2024.2025學年甘肅省臨夏州高二下學期期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知/'（%）=若r（出）=、則為o=（）

A.1C.|D.i

2.已知空間向量方=（%—2,—4）石=（2,1,—1）,若五1石，則》=（）

A.2B.1C.-1D.-2

3.設離散型隨機變量X的分布列為

X0123

P0.20.40.30.1

若隨機變量丫=IX-1|,則p（y=i）=（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.已知10個成對數(shù)據(jù)?y）的散點圖如圖所示，并對％y進行線性回歸分析.若在此圖中去掉點P后，再次對

%小進行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）

舛

~0\X

A.相關(guān)系數(shù)r變大B.變量%與y的線性相關(guān)程度變低

C.相關(guān)系數(shù)r變小D.變量％與y呈負相關(guān)

5.某學校一同學研究溫差穴久）與本校當天新增感冒人數(shù)y（人）的關(guān)系，該同學記錄了5天的數(shù)據(jù):

X568912

V17a252835

已知數(shù)據(jù)的樣本中心點為（m,25）,經(jīng)過擬合，發(fā)現(xiàn)基本符合回歸直線方程夕=8%+4.2,則下列結(jié)論錯誤的

是（）

A.m=8B.a=20

C.b=2.4D.x=5時，y=17.2

6.已知事件AB滿足P（4）=0.4,PiS）=0.3,則下列結(jié)論正確的是（）

第1頁，共16頁

A.若48互斥，則P(4+8)=0.6B.若P(48)=0.2,則P(川8)=《

C.若力與8相互獨立，則P(而)=0.7D.若P(4?)=0.12,則4與8相互獨立

7.在平行六面體ABCD-HBiCiDi中,M,N分別是線段力道,為。］上的點，且41M=2MB,B1N=2ND1,

若=4。1=4力1=1,4B/1D］=9O。，乙力遇8=遇。=60。，則下列說法中正確的是()

A.同與的夾角為45。B.而/而+|同+g標

c.線段4c的尺度為1D.直線力】C與B/所成的角為60°

8.若函數(shù)f(%)的定義域為。,且存在%oe。，使得/(%)+f'(%0)=0,則稱3是f(%)的一個“階值點”.若

函數(shù)g(x)=g/i(x)=ex+2%,3co=無+：的“階值點”分別為Q,b,c,fflcz,b,c的大小關(guān)系為()

A.a>c>bB.a>b>cC.c>a>bD.b>c>a

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.已知隨機變量X?N(l,22),丫?N(-l,22),則()

A.E(X)=E(y)B.D(X)=D(y)

C.P(X<0)=P(X>2)D.P(X<1)+P(r>1)=1

10.已知函數(shù)f(x)=；%3-%+2,則下列選項中正確的是()

A.函數(shù)/(%)在區(qū)間［0,2］上單調(diào)遞減B.函數(shù)/■(%)在點(3,/(3))處的切線方程為y=8%-16

C.函數(shù)/'(%)在白2］上的值域為［輔D.若關(guān)于"的方程/(%)=a有3個不同的根，則QW(碧)

11.如圖，正方體力BCD-的棱長為2,點E在線段CCi上運動,則()

A.三棱錐4-4/E的體積為定值

B.A^E-LB］D1

C.若E為線段CC］的中點，則點E到直線Bl。的距離為他

D.存在某個點E,使直線為￡與平面BCC18i所成角為60°

三、填空題：本題共3小題,每小題5分，共15分。

第2頁，共16頁

12.已知兩個隨機事件48,若尸⑷二弓，2（用/1）=,則P（4B）=.

OJL4

13.已知函數(shù)/Xx）=1%2+Inx-"在定義域上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為.

14.對于兩個空間向量H=（X1，V1，Z1）與石=（%2，、2,22），我們定義=

J（勺一七下+一%）2+Qi-Z2）2為兩點之間的直線距離;又定義它們之間的曼哈頓距離為上）=

1打一”21十1月一如十怙1-Z2l次圖，在棱長為1的正方體48。一月18￡。1中，d（西，前7）=；若

點P在底面/1BC0內(nèi)（含邊界）運動，且D［P=，則D（而,用）的取值范圍是.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.（本小題13分）

已知函數(shù)/'（%）=（x+在％=1處有極值.

