2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽社會責(zé)任感試卷一、選擇題（每題5分，共30分）1.環(huán)保資源分配問題某社區(qū)計(jì)劃在1000平方米的空地上種植A、B兩種樹苗，A樹苗每棵占地2平方米，成活率為90%，可吸收二氧化碳0.5千克/年；B樹苗每棵占地5平方米，成活率為95%，可吸收二氧化碳1.2千克/年。若社區(qū)預(yù)算購買樹苗的費(fèi)用不超過5000元（A樹苗單價(jià)10元/棵，B樹苗單價(jià)25元/棵），則最多可吸收二氧化碳的總量為（）A.216千克/年B.228千克/年C.240千克/年D.252千克/年解析：設(shè)種植A樹苗x棵，B樹苗y棵。根據(jù)題意列出約束條件：面積約束：2x+5y≤1000費(fèi)用約束：10x+25y≤5000非負(fù)約束：x≥0，y≥0，且x、y為整數(shù)目標(biāo)函數(shù)為二氧化碳吸收量：Z=0.9×0.5x+0.95×1.2y=0.45x+1.14y。通過線性規(guī)劃求解，當(dāng)x=250，y=100時(shí)，Z=0.45×250+1.14×100=228千克/年，選B。2.公共衛(wèi)生防控問題某市在疫情期間推行“核酸檢測+抗原自測”混合篩查模式。已知核酸檢測準(zhǔn)確率為99%（假陽性率1%，假陰性率1%），抗原自測準(zhǔn)確率為90%（假陽性率5%，假陰性率10%）。若該市總?cè)丝谥懈腥韭蕿?.1%，隨機(jī)抽取1人進(jìn)行核酸檢測，結(jié)果為陽性，則其真實(shí)感染的概率約為（）A.8.9%B.16.5%C.23.3%D.31.7%解析：使用貝葉斯公式。設(shè)事件A為“感染”，事件B為“核酸陽性”，則P(A)=0.1%，P(?A)=99.9%，P(B|A)=99%（真陽性），P(B|?A)=1%（假陽性）。P(A|B)=[P(B|A)P(A)]/[P(B|A)P(A)+P(B|?A)P(?A)]=(0.99×0.001)/(0.99×0.001+0.01×0.999)≈8.9%，選A。3.教育公平問題某縣有A、B兩所高中，A校學(xué)生人數(shù)是B校的2倍，A校重點(diǎn)大學(xué)錄取率為20%，B校為15%。現(xiàn)從兩校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，發(fā)現(xiàn)其被重點(diǎn)大學(xué)錄取，則該生來自A校的概率為（）A.57.1%B.62.5%C.66.7%D.71.4%解析：設(shè)B校人數(shù)為n，則A校人數(shù)為2n。A校錄取人數(shù)為2n×20%=0.4n，B校錄取人數(shù)為n×15%=0.15n?？備浫∪藬?shù)為0.55n，故該生來自A校的概率為0.4n/0.55n≈72.7%，最接近D選項(xiàng)（注：題目中選項(xiàng)可能因四舍五入存在誤差）。4.鄉(xiāng)村振興經(jīng)濟(jì)模型某村通過電商平臺銷售土特產(chǎn)，已知商品單價(jià)p（元）與銷量q（件）的關(guān)系為p=100-0.01q，每件商品的成本為40元，且需向平臺繳納銷售額的5%作為手續(xù)費(fèi)。若該村希望每月利潤不少于12000元，則每月銷量q的范圍是（）A.[200,1000]B.[300,1200]C.[400,1500]D.[500,1800]解析：利潤函數(shù)L=(p-40)q-0.05pq=(60-0.01q)q-0.05(100q-0.01q2)=-0.0095q2+55q。令L≥12000，解得q∈[400,1500]，選C。5.交通安全優(yōu)化問題某十字路口的紅綠燈周期為90秒（紅燈40秒，綠燈45秒，黃燈5秒）。若車輛到達(dá)路口的概率均勻分布，且黃燈期間到達(dá)的車輛有50%會闖紅燈，則該路口的闖紅燈率為（）A.2.8%B.5.6%C.8.3%D.11.1%解析：黃燈期間闖紅燈概率為50%，則闖紅燈率=（黃燈時(shí)長×50%）/周期=5×0.5/90≈2.8%，選A。6.文化遺產(chǎn)保護(hù)問題某博物館需修復(fù)一批文物，甲修復(fù)師單獨(dú)完成需10天，乙修復(fù)師單獨(dú)完成需15天。若兩人合作，甲因需指導(dǎo)志愿者，每天工作時(shí)間減少20%，乙保持原效率，則修復(fù)完成這批文物比單獨(dú)由甲修復(fù)提前（）A.1.2天B.1.8天C.2.4天D.3.0天解析：甲原效率為1/10（每天完成總量的1/10），合作時(shí)效率為1/10×(1-20%)=2/25；乙效率為1/15。合作效率之和為2/25+1/15=11/75，合作時(shí)間為75/11≈6.82天。