課標(biāo)要求1.在平面直角坐標(biāo)系中，探索確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角和斜率的

概念,掌握過兩點的直線斜率的計算公式.3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式

（點斜式、兩點式及一般式等）.

【知識梳理】

1.直線的傾斜角

一般地,給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線,如果這條直線與x軸相交,將x軸繞著它們的交點按逆

型方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所轉(zhuǎn)的最少正角記為9,則稱。為這條直線的鯉晅;傾斜角的取值范

圍是「0,兀）.

2.直線的斜率

（1）一般地,如果直線/的傾斜角為則當(dāng)分90。時,稱七皿2為直線/的斜率；當(dāng)。=90。時，稱直線/

的斜率不存在.

⑵若AQ1,刀）,3。2,/）是直線/上兩個不同的點,則當(dāng)X#X2時，直線/的斜率為左二乃一%；當(dāng)時，

直線/的斜率不存在.

（3）設(shè)A（X1,yi）,B（X2,>2）（其中X/X2）是直線/上的兩點,則向量近=（X2X1,煙1）是直線/的方向向量.若

直線/的斜率為k,它的一個方向向量的坐標(biāo)為（%v）,則kq

3.直線方程的五種形式

名稱幾何條件方程適用條件

斜截式縱截距、斜率y=kx+b

與X軸不垂直的直線

點斜式過一點、斜率

兩點式過兩點y-yi_x-xi與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線

y2-yi~x2-x1

不過原點且與兩坐標(biāo)軸均不

截距式縱、橫截距字=1

a-b—

垂直的直線

一般式Ax+By+C=0(A2+B2#0)所有直線

［常用結(jié)論與微點提醒］

1.直線的斜率左與傾斜角a之間的關(guān)系

a0°O°<ot<9O°90°90°<a<180°

k0k>0不存在k<0

牢記口訣：“斜率變化分兩段,90。是分界線;遇到斜率要謹記,存在與否要討論

2.“截距”是直線與坐標(biāo)軸交點的坐標(biāo)值，它可正，可負，也可以是零，而“距離”是一個非負數(shù).應(yīng)

注意過原點的特殊情況是否滿足題意.

3.直線Ax+By+C=0(A2+BV0)^一個方向向量a=(B,A).

【診斷自測】-概念思考辨析+教材經(jīng)典改編

1.思考辨析(在括號內(nèi)打或"X”)

(1)平面直角坐標(biāo)系中的直線都有傾斜角與斜率.()

(2)直線的傾斜角越大,其斜率就越大.()

⑶直線y=kx2一定過定點(0,2).()

(4)經(jīng)過任意兩個不同的點Pi(xi,yi),22(x2,>2)的直線都可以用方程(》1>(%2?)=(*1)(加1)表示.()

答案(1)X(2)X(3)7(4)7

解析(1)當(dāng)直線的傾斜角為90。,直線不存在斜率.

(2)當(dāng)直線的傾斜角?i=135°,ct2=45°時，ai>ct2,但其對應(yīng)斜率ki=l,左2=1,ki<ki.

2.(蘇教選修一Pl3T2)直線產(chǎn)左。+1)(左>0)可能是()

答案B

解析因為左>0,故A,C不正確；

當(dāng)x=l時,y=0,直線過點(1,0),故選B.

3.(北師大選修一P8T3改編)已知直線I的一個方向向量v=(3,1),則直線I的斜率為()

A.3B.3

C.-D.-

33

答案D

解析因為v=(3,1),故直線的斜率為吟

4.(人教A選修一P67習(xí)題2.2T2改編)已知A(3,5),3(4,7),C(l,x)三點共線，則x=

答案3

解析因為A,8c三點共線,所以kAB=kAc,

所以備工

所以x=3.

