第04講充分條件與必要條件

學(xué)^目標(biāo)彳

i.理解充分條件、必要條件的概念，理解充要條件的意義;

2.了解充分條件與判定定理、必要條件與性質(zhì)定理的關(guān)系;

3.能通過(guò)充分性、必要性解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題;

4.能對(duì)充分條件進(jìn)行證明。

||雷基礎(chǔ)知識(shí)^

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一、命題的定義與表示

1、命題的定義：一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫命

題.

判斷為真的語(yǔ)句是真命題，判斷為假的語(yǔ)句是假命題.

2、命題的表示：命題表示為“若p,則4”時(shí)，。是命題的條件，g是命題的結(jié)論.

二、充分條件條件與必要條件

1、充分條件與必要條件定義

（1）一般地，“若p,則q"為真命題，是指由條件?通過(guò)推理可以得出結(jié)論q.

這時(shí)，我們就說(shuō)，由夕可推出0,記作夕并且說(shuō)，）是《的充分條件，q是p

的必要條件。

（2）如果“若），則q"為假命題，那么由條件?不能推出結(jié)論q,記作夕4q.

這時(shí)，我們就說(shuō)，夕不是q的充分條件，q不是夕的必要條件。

2、充分條件與必要條件的關(guān)系

夕是9的充分條件反映了pnq,而q是夕的必要條件也反映了pnq，所以夕是g的充

分條件與q是2的必要條件表述的是同一個(gè)邏輯關(guān)系，只是說(shuō)法不同。

而夕是q的充分條件只反映了°n與鄉(xiāng)能否推出夕沒有任何關(guān)系。

三、充要條件

1、充要條件的定義

如果“若夕，則夕’和它的逆命題“若q,則，'均為真命題，即既有pnq,又有qnp,

就記作p0q。

此時(shí)，夕既是q的充分條件，也是q的必要條件，我們說(shuō)夕是q的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充

要條件。

2、充要條件的含義

若夕是q的充要條件，則q也是）的充要條件，雖然本質(zhì)上是一樣的，但在說(shuō)法上還是

不同的，

因?yàn)檫@兩個(gè)命題的條件與結(jié)論不同。

3、充要條件的等價(jià)說(shuō)法：P是q的充要條件又常說(shuō)成是q成立當(dāng)且僅當(dāng)夕成立，或夕與q

等價(jià)。

四、充分、必要、充要條件的證明

1、證明“充分不必要條件”“必要不充分條件”，一般先證明一個(gè)方面，然后驗(yàn)證另一個(gè)方面

不成立。

2、證明“充要條件”一般應(yīng)分兩個(gè)步驟，即分別證明“充分性”與“必要性”，但千萬(wàn)要注意“誰(shuí)”

是“誰(shuí)”的充分條件，“誰(shuí)”是“誰(shuí)”的必要條件。

盡管證明充要條件問(wèn)題中前者可以是后者的充分條件也可以是必要條件，但還是不能把步驟

顛倒了。

一般地，證明?成立的充要條件為q,在證明充分性時(shí)，應(yīng)以q為“已知條件”，夕是在該步

中要證明的“結(jié)論”，即qn夕；在證明必要性時(shí)，則是以夕為“已知條件”，9在該步中要

證明的"結(jié)論"，即夕

l|Q考點(diǎn)剖小

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考點(diǎn)一：命題的概念與真假判斷

例1.（多選）下列語(yǔ)句是命題的是（

A.3是15的約數(shù)B.x2+2x+l>0C.4不小于2D.你準(zhǔn)備考北

京大學(xué)嗎？

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A,3能整除15,為真，所以A是命題;

對(duì)于B,x2+2x+1=（x+1）2>0）為真，所以B是命題；

對(duì)于C,4>2,所以“4不小于2”為真，所以C是命題；

對(duì)于D,“你準(zhǔn)備考北京大學(xué)嗎?”是疑問(wèn)句不是陳述句，且無(wú)法判斷真假，所以D

不是命題.

故選：ABC.

