）：：AABBO EF2.①ΔABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則利用Sr可求內(nèi)切圓半徑r.外心：三角形外接圓圓心，垂直平分線的交（1）等腰等邊三角形：等腰等邊三角形三線合AADBCDAAPBCDPPDCCCABP）；5.熟悉幾組常用勾股數(shù)：①3，4，5；②5，12，13；③8，第一部分集合與常用邏輯用語NN*或N+ZQRCA?B(2)??AA=BA(B)A(B)或BBA≠（1）??A（A為非空子集）≠A=B7.空集：不含任何元素的集合叫做空集，記為?.2n?1個非空子集，2n?2個非空真子集.（2）A∩?=?AUB（1）AUA=A（2）AU?=A（1）并集的性質(zhì)：AUB=BUA,A?AUB,B?AUB,AUA=A,AU?=A.（2）交集的性質(zhì)：A∩B=B∩A,A∩B?A,A∩B?B,A∩A=A,A∩?=?.（3）容斥原理：一般地，對任意兩個有限集A,Bcard(AUB)=card(A)+card(B)?card(A∩B)（5）解題時，注意討論?,如A≤B，常討論A=?與A≠?兩種情況。若p→q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件p?q且q?pp?q且q?pp?qp?q且q?p常用結(jié)論：設(shè)A={x|p(x)}，B={x|q(x)}．（2）若p是q的充分不必要條件，則A專B；（4）若p是q的充要條件，則A＝B.注意：解題時要分清楚“誰”是條件，“誰”是結(jié)論，再根據(jù)“小范圍→大范圍，反之不一定成立”求解.0)0)0)第二部分不等式a>ba?b>0a=ba?b=0a<ba?b=0a>b?a+c>b>c*n>bn*a>b>0?>(n≥2,n∈N)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象ax2+bx+c=0(a>0)的根x1,x2(x1<x2)x=xx=x=?ax2+bx+c>0(a>0)的解集xx<x1,或x>x2}Rax2+bx+c<0(a>0)的解集xx1<x<x2}??那么：x1+xx1x注意：其中叫做正數(shù)a,b的算術(shù)平均數(shù)，叫做正數(shù)a,b的幾何平均數(shù)．變形：a+b≥2；(a+b)2(a+b)2 ①f(x)>g(x)?[f(x)]2>[g(x)]2；②f(x)>g(x)(g(x)>0)?f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；③f(x)<g(x)(g(x)>0)?-g(x)<f(x)<g(x)；③含有兩個或兩個以上絕對值的不等式，可用圖象法和零點分段1.函數(shù)的概念：設(shè)A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，對于集合A中任何一個數(shù)x，在集合B中都有有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對應(yīng)法則f）叫3.函數(shù)中x與y關(guān)系為：一對一，多對一，不能是一對多①中要求g(x)≠0；②2n√f(x)中要求f(x)≥0；③[f(x)]0中要求f(x)≠0），⑦通過加、減、乘、除四則運算及有限次復(fù)合出新函數(shù)，則新函數(shù)的定⑧應(yīng)用問題的定義域，除了要考慮解析式本身的定義域，還要考慮）：②單調(diào)性法：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求函數(shù)值域.④基本不等式法：形如y=ax.）；）；）：）：等求f(x).(4)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)類型，就要設(shè)出該函數(shù)表達式，如f(x)是一次函數(shù)，則可設(shè)f(x)=kx+b；然后，①利用條件由對應(yīng)項的系數(shù)相等完成；②或利用條件得方程（組），然后解方程（組）即可．）：①f(x)與f(一x)，或f(x)與f(a一x)；【前者x→一x，后者x→a一x】②一奇一偶函數(shù)f(x)與g(x)；【x→③f與f，或f與f【前者x→,后者x→（1）分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2數(shù)f(xx1)>fx2就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)述1,x2(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0?>0?f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù).1,x22，(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0?<0?f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù).②作差：對f(x1)-f(x2)變形③定號：確定f(x1)-f(x2)的符號④判斷：當(dāng)f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，則f(x)是增函數(shù)；當(dāng)f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)>f(x2)，則f(x)是減函數(shù)；設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足0∈I,都有f(x0)=M0∈I,都有f(x0)=M（1）函數(shù)y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定義域內(nèi)與y=?f,y的單調(diào)性（3）若f(x)，g(x)在區(qū)間D上具有單調(diào)性，則在區(qū)間D上具有以下性質(zhì)：①f(x)與f(x)+C單調(diào)性相同；②當(dāng)a>0時，f(x)與af(x)單調(diào)性相同；當(dāng)a<0時，f(x)與af(x)單調(diào)性相反；），）；②左邊函數(shù)圖象的最高點不高于（不低于）右邊函數(shù)圖關(guān)于-y-軸對稱?x∈I，f(-x)-f(x)=0?f(x)為偶函數(shù)?f(x)=f(x).：（（1）周期函數(shù)：對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何(1)若f(x+a)=f(x)，則T=a；(2)若f(x+a)=f(x-a)，則T=2a；若f(x+a)=-f(x)，則T=2a；若f，則T=2a；若f，則T=2a；(3)若f(x+a)=f(x+b)，則T=a-b.(1)f(a+x)=f(b-x)?y=f(x)圖象關(guān)于直線x對稱;推論1:f(a+x)=f(a-x)?y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;推論2:f(x)=f(2a-x)?y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;推論3:f(-x)=f(2a+x)?y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱;(2)f(a+x)+f(b-x)=2c?y=f(x)的圖象關(guān)于點對稱;推論1:f(a+x)+f(a-x)=2b?y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱;推論2:f(x)+f(2a-x)=2b?y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱;推論3:f(-x)+f(2a+x)=2b?y=f(x)的圖象關(guān)于點(a,b)對稱;）（函數(shù)y=f(x)與y=f(-x)圖象關(guān)于y軸對稱；函數(shù)y=f(x)與y=-f(-x)圖象關(guān)于原點對稱；函數(shù)y=f(x)與y=-f(x)圖象關(guān)于x軸對稱；互為反函數(shù)y=f(x)與函數(shù)y=f-1(x)圖象關(guān)于直線y=x對稱（反函數(shù)）.