考點一直線的傾斜角與斜率

例1(1)已知直線/的一個方向向量為p=(sin],cos",則直線/的傾斜角為()

A：B：

63

C.—D.—

33

答案A

解析由題意得，直線I的斜率^=^|=-=tan-,即直線I的傾斜角為二

sin—366

(2)已知兩點A(2,3),3(3,2),直線I過點P(l,1)且與線段AB相交,則直線I的斜率k的取值范圍是

()

A.4WZW乙B.kB4W4或k^-

44

D./W4

44

答案B

解析結(jié)合圖形，由題意得,所求直線的斜率B黃足k與kpB或kWkpA,

即左浜或左W4,

4

即直線的斜率的取值范圍是左或k^-.

W44

思維建模L斜率的三種求法:定義法、斜率公式法、方向向量法.

2.傾斜角和斜率范圍求法:(1)圖形觀察(數(shù)形結(jié)合);(2)充分利用函數(shù)k=tana的單調(diào)性.

3.當(dāng)直線/的傾斜角正雞）時,a越大,直線/的斜率越大;當(dāng)ae&n）時,a越大,直線/的斜率越

大.

訓(xùn)練1（1）（2025?貴陽調(diào)研）直線兒/2的傾斜角分別為a,用則％=夕'是"tana=tan/'的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

答案B

解析由題意知,火夕?[0,兀）,

所以若tan?=tan則a=§;

若a=^=p則不存在tana,tan仇就不可能得到tana=tan及

所以"a=『是"tana=tan所的必要不充分條件.

（2）直線/過點P（l,0）,且與以A（2,1）,3（0,服）為端點的線段有公共點,則直線/斜率的取值范圍

為；傾斜角的取值范圍為.

答案（OO,V3]U[l.+oo）[瀉]

解析如圖，當(dāng)直線/過點3時，設(shè)直線/的斜率為片，

則^=V3;

當(dāng)直線/過點A時,設(shè)直線I的斜率為匕,則fo=—=1,

2—1

所以要使直線/與線段A3有公共點，則直線/的斜率的取值范圍是（8,次]u[1,+8）,

傾斜角的取值范圍是后外

考點二直線的方程

例2求符合下列條件的直線方程:

⑴直線過點A(l,3),且斜率為:；

(2)直線過點A(0,1)和BQ,5);

(3)直線過點A(2,1),且橫截距為縱截距的兩倍.

解(I)：?所求直線過點A(l,3),且斜率為：，

...所求直線方程為y+3=^(x+l),

4

即x+4y+13=0.

(2)法一(兩點式)由A(0,1)和B(l,5)得兩點式方程為1^=與，

整理得6x+y+l=0.

法二(點斜式)由A(0,1)和B(l,5)得kAB=^-=6,

直線方程為y+l=6(x0),整理得6x+y+l=0.

⑶當(dāng)橫截距與縱截距都為0時，可設(shè)直線方程為y=kx,

又直線過點(2,1),1=2匕解得吟

直線方程為y=|x,即x2y=0;

當(dāng)橫截距與縱截距都不為0時，可設(shè)直線方程為二1=1,

ab

由題意可得仁+2=1'解得￡=+

Q=2b,lb=2,

直線方程為:+￡=1,即x+2y4=Q;

綜上，所求直線方程為

x2y=0或x+2y4=0.

思維建模1.在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?并注意各種形式的適用條件.

2.對于點斜式、截距式方程,要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式,應(yīng)先考慮斜率不存在的情

況;若采用截距式,應(yīng)判斷截距是否為零).

訓(xùn)練2(1)(多選)(2025?武漢質(zhì)檢)下列說法正確的是()

A.截距相等的直線都可以用方程表示

aa

B.方程x+/ny2=0(/?GR)能表示平行y軸的直線

C.經(jīng)過點P(l,1),傾斜角為。的直線方程為yl=tan6(x1)

D.經(jīng)過兩點Pi(xi,yi),Piixi,>2)的直線方程為。2>1)(?1)(12%1)(?1)=0

答案BD

解析若直線過原點，此時橫、縱截距都為0,

則不能用方程表示,所以A不正確；

ClCL

當(dāng)m=0時，直線方程為x=2,所以B正確；

若直線的傾斜角為90°,則該直線的斜率不存在，不能用yl=tan仇行)表示，

所以C不正確；

設(shè)點P(X,丁)是經(jīng)過兩點P1(X1,yi),P2a2,丁2)的直線上的任意一點,根據(jù)尸1尸2〃P\P可得

(^1)(XXI)(X2X1)(^1)=0,所以D正確.

