第1頁/共1頁2024北京延慶高三9月月考數(shù)學(xué)2024.09本試卷共6頁，150分．考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘．考生務(wù)必將答案答在答題紙上，在試卷上作答無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題紙一并交回．第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】直接利用集合的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以?故選：D2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，且滿足，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義可得，由此求得答案.【詳解】由得，又復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是，即，故選：A3.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在定義域內(nèi)是減函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)反例或基本初等函數(shù)的性質(zhì)可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，設(shè)，則，故在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，設(shè)，其定義域?yàn)榍?，故為奇函?shù)，而為上的增函數(shù)，故為上減函數(shù)，故B正確.對(duì)于C，設(shè)，因?yàn)椋试诙x域內(nèi)不是減函數(shù)，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，的定義域?yàn)?，故該函?shù)不是奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：B.4.若，，則一定有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，取特殊值法即可判斷A，B，再根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷C，D．【詳解】由，，則可取，，，，則，，故A錯(cuò)誤；B錯(cuò)誤；由，，則，，則兩式相乘得，則不等式左右兩邊同時(shí)除以得，再同時(shí)除以得，故C錯(cuò)誤；D正確．故選：D．5.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷A，利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷B，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小判斷C，舉特例判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以指?shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋詢绾瘮?shù)在0,+∞上單調(diào)遞增，所以，正確；對(duì)于C，因?yàn)?，所以?duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，滿足，有，此時(shí)不滿足，錯(cuò)誤.故選：B6.已知函數(shù)，則（）A.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是增函數(shù)B.圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在上是減函數(shù)C.圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是增函數(shù)D.圖象關(guān)于軸對(duì)稱，且在上是減函數(shù)【答案】B【解析】【分析】根據(jù)定義判斷奇偶性，由解析式判斷單調(diào)性，即可得答案.【詳解】由且定義域?yàn)镽，所以為奇函數(shù)，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又在R上遞減，故在上是減函數(shù).故選：B7.已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】將不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象問題，結(jié)合圖象求得正確答案.【詳解】依題意，，由解得或畫出的圖象如下圖所示，由圖可知，不等式的解集是.故選：A8.已知數(shù)列中，，，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C.是等比數(shù)列 D.【答案】D【解析】【分析】AB項(xiàng)，分別令，，求出的值驗(yàn)證；CD項(xiàng)，由可得，得，繼而得到及均為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，故A正確.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，故B正確.C項(xiàng)，，，所以得，所以，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，故C正確.D項(xiàng)，由C項(xiàng)得，又，，是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，故D錯(cuò)誤.故選：D9.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，則“”是“在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】令，的，設(shè)，轉(zhuǎn)化為y=gx在區(qū)間上只有一個(gè)解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，顯然m為0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，滿足；令，可得，即，設(shè)，要使得函數(shù)y=gx在區(qū)間上只有一個(gè)解，則滿足或，解得或，即函數(shù)y=fx在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，可得，所以“”是“y=fx在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)”的充分不必要條件.故選：A.10.在中，，當(dāng)時(shí)，的最小值為.若，，其中，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由的最小值為可得的形狀為等腰直角三角形，建立平面直角坐標(biāo)系將向量坐標(biāo)化，利用平面向量共線定理以及的取值范圍表示出的表達(dá)式，再由二次函數(shù)單調(diào)性即可求得.【詳解】如下圖所示：在直線上取一點(diǎn)，使得，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，即；又，所以可得是以為頂點(diǎn)的等腰直角三角形，建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：又可得為的中點(diǎn)，由以及可得在上，可得，所以，可得，則，令，由可得，所以，，由二次函數(shù)在上單調(diào)遞增可得，.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用的最小值為判斷出的形狀，將向量坐標(biāo)化并表示出模長(zhǎng)表達(dá)式利用函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式、對(duì)數(shù)的性質(zhì)列不等式組求定義域即可.【詳解】由題設(shè)，故，所以定義域?yàn)?故答案為：12.把函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是_____________．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)圖像平移的性質(zhì)求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，且設(shè)新函數(shù)為，因?yàn)榘押瘮?shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的倍，所有，故新函數(shù)，即.故答案為：13.已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，在上確定函數(shù)的單調(diào)性與最小值，由此確定，利用單調(diào)性得最小值，從而求得．【詳解】函數(shù)定義域是，因此，，時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，，所以，此時(shí)在上遞增，，解得或（舍去），故答案為：2．14.若函數(shù)存在最小值，則的一個(gè)取值為______；的最大值為______.【答案】①.0（答案不唯一）②.4【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合絕對(duì)值、二次函數(shù)的性質(zhì)，討論m范圍及存在最小值確定m的范圍，進(jìn)而確定答案.【詳解】對(duì)于，在上遞減，上遞增，在R上的最小值為0；對(duì)于，開口向上且對(duì)稱軸為，所以，在上遞減，上遞增，在R上的最小值為；綜上，對(duì)于f(x)：當(dāng)時(shí)，在上遞減，上遞增，此時(shí)恒成立，所以不存在最小值；當(dāng)時(shí)，在上遞減，上遞增，此時(shí)最小值為0；當(dāng)時(shí)，在上遞減，,上遞增，且，又，若時(shí)，，此時(shí)最小值為0；若時(shí)，，此時(shí)最小值為0；若時(shí)，，此時(shí)最小值為0；若時(shí)，，此時(shí)最小值為0；若時(shí)，，此時(shí)不存在最小值；綜上，，故m的最大值為4.