(1)若函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a與x=b軸對稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，則T＝2|a－b|;(2)若函數(shù)y=f(x)關(guān)于點(a,0)與點(b,0)中心對稱，則函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，則T＝2|a－b|;(3)若函數(shù)y=f(x)既關(guān)于點(a,0)中心對稱，又關(guān)于直線x=b軸對稱，則函數(shù)f(x)為周期函(1)已知y=f(x)的圖象平移結(jié)論:向右平移a個單位得到y(tǒng)=f(x?a)(a>0)的圖象;向左平移a個單位得到y(tǒng)=f(x+a)(a>0)的圖象;向上平移h個單位得到y(tǒng)=f(x)+h(h>0)的圖像;向下平移h個單位得到y(tǒng)=f(x)?h(h>0)的圖像.(1)對稱變換：f(?x)與f(x)的圖像關(guān)于y軸對稱;?f(x)與f(x)的圖像關(guān)于x軸對稱;?f(?x)與f(x)的圖像關(guān)于原點對稱；關(guān)于直線y=x對稱的圖像互為相反數(shù).〔f(x),x≥0關(guān)于〔f(x),x≥0去(下翻上).y=f(x)的圖像各點橫坐標(biāo)伸長或縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到f(ωx)，圖像各點縱坐標(biāo)伸長或縮短到原來的A倍，橫坐標(biāo)不變，得到Af(x)。y=xy=xy=x -1y=xRRRRR定義域和值域：將函數(shù)解析式化為根式即可得出.奇偶性：當(dāng)a為偶數(shù)、時，f(x)為偶函數(shù)；當(dāng)a為奇數(shù)、時，f(x)為奇函數(shù).fffx)=a(x-x1x-x2,x2是方程ax2+bx+c=0的兩根，圖象的對稱軸是xy=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)R①二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開口方向和對稱軸及給定區(qū)間的范圍①概念：式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．②性質(zhì)：n=a l-a,a<0 l-a,a<0anan3.運算性質(zhì)：當(dāng)(a,b>0,r,s∈Q)則(1)aras（3）ar)s=ar?s4）(ab)r=arbr.R，a是底數(shù)．a(chǎn)>10<a<1R(0，+∞)在(-∞,+∞)上是增函數(shù)在(-∞,+∞)上是減函數(shù)在第一象限：a越大越靠近y軸，底大圖高a叫對數(shù)的底數(shù)，N叫真數(shù).2.指數(shù)與對數(shù)間的關(guān)系：ax=N?x=1ogaN(a>0,a≠1,N>0)3.幾個重要的對數(shù)恒等式loga1=0，logaa=1，logaab=b，alogab=b．4.兩個特殊對數(shù)1）以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，并把并把log10N記為lgN；（2）以無理數(shù)e=2.71828……為底數(shù)的對數(shù)稱為自然對數(shù)，并把logeN記為lnN；aM+logaN=loga(MN)；②logaM-logaN=loga()；③logaMn=nloga(M)(n∈R)；alogcaalogcambn=logab．a(chǎn)>10<a<1定義域：(0，+∞)在(0，+∞)上是增函數(shù)在(0，+∞)上是減函數(shù)當(dāng)x>1時；圖像底大圖高；當(dāng)0<x<1時；圖像底大圖低②同底不同指：可看做指數(shù)函數(shù)運用單調(diào)性求解（底數(shù)a>1單增，底數(shù)0<a<1單減或運用冪函數(shù)圖像規(guī)律求解（當(dāng)x>1時；指大圖高；當(dāng)0<x<1時；指大圖低）①同底不同指：可看做指數(shù)函數(shù)運用單調(diào)性求解（底數(shù)a>1單增，底數(shù)0<a<1單減）②同指不同底：看做冪函數(shù)，運用冪函數(shù)的單調(diào)性求解（指數(shù)為正單增，指數(shù)為負單減）或①同底不同真：運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解（底數(shù)a>1單增，底數(shù)0<a<1單減）（1）函數(shù)的零點：對于函數(shù)y=f(x)(x∈D)，把使f(x)=0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f(x)(x∈D)注意：函數(shù)的零點不是不是點，是與x軸交點的橫坐標(biāo)．（2）函數(shù)y=f(x)的零點?方程f(x)=0的實數(shù)根?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐且滿足ff(x區(qū)間一分為二，使所得區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到法.注意：①函數(shù)y＝f(x)的零點是方程f(x)＝0的根，是一個實數(shù)，不是點；②（數(shù)形結(jié)合法：無法求根畫出函數(shù)圖像，看與x軸的交點，若是復(fù)雜函數(shù)時，將f(x)=0移項轉(zhuǎn)化為g(x)=h(x)，畫出g(x)和h(x)的圖象，有幾個交點則函數(shù)f(x)有幾yy=yy=f(x)y OVx OVxO①y=f(x)設(shè)函數(shù)f(x)的值域為(a，b)或[a，b]或(a，b]或[a，b)中之①若λ≥f(x)O①y=f(x)yy=f(x)xO④yy=f(x)xO④y=f(x) OVx③若λ≥f(x)有解（即存在x④若λ≤f(x)有解（即存在x使得λ≤f(x)成立則λ≤[f(x)]max；yxy=f(x)⑤若λ=f(x)有解（即λ≠f(x)無解），則λ∈{y|y=f(yxy=f(x)x⑤y=f(x)⑥⑥若λ=f(x)無解（即λ≠f(x)有解），則λ∈Cu{y|yx⑤y=f(x)⑥2.設(shè)f(x)=kx+b，則：①若f(x)>0在[m，n]恒成立，則②若f(x)<0在[m，n]恒成立，則③若f(x)在(m，n)上有零點，則f(m).f(n)<0；3.設(shè)f(x)=ax2+bx+c，則:①若f(x)>0在R上恒成立，則②若f(x)<0在R上恒成立，則或{或{yf(x)=kx+bnm①nmyf(x)=kx+b②yf(x)=kx+by n③1.雙變量相等問題：記y=f(x),x∈[a,b]的值域為A,y=g(x),x∈[c,d]的值域為B.d]，有f(x1)=g(x2)成立，則有A?Bd]，有f(x1)=g(x2)成立，則有A?B；d]，有f(x1)=g(x2)成立，故A∩B≠?.f(x1)≥g(x2)兮f(x1)min≥g(x2)max；f(x1)≥g(x2)兮f(x1)min≥g(x2)min；f(x1)≥g(x2)兮f(x1)max≥g(x2)max；f(x1)≥g(x2)兮f(x1)max≥g(x2)min．