（1）求a的值；

（2）求f（%）在［-1,3］上的最值.

16.（本小題15分）

某校食堂為了解學生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況是否存在性別差異，隨機抽取了100名學生進行問卷調(diào)查,

得到了如下的統(tǒng)計結(jié)果：

項目喜歡牛奶喜歡豆?jié){合計

男生40a

女生b25

合計100

已知從這100名學生的問卷中隨機抽取1份，喜歡牛奶的概率為今

（1）求a,b；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，能否認為該校學生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別有關(guān)？

第3頁，共16頁

已知函數(shù)/(無)=x\nx-|ax2.

(1)若曲線y=f(x)在點(1,/(I))處的切線垂直于直線2x+y=0,求a的值;

(2)若函數(shù)/(X)有兩個極值點勺，%2，且工1<。2?

(i)求。的取值范圍；

(ii)證明：xAx2>1.

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答案解析

1.【答案】B

【解析】【分析】對函數(shù)求導，根據(jù)題中條件代入計算得到答案.

(詳解】???/(X)=X4???/(%)=4X3,

(%o)=11=>xj=|,解得%o=1.

故選：B.

2.【答案】C

【解析】【分析】利用空間向量垂直的數(shù)量積性質(zhì)即可解出工的值.

【詳解】由五1兀有心了=0,

則E?石=%?2+(-2)x1+(-4)x(—1)=0,

即2%+2=0,解得％=—1.

故選：C.

3.【答案】A

【解析】【分析】由題意得P(Y=1)=P(X=0)4-P(X=2)計算求解即可.

【詳解】由題可得P(y=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.3=0.5.

故選:A

4.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖，結(jié)合回歸系數(shù)概念與含義，逐項判定，即可求解.

【詳解】去掠點尸后，散點圖中點的分布更接近一條直線，因此變量％與y的線性相關(guān)程度變強，故選項〃錯

誤；

由散點圖，點的分布從左下角到右上角，故變量％與y呈正相關(guān)，故選項。錯誤；

因為變量工與y呈正相關(guān)，且相關(guān)性變強，所以相關(guān)系數(shù)支變大，放力正確，C錯誤.

故選：A.

5.【答案】C

【解析】【分析】根據(jù)回歸直線過樣本中心點即可依次求出租,。,￡回歸方程和估計值.

【詳解】由題m=s+6+?9+i2=$25=17+a+25+28+35=Q=20,

5

八r?R

所以25=bx8+4.2=匕=2.6,所以回歸直線方程y=2.6x+4.2,

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所以當x=5時，7=2.6x5+4.2=17.2.

故,48。正確，C錯誤.

故選：C

6.【答案】D

【解析】【分析】由互斥事件、獨立事件定義和性質(zhì)以及互斥概率加法公式、獨立概率乘法公式、條件概

率公式即可逐一計算判斷各選項.

【詳解】對于4若4,8互斥，則P(A+8)=P(A)+P(B)=0.4+0.3=0.7,故/錯誤;

對于B,若PG48)=0.2,則尸⑷8)=:黑=卷=今故8錯誤；

對于C,若A與8相互獨立，則彳與互相互獨立，所以P(而)=P(Z)P(瓦)=[1-P(4)][l-P(B)]=0.6x0.7=

0.42,故C錯誤；

對于D,若P(AB)=0.12,則P(4B)=P(A)P(8),所以A與B相互獨立，故。正確.

故選：D

7.【答案】C

【解析】【分析】前,而,力入為基底，結(jié)合向量夾角公式、模長公式和向量運算法則即可逐一計算求解判

斷各選項

【詳解】由題可得48=/W=441=1,NBA。=90°,Z.A}AB=AA}AD=60°,

對于4由題-Zb-Zk

所以應心11=AB-(^AD-AB)=AB-AD-AB2=-1,=|AD-Afi|=AD2-2AB-AD+AB2=

V2，

所以，

因為，所以，故力錯誤；

對于8,由題得癡=眾一茄=(4"+8；')-(6+易)

