

（1+0-1

買一大型農(nóng)機設(shè)備，期望投資收益年利率為10%,若每年年底回籠資金8.25萬元，則該公

司將至少在（）年內(nèi)能全部收回本利和.（Igl1。L04,炒5~0.70,lg3?0.48）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】由題意，知A=8.25萬元，P=33萬元，z=10%,

由公式可得8.25=33x0?。?",整理得得)"=|,

(1+U.1)—1103

等式兩邊取對數(shù)，得「顯昂?高竽?端拜…

故選：C.

【通性通解總結(jié)】

求解已知函數(shù)模型解決實際問題的關(guān)鍵

(1)認清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù).

(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù).

(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實際問題，并進行檢驗.

題型五：構(gòu)造函數(shù)模型的實際問題

例13.(2023?云南?高三景東彝族自治縣第一中學(xué)校考階段練習(xí))為了提高員工的工作積極

性，某外貿(mào)公司想修訂新的“員工激勵計劃”新的計劃有以下幾點需求：①獎金隨著銷售業(yè)績

的提高而提高；②銷售業(yè)績增加時，獎金增加的幅度逐漸上升；③必須和原來的計劃接軌：

銷售業(yè)績在10萬元或以內(nèi)時獎金為0,超過10萬元則開始計算獎金，銷售業(yè)績?yōu)?0萬元

時獎金為1千元.設(shè)業(yè)績?yōu)闊o(10VXV300)萬元時獎金為了(無)千元，下面給出三個函數(shù)

模型：?f(x)=k-x+b；@f(x)=k-1og2x+b；③/(了)=4./+6.其中左>0,6eE.請選擇

合適的函數(shù)模型，并計算：業(yè)績?yōu)?00萬元時獎金為千元.

【答案】33

【解析】根據(jù)題意，當(dāng)人時，給出三個函數(shù)模型均滿足“獎金隨著銷售業(yè)績的提高

而提高“，而只有模型"/(x)=k-x2+b”滿足“銷售業(yè)績增加時，獎金增加的幅度逐漸上升”,

故模型選擇：/(x)=k-x2+b

根據(jù)題意,則有一：［［颯W0k++b^?0

%」

解得：3,

b=--

［3

則模型為：/W=^x2-1

當(dāng)x=100時，/(%)--X1002---33

3003

故答案為：33

例14.(2023?全國?高三專題練習(xí))現(xiàn)在有紅豆、白豆各若干粒.甲乙兩人為了計算豆子的粒

數(shù)，選用了這樣的方法：第一輪甲每次取4粒紅豆，乙每次取2粒白豆，同時進行，當(dāng)紅豆

取完時，白豆還剩10粒；第二輪，甲每次取1粒紅豆，乙每次取2粒白豆，同時進行，當(dāng)白

豆取完時，紅豆還剩n(neN*,16<n<20)粒.則紅豆和白豆共有粒.

【答案】58

【解析】設(shè)紅豆有了粒，白豆有y粒,

由第一輪結(jié)果可知：9行9整理可得「二刀-2。；

由第二輪結(jié)果可知：］=x-n,整理可得：y=2x-2n-

88

x=一

x=2y-20以3（舍）;

當(dāng)”=17時,由j=2無-34侍：'

92

X=一

x=2y-203

當(dāng)”=18時,由y=2x-36得:76（舍）;

x=2y-20尤二32

當(dāng)〃=19時,由y=2x-38得:,x+y=32+26=58,

y=26

即紅豆和白豆共有58粒.

故答案為:58.

例15.（2023?福建莆田?高三莆田二中?？茧A段練習(xí)）2020年是全國決勝脫貧攻堅之年，“一

幫一扶”工作組進駐某山區(qū)幫助農(nóng)民脫貧，發(fā)現(xiàn)該山區(qū)盛產(chǎn)蘋果、梨子、舜猴桃，工作人員

文明在線上進行直播帶貨活動，促銷方案如下：若一次購買水果總價不低于200元，則顧客

少付款加元，每次訂單付款成功后，農(nóng)民會收到支付款的80%,在促銷活動中，為了使得

農(nóng)民收入不低于總價的70%,則機的最大值為.