【變式訓(xùn)練】下列命題:

①矩形既是平行四邊形又是圓的內(nèi)接四邊形;

②菱形是圓的內(nèi)接四邊形且是圓的外切四邊形;

③方程X2-3X-4=0的判別式大于0;

④周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等;

⑤集合/C3是集合/的子集，且是的子集.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】對(duì)于①,矩形是平行四邊形，同時(shí)矩形有外接圓，故正確;

對(duì)于②,菱形不一定有外接圓，故錯(cuò)誤,

對(duì)于③,方程一一3》一4=0的判另IJ式為A=9-4X（-4）=25>0,故正確,

對(duì)于④,周長(zhǎng)或者面積相等的三角形不一定全等，故錯(cuò)誤,

對(duì)于⑤,4c=故正確;故選：C.

考點(diǎn)二:充分、必要條件的判斷

2.已知集合/=*},B=,貝=是“4=8”的()

A.充分非必要條件B.必要非充分條件

C.充要條件D.既非充分又非必要條件

【答案】A

【解析】由/=3可得X=X：21解得x=0或x=1.

所以“X=1”是“4=5”的充分非必要條件.故選：A.

【變式訓(xùn)練】指出下列各組命題中，。是V的什么條件？鄉(xiāng)是2的什么條件?

⑴若NhB,p-.aeAP\B,q:aeA\^B；

(2)p：x>l或x<-l；q:x<-l；

（3）p："能被6整除，q：。能被3整除.

【答案】（1）。是鄉(xiāng)的充分非必要條件，q是p的必要非充分條件

(2)〃是9的必要非充分條件，q是〃的充分非必要條件

(3)。是9的充分非必要條件，是戶的必要非充分條件

【解析】（1）若ae/ClB,可以推出ae/UB,反推不一定成立,

所以p是9的充分非必要條件,q是p的必要非充分條件；

(2)X>1或xc-l,推不出x<-l,反推成立,

所以。是鄉(xiāng)的必要非充分條件，是〃的充分非必要條件;

（3）。能被6整除，推出。能被3整除，反之不一定成立,

所以。是鄉(xiāng)的充分非必要條件，q是p的必要非充分條件.

考點(diǎn)三：根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍

3.已知不等式+1成立的充分條件是則實(shí)數(shù)》的取值范圍

32

是（）

A.利，或B.m\m<>—

2323

f141f141

C.——<m<—>D.——<m<—>

I23jI23j

【答案】D

【解析】由題意得[；,￡|三（加

m-1<—

所以；14

且等號(hào)不能同時(shí)成立,解得-廣隆評(píng)選：D.

m+1>—

[2

【變式訓(xùn)練】已知4〈尤-a<4,q:2<x<3,若〃是鄉(xiāng)的必要條件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是（）

A.[-1,6]B.（一。-1]C.[6,+8）D.（一8,T]D[6,+8）

【答案】A

【角軍析11由~4<x—a<4得1-4+a<x<4+a,

BPp:-4+a<x<4+a

若夕是9的必要條件，

則（2,3）=（—4+a,4+a）,

122—4+a

，解得T〈aW6,故選：A.

3?4+Q

考點(diǎn)四：探求充要條件

4.（多選）下列各選項(xiàng)中，p是q的充要條件的是（）

A.p：機(jī)<-2或加>6,q：方程/++3=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根

B.p：x—3=0,q：（龍一2）（x—3）=0

C.p：兩個(gè)三角形相似，q-.兩個(gè)三角形全等

D.p：A[\B—A,q：AcB

【答案】AD

【解析】A選項(xiàng)，若加＜-2或加＞6,則方程判別式

\—m~-4m-12-(m-6)(機(jī)+2)＞0,

得方程，+7MX+加+3=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則png.

若方程，+7Mx+/+3=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則

A-m2-4m-12-(m-6)(機(jī)+2)＞0

=＞加＜-2或加＞6,則40.故°是q的充要條件，故A正確；

B選項(xiàng)，若x-3=0,貝l|x=3,得(x-2)(無(wú)-3)=0,則png.

若(x-2)(x-3)=0,則x=3或x=2,則由4不能得到“故〃是q的充分不必要條

件，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，由兩個(gè)三角形相似不能得到兩個(gè)三角形全等，

而兩個(gè)三角形全等可以得到兩個(gè)三角形相似，故?是g的必要不充分條件，故C

錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，由/口3=/,可得/=則P=＞4.由可得/口8=/,貝!

故〃是q的充要條件，故D正確.故選：AD

【變式訓(xùn)練】下列結(jié)論，可作為“兩條直線平行”的充要條件的是______.