=^AB+441+可8]￡)])—(力8+可

=%71+|(后一版]-3(7171-筋)=-^AB+^AD+IAAV故8錯誤；

對于C,因為4；C=AC-R=點+AD-AAVAB-AD=0,AB-AA1=1x1xcos60。=1x

1

1xcos600=

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22

所以%;Cj=J(而+R—R)=AB+AD+AAi+2AB-AD-2AB-AAX-2AD-AAY

=Vi+i+i+o—i—i=1,故c正確；

對千°,因為A；c=AB+AD-AAlt\AIC\=1,BBX=AAV

又；。匯

41=(6+AD-AA^AAY=AB-AA1+AD-AA^AA^=1+!-1=0,

所以，所以?I；CJ.BR,

所以直線4c與所成的角為9(T,故。錯誤.

故選:C

8.【答案】A

【解析】【分析】根據(jù)“階值點”定義依次求出各函數(shù)“階值點”即可得解.

【詳解】對于函數(shù)g(%)=j有g(shù)0)=-1，令5-捻=o=%=i,所以Q=I；

對于函數(shù)九(%)=e*+2%,有九(x)=ex+2,令e*+2x+e"+2=0即e*+%+1=0,

因為函數(shù)t(x)=ex+x+1是單調(diào)遞增函數(shù)，且￡(0)=2>0,

所以方程1+x+1=0的根即函數(shù)八(為=1+2%的“階值點”滿足匕<0；

對于函數(shù)W(x)=x+g有w(x)=1-p-,令x+g+1—成■=0即爐+/+%-1=0,

2

令函數(shù)s(x)=必+d+%-1,貝！s(%)=3%2+2%+1=3(x+§+1>0,

所以函數(shù)s(x)=x3+x2+x-1在R上單調(diào)遞增，又s(0)=-1<0,s(l)=2>0,

所以方程/+%2+無一1=0的根即函數(shù)0(%)=x+g的“階值點”滿足ovcv1,

綜上a>c>b.

故選：A

9.【答案】BC

【解析】【分析】由正態(tài)分布定義和對稱性質(zhì)即可求解判斷.

【詳解】因為隨機變量X?N(l,2,y?N(-1，),

所以E(X)=l,E(V)=-l,D(X)=O(y)=4,P(XW0)=P(XZ2)故力錯誤，BC正確;

因為p(xw1)=050VP(YNI)VP(VN-I)=0.5,所以P(XWi)+p”工1)v1,故。錯誤.

故選：BC

10.【答案】BCD

第8頁，共16頁

【解析】【分析】由導數(shù)工具求出函數(shù)的單調(diào)性和所需導數(shù)值即可逐項分析判斷.

【詳解】對于A,由題/(x)=x2-1=(%+1)(%-1),%eR,

所以當Xe(-00,-1)U(1,4-8)時/■(%)>0,當Xe(—1,1)時/(X)<0,

所以函數(shù)/?(%)在區(qū)間(一8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，故力錯誤；

對于8,f(3)=8,/(3)=8,所以函數(shù)/'(%)在點(3,f(3))處的切線方程為y-8=8(%-3),即y=8x-16,

故B正確；

對于C,由上可知函數(shù)/■(%)在弓,1)上單調(diào)遞減，在(L2)上單調(diào)遞增，

又“)=養(yǎng)〃1)="(2)=於看所以函數(shù)f㈤在原2］上的值域為去3,故C正確;

對于。，因為函數(shù)/(%)在區(qū)間(-8,-1)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減，在(1,+8)上單調(diào)遞增，且-

1)=8"⑴4書，

所以若關(guān)于X的方程/(%)=。有3個不同的根，則a￡(59,故。正確.

故選：BCD

11.【答案】ABC

【解析】【分析】利用正方體的性質(zhì)，結(jié)合三棱錐體積公式、線線垂直判定、點到直線距離公式，線面角

的定義來逐一分析選項.

【詳解】對于力，VA_WE=/_孫小=拉孫小人=鼻曲48C=gxgx2x2x2=g,所以力正確.

在正方體中，BlDi1月￡1，81。11CC1,A1CinCCY=g,

所以當0_L平面又因為aEu平面AgCA,

所以4E_L/Di，所以8正確.