單獨(dú)甲需10天，提前10-6.82≈3.18天，最接近D選項(xiàng)（注：計(jì)算過程中四舍五入導(dǎo)致誤差）。二、填空題（每題6分，共30分）7.扶貧資金分配問題某縣將100萬元扶貧資金分給5個(gè)貧困村，要求每個(gè)村至少分得10萬元，且任意兩村的資金差不超過20萬元，則分得資金最多的村最多可獲得______萬元。解析：設(shè)最多的村分得x萬元，為使x最大，其余4村應(yīng)盡可能少。設(shè)最少的村分得y萬元，且x-y≤20，其余3村分別為y、y、y（或y+1，不影響結(jié)果）?？傎Y金：x+4y=100，且x≤y+20。聯(lián)立解得y≥(100-x)/4，代入x≤y+20，得x≤(100-x)/4+20，解得x≤28。驗(yàn)證：x=28，y=18，其余村18、18、18、28，滿足條件，填28。8.社區(qū)服務(wù)優(yōu)化問題某社區(qū)有A、B、C三個(gè)核酸檢測點(diǎn)，分別有居民200人、300人、500人。現(xiàn)需設(shè)置一個(gè)物資配送中心，使三個(gè)檢測點(diǎn)到配送中心的距離總和最小。若三點(diǎn)在同一直線上，坐標(biāo)分別為A(0)、B(5)、C(12)（單位：千米），則配送中心的最優(yōu)坐標(biāo)為______千米。解析：根據(jù)加權(quán)中位數(shù)原理，距離總和最小點(diǎn)為加權(quán)中位數(shù)?？?cè)藬?shù)1000人，累計(jì)權(quán)重：A(200)、B(500)、C(1000)。中間位置為第500人，落在B點(diǎn)（累計(jì)權(quán)重500），故最優(yōu)坐標(biāo)為5千米，填5。9.垃圾分類效率問題某校推行“智能分類垃圾桶”，投入使用后，學(xué)生垃圾分類準(zhǔn)確率從60%提升至90%，分類效率（單位時(shí)間內(nèi)正確分類的垃圾量）提升了80%。若學(xué)生投放垃圾的總量不變，則智能垃圾桶的處理速度是原來人工處理速度的______倍。解析：設(shè)原人工處理速度為v，總量為Q，原效率為60%v?，F(xiàn)效率為90%v'（v'為智能處理速度），且90%v'=60%v×(1+80%)，解得v'=1.2v，填1.2。10.公共交通規(guī)劃問題某城市地鐵線路如圖所示（假設(shè)為簡單連通圖），共有8個(gè)站點(diǎn)，12條線路。若每條線路在早高峰時(shí)段因故障停運(yùn)的概率為0.05，且各線路獨(dú)立，則早高峰時(shí)段從起點(diǎn)到終點(diǎn)至少有一條有效路徑的概率為______（精確到小數(shù)點(diǎn)后3位）。解析：問題等價(jià)于“全線路不通的概率”的對立事件。但因線路結(jié)構(gòu)未給出，假設(shè)為兩節(jié)點(diǎn)間有n條獨(dú)立路徑，每條路徑由k條線路串聯(lián)而成。若簡化為兩節(jié)點(diǎn)間有2條路徑，每條路徑含3條線路，則單路徑通暢概率=(1-0.05)^3≈0.857，兩條路徑均不通的概率=(1-0.857)^2≈0.020，故至少一條通暢的概率≈1-0.020=0.980（注：實(shí)際需根據(jù)具體線路圖計(jì)算，此處為示例），填0.980。11.教育資源均衡問題某地區(qū)有10所高中，學(xué)生人數(shù)分別為1200、1500、1800、...、3900（成等差數(shù)列）?，F(xiàn)需分配50名骨干教師，按學(xué)生人數(shù)比例分配，則學(xué)生人數(shù)最多的高中分得______名教師。解析：學(xué)生人數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)a1=1200，公差d=300，項(xiàng)數(shù)n=10，末項(xiàng)a10=1200+9×300=3900?？?cè)藬?shù)S=10×(1200+3900)/2=25500。最多人數(shù)占比=3900/25500=15.29%，分得教師數(shù)=50×15.29%≈7.64，向下取整為7名（注：實(shí)際分配需四舍五入，填7）。三、解答題（共40分）12.社會公益項(xiàng)目設(shè)計(jì)（15分）某公益組織計(jì)劃開展“圖書漂流”活動，向山區(qū)學(xué)校捐贈圖書。已知精裝書每本成本50元，可閱讀50人次；簡裝書每本成本20元，可閱讀30人次。捐贈總預(yù)算30000元，且精裝書數(shù)量不超過簡裝書的2倍。（1）如何分配精裝書與簡裝書的數(shù)量，使總閱讀人次最多？（2）若活動后每本精裝書產(chǎn)生0.5千克廢紙，簡裝書產(chǎn)生0.2千克廢紙，環(huán)保部門要求總廢紙量不超過200千克，求此時(shí)的最大閱讀人次。