注意：處理f(x1)時，把g(x2)當(dāng)常數(shù)；處理g(x2)時，把f(x1)當(dāng)常數(shù)．①|(zhì)f(x1)—f(x2)|<c兮f(x)max—f(x)min<c．②|f(x1)—f(x2)|<c兮—c<f(x1)—f(x2)<c兮—c<f(x1)+[—f(x2)]<c.第四部分一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(1)平均變化率：y=f(x)從x1到x2的平均變化率定義式：.一般地，函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f0fx0切線的斜率．相應(yīng)地，切線方程為y-y0=f′(x)(x-x0)．注意：求切線方程時，不僅要檢驗已知點是否在曲線上，還要注意對“在”和“過”的理解.②若“過”，則該點不一定是切點，要先明確是否過該點，若無法確定則要分情況討論；若“過”曲線外的一點，則該點一定不是切點.（1）求曲線f(x)在點P(x0,f(x0))處的切線方程的步驟.①求出切線斜率k=f'(x0)；x-x0).（2）求曲線f(x)過點P(x0,f(x0))的切線方程的步驟.②求出函數(shù)y=f(x)在點(x1，f(x1))處的導(dǎo)數(shù)f'(x1)；③寫出切線方程：y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)，將(x0,f(x0))代入，求得x1；④化簡切線方程.（3）公切線問題:若曲線y=f(x),y=g(x)存在公切線,①共切點型：若曲線y=f(x),y=g(x)有公共點P(x0,y0)，且在點P處存在公切線，則只需聯(lián)立由點斜式得切線：lP:y-f(m)=f′(m,解法：分別設(shè)切點；再求導(dǎo)得斜率，使得斜率相等得注意：我們可以把“共切點型”看做“不共切點型”的特殊情況處理；需要注意斜率不存在y=cy=0y=xn-1y=nxy=sinxy=cosxy=cosxy=sinxxy=ay=axlnaxy=ey=exy=logaxy=lnxy=x -y=x2fxfx①換元，令u=g(x)，則y=f(u)；③還原：回代u=g(x).（1）在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)>0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上為單調(diào)遞增；在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)<0，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上為單調(diào)遞減.（2）設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，第一步：確定函數(shù)f(x)的定義域；第三步：把函數(shù)f(x)的間斷點（即f(x)的無定義點)的橫坐標(biāo)和f′(x)=0的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數(shù)f(x)的定義域分成若干個小區(qū)間；注意：穿根法：將根按從小到大排在數(shù)軸上，再依次從左向右見根穿過數(shù)軸；若最高次系數(shù)為正，則從上向下穿；若最高次系數(shù)為負，則從下向上穿，位于數(shù)軸上方則值為正，位于數(shù)題型一：一次函數(shù)f(x)=ax+b含參若一次項系數(shù)含參，則討論a=0和a>0，a<0，再正常求解若二次項系數(shù)含參，則討論a=0和a>0，a<0；若一次項系數(shù)或常數(shù)項含參,則看是否可以因式分解，若可因式分解，則討論兩根大?。ó?dāng)根含參時，要先討論根是否在定義域內(nèi)f 若函數(shù)y=f(x)在點x=b處的函數(shù)值f(b)比它在點x=b附ff小的一個是最小值.0x)的極值點的必要條件，不一定是充分條件．如，fx)=x3,f若函數(shù)f(x)存在導(dǎo)數(shù)，則f(x)的極值點的個數(shù)就是導(dǎo)函數(shù)f,(x)的變號零點的個數(shù)．若導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù),則原函數(shù)為（奇函數(shù)+常數(shù)）型函數(shù);若導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù),則原函數(shù)為偶函數(shù).證明:若原函數(shù)為奇函數(shù),則滿足f(-x)=-f(x),兩邊同時求導(dǎo),根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,可得若原函數(shù)為偶函數(shù),則滿足f(-x)=f(x),兩邊同時求導(dǎo),根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,可得若原函數(shù)為周期為T的周期函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)也為周期為T的周期函數(shù)則導(dǎo)函數(shù)關(guān)于點(a,0)對稱.f注意:此類型題無論怎么變化,處理這種問題,只需要結(jié)合函數(shù)的相關(guān)性質(zhì),掌握好復(fù)合函數(shù)的利用單調(diào)性解不等式的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，研究新函數(shù)的單調(diào)性及其導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式，再根據(jù)單調(diào)性判斷解集.第四步：將不等式中的自變量落在統(tǒng)一單調(diào)區(qū)間，再根①對于f'(x)>g'(x)，構(gòu)造h(x)=②對于，分類討論：若f(x)>0，則構(gòu)造h(x)=lnf(x)；若f(x)<0，則構(gòu)造h(x)=ln[-f(x)].①對于不等式f′(x)+g′(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)+g(x)②對于不等式f′(x)?g′(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)?g(x)③對于不等式f′(x)>k（或<k）構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)?kx④對于不等式f′(x)g(x)+g′(x)f(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)g(x)⑤對于不等式f′(x)g(x)?g′(x)f(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F①對于不等式xf′(x)+f(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F(x)=xf(x)②對于不等式(x+a)f′(x)+f(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F(x)=(x+a)f(x)③對于不等式xf′(x)?f(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F④對于不等式(x+a)f′(x)?f(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F⑤對于不等式xf′(x)+nf(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x)①對于不等式f′(x)+f(