2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)非營(yíng)利組織服務(wù)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?函數(shù)f(x)=√(x+1)+log?(2-x)的定義域是（）A.[-1,2)B.(-1,2]C.[-1,2]D.(-1,2)已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.-2B.2C.-1/2D.1/2下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=sinxC.f(x)=lnxD.f(x)=e?已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a3=5，S5=25，則a5=（）A.7B.9C.11D.13某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12πcm3B.16πcm3C.20πcm3D.24πcm3已知直線l1：ax+2y+6=0與l2：x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2從5名男生和4名女生中選出3人參加志愿者活動(dòng)，要求至少有1名女生，則不同的選法共有（）A.70種B.80種C.90種D.100種函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則f(x)的解析式為（）A.f(x)=2sin(2x+π/3)B.f(x)=2sin(2x-π/3)C.f(x)=2sin(x+π/3)D.f(x)=2sin(x-π/3)已知雙曲線C：x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過點(diǎn)(2,√3)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/6-y2/3=1C.x2/2-y2/4=1D.x2/4-y2/2=1已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x)，且當(dāng)x∈[0,2)時(shí)，f(x)=x2-2x，則方程f(x)=log?|x|的解的個(gè)數(shù)是（）A.2B.3C.4D.5二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=______。已知tanα=2，則sin2α=______。在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，若a=2，b=3，C=60°，則c=______。已知函數(shù)f(x)=x2-2x，g(x)=mx+2，若對(duì)任意x1∈[1,2]，存在x2∈[0,1]，使得f(x1)≥g(x2)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且滿足ccosB=(2a-b)cosC。（1）求角C的大??；（2）若c=√3，△ABC的面積為3√3/4，求a+b的值。（本小題滿分12分）某中學(xué)為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級(jí)隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)（滿分150分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（3）若成績(jī)?cè)赱120,150]內(nèi)的學(xué)生為優(yōu)秀，現(xiàn)從成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人成績(jī)?cè)赱140,150]內(nèi)的概率。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D為BC的中點(diǎn)。（1）求證：AD⊥平面BCC1B1；（2）求直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2，離心率為√2/2，且過點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過F1的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn)，若△ABF2的面積為4√3/5，求直線l的方程。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1,x2(x1<x2)，求證：x1+x2>2/a。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=2+2cosθ,y=2sinθ}（θ為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+π/4)=√2。（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）B2.A3.A4.A5.B6.C7.A8.B9.B10.C11.A12.C二、填空題（每小題5分，共20分）√214.4/515.√716.(-∞,1]三、解答題（共70分）（10分）解：（1）由正弦定理得：sinCcosB=(2sinA-sinB)cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，sin(B+C)=2sinAcosC，因?yàn)锳+B+C=π，所以sin(B+C)=sinA，所以sinA=2sinAcosC，因?yàn)閟inA≠0，所以cosC=1/2，又0<C<π，所以C=π/3。（5分）（2）由三角形面積公式得：1/2absinC=3√3/4，即1/2ab×√3/2=3√3/4，解得ab=3，由余弦定理得：c2=a2+b2-2abcosC，即3=a2+b2-2×3×1/2，所以a2+b2=6，則(a+b)2=a2+b2+2ab=6+6=12，所以a+b=2√3。（10分）（12分）解：（1）由頻率分布直方圖得：(0.005+0.015+a+0.025+0.015+0.005)×10=1，解得a=0.035。