①同位角相等；②內(nèi)錯(cuò)角相等；

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)；④同旁內(nèi)角相等.

【答案】①②③

【解析】由①②③均可推出“兩條直線平行”的結(jié)論，由“兩條直線平行”也可以推出①②③均

成立；

由④不能推出“兩條直線平行”的結(jié)論.

所以可作為“兩條直線平行”的充要條件的是①②③.

故答案為：①②③

考點(diǎn)五：充要條件的證明

例5.求證：等式+6]X+q=°2》2+3+。2對(duì)任意實(shí)數(shù)X恒成立的充要條件

4]=?，4=%,q=Q.

【答案】證明見解析.

【解析】充分性：若%=出，4=4，C1=°2,則等式。儼2+b]X+q+62%+。2

顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)了恒成立，充分性成立；

必要性：由于等式q*+*+q+62X+C2對(duì)任意實(shí)數(shù)了恒成立，

G二。2

分另U將x=0,x=l,x=_］代入可得<%+4+q=&+a+。2，

ax-bx+q=〃2一區(qū)+。2

Q］—“2

解得，4=4,必要性成立，

q=。2

2

故等式%/+6］X+q=a2x+&X+C2對(duì)任意實(shí)數(shù)無(wú)恒成立的充要條件是

%=a2,b{=b2,cx=c2.

【變式訓(xùn)練】已知。，b是實(shí)數(shù)，求證：/-/_2/=1成立的充要條件是二-62=1.

【答案】證明見解析

【解析】先證明充分性：

若/―/?=1,貝Ua4-b^-2b2=(a2-/>2)(a2+b2)-2b2=a2+b2-2b2=a2-b2=：成立.

所以“--從=1"是74-64-2/=1”成立的充分條件;

再證明必要性：

若。4一/-2/=1,貝1］。4一/-262-1=0,

即-"+2回+1)=0,

.?./-(〃+1)2=0,

(tz~++1)(/——1)=0,

;a：+/+1w0,

.-.a2-b2-l=0,即/_"=］成立.

所以=1”是“。4_切-262=1，，成立的必要條件.

綜上：/-64_2/=1成立的充要條件是/一"=1.

［域真題演練

----------------------1I1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

I.下列語(yǔ)句是命題的是()

A.二次函數(shù)的圖象太美啦！B.這是一棵大樹

C.求證：1+1=2D.3比5大

【答案】D

【解析】能夠判斷成立或不成立的陳述句叫命題，

只有選項(xiàng)D能夠判斷出真假，3比5大顯然不成立，是假命題，故選：D

2.設(shè)：p：x<23,q：13Vx<23,則/是q成立的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】令月=(-8,23),8=(13,23),

由集合間的包含關(guān)系可知：集合3是集合A的真子集，

所以0是q的必要不充分條件，故選：C.

3.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩(shī)作《從軍行》中的詩(shī)句“青海長(zhǎng)

云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今.由此推斷，其

中最后一句“返回家鄉(xiāng)''是"攻破樓蘭'’的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分

也不必要條件

【答案】A

【解析】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以

推出“不還”，但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場(chǎng)；

即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件，故選：

A

4.已知。是『的充分不必要條件，9是『的充分條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件,

現(xiàn)有下列命題：①$是q的充要條件；②〃是q的充分不必要條件；③「是鄉(xiāng)的必要不充

分條件；④「是,的充分不必要條件；正確的命題序號(hào)是()

A.①④B.①②C.②③D.③④

【答案】B

【解析】因?yàn)?？是『的充分不必要條件，所以？=P,

因?yàn)猷l(xiāng)是廠的充分條件，所以40廠，

因?yàn)閟是「的必要條件，所以rns,

因?yàn)閝是s的必要條件，所以s=>q,

因?yàn)閞=>s,所以q=>s,又snq,所以s是的充要條件；命題①正確,

因?yàn)椤?廠，r=s,snq,所以png,

若qnP,則r=>s,snq,qnP,故r=>P,與，飛？矛盾，所以〃P,

所以。是的充分不必要條件，命題②正確；

因?yàn)閞ns,snq,所以「ng,『是4的充分條件，命題③錯(cuò)誤；

因?yàn)閟nq,q=r,所以snr,又rns,所以「是s的充要條件，命題④錯(cuò)誤；

故選：B.