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x)②對于不等式f′(x)?f(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F′③對于不等式f(x)+nf(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F(x)=enxf(x)④對于不等式f′(x)?nf(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F⑤對于不等式f′(x)+f(x)>a（或<a）構(gòu)造函數(shù)F(x)=exf(x)?aex⑥對于不等式f′(x)?f(x)>a（或<a）構(gòu)造函數(shù)F①對于不等式sinxf′(x)+cosxf(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F(x)=sinxf(x)③對于不等式cosxf′(x)?sinxf(x)>0（或<0）構(gòu)造函數(shù)F(x)=cosxf(x)函數(shù)同構(gòu)的形式：導(dǎo)數(shù)的同構(gòu)其本質(zhì)就是構(gòu)造函數(shù),構(gòu)造形式大致可分為兩類:在成立或恒成立命題中，一部分題是命題者利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造到這個函數(shù)模型（即不等式兩邊對應(yīng)的同一個函數(shù)），無疑大大這個函數(shù)模型的方法，我們就稱為整體同構(gòu)法．如，若F(x)≥0能等價變形為f[g(x)]≥f[h(x)]，），②含有地位同等的兩個變量x1,x2或p，q等的不等式，進行“塵化塵，一種常見變形，如果整理（即同構(gòu)）后不等式兩邊具有結(jié)構(gòu)的一致性，往往暗示單調(diào)性（需第二階,對數(shù)lnx增長最慢屬于第三階.說明:aea≤(lnb)elnbeaaea≤(lnb)elnbealnea≤blnb①積型：aea≤blnb——→{同右,——→f(x)=xlnx,l取對a+lna≤lnb+ln(lnb)——→f(x)=x+lnx如，2x3lnx≥me?x2lnx?x2lnx2≥eln后面的轉(zhuǎn)化同(1),說明；在對“積型”進行同構(gòu)時，取對數(shù)是最快捷的，同構(gòu)—————→{同右同左eaeab三種同構(gòu)方式取對alnb <alnbeab <lnealnb——→f(x)=構(gòu)造函數(shù)x————→f(x)=ln構(gòu)造函數(shù)xa?lna<lnb?ln(lnb)——→f(x)=?xlnx,ealnbea,如；eax+ax>ln(x+1)+x+1?eax+ax>eln(x+1)+ln(x+1)?ax>ln(x+1)．若式子無法直接進行變形同構(gòu),往往需要湊常數(shù)、湊參數(shù)或湊變量,如兩邊同乘以x,同加上x等,再用上述方式變形.常見的有:①aeax>lnx?axeax>xlnx（無中生有：同乘x）;可構(gòu)造f(x)=xlnx,等價于f(eax)>f(②ex>alnex>ln?1?ex?lna?lna>ln(x?1)?1?ex?lna+x?lna>ln(x?1)+x?1;（無中生有：同乘x）可構(gòu)造f(x)=lnx+x,等價于f(ex?lna)>f(x?1).③ax>logax?exlnaexlna>xlnx；可構(gòu)造f(x)=xlnx,等價于f(exlna)>f(x).④xxa?lnxalnxa?lnxa；可構(gòu)造f(x)=x?lnx,等價于f.⑤xa+1ex≥?alnx?xex?xex≥?alnx.e?alnx；可構(gòu)造f(x)=xex,等價于f(x)≥f(?alnx),若f(x)為非常數(shù)函數(shù)，求導(dǎo)式子中含有l(wèi)nx，這類問題需要多次求導(dǎo)，煩瑣復(fù)雜．通常要將對數(shù)型的函數(shù)“獨立分離”出來，這樣再對新函數(shù)求導(dǎo)時，就不含對求解過程簡單．或者flnx＋g，即將前面部分提出，就留下lnx這在證明或處理含指數(shù)函數(shù)的不等式時，通常要將指數(shù)型的函數(shù)“值點，從而避免了多次求導(dǎo)．這種相當(dāng)于讓指數(shù)函數(shù)尋找“合作伙fx(3)xex=ex+lnx，x+lnx=lnx?lnx，x?lnx再結(jié)合常用的切線不等式：ex≥x+1，ex≥ex，lnx≤x+1，lnx.(7)xex=ex+lnx≥x+lnx+1，x+lnx=ln(xex)≤xex?1;xex=ex+lnx≥e,x+lnx=lnxex?1．由圖像可以分析得到:①ex≥1+x（當(dāng)x=0時,等號成立）②ex③lnx≤x?1（當(dāng)x=1時,等號成立）④lnx≤x（當(dāng)x=e時,等號成立）y=x+1是y=ex在(0，1)處的切線，有ex≥1+x恒成立；y=x?1是y=lnx在(1，0)處的切線，有l(wèi)nx≤x?1恒成立．(1)由ex≥1+x引出的放縮：①ex?1≥x(用x－1替換x，切點橫坐標(biāo)是x＝1)，通常表達為ex≥ex．②ex+a≥x+a+1(用x＋a替換x，切點橫坐標(biāo)是x＝－a)，平移模型，找到切點是關(guān)鍵．③xex≥x+lnx+1(用x＋lnx替換x，切點橫坐標(biāo)滿足x＋lnx＝0)，常見的指對跨階改頭換面x④exx2>x2（用2替換x,切點橫坐標(biāo)是2通常有e的構(gòu)造模型．yy=ex1y=xyy=ex+ay=x+a+1-aOxyy=x.exyy=x+ln(x)+1Oxyy=exy=y=x2e2y=y=x22xO2x(2)由lnx≤x-1(也可以記為lnex≤x，切點為(1，0))引出的放縮：常見的就是ln(x+1)≤x，由lnx≤x-1向左平移1個單位長度來理解，或者將ex≥1+x兩①lnx（用替換x,切點橫坐標(biāo)是e），表示過原點的f(x)=lnx的切線為y．②lnx替換x,切點橫坐標(biāo)是1或者記為xlnx≥x-1．③lnx≤x2-x(由lnx≤x-1及x-1≤x2-x，切點橫坐標(biāo)是x＝1)，或者記為．yy=y=y=ln(x)xOyy=ln(x)O1y=1x 1y=1xyy=x2xO1xy=x2xO1xyy=2yy=2y=x1Oxy=ln(x)1Ox可以利用設(shè)而不求的思想，先證明函數(shù)f(x)在某區(qū)間上單調(diào)，然后用零點存在性定理說明只圍，如果含參x0的范圍往往和參數(shù)a的范圍有關(guān)．這時就可以把超越式用代數(shù)式表示，同時根據(jù)x0的范圍可進行適當(dāng)?shù)姆趴s．從而問題得以解決．基本解決思路是：形式上虛設(shè)，運算2.隱零點問題求解步驟前提：不等號一邊為零或參數(shù)））：(4)討論函數(shù)f(x)單調(diào)性，進而得到f(x)的最值表達式（一般為f(x0)0)=0適當(dāng)變形，整體代入最值式子f(x0)進行化簡證明。環(huán)節(jié)一是處理隱零點問題的基礎(chǔ),常用零點的存在定理來判斷證明,即：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,且有f(a)f(b)<0,那么,函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一個零點.若已知f′(x)的單調(diào)性,只需帶入特定的數(shù)字a,b（對于如何找特定的數(shù)字,在零點復(fù)雜問題的基礎(chǔ),下面通過2道基礎(chǔ)例題來令g(x)=1+cosx-ex,g′(x)=-ex-sinx<0,所以g(x)在區(qū)間[0,π]上單調(diào)遞減.