故答案為：0（答案不唯一），415.函數(shù)的圖象可以近似表示某音叉的聲音圖象.給出下列四個(gè)結(jié)論：①是函數(shù)的一個(gè)周期；②的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；③的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；④在上單調(diào)遞增.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①③④【解析】【分析】①應(yīng)用誘導(dǎo)公式判斷判斷是否成立即可；②③、等量關(guān)系判斷正誤；④判斷，，上，，對(duì)應(yīng)單調(diào)性，即可判斷.【詳解】①，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，正確；，所以不關(guān)于直線對(duì)稱，而關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，②錯(cuò)誤，③正確；④，則，，，而在、、均遞增，故在上單調(diào)遞增，正確.故答案為：①③④三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，.（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），最大值為【解析】【分析】（Ⅰ）利用和表示出，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程，結(jié)合為正項(xiàng)數(shù)列可求得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得結(jié)果；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由通項(xiàng)公式可驗(yàn)證出數(shù)列為單調(diào)遞減的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列求和公式求得；根據(jù)，可確定或時(shí)，最大，代入可求得最大值.【詳解】（Ⅰ）設(shè)等比數(shù)列的公比為，即，解得：或各項(xiàng)均為正數(shù)（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公差為的單調(diào)遞減的等差數(shù)列又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)為正數(shù)當(dāng)或時(shí)，取得最大值，且最大值為【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求解、等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求解問題；求解等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值的常用方法有兩種：①確定數(shù)列各項(xiàng)中的變號(hào)項(xiàng)，由數(shù)列的單調(diào)性可得最值取得的位置；②根據(jù)前項(xiàng)和的二次函數(shù)性質(zhì)來確定最值的位置.17.已知函數(shù)，再從條件①?條件②?條件③中選擇一個(gè)作為已知，（1）求的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)；條件②：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到；條件③：函數(shù)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為.注：如果選擇條件①?條件②和條件③分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）;（2）.【解析】【分析】（1）化簡(jiǎn)，若選①，將點(diǎn)代入求得，可得答案；選②，根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變化規(guī)律可得，可得答案；選②，由函數(shù)的最小正周期可確定，可得答案；（2）由確定，從而求得的范圍，根據(jù)不等式恒成立即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】;選①：函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，則，由，可得，則；選②：函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到，即的圖象可由函數(shù)的圖象平移得到，則，則.選③：函數(shù)的圖象相鄰的兩個(gè)對(duì)稱中心之間的距離為，則函數(shù)的最小正周期為，故，故.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，,則，故，又當(dāng)時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，故,即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知函數(shù)．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合給定條件求解切線方程即可.（2）利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求出函數(shù)單調(diào)性，再求解最值即可.【小問1詳解】由題意得，，所以，又，所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為即；【小問2詳解】由上問得，因?yàn)楹途趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以f′x在區(qū)間因?yàn)椋?，所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，記為，所以時(shí)，f′x>0；時(shí)，f所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在區(qū)間上的最小值為．19.為弘揚(yáng)中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，營(yíng)造良好的文化氛圍，增強(qiáng)文化自覺和文化自信，某區(qū)組織開展了中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，該活動(dòng)有單人賽和PK賽，每人只能參加其中的一項(xiàng).據(jù)統(tǒng)計(jì)，中小學(xué)生參與該項(xiàng)知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)的人數(shù)共計(jì)4.8萬，其中獲獎(jiǎng)學(xué)生情況統(tǒng)計(jì)如下：獎(jiǎng)項(xiàng)組別單人賽PK賽獲獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)三等獎(jiǎng)中學(xué)組4040120100小學(xué)組3258210100（1）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，若已知抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，求抽到的學(xué)生來自中學(xué)組的概率；（2）從中學(xué)組和小學(xué)組獲獎(jiǎng)?wù)咧懈麟S機(jī)抽取1人，以表示這2人中PK賽獲獎(jiǎng)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）從獲獎(jiǎng)學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，設(shè)這3人中來自中學(xué)組的人數(shù)為，來自小學(xué)組的人數(shù)為，試判斷與的大小關(guān)系.（結(jié)論不要求證明）【答案】（1）（2）分布列見解析，期望（3），理由見解析【解析】【分析】（1）應(yīng)用條件概率公式求概率即可；（2）由題設(shè)可能值為，結(jié)合表格數(shù)據(jù)及超幾何分布概率公式求分布列，進(jìn)而求期望；（3）由，應(yīng)用方差的性質(zhì)判斷的數(shù)量關(guān)系即可.小問1詳解】若事件表示抽到的學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，事件表示抽到的學(xué)生來自中學(xué)組，所以抽到的1個(gè)學(xué)生獲得一等獎(jiǎng)，學(xué)生來自中學(xué)組的概率為，由表格知：，則.【小問2詳解】由題意，可能值為，，，，的分布列如下：012所以.【小問3詳解】由題設(shè)知，所以.20.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)恒成立，求a的取值范圍；（3）若，證明：．【答案】（1）時(shí)單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減；（2）；（3）證明見解析.【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定單調(diào)區(qū)間；（2）運(yùn)用參數(shù)分離的方法，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算函數(shù)最大值即可；（3）作圖，根據(jù)函數(shù)圖像確定的范