【答案】25

【解析】根據(jù)題意建立函數(shù)關(guān)系式（％-機）X80%2XX70%,整理出加〈J恒成立，再由x的

O

范圍即可求解.設(shè)每筆訂單促銷前的總價為X元，

根據(jù)題意有（尤-機）X80%2XX70%,即加<匕恒成立，

8

由題意得X2200,所以93挈=25,所以加425,

即m的最大值為25.

故答案為：25

變式11.（2023.吉林長春.長春十一高校考模擬預(yù)測）某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，對病員掛

號進行了調(diào)查，其調(diào)查結(jié)果為：當(dāng)還未開始掛號時，有N個人己經(jīng)在排隊等候掛號；開始

掛號后，排隊的人數(shù)平均每分鐘增加M人.假定掛號的速度是每窗口每分鐘K個人，當(dāng)開

放一個窗口時，40分鐘后恰好不會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象；若同時開放兩個窗口時，則15分鐘分恰

好不會出現(xiàn)排隊現(xiàn)象.根據(jù)以下信息，若醫(yī)院承諾5分鐘后不出現(xiàn)排隊現(xiàn)象，則至少需要同

時開放的窗口數(shù)為一.

【答案】6

_1N+40M=40K

【解析】設(shè)要同時開放n個窗口才能滿足要求，貝"斯達"達。。

[N+l5M=15Kx2

2

解得：N=-K,N=24K,AN+5M<5Kn,A24K+2K<5Kn,解得nN5.2.

故至少同時開放6個窗口才能滿足要求.

故答案為6

變式12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）某地街道呈現(xiàn)東——西、南——北向的網(wǎng)絡(luò)狀，相鄰

街距都為1,兩街道相交的點稱為格點.若以相互垂直的兩條街道為軸建立直角坐標(biāo)系，現(xiàn)

有下述格點（-2,2）,（3,1）,（3,4）,（-2,3）,（4,5）為報刊零售店，請確定一個格點

為發(fā)行站，使5個零售點沿街道發(fā)行站之間路程的和最短.

【答案】（2,3）

【解析】設(shè)發(fā)行站的位置為（工?）,零售點到發(fā)行站的距離為

z-2|x+2|+|y-2|+2|x-3|+|y-l|+|y-4|+|y-3|+|x-4|+|y-5|,這5個點的橫縱坐標(biāo)的平

,,—2+3+3—2+462+1+4+3+5

均值為-------------=]，------------------:3,記

A（1,3）,畫出圖形可知，發(fā)行站的位置應(yīng)該在點A附近，代入附近的點的坐標(biāo)進行比較

可知，在（2,3）處z取得最小值.

【通性通解總結(jié)】

構(gòu)建函數(shù)模型解決實際問題的步驟

（1）建模：抽象出實際問題的數(shù)學(xué)模型；

（2）推理、演算：對數(shù)學(xué)模型進行邏輯推理或數(shù)學(xué)運算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；

（3）評價、解釋：對求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進行深入討論，作出評價、解釋、返回到原來的

實際問題中去，得到實際問題的解.

【過關(guān)測試】

一、單選題

1.（2023?山東泰安?高三統(tǒng)考期中）垃圾分類，一般是指按一定規(guī)定或標(biāo)準(zhǔn)將垃圾分類儲存、

分類投放和分類搬運，從而變成公共資源的一系列活動的總稱.己知某種垃圾的分解率v

與時間f（月）滿足函數(shù)關(guān)系式丫=“方（其中a,b為非零常數(shù)）.若經(jīng)過6個月，這種垃圾

的分解率為5%,經(jīng)過12個月，這種垃圾的分解率為10%,那么這種垃圾完全分解（分解

率為100%）至少需要經(jīng)過（）（參考數(shù)據(jù)1g2。0.3）

A.20個月B.40個月C.28個月D.32個月

【答案】D

⑹=a/6=0.05a=0.025

【解析】依題意解得!