———————【通過單調(diào)性,來證明零點的唯一性】因為g(0)=2-1=1>0,g(π)=-eπ<0——————【零點的存在定理,選取兩數(shù),證明異號】x0)=0———————【零點唯一且存在】且當(dāng)0<x<x0時,f′(x)>0;當(dāng)x0<x<π時,f′(x)<0.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[0,x0],單調(diào)遞減區(qū)間是[x0,π].所以函數(shù)f(x)存在唯一的極大值點x0環(huán)節(jié)2:對最值f(x0)的化簡在做題過程中往往是要先選取隱零點的所在范圍,最后再進行最值的化到了第二位而把隱零點范圍的確定放到了第三位,是確定需要根據(jù)f(x0)化簡之后的形式來進一步確定,所以先掌握最值的化簡方法也一種好選擇.(x0)=0對f(x0)進行化簡時,化簡結(jié)果一般是一個可以直接觀察單調(diào)性和求最值的簡潔式子,例如常數(shù),一次函數(shù),二次函數(shù),反比例函數(shù)等等,度的表達式,則極有可能說明化簡不完善不徹底,我們一般采取取【典例2】證明不等式ex-2-lnx>0恒成立.【解析】設(shè)函數(shù)?(x)=ex-2-lnx(x>0),則=ex可知?′(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.(x)=0在(0,+∞)上有唯一實數(shù)根x0,且1<x0<2.則=ex即ex.兩邊同時取對數(shù)得x0-2=-lnx0————【取對數(shù)化簡】(x)<0,?(x)單調(diào)遞減;0,x)>0,?(x)單調(diào)遞增x0)=0得到的等式x0-2=-lnx0,將?(x0)進行化簡處理）得=ex0-2-lnx則?(x)=ex-2-lnx>0,即不等式ex-2-ax>lnx-ax恒成立在環(huán)節(jié)1中帶入特定的數(shù)字驗證隱零點x=x0的大致范圍,通常選擇的都x0這也是較為基礎(chǔ)的方法,但依舊不能保證選點的精確性;對于參變分值是整數(shù)的題型,判斷x0區(qū)間的恰當(dāng)與否需要看化簡之后的最值f(x0)在這個區(qū)間內(nèi)的值域的上界和下界的差是否在1之內(nèi)且是否包含整數(shù),例如k≥f(x)在給定區(qū)間內(nèi)恒成立,若x0∈(1,2),此時最大值f(x0)∈(4,5),那么x0的取值就是恰當(dāng)?shù)?若k取整數(shù),則k≥5;若f(x0)∈(4,5.1),此時k的最小正整數(shù)可取5或者6,則x0的取值就不恰當(dāng),需要對x0的范圍進一步縮小.數(shù)b的最小整數(shù)值.所以,存在唯一的x,使得t(x0)=0,即exx0=-lnx0,且當(dāng)x<x0時,t(x)<0,即h0<x<1時,t故函數(shù)g(x0)在x0即g(x此時則b≥-3或b≥-4都滿足題意,因此需要在此縮小x0的范所以,存在唯一的x,使得t(x0)=0,所以根據(jù)題意g<g即g,因此b的最小整數(shù)值為-3已知函數(shù)y=f(x)是連續(xù)函數(shù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值點x0,f(x1)=f(x2),且x之間,若f(x)=c的兩根的中點剛好滿足即極值點點沒有偏移.此時函數(shù)f(x)在x=x0兩側(cè),函數(shù)值變化快慢相同,如圖（1）.若f(x)=c的兩根中點則極值點偏移,此時函數(shù)f(x)在x=x0兩側(cè),函數(shù)值變化快慢不同,如圖（2）、圖（3）. x1＋x2x1＋x2），xx1xxx1x0x1+x2x2y=a2x1x1+x22x2xx2x1x0xy=a極值點左偏 x1＋x2 x1＋x2 x1＋x2x1x1+x22xy=ax1x2x0xy=ax1x2x0x1x1+x2x0x2y=ax2極值點右偏二、極值點偏移問題的一般題設(shè)形式（x0為函數(shù)f(x)的極值點）(1)若函數(shù)f(x)存在兩個零點x1，x2,或f(x1)=f(x2)，且x1≠x2,求證x1+x2>2(2)若函數(shù)f(x)定義域中存在x1，x2或f(x1)=f(x2),且x1≠x2,求證x1x2>x02或x1x2<x02；f（1）明確x1,x2的取值范圍,假定x1,x2的大小關(guān)系;（2）將待證不等式變形,結(jié)合原函數(shù)單調(diào)性及f(x1（3）構(gòu)造函數(shù)：構(gòu)造關(guān)于x1（或x2）的一元函數(shù)g(x)=f(x)-f(2x0-x),應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性達到證明不等式目的.（5）比較大小：判斷函數(shù)g(x)在某段區(qū)間上的正負，并得出f(x)與f(2x0－x)的大小關(guān)系．（6）轉(zhuǎn)化：即利用函數(shù)f(x)的單調(diào)性，將f(x)與f(2x0－x)的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為x與2x0－x之間對稱化構(gòu)造函數(shù)法構(gòu)造輔助函數(shù):①對x1+x2>2x0型,構(gòu)造F(x)=f(x)-f(2x0-x).②對x1x2>x型,構(gòu)造函數(shù)F=f-f通過研究F(x)的單調(diào)性獲得不等式比(差)值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點之比(差)作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值或差值(一x2)建立等量關(guān)系;（2）等量關(guān)系中含有參數(shù),考慮消參,如果含有指數(shù)式,可考慮取對數(shù);（3）令t或x2-x1=t（不常用x2-x1=t）構(gòu)造關(guān)于t的函數(shù)證明.量問題來處理,達到消元的效果,在處理比值代換時,要注意一些常見構(gòu)變換方法:轉(zhuǎn)化為?(t)>0等形式,再構(gòu)造函數(shù)可得;②對數(shù)相加減:lnx1-lnx2=lnlnx1+lnx2=lnx1x2;③齊次分式等;④組合型:對數(shù),分式,整式等形式加以組合,如x1+kx2>2x等等兩個正數(shù)a和b的對數(shù)平均定義：L(a,b對數(shù)平均不等式）.取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立．x2（2）等量關(guān)系中含有參數(shù),考慮消參,如果含有指數(shù)式,可考慮兩邊取對數(shù);證明:(1)先證：<L(a,b)①以函數(shù)f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，故f(x)<f(1)=0，從而不等式①成立；(2)再證：L以函數(shù)g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增，故g(x)>g(1)=0，從而不等式②成立；a+ba+b2就是比值代換,同時對數(shù)均值不等式不可以直接使用,需要證高中階段的主流導(dǎo)數(shù)壓軸題之一就是含參數(shù)的恒成立問參數(shù)不確定,給我們討論帶來了極大的困難.但是,由于恒成立問題的一些手段得到一個參數(shù)的大致范圍,那么這個取值范圍是不等式恒成相當(dāng)于對參數(shù)增加了一個條件,對問題解決有很好的導(dǎo)向性.這就是必要性探路法.必要性探路法是求解帶參數(shù)的恒成立問題的重要法寶.我們變量范圍中選擇一個數(shù),代入求得一個參數(shù)范圍,此時這個范圍是題法證明該必要條件是題意的充分條件,或者討論別的點.若充分性成求范圍.