（3分）（2）平均數(shù)為：55×0.05+65×0.15+75×0.35+85×0.25+95×0.15+105×0.05=80.5，設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)?.05+0.15+0.35=0.55>0.5，所以中位數(shù)在[70,80)內(nèi)，則0.05+0.15+(x-70)×0.035=0.5，解得x=70+0.3/0.035≈78.57。（7分）（3）成績(jī)?cè)赱120,140)內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.15×100=15，成績(jī)?cè)赱140,150]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為0.05×100=5，從20名優(yōu)秀學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，共有C202=190種，至少有1人成績(jī)?cè)赱140,150]內(nèi)的對(duì)立事件是2人都在[120,140)內(nèi)，有C152=105種，所以所求概率為1-105/190=17/38。（12分）（12分）（1）證明：因?yàn)锳B=AC，D為BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，又AA1⊥底面ABC，AD?底面ABC，所以AA1⊥AD，因?yàn)锽C∩AA1=A，所以AD⊥平面BCC1B1。（5分）（2）解：以A為原點(diǎn)，AB,AC,AA1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,2),D(1,1,0),C1(0,2,2)，向量A1B=(2,0,-2)，向量AD=(1,1,0)，向量AC1=(0,2,2)，設(shè)平面ADC1的法向量為n=(x,y,z)，則{n·AD=0,n·AC1=0}，即{x+y=0,2y+2z=0}，令x=1，則y=-1,z=1，所以n=(1,-1,1)，設(shè)直線A1B與平面ADC1所成角為θ，則sinθ=|cos<A1B,n>|=|A1B·n|/|A1B||n|=|2×1+0×(-1)+(-2)×1|/(√8×√3)=0，所以直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值為0。（12分）（12分）解：（1）由題意得：e=c/a=√2/2，a2=b2+c2，又橢圓過點(diǎn)(1,√2/2)，所以1/a2+1/(2b2)=1，解得a2=2，b2=1，c2=1，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（4分）（2）由（1）知F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，設(shè)直線l的方程為x=my-1，聯(lián)立{x=my-1,x2/2+y2=1}，得(m2+2)y2-2my-1=0，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=2m/(m2+2)，y1y2=-1/(m2+2)，所以|y1-y2|=√[(y1+y2)2-4y1y2]=√[4m2/(m2+2)2+4/(m2+2)]=2√2(m2+1)/(m2+2)，△ABF2的面積S=1/2×|F1F2|×|y1-y2|=1/2×2×2√2(m2+1)/(m2+2)=2√2(m2+1)/(m2+2)，由題意得2√2(m2+1)/(m2+2)=4√3/5，解得m2=3或m2=1/3，所以m=±√3或m=±√3/3，所以直線l的方程為x±√3y+1=0或√3x±y+√3=0。（12分）（12分）解：（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=1/x-a=1-ax/x，當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=1/a，當(dāng)0<x<1/a時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x>1/a時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞增，在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減。（5分）（2）證明：由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，所以a>0，且f(1/a)=ln(1/a)-a×1/a+1=-lna>0，解得0<a<1，因?yàn)閒(1)=ln1-a+1=1-a>0，f(1/a2)=ln(1/a2)-a×1/a2+1=-2lna-1/a+1，令g(a)=-2lna-1/a+1(0<a<1)，則g'(a)=-2/a+1/a2=(1-2a)/a2，當(dāng)0<a<1/2時(shí)，g'(a)>0，g(a)單調(diào)遞增，當(dāng)1/2<a<1時(shí)，g'(a)<0，g(a)單調(diào)遞減，所以g(a)≤g(1/2)=-2ln(1/2)-2+1=2ln2-1<0，所以f(1/a2)<0，所以存在x2∈(1/a,1/a2)，使得f(x2)=0，又f(1)=1-a>0，所以存在x1∈(1,1/a)，使得f(x1)=0，令h(x)=f(x)-f(2/a-x)(x>0)，則h'(x)=f'(x)+f'(2/a-x)=1/x-a+1/(2/a-x)-a=2/a[x(2/a-x)]-2a，因?yàn)閤∈(0,1/a)，所以2/a-x>1/a，所以x(2/a-x)<1/a×2/a=2/a2，所以h'(x)>2/a×a2/2-2a=a-2a=-a<0，所以h(x)在(0,1/a)上單調(diào)遞減，因?yàn)閤1∈(0,1/a)，所以h(x1)>h(1/a)=0，即f(x1)-f(2/a-x1)>0，因?yàn)閒(x1)=f(x2)=0，所以f(x2)>f(2/a-x1)，因?yàn)閤2>1/a，2/a-x1>1/a，且f(x)在(1/a,+∞)上單調(diào)遞減，所以x2<2/a-x1，即x1+x2>2/a。（12分）（12分）解：（1）曲線C的普通方程為(x-2)2+y2=4，直線l的極坐標(biāo)方程可化為ρsinθcosπ/4+ρcosθsinπ/4=√2，即ρsinθ+ρcosθ=2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0。（5分）（2）設(shè)點(diǎn)P(2+2cosθ,2sinθ)，則點(diǎn)P到直線l的距離d=|2+2cosθ+2sinθ-2|/√2=|2cosθ+2sinθ|/√2=√2|sinθ+cosθ|=√2