12

(12)=a-Z?=0.16=26

故v(f)=0.025x2d.

令v?）=0.025x2%=1,得/=40,即，陛②加,

,八,八，（1+21g2）/n+2x0.31"

貝nI]t=610g240=6坨2J-6x[———J=32.

即這種垃圾完全分解（分解率為100%）至少需要經(jīng)過32個月.

故選：D.

2.（2023?安徽阜陽?高三安徽省臨泉第一中學(xué)?？计谥校┐笪餮笮~每年都要逆流而上游回

產(chǎn)地產(chǎn)卵，研究鞋魚的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速（單位：m/s）可以表示為v=glog3得，

其中。表示鞋魚的耗氧量的單位數(shù).當(dāng)一條鞋魚以誓m/s的速度游動時，其耗氧量是靜止

m3

時耗氧量的倍數(shù)為（）

Q

A.-B.8C.32D.64

3

【答案】D

【解析】因為V=：log3焉，所以當(dāng)鞋魚靜止時，匕=0m/s,即：log3懸=0,

化簡得=1,所以2=100；

100

*_31n21231n2ln8,

當(dāng)V2=^^"m/s，即510g3—=——=-=logo8,

100ln3ln33

化簡得log3卷=21og38=log364,所以得=64,所以。2=6400.

0=幽=64

Qi100

故選:D.

3.（2023?河北滄州?高三統(tǒng)考期末）《中華人民共和國國家綜合排放標(biāo)準(zhǔn)》中的一級標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定

企業(yè)生產(chǎn)廢水中氨氮含量允許排放的最高濃度為15ml/L.某企業(yè)生產(chǎn)廢水中的氨氮含量為

225ml/L.現(xiàn)通過循環(huán)過濾設(shè)備對生產(chǎn)廢水的氨氮進行過濾，每循環(huán)一次可使氨氮含量減少;,

為安全起見，要使廢水中的氨氮含量不高于國家排放標(biāo)準(zhǔn)值的一半，至少要進行循環(huán)的次數(shù)

為()(參考數(shù)據(jù)1g2a0.3010,1g320.4771)

A.3B.4C.8D.9

【答案】D

【解析】過濾第一次廢水中的氨氮的含量減少g,則為225X11

過濾第兩次廢水中的氨氮的含量減少（，則為225x［l-g］；

過濾第三次廢水中的氨氮的含量減少（，則為225x0-g

過濾第w次廢水中的氨氮的含量減少;，則為225x（1-g］；

要求廢氣中該廢水中的氨氮的含量不能超過7.5ml/L，則225x“_j47.5,即>30,

兩邊取以10為底的對數(shù)可得21g30,

即ralgf|J>lgl0+lg3,

l+lg3

所以“2

Ig3-lg2

因為1g2。0.3010,1g3。0.4771,

▼l+lg31+0.4771

所以-------~---------------8.39

Ig3-lg20.4771-0.3010

所以〃28.39,又〃€N，所以"min=9,

故排放前需要過濾的次數(shù)至少為9次.

故選：D.

4.（2023?遼寧?高三遼寧實驗中學(xué)校考期中）某科技研發(fā)公司2022年全年投入的研發(fā)資金為

300萬元，在此基礎(chǔ)上，計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%,則該公司全年投入的

研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：lg2=0.301,lg3=0.477,lg5=0.699,

Igl1=1.041）

A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年

【答案】D

【解析】設(shè)年后公司全年投入的研發(fā)資金為九

則根據(jù)題意有y=300（1+0.1）",

12

研發(fā)資金開始超過600萬元，即y=300（1+0.1）">600,解得”蕭2二［合7.341,

則"的最小值為8,

則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是2022+8=2030年，

故選：D.

5.（2023?吉林?東北師大附中?？寄M預(yù)測）一種藥在病人血液中的量不低于1800mg時才

有療效，如果用藥前，病人血液中該藥的量為Omg,用藥后，藥在血液中以每小時20%的

比例衰