這種方法是邏輯條件的充分運用,因為先得到必要條（1）探究必要條件,縮小參數(shù)范圍:在給定的范圍內(nèi)取取值范圍,該取值范圍即為不等式恒成立的一個必要條件,接下來探究值可以為端點值、極值點、不等式公共取等條件、（2）證明充分性,求結(jié)果:利用第一步中的參數(shù)的范圍去判定函數(shù)是否單①如果函數(shù)單調(diào),則由端點得到的范圍就是最終答案;②如果函數(shù)不單調(diào),則利用端點確定的范圍進一步確定函數(shù)的最值.注意:這種必要性探路法所求的參數(shù)范圍不一定是所求的大前提,縮小參數(shù)的討論范圍,一定程度上降低了思維成本.端點效應(yīng)是必要條件探路法的一種特例,利用端點處函數(shù)值的特殊明其充分性,思路簡捷.端點效應(yīng)的使用原理:（1）如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上,f(x)≥0恒成立,則f(a)≥0或f(b)≥0.（2）如果函數(shù)f(x)在區(qū)問[a,b]上,f(x)≥0恒成立,且f(a)=0（或f(b)=0）,則f′(a)≥0（或f（3）如果函數(shù)f(x)在區(qū)問[a,b]上,f(x)≥0恒成立,且f(a)=0,f′(a)=0（或f(b)=0,f′(b)≤0）則f(a)≥0（或f(b)≤0）yy=f(x)Ox1x2x圖象上任意弧段位于所在弦的下方的函數(shù)為凹函數(shù)yy=f(x)Ox1x2x圖象上任意弧段位于所在弦的上方的函數(shù)為凸函數(shù)yy=g(x)Oy=h(x)xO凹凸反轉(zhuǎn)：很多時候，我們需要證明f(x)>0，但不代表就要證明f(x)min>0，因為大多的方法，但是隱零點也不是萬能的方法，如果隱零點法不行可嘗試用f(x)>0，可把f(x)拆分成兩個函數(shù)g(x)，h(x)，放在不等式的兩邊，即要證g(x)>h(x)，明顯，g(x)是凹函數(shù)，h(x)是凸函數(shù)，因為這兩個函數(shù)的凹凸性剛好相反，所以稱為凹凸反式函數(shù)組合與對數(shù)函數(shù)和多項式函數(shù)組合分開，構(gòu)造兩個單峰函數(shù)個函數(shù)的最值并進行比較．當(dāng)然我們要非常熟練掌握一些常見的指(a>0a<0①當(dāng)Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac)>0②當(dāng)Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac)=0①當(dāng)Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac)>0時，f′(x)與x軸有兩個交點x1，x2，f(x)形成三個單調(diào)區(qū)間和兩個極值點x1，x2.②當(dāng)Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac)=0時，f′(x)與x軸有兩個等根x1，x2，f(x)沒有極值點.③當(dāng)Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac)<0時，f′(x)與x軸沒有交點，f(x)沒有極值點.①當(dāng)f(x1).f(x2)>0，原方程有且只有一個②當(dāng)f(x1).f(x2)=0，則方程有2個實根，圖像如圖9，10.③當(dāng)f(x1).f(x2)<0，則方程有三個實根，圖像如圖11.①f(x)不可能為偶函數(shù)；②當(dāng)且僅當(dāng)b=d=0時是奇函數(shù)．(3)結(jié)論三：y=f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，若y=f(x)的圖象關(guān)于點(m,n)對稱，則y=f'(x)圖象關(guān)于直線x=m對稱.(4)結(jié)論四：若y=f(x)圖象關(guān)于直線x=m對稱，則y=f'(x)圖象關(guān)于點(m,0)對稱.設(shè)P是f(x)上任意一點(非對稱中心)，過P作函數(shù)f(x)圖象的一條割線AB與一條切線PT(P切點分別為M、P，則M點的橫坐標(biāo)平分P、N的橫坐標(biāo)，如圖13．推論2：設(shè)f(x)的極大值為M，當(dāng)成f(x)=M的兩根為x1，x2(x1<x2)，則區(qū)間[x1,x2]被中心和極小值點三等分，類似的，對極小值點N也有此結(jié)論，如圖14．A．3條B．2條C．1條D．0條第五部分三角函數(shù)銳角：.一二三四所在象限（1）nα所在象限的判斷方法:確定nα終邊所在的象限,先求出nα的范圍,再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可.（2）所在象限的判斷方法:解法1:用不等式表示出角的范圍,然后對k的取值分情況討論:被n整除;被n除余1;被n除余2;…;被n除余n－1.從而得出結(jié)論;解法2:作出各個象限的從原點出發(fā)的n等分射線,它們與坐標(biāo)軸把周角分成4n個區(qū)域.從x軸非負半軸起,按逆時針方向把這4n個區(qū)域依次循環(huán)標(biāo)上1,2,3,4.α的終邊在第幾象限,則標(biāo)號為幾的區(qū)域,就是n的終邊所落在的區(qū)域.如此,n所在的象限就可以由標(biāo)號區(qū)域所在的象限直(2)弧度公式R為圓的半徑，弧長為l的弧所對的圓心角為α)。(4)角度與弧度換算：180。=πrad?rad；1rad.角α終邊上任意一點P(x,y)，則sinα=，cosα=，tanα=..r=x+y22特別的：角α終邊與單位圓交于點P(x,y)，則sinα=y，cosα=x，tanα=.如圖,過角α終邊與單位圓的交點P作x軸的垂線,垂足為M.30o45o90o360o04345π6π2sinα0 12223313322 12010222213322 120122233-1012222tanα0331 無--1330無033 + + ++ sinacosatana + + ++ ++ ①平方關(guān)系：sin2α+cos2α=1，商數(shù)關(guān)系：tanα;2=1③應(yīng)用：“1”的妙用，弦切互化，齊次式（同除cosnα弦化切用tanα表示）2（2）知弦求切：，或知切求弦：{,利用si）：同除cos2α），③分子分母同除cos2α公式二：sin(π+a)=-sina公式五：sin數(shù)名稱的變化，若變則是正弦變余弦，正切變余切；符號是根據(jù)原函數(shù)判斷新三角函數(shù)的符號（無論a是多大的角，都將a看成銳角）解決給角求值的基本原則：負化正，大化小，1一tan2α②y=aco+bsinx=cos(x-?)tan2=±\1＋cosα=1＋cosα=sinα(2)涉及函數(shù)的升降冪及角的二倍關(guān)系的題目時，常用si公式即可；異名時，切化弦或弦化切）；看結(jié)構(gòu)特征（聯(lián)想公式①“顯性”互余關(guān)系→;②“隱性”互余關(guān)系③互補關(guān)系→;④二倍關(guān)系；⑤特殊角關(guān)系.(4)asinα+bcosα=0?atanα+b=0；(5)asinα+bcosα=m?asin2α+2absinαcosα+bcos2α=m2；a2sin2α+2absinαcosα+b2cos2α2a2tan2α+2abtanα+b22?=m?=m.sin2α+cos2αtan2α+1y=sinxy=cosxy=tanxRRR無奇偶奇T=2πT=2πT=πx=kπ+x=kπ無（1）五點作圖法（列表，描點(x,y)，連線）0π2π2x?-ωω2π-?ωBA+BBB），5.待定系數(shù)法求函數(shù)y=Asin(wx（2）變形：①邊化角：a=2Rsina，b=2Rsinb，c=2Rsinc；②角化邊：sinAsinB，sinC③比值：R（1）余弦定理：a2=b2＋c2－2bccosA兩邊及其夾角求邊）b2=c2＋a2－2caco（2）常見變形：a2=(b+c)2-2bc(1+cosA),（3）余弦定理的推論（求角cosA三邊求角）③已知三角形的周長與內(nèi)切圓半徑：S(r為三角形的內(nèi)切圓半徑)；④已知三角形三邊乘積與外接圓半徑：SABC的外接圓半徑）；)．