2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽解析幾何試卷一、選擇題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的左焦點(diǎn)為(F)，過(guò)(F)且斜率為(\sqrt{3})的直線與橢圓交于(A,B)兩點(diǎn)，若線段(AB)的垂直平分線過(guò)橢圓右焦點(diǎn)，則橢圓的離心率為（）A.(\frac{1}{3})B.(\frac{\sqrt{3}}{3})C.(\frac{1}{2})D.(\frac{\sqrt{2}}{2})拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過(guò)(F)的直線與拋物線交于(P,Q)兩點(diǎn)，線段(PQ)的中點(diǎn)在直線(x=5)上，則(|PQ|=)（）A.8B.10C.12D.14已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的一條漸近線方程為(y=2x)，且右焦點(diǎn)到該漸近線的距離為(2\sqrt{5})，則雙曲線的方程為（）A.(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1)B.(\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1)C.(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1)D.(\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1)在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)(A(1,0))，(B(0,1))，(C(2,5))，點(diǎn)(P)是直線(OC)上的動(dòng)點(diǎn)，則(\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB})的最小值為（）A.(-\frac{4}{5})B.(-\frac{3}{5})C.(-\frac{2}{5})D.(-\frac{1}{5})已知圓(M:(x-1)^2+(y-2)^2=4)，直線(l:ax-y+4=0)，若圓(M)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(l)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)(a)的值為（）A.(-\frac{3}{2})B.(-1)C.(1)D.(\frac{3}{2})二、填空題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）若直線(l:y=kx+1)與圓(x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A,B)兩點(diǎn)，且(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)__________。已知橢圓(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1)的左、右頂點(diǎn)分別為(A,B)，點(diǎn)(P)在橢圓上，且直線(PA)的斜率為(\frac{1}{2})，則直線(PB)的斜率為_(kāi)_________。拋物線(x^2=2py)（(p>0)）上一點(diǎn)(M(4,m))到焦點(diǎn)的距離為5，則(p+m=)__________。雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)的離心率為(\sqrt{3})，則其漸近線方程為_(kāi)_________。已知圓(C_1:(x-2)^2+y^2=1)，圓(C_2:(x+2)^2+y^2=9)，動(dòng)圓(P)與圓(C_1)外切，與圓(C_2)內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心(P)的軌跡方程為_(kāi)_________。三、解答題（本大題共4小題，共60分）11.（本小題滿分14分）已知圓(C:x^2+y^2-4x-6y+12=0)。（1）求過(guò)點(diǎn)(A(3,5))且與圓(C)相切的直線方程；（2）若直線(l:y=kx+2)與圓(C)相交于(M,N)兩點(diǎn)，且(OM\perpON)（(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)），求(k)的值。12.（本小題滿分14分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過(guò)點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{6}}{2}))。（1）求橢圓(E)的方程；（2）設(shè)直線(l:y=x+m)與橢圓(E)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求(\triangleAOB)面積的最大值。13.（本小題滿分16分）已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過(guò)點(diǎn)(F)的直線(l)與拋物線交于(P,Q)兩點(diǎn)，點(diǎn)(P)關(guān)于(x)軸的對(duì)稱點(diǎn)為(R)。（1）求證：直線(RQ)過(guò)定點(diǎn)；（2）若(|PF|=2|QF|)，求直線(l)的方程。14.（本小題滿分16分）已知雙曲線(H:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的右焦點(diǎn)為(F(2,0))，漸近線方程為(y=\pm\sqrt{3}x)。（1）求雙曲線(H)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)(F)的直線與雙曲線(H)的右支交于(A,B)兩點(diǎn)，在(x)軸上是否存在定點(diǎn)(M)，使得(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB})為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)(M)的坐標(biāo)和該常數(shù)；若不存在，說(shuō)明理由。四、附加題（本大題共2小題，每小題15分，共30分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）已知橢圓(C:\frac{x^2}{4}+y^2=1)，過(guò)點(diǎn)(D(0,4))的直線(l)與橢圓(C)交于(E,F)兩點(diǎn)，若以(EF)為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)(O)，求直線(l)的方程。已知拋物線(C:y^2=2px)（(p>0)）的焦點(diǎn)為(F)，過(guò)點(diǎn)(F)的直線與拋物線交于(A,B)兩點(diǎn)，線段(AB)的中垂線交(x)軸于點(diǎn)(G)，若(|AB|=4|FG|)，求直線(AB)的斜率。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要提示）一、選擇題B2.C3.B4.A5.A二、填空題(0)或(\frac{\sqrt{3}}{3})7.(-\frac{5}{4})8.(5)9.(y=\pm\sqrt{2}x)10.(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1)（(x\geq2)）三、解答題11.（1）(x=3)或(3x-4y+11=0)；（2）(k=-\frac{1}{2})12.（1）(\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1)；（2）最大值為(\sqrt{6})13.（1）定點(diǎn)((1,0))；（2）(y=\pm2\sqrt{2}(x-1))14.（1）(x^2-\frac{y^2}{3}=1)；（2）存在(M\left(\frac{11}{4},0\right))，常數(shù)為(-\frac{135}{16})四、附加題(y=\pm\sqrt{19}x+4)或(y=\pm\frac{1}{2}x+4)(\pm1)詳細(xì)解析（部分典型題）11.（1）圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程為((x-2)^2+(y-3)^2=1)，圓心((2,3))，半徑(r=1)。當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線(x=3)與圓相切；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)方程為(y-5=k(x-3))，由圓心到直線距離等于半徑得(k=\frac{3}{4})，切線方程為(3x-4y+11=0)。13.（1）設(shè)直線(l:x=ty+1)，聯(lián)立拋物線方程得(y^2-4ty-4=0)，設(shè)(P(x_1,y_1))，(Q(x_2,y_2))，則(R(x_1,-y_1))。直線(RQ)的方程為(y+y_1=\frac{y_2+y_1}{x_2-x_1}(x-x_1))，代入(y_1+y_2=4t)，(y_1y_2=-4)，化簡(jiǎn)得(y=\frac{4}{y_2-y_1}(x-1))，故過(guò)定點(diǎn)((1,0))。14.（2）設(shè)直線(AB:x=my+2)，聯(lián)立雙曲線方程得((3m^2-1)y^2+12my+9=0)，設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(y_1+y_2=-\frac{12m}{3m^2-1})，(y_1y_2=\frac{9}{3m^2-1})。設(shè)(M(t,0))，則(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=(x_