(2)已知直線/過點(1,0),且傾斜角為直線h:x2y2=Q的傾斜角的2倍,則直線I的方程為.

答案4x3y4=0

解析由題意可設(shè)直線/o"的傾斜角分別為出2%

因為直線lo:x2y2=O的斜率為今

則tan?=1,

所以直線/的斜率k=tan2c(=-2tan^=2^,2,2=~)

3

l-tan2a1一(工)

所以由點斜式可得直線/的方程為yO=1(xl),即4x3y4=0.

考點三直線方程的綜合應(yīng)用

例3已知直線/:反y+1+2七0(左?R).

(1)證明:直線/過定點；

(2)若直線不經(jīng)過第四象限,求k的取值范圍；

(3)若直線/交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,AAOB的面積為S(。為坐標(biāo)原點),求S的最

小值并求此時直線/的方程.

(1)證明直線/的方程可化為人(X+2)+(ly)=0,

.?.無論左取何值，直線總經(jīng)過定點(2,1).

⑵解由方程知，當(dāng)左W0時，直線在x軸上的截距為巨子，在y軸上的截距為1+2匕

K

1+214―2

要使直線不經(jīng)過第四象限，則必須有k、解得上>0;

ll+2/c^l,

當(dāng)k=0時，直線為y=l,符合題意，

故上的取值范圍是[0,+8).

⑶解由題意可知上W0,再由/的方程，得A(-等,0),3(0,1+2。

1+2]<Q

依題意得k解得Q0.

11+2/00,

4H。引用牛斗|1+2川

號警V(軌+*+4)若X(2X2+4)=4,

等號成立的條件是k>0,且止J,即足,

K.，

.,.Smin=4,此時直線I的方程為x2y+4=0.

思維建模1.直線過定點問題，將參數(shù)的“系數(shù)”化為0,解關(guān)于x,y的方程組可求定點.

2.求參數(shù)值或范圍:注意點在直線上,則點的坐標(biāo)適合直線的方程,再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等

式求解.

3.求解與直線方程有關(guān)的最值問題:先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù),再利用基本不等式求解最值.

訓(xùn)練3(1)(2025?開封質(zhì)檢)若直線/:；+臺1(。>0">0)過點(1,2),則直線/在x軸和y軸上的截距之和

取最小值時,裊()

A.2B二1

2

C.V2D.—

2

答案D

解析因為直線/+：=1過點(1,2),所以工+[=1,

abab

又a>0,b>0,所以"小+嶺+力3+?+當(dāng)3+2后=3+2或，

當(dāng)且僅當(dāng)絲吆,即吼叱時取等號.

abb2

(2)已知直線h:ax2y=2a4f，2：2x+a2y=24+4.當(dāng)0<a<2時,直線Zi,，2與兩坐標(biāo)軸圍成一個四邊形，當(dāng)四

邊形的面積最小時,則實數(shù)斬.

答案-

2

解析由題意知直線兒/2恒過定點P(2,2),

直線/i在y軸上的截距為2a,

直線/2在x軸上的截距為次+2,

所以四邊形的面積S=|X2X(2tz)+|X2X(a2+2)=a2a+4=(^a-0+*

又0<a<2,所以當(dāng)日時，四邊形的面積最小.

一、單選題

1.若直線I的方程為x=3,則直線I的傾斜角是()

A.2-4B.-

C.兀D.0

答案A

解析：直線/的方程為x=3,

???直線與x軸垂直，.?.直線/的傾斜角是今

2.經(jīng)過點(1,1),且方向向量為(1,2)的直線方程是()

A.2盯1=0B.2x+y3=0

C.%2y+l=0D.%+2y3=0

答案A

解析：直線的方向向量為(1,2),

???直線的斜率仁2,

又直線過點(1,1),

直線的方程為yl=2（xl）,

艮|]2盯1=0.