或利用圖形補形、分割、組合求面積；4、誘導(dǎo)公式在三角形中的應(yīng)用（利用內(nèi)角和A+B+C=π和誘導(dǎo)公式FE(x1,FE(x1,y2)B(x1,y1)tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC，cos=cos()=cos(-)=sin.A為銳角作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線所成的角(一般指銳達求AB，1.在ΔABC中，D為BC邊上任意一點.(2)若AD為BC邊上的中線，則思路二：延長AD到E，使得DE=AD，故四邊形ABEC為平行四邊形，再在ΔACE利用正余弦定理求解.(3)若D為BC邊上的任意一點，則余弦定理求解.(3)若D為BC邊上的任意一點，則思路四：過點B作AC的平行線AF，延長AD與AF相交于點E.利用ΔBDE~ΔCDA.思路二：利用正弦定理化角（受約束的三角形，如：銳角三角形）利用正弦定理a=2RsinA取值范圍.第六部分平面向量與復(fù)數(shù)（1）定義：既有大小又有方向的量叫做向量，注意：向量具有大小和方向兩個特征，求解問題時要同時考慮這兩個方面.→三要素：起點、方向、長度.知道了有向線段的起點、方向和長度，它的終點就唯一確定.a③平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共線向量．規(guī)定：與任一向特殊情況.注意：兩個向量共線要區(qū)別于兩條直線共線，兩個向量共線滿足的條件是：兩個向量所在直aa+bbbba+b+b=b+(+)+=+(+)aa?b=+(?b)a（1）|λ|=|λ|||λ(μ)=(λμ)(λ+μ)=λ+μλ(+)=λ+λ量的起點必須重合，和向量與差向量分別是平行四邊形的兩條對角線所對應(yīng)的向量；運用三OA=OB+CA?OA?OB=CA?BA?CA=BA+AC=BC．（2）一般地，我們有|+|≤+，當(dāng)且僅當(dāng)a,b方向相同時等號成立.如果=λ(λ∈R)，則//；反之，如果//且≠，則一定存在唯一的實數(shù)λ,使=λ口訣：數(shù)乘即得平行，平行必有數(shù)乘和是同一個平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于該平面內(nèi)的任一向量，都存+λ性組合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是+λ=λ+λλ+λ(2)向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中,設(shè)與x軸.y軸方向相同的兩個單位向量分別為,,取對實數(shù)x,y,使得=x+y，這樣平面內(nèi)的任一向量都可由x,y唯一確定,我們把有序數(shù)對x,y)叫做向量的坐標(biāo),記作=(x,y)，其中x叫做在x軸上的坐標(biāo)，y叫做在y軸上的,y1,y12,y2),則向量,共線的充要條件是x1y2?x2y1=0.中，若點是邊上的點，且),則向量△ABCBCDAACBDCBDλ,μλ,μOOλλ,使得?λλ,使得?λ,使得λ,使得?,使得?△ABCAD=△ABCBCBCAD②O是△ABC的重心的充要條件是++=0.平行.鈍角時，它是負數(shù)；當(dāng)θ為直角時，它是0．過AB的起點A和終點B，分別作→2或模||=x2+y2→→x2+y1y2→→→ x1x2+y1y2=0→x1y2?x2y1=00.兮P1，P，P2三點共線①坐標(biāo)法：向量是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，即=(x，y)，則可直接利用公式求解.②平方法：若向量，是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，則可先求向量的模的平方，再通過向量數(shù)2=2=2=22，2?2=+?.③若已知表示向量的有向線段的起點、終點坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，則利用公A-→⑴P為ΔABC的重心:APFPFEE2)重心和三角形3個頂點組成的3個三角形面積相等;其余同理)；①概念：三角形外接圓圓心；三條邊垂直平分線交點.2)三角形面積與外接圓半徑關(guān)系：S2)三角形面積與內(nèi)切圓半徑關(guān)系：SCrr幾何意義：平面向量的數(shù)量積表示以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對2?BM2SSS=x:y:z若點P在直線AB上，則λ+μ=1；反之也成立.λ1,μ1若點P1在平行（或重合）于AB的直線A1B1上，則λ1+μ1=k(λ+μ)=k為定值；反之也成立.λ,μ結(jié)合結(jié)論（1），λ+μ=1.平面向量基本定理得λ1因此λ1+μ1=kλ+μ)=k為定值.我們把直線AB以及與直線AB平行的直線A1B1稱為等和線.（1）復(fù)數(shù)：形式如z=a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，i2=?1.復(fù)平面：用來表示復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)系，其中x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.（2）復(fù)數(shù)的乘、除運算（乘法：類多項式乘法；除法②復(fù)數(shù)的除法i.（3）常見的運算規(guī)律：(1)z=z;(2)z.z=z2=z2=a2+b2;⑤a+bi=i(bai)；⑥in+i-n=in+(i)ni4n+2=1；③i4n+3=i；④i4n=1，⑤in+in+1+in+2+|z2z1|．一般地，任何一個復(fù)數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模；θ輻角．r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的三角表示式，簡稱三角形式．任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數(shù)倍．規(guī)定在①兩個復(fù)數(shù)相乘，積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積，積的輻角等于r1(cosθ1+isinθ1).r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]．表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2．兩個復(fù)數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的），題型一：已知z求z?z1的最值解題思路：可轉(zhuǎn)化為以原點為圓心，以z為半徑的圓上的點到z1所代表的點的距離最值（一題型二：已知z?z1求z?z2+z?z3為半徑的圓上的點到z2與z3所代表的點的距離之和最值第六部分?jǐn)?shù)列為定義域的函數(shù)an=f(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值．a(chǎn)n+1>anan+1<anan+1=an③對于一個數(shù)列，如果只知道它的前幾項，而沒有指出它的變化規(guī)律，是不能確定），的任一項an與它的前一項an?1（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式可根據(jù)某項的序號n的值，直接代入求出an都可求出數(shù)列的任意一項值，逐項求出數(shù)列的項，直至求出所需的an，也可通過變形轉(zhuǎn)化，直接求出an4.