5.若不等式-a+l<x<Q+l的一個(gè)充分條件為0<x<l,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.〃>0B.?>0C.a>1D.a>\

【答案】D

【解析】若不等式-。+1<工<。+1的一個(gè)充分條件為0<x<l,

0>-a+1

則（0,1）U（―，所以<—a+l<a+l,解得aWl.

a+1>1

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是aN1.故選：D.

6.（多選）下列四個(gè)命題中為真命題的是（）

A.“x>2”是“x<3”的既不充分也不必要條件

B.“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的必要不充分條件

2

C.關(guān)于龍的方程辦2+樂+。=0（〃N0）有實(shí)數(shù)根的充要條件是^=b-4ac>0

D.若集合/=則xe/是xeB的充分不必要條件

【答案】AC

【解析】｛》|X>2｝01悌<3｝且｛川》<3｝0｛副工>2｝,所以A正確；

正三角形一定是等腰三角形，等腰三角形不一定是正三角形，

所以“三角形為正三角形”是“三角形為等腰三角形”的充分不必要條件，故B錯(cuò)誤;

一元二次方程有實(shí)根則△之0,反之亦然，故C正確；

當(dāng)集合4=2時(shí)，應(yīng)為充要條件，故D不正確.故選：AC.

7.（多選）有以下四種說(shuō)法，其中說(shuō)法正確的是（）

A.“俄是實(shí)數(shù)”是“m是有理數(shù)”的必要不充分條件

B."a>6>0”是“/>62，，的充要條件

C.“x=3”是“X2-2X-3=0”的充分不必要條件

D.是<1”的必要不充分條件

a

【答案】AC

【解析】當(dāng)加是實(shí)數(shù)時(shí)，機(jī)可能為有理數(shù)，可能為無(wú)理數(shù)，而當(dāng)加為有理數(shù)時(shí)，機(jī)一定為

實(shí)數(shù)，

所以“加是實(shí)數(shù)”是“沉是有理數(shù)”的必要不充分條件，A正確；

當(dāng)a>6>0時(shí)，成立，而當(dāng)/>/時(shí)，有可能。</,<o,

所以“a>b>0”是”的充分不必要條件,B錯(cuò)誤;

當(dāng)尤=3時(shí)，尤2-2x-3=0成立，而當(dāng)x2-2x-3=0時(shí)，x=3或x=-l,

所以“尤=3,受"x2-2x-3=0”的充分不必要條件，C正確；

當(dāng)。>1時(shí)，成立，而當(dāng)時(shí)，有可能a<0,

aa

所以“a>1”是的充分不必要條件，D錯(cuò)誤；故選：AC

a

8.（多選）設(shè)全集為U,在下列選項(xiàng)中，是8="的充要條件的是（）

A.ADB=BB.C.胸）f（間

D./EQ,B）=U

【答案】BCD

【解析】由維恩圖可知，A不是3=/的充要條件，B,C,D都是8=4的充要條件，故

選：BCD.

9.已知集合力={x|2—a?xW2+〃}（a>0）,5={x|-4<x<l}.

（1）若。=3,求/uB;

（2）若“xeZ”是“xeB”的必要條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）{x|-4<x<5}；(2)[6,+oo)

【解析】（1）當(dāng)a=3時(shí)，A={x\2-a<x<2+a}={x\-1<x<5],5={x|-4<x<1},

所以4u5={x|—4Vx<5}；

(2)A={x\2-a<x<2+a}{a>G),5={x|-4<x<1},

因?yàn)椤皒eA”是“x$B”的必要條件,

2-a<-4

所以解得：a>6.

2+a>l

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是［6,+s）.

10.已知x,y都是非零實(shí)數(shù)，且x>y,求證：的充要條件是孫>0.

xy

【解析】證法一：①充分性：由中>0及x>y,得工即1<1.

初犯xy

②必要性：由乜!，得I—Lo,即匚20.

xyxyxy

因?yàn)樗源跻粁〈0,所以孫>0.

所以1的充要條件是孫>o.

xy

證法二：1<0==0.

xyxyxy

由條件x>y<^y~x<0，故由^^<0=肛>0.