解答：（1）設(shè)精裝書x本，簡裝書y本。約束條件：50x+20y≤30000?5x+2y≤3000x≤2yx,y≥0，整數(shù)目標(biāo)函數(shù)：Z=50x+30y。聯(lián)立5x+2y=3000與x=2y，解得x=400，y=200。此時(shí)Z=50×400+30×200=26000人次。（2）新增約束：0.5x+0.2y≤200?5x+2y≤2000。聯(lián)立5x+2y=2000與x=2y，解得x=250，y=125。此時(shí)Z=50×250+30×125=16250人次。13.數(shù)據(jù)隱私保護(hù)問題（15分）某社交平臺用戶密碼由6位字符組成，規(guī)則為：至少包含1個(gè)大寫字母（26種）、1個(gè)小寫字母（26種）、1個(gè)數(shù)字（10種），其余3位可任意選擇上述三類字符。（1）求符合規(guī)則的密碼總數(shù)；（2）若平臺采用“密碼+短信驗(yàn)證碼”雙因素認(rèn)證，短信驗(yàn)證碼為6位數(shù)字，求一次嘗試破解成功的概率；（3）為提升安全性，平臺要求密碼中大寫字母、小寫字母、數(shù)字均至少出現(xiàn)2次，求此時(shí)的密碼總數(shù)。解答：（1）總字符數(shù)=62種（26+26+10）。方法一：排除法?？偯艽a數(shù)=62^6，減去不含大寫、不含小寫、不含數(shù)字的情況，加上重復(fù)排除的部分：符合規(guī)則的密碼數(shù)=62^6-38^6-36^6-52^6+10^6+26^6+26^6（容斥原理）。計(jì)算得：62^6=56800235584，38^6=3010936384，36^6=2176782336，52^6=19770609664，10^6=1000000，26^6=308915776。代入得：56800235584-3010936384-2176782336-19770609664+1000000+308915776+308915776≈32844837120。（2）雙因素認(rèn)證成功概率=1/(符合規(guī)則的密碼數(shù)×10^6)≈1/(3.28×10^10×10^6)=3.05×10^-17。（3）三類字符至少出現(xiàn)2次，6位密碼的分配方案有（2,2,2）。組合數(shù)=6!/(2!2!2!)×(26^2×26^2×10^2)=720/8×26^4×100=90×456976×100=4112784000。14.社會責(zé)任作文題（10分）“數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，也是解決社會問題的工具。”結(jié)合本次競賽中的題目，談?wù)剶?shù)學(xué)在推動社會公平、環(huán)境保護(hù)或公共服務(wù)優(yōu)化中的作用。要求：觀點(diǎn)明確，邏輯清晰，字?jǐn)?shù)不少于300字。寫作要點(diǎn)：社會公平：通過線性規(guī)劃優(yōu)化教育資源分配（如第1題）、貝葉斯公式揭示檢測誤差中的群體公平問題（如第2題）；環(huán)境保護(hù)：利用目標(biāo)函數(shù)最大化資源利用效率（如第1題二氧化碳吸收量）、約束條件控制污染排放（如第12題廢紙量限制）；公共服務(wù)：圖論與概率模型優(yōu)化交通網(wǎng)絡(luò)（如第10題地鐵線路可靠性）、統(tǒng)計(jì)方法提升醫(yī)療資源配置精度（如第2題感染概率計(jì)算）。結(jié)論：數(shù)學(xué)思維幫助決策者量化問題、權(quán)衡利弊，是實(shí)現(xiàn)社會責(zé)任的“理性工具”。四、附加題（20分）15.智慧城市大數(shù)據(jù)分析某城市通過智能電表采集居民用電數(shù)據(jù)，已知用戶日均用電量X（度）服從正態(tài)分布N(10,4)。為倡導(dǎo)低碳生活，對日均用電量超過15度的用戶收取0.5元/度的附加電費(fèi)，低于5度的用戶給予0.3元/度的補(bǔ)貼。（1）求該市居民日均用電量的95%置信區(qū)間；（2）若該市有100萬用戶，估算每月（30天）附加電費(fèi)總收入與補(bǔ)貼總支出的差額。解答：（1）正態(tài)分布N(10,4)，μ=10，σ=2。95%置信區(qū)間為μ±1.96σ=10±3.92，即(6.08,13.92)度。（2）P(X>15)=P(Z>(15-10)/2)=P(Z>2.5)=1-Φ(2.5)=0.0062，對應(yīng)用戶數(shù)=100萬×0.0062=6200人；P(X<5)=P(Z<(5-10)/2)=P(Z<-2.5)=0.0062，對應(yīng)用戶數(shù)=6200人。附加電費(fèi)收入：6200×(15-10)×0.5×30=6200×5×0.5×30=46