對干C,當E為線段CO1的中點，以D為原點，建立如圖所示空間直角坐標系:

第9頁，共16頁

則。(0,0,0),E(0,2,1),々(2,2,2),

即西=(2,2,2),屁=(0,2,1),

所以點E到直線當。的距離d=

所以C正確.

對干0,由上面空間直角坐標系可知,0(020),4(2,0,2),

所以平面BCGB1的法向量比=(0,2,0),設E(0,2,￡)(0<t<2),

則4遂=(一2,2,亡一2),設直線與平面BCGB1所成角為仇則

sm"的砧詞|=|贏|=2j1g)2'

若直線4E與平面BCg/所成角為60°,

則sin60°=,4=苧，...3t2-12￡+20=0,

2J4+4+(52)2L

又A=122-4x3x20=-96V0,所以方程無解，。錯誤.

故選：ABC.

12.【答案】m

【解析】【分析】根據(jù)條件概率公式求解即可.

【詳解】“(8⑷=鬻=弩=三，

???P，B)=

故答案為:

13.【答案】(-8,2]

【解析】【分析】由f'(x)>0在(0,+8)恒成立求解.

第10頁，共16頁

【詳解】函數(shù)/。)的定義域為(0,+8),因為函數(shù)/(%)在定義域上是增函數(shù)，

所以/(x)=x+^-a>0在(0,+8)恒成立，

所以Q<%+：在(0,+8)恒成立，所以Q<(X+g)min

因為x+g22,所以aW2.

故答案為：(-8,2].

【點睛】若f(%)在(a,b)是增函數(shù)，則/'(%)N0恒成立;若/⑴在(。力)是減函數(shù)，則廣(為工0恒成立.

14.【答案】V5；；；；

；口，3]

【解析】【分析】建立適當空間直角坐標系，求出所需各向量坐標即可由相應距離定義計算求解.

【詳解】由題可建立如圖所示空間直角坐標系。-盯2，

則D(0,0,0),81(1,1,1),8(1,1,0),%(0,1,1),A(L0,0),(0,0,1)，設P(%y,0),0WXW1,0WyW1，

則DR=(1,1,1),B3=(-1,O，DAB=(0,1,0),D；P=(%y,-1),

222

所以DtP=y/x+y+1=y/~2,即d+y=1,

所以=/口一(-1)尸+(1-0)2+(i-1)2=V5；

D(48,0/)=|0-x|+|1-y|+|0-(-1)|=x+l-y+l=%-y+2,

令X=cosO,y=sin?,0€[o,j],

則D(4比°10)=x-y+2=cosO-sin0+2=Vicos+；)+2,

因為ew[o圖,所以e+含片胃

所以cos(6+：)￡[—芋，半卜所以+：)+2W[1,,3],

所以。(而，取)的取值范圍是[1,3].

故答案為：<5；[1,3]

第11頁，共16頁

15.【答案】(1)因為函數(shù)/'(%)=Q+a)e。所以f'(%)=(%+a+l)e。

1

因為函數(shù)/(%)=(x+。)眇在％=1處有極值，所以/''(1)=(1+a+l)e=0=Q=-2,

此時廣(x)=(x-l)eS則X￡(-8,1)時f'(%)<0,當％€(1,+8)時/'(x)>0,

所以函數(shù)/'(X)=(x+a)e，在％=1處有極值，所以a=-2.

(2)由(1)可知函數(shù)/(%)在(-1,1)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增，

又=-e,/3)=e3,

所以函數(shù)的最小值為-e,最大值為e3.

【解析】(1)由/(1)=0即可計算求解；

(2)由函數(shù)單調(diào)性即可求解.

16.【答案】⑴由題可知喜歡牛奶的人數(shù)有100x^=60人，所以6=60—40=20,

所以喜歡豆?jié){的人數(shù)為100-60=40,所以a=40-25=15.

所以Q=15,b=20.

(2)由(1)可得統(tǒng)計表格如下：

項目喜歡牛奶喜歡豆?jié){合計

男生401555

女生202545

合計6040100

零假設“°：該校學生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性別無關(guān),

由表格數(shù)據(jù)得42=嗎:需2黑W=翳-8.2492>7,879,

第12頁，共16頁

所以根據(jù)小概率值a=0.005的獨立性檢驗，推斷為不成立，即認為該校學生對牛奶、豆?jié){的喜歡情況與性

別有關(guān).