數(shù)列{an}的前n項和：Sn=a1+a2+...+an.5.通項an與Sn之間的關(guān)系：anSn若n≥2時，求出的an也適合n＝1，則用一個式子表示an，否則分段表示.叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用d表示.定義表達式（證明前提）：an?an－1=d（常數(shù)）(n∈N*，n≥2)．2.等差中項：a,A,b組成等差數(shù)列，此時A叫做a與b的等差中項，即2A=a+b.3.等差數(shù)列的通項公式：an=a1+(n?1)d.變式：an=am+(n?m)d，an?am=(n?m)d，4.等差數(shù)列的前n項和公式：Sn=na5.等差數(shù)列常用性質(zhì)：已知{an}為等差數(shù)列，d為公差，Sn為該數(shù)列的前n項和．（1）數(shù)列{an}為等差數(shù)列?an=pn+q（p，q是常數(shù)）（2）在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m+n=p+q時，am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N*)．（3）等間距抽取:ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等差數(shù)列，公差為md(k，m∈N*)．（4）等長度截取:Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差數(shù)列，公差為n2d．（5）若{an}，{bn}是等差數(shù)列，則{pan+qbnn（7）若項數(shù)為偶數(shù)2n，則S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1)；S偶－S奇＝nd；（8）若項數(shù)為奇數(shù)2n?1，則S2n－1=an；S奇－S偶=an（10）Snn．?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn=An2+Bn（A、B為常數(shù)）．公差d>0?{an}為遞增等差數(shù)列，Sn有最小值；公差d<0?{an}為遞減等差數(shù)列，Sn有最大值；公差d=0?{an}為常數(shù)列．nn<0>0<0>0,則Sn有最小值（所有負項或非正項之和）．定義的表達式（證明前提）：q3.通項公式：an=a1qn?1。變式：an=amqn?mqn?m.注意：①等比數(shù)列的前n項和公式有兩種形式，在求等比數(shù)列的前n項和時，首先要判斷②已知a1,q(q≠1),n），③Snqnkqn?k(k≠0,q≠1)，Sn為關(guān)于qn的指數(shù)型函數(shù)，且（2）①設(shè){an}為等比數(shù)列，則{λan}(λ為非零常數(shù)），{an}，{a}仍為等比數(shù)列．②設(shè){an}與{bn}為等比數(shù)列，則{anbn}也為等比數(shù)列．（3）等比數(shù)列{an}的單調(diào)性（等比數(shù)列的單調(diào)性由首項a1與公比q決定nn若已知等比數(shù)列{an}，公比為q，前n項和為Sn，則：kak,ak+m,ak+2m,…為等比數(shù)列，公比為q(下標(biāo)成等差數(shù)列,則對應(yīng)的項成等比數(shù)列)．Sm,S2m?Sm,S3m?S2m,…為等比數(shù)列，公比為qm（當(dāng)q=?1時，m不為偶數(shù)）．（5）既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列.n構(gòu)造法:在條件中出現(xiàn)an＋1=kan+b關(guān)系時,往往構(gòu)造數(shù)列,方法是把an＋1+x=k(an+x)與an＋1=kan+b對照,求出x即可①適用條件：適用題目所給關(guān)系式中含有Sn的情況.②核心步驟：1）當(dāng)n=1時，a1=S1；2）當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1；②核心步驟：1）當(dāng)n=1時，a1=T2）當(dāng)n≥2時，an（1）適用條件：適用題目所給關(guān)系式為：an+1=an+f(n)(其中f(n)是關(guān)于n的函數(shù)，（2）核心步驟：①將題目的式子變形為an+1-an=f(n)③將②中n?1個式子左右分別相加④化簡可得：an=f(n?1)+f(n?2)+...f(2)+f(1)+a1,(n≥2)注意1）累加法的標(biāo)準(zhǔn)模型：①an+1?an=f(n)(n∈N*)或②an?an?1=f(n)(n≥2)（2）累加法使用過程中，從a2?a1開始，最后結(jié)束時應(yīng)寫到an?an?1，注意避免出現(xiàn)（1）適用條件：適用題目所給關(guān)系式為：an+1=an+f(n)(其中f(n)是關(guān)于n的函數(shù)，等③將②中n?1個式子左右分別相乘④化簡可得：an=f(n?1).f(n?2).....f(2)f(1)a1,(n≥2)注意1）累乘法的標(biāo)準(zhǔn)模型：①最大的下角標(biāo)只寫到n.如：右邊分母剩一個“1”，分子最后剩一個“n”①若p=1時,則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，則an+Step1：設(shè)an+1+λ=m(an+λ)Step2：化簡得：an+1=man+（m?1)λStep3：與題干已知條件an+1=pan+q作比較，得出系數(shù)m、λStep1：將n+1替換成n：an=pan?1+qStep2：兩式相減得：an+1?an=q(an?an?1)待定系數(shù)法：設(shè)an+1+x(n+1)+y=p（an+xn+y）n①若p=1時,則an+1=an+qn;n+1=pan+qn；可用待定系數(shù)法構(gòu)造（當(dāng)某項系數(shù)與底數(shù)不相同時）待定系數(shù)法：設(shè)an+1+λqn+1=p(an+λqn)；等式兩邊同時除以pn+1：即得n；（4）形如an+1=pan+qan?1型(p≠0):(1)適用條件：適用所給關(guān)系式中含有數(shù)列積的式子.例形如an?1?an=pan?1an（p為常數(shù)且p≠0）的數(shù)列，兩邊同除于an?1an，轉(zhuǎn)化為p（1）適用條件：適用題目所給關(guān)系式為an分子只有一項)形如an+2=pan+1+qan(p,q是常數(shù)）的數(shù)列，其特征方程為x2=px+q…①,若①有二異根α,β,則可令an=c1αn+c2βn(c1,c2是待定常數(shù)）；若①有二重根α=β,則可令an=(c1+nc2)αn(c1,c2是待定常數(shù)）），為x，變形為Cx2+(D?A)x?B=0…②,樣數(shù)列是首項為，公比為c的等比數(shù)列，于是這樣可求得an．若②有二重根λ,則可令c（其中c是待定常數(shù)），代入a1,a2的值可求得c值．這樣數(shù)列是首項為，公差為c的等差數(shù)列，于是這樣可求得an．c?,:an=2n?1．故答案為：an=2n?13．已知數(shù)列{an}，a1=a2=1，an+2n}的前n項和Sn．=a2=1而a2?2a1=?12?3a1=?2n+1?2ann+1?3an（2）由（1）知：n?1，an=2n?3n?1.（3）因為an=2n?3n?1，所以Sn=21+22+…+2n?①等差數(shù)列的前n項和公式②等比數(shù)列的前n項和公式若一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列組成,則求和時可用分組求和法,分別求和后再相加減.nn項和.求和