3.（2024.濰坊模擬）若圖中的直線h,h,h的斜率分別為ki,左2,依,則（）

X.ki<ki<ki

B.k3〈ki〈k2

C.h<k2<ki

D.ki<k3<k2

答案D

解析直線/i的傾斜角ai是鈍角，故片<0.

直線,2與h的傾斜角012與Q3均為銳角，且G2>013,所以0—,因此左1〈依〈人2.

4.（2025?青島質(zhì)檢）已知直線/經(jīng)過（2,2）,（2,4）兩點，且該直線過（肛3040）,則m=（）

A.2024B.2025

C.2026D.2028

答案C

解析利用斜率相等，即言書旨

解得m=2026.

5.（2025?海南四校聯(lián)考）已知直線/:2x+3yl=0的傾斜角為9,則cos（火兀）-sin得-。）=（）

A.—B.-

1313

D.-

c.1-313

答案B

解析由題意可知,tan。=|,6弓

cos(e+7i>sin償—0^=cos20

cos2019

sin20+cos20tan20+113

6.（2025?南通調(diào)研）已知點般是直線/:2砂4=0與x軸的交點,將直線/繞點般按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,

得到的直線方程是（

A.x+y3=0B.%3y2=0

C.3盯+6=0D.3x+y6=0

答案D

解析設(shè)直線/的傾斜角為a,

則tana=ki=2,

直線/繞點〃按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45。，

所得直線的斜率

fe=tan（a+45°）=^^-=3,

又點MQ,0）,

所以直線方程為產(chǎn)3（x2）,

即3x+y6=0.

7.直線2xcosay3=0（aC的傾斜角的取值范圍是（）

1_4，2.

答案B

解析由局得]WcosaW當(dāng)

所以仁2cosaG[1,V3],

設(shè)直線的傾斜角為6?（6?e[0,7T））,

則tan所以6￡器品.

8.（2022.新高考H卷）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu),AA；35；是桁,相鄰桁的水平距離

稱為步,垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖，其中DDi,CC,AAi是

舉,ODi,DCi,是相等的步，相令B桁的舉步之比分另U為警=05器刁H,警T匕,警=依?已知

0clCB]BA]

ki,左2,fe成公差為0.1的等差數(shù)列,且直線OA的斜率為0.725,則fa等于（）

A.0.75B.0.8

C.0.85D.0.9

答案D

解析設(shè)ODx=DCx=CBx=BA\=\,

貝IDD\=0.5,CCi=ki,BB\=ki,AAi=k3,

依題意,有feO.2=Zri,faO.l=fo,

日ZWI+CCI+B^+AAIR725

。。1+Z）Ci+CBi+841

所以0.5+3/C3-0.3=0725,故依=09.

4

二、多選題

9.若AB>0且BC<Q,則直線Ax+By+C=0經(jīng)過第幾象限（）

A-B.二

C.三D.四

答案ABD

解析'：AB>0且BC<0,：.

-B<0,-B>0,

直線產(chǎn)的斜率小于零，

在y軸上的截距大于零，

故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限.

10.若直線/過點A（l,2）,且在兩坐標(biāo)軸上截距的絕對值相等,則直線I的方程可能為（）

A.町+1=0B.x+y3=0

C.2xy=QD.ql=0

答案ABC

解析當(dāng)直線經(jīng)過原點時,斜率為k=—=2,

1-0

所求的直線方程為y=2x,即2移=0;

當(dāng)直線不過原點時，

設(shè)所求的直線方程為x±y=t,

把點A(l,2)代入可得12=/或1+2=/,

求得r=l或3,故所求的直線方程為

盯+1=0或x+y3=0.

11.已知直線xsina+ycosa+l=0(aGR),則下列命題正確的是(