【解析】(1)求出喜歡牛奶的人數(shù)即可依據(jù)喜歡牛奶的男生人數(shù)卻喜歡豆?jié){的女生人數(shù)依次求日a,b；

(2)計算卡方值即可依據(jù)獨立性檢驗思想得解.

17.【答案】(1)(1)甲至多回答了4道題被淘汰則有兩種情況，一種是連續(xù)答錯前3道題，另一種是甲在前

三道題中答錯兩道，且答錯第4道，

所以甲至多回答了4道題被淘汰的概率為《x|x|+Cix(1)x|x|=1；

(打)由題可得乂=3,4,5,

P(』)=@3+(*/(x=4)=cKG)Mx|+cn(/|x〉a(X=5)=C：x(g

G)T

所以X的分布列為：

X345

1108

P32727

所以X的數(shù)學期望為3xg+4x捺+5x^=等.

(2)由題可得第3道題答對的概率為表，

所以學生甲答對2道題目勝出的概率為f(x)='2(1一芯)+2雙Ir).羲=%2+2一看0。<1,

所以/'(%)=2%一a二筆”，

所以當工€?)時/㈤<0,當xEQ,1)時/(%)>0,

所以函數(shù)在(0,鄉(xiāng)上單調(diào)遞減，在《，1)上單調(diào)遞增，

所以/?(X)的最小值為/值)=看

【解析】(1)(1)明確甲至多回答了4道題的可能情況即可計算求解.：

(ii)求出隨機變量取值和各取值相應概率即可求分布列，再由數(shù)學期望公式即可計算求數(shù)學期望值；

(2)先求出第3道題答對的概率，接著求出答對2道題目勝出的概率，再利用導數(shù)工具即可求f(x)的最小值.

第13頁，共16頁

18.【答案】(1)因為力3140,AB//CD,所以力O_LOC,

又4D=DC=1,所以ZD/1C=Z.ACD=45°,AC=>/AD2+DC2=VI,

所以NC48=90°-^DAC=45°,HC=BC,

所以4ABC=/(L48=45°,貝lJz71CB=90°,即HC18C,

因為PA1平面H8CZ),BCu平面ABC。，

所以R418C,又24nAC=4PA.ACu平面/MC,

所以BC_L平面P4C；

(2)@5G4B中點。，連接CO、PO,則由(1)得C。_LA8,且>8=、AC?+BC2=2,CO=4。==1,

因為P4JL平面48c0,COu平面48c0,

所以P4_LC。，又24n48=4,PA.4Bu平面P48,

所以CO1平面P48,所以“PO為直線PC與平面P4B所成角,

所以sinzCPO=黑=2=￥=。。=y/~6=>PA=VPC2—AC2=2,

■Cico

②由題意可建立如圖所示的空間直角坐標系力-孫Z,

則4(0,0,0),P(0,0,2),8(020),C(1,LO),

所以而=(0,2,0),麗=(0,2,-2),PC=(1,1,-2),

顯然而=(0,2,0)是平面R4D的一個法向量，設平面P8C的一個法向量為沅=(x,y,z),

則。遮m-PB=2y-2z=0

，所以?，取z=l,則沆=(1,1,1),

rn-PC=x+y-2z=0

所以cos(A5fm)=儡高=品=苧，

所以平面尸6c與平面PAO所成角的余弦值為亭.

第14頁，共16頁

【解析】(1)先由題設依次求出ACIBC、PA1BC,再由線面垂直判定定理即可得證；

(2)@U8中點0,連接CO、P0,求證CO1平面P48得到“P。為直線PC與平面P48所成角，接著由正弦函

數(shù)定義求出P。即可求解：

②建立適當空間直角坐標系，求出平面PBC與平面戶4。的法向量即可由空間角的向量法公式計算求解.

19.【答案】(1)由題f'(x)=1+lnx-3ax,

因為曲線y=f(x)在點(1,/(1))處的切線垂直于直線2x+y=0,

所以/'⑴=1-3a==a=/

(2)(/)因為f(x)=1+\nx-3ax,

因為函數(shù)/'(