盯

所以9>0,即的充要條件是孫>0.

xyxy

|］晝過(guò)關(guān)檢

----------------------IIIIIIIIIII1IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII------------------------

1.下列是“四邊形是矩形”的充分條件是（）

A.四邊形的對(duì)角線相等

B.四邊形的兩組對(duì)邊分別相等

C.四邊形有兩個(gè)內(nèi)角都為直角

D.四邊形的兩組對(duì)邊分別平行且有一組對(duì)角互補(bǔ)

【答案】D

【解析】對(duì)A,四邊形的對(duì)角線相等且平分才是矩形，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,四邊形的兩組對(duì)邊分別相等為平行四邊形，故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,四邊形有三個(gè)內(nèi)角為直角才是矩形，故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,四邊形兩組對(duì)邊分別平行則為平行四邊形，則相鄰兩角互補(bǔ)，又有一組對(duì)角

互補(bǔ)，

故相鄰兩角相等，又相鄰兩角之和為180。，故相鄰兩角均為直角，

故該平行四邊形是矩形，故D正確.故選：D.

2.已知a,beR,貝！|“06W0”的一個(gè)必要條件是（）

A.a+b/0B.a2+b2C.a3+b30D.

ab

【答案】B

【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)。=3/=—3時(shí)，ab手。,止匕時(shí)。+6=0,

故〃+不是的必要條件，故錯(cuò)誤；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)必。0時(shí)，/十/士。成立，反之，不成立，

故/+/是仍的必要條件，故正確；

對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)。=3/=-3時(shí)，仍,但止匕時(shí)+/=。，

故/+戶。0不是打的必要條件，故錯(cuò)誤；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)。=3,6=-3時(shí)，ab^O,但止匕時(shí)上+工=0,

ab

故_1+：*0不是仍20的必要條件，故錯(cuò)誤.故選：B

ab

3.王昌齡是盛唐著名的邊塞詩(shī)人，被譽(yù)為“七絕圣手”，其詩(shī)作《從軍行》中的詩(shī)句“青海長(zhǎng)

云暗雪山，孤城遙望玉門關(guān).黃沙百戰(zhàn)穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今.由此推斷，其

中最后一句“返回家鄉(xiāng)”是“攻破樓蘭”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分

也不必要條件

【答案】A

【解析】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以

推出“不還”，但是反過(guò)來(lái)“不還”的原因有多種，比如戰(zhàn)死沙場(chǎng)；

即如果已知“還”，一定是已經(jīng)“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件，故選：

A

4.已知p：0<x<2,那么〃的一個(gè)充分不必要條件是()

A.l<x<3B.-1<x<1C.0<x<1D.0<x<3

【答案】C

【解析】對(duì)于A,(1,3)<z(0,2),且(0,2)0(1,3),即1<x<3是。的不充分不必要條件，A

不是；

對(duì)于B,(-1,1)(/(0,2),且(0,2)0(-1/)，即-1〈尤<1是。的不充分不必要條件,

B不是；

對(duì)于C,(0,1)(0,2),即0<x<l是。的一個(gè)充分不必要條件，C是；

對(duì)于D,(0,2)(0,3),即0<x<3是0的必要不充分條件，D不是.故選：C

5.若a>b>c,貝)

A.“x>b”是“x>a”的充分不必要條件B.“x>a”是“x>c”的充要條件

C.“x>c”是，〉的必要不充分條件D.“尤>6”是“x>c”的既不充分也不必要

條件

【答案】C

【解析】對(duì)于A,x>bLx>a,尤>4=>X>6則“x>6”是“x>a”的必要不充分條件，A

錯(cuò)誤;

對(duì)于B,x>a^=>x>c,x>cLx>a則“x>a”是“x>c”的充分不必要條件，B

錯(cuò)誤;

對(duì)于C,x>cLx>a,x>ax>c則“X>c”是“龍〉a”的必要不充分條件,C

正確;

對(duì)于D,x>b=x>c,x>cLx>b則“x>b”是“x>c”的充分不必要條件,D

錯(cuò)誤.故選：C.

6.已知條件？-l<x<3,條件g：x>a,若〃是4的充分不必要條件，則。的取值范圍

為()

A.{a|a>3|B.>3}C.{a|a<-l)D.

【答案】D

【解析】由條件p：-l<x<3,規(guī)定集合尸={止l<x<3}.

由條件g：x>a，規(guī)定集合。={x|尤>。}.

要使。是g的充分不必要條件，

只需P。，所以故選：D.

7.（多選）下列結(jié)論正確的有（）

A.在A/18c中，“A是鈍角”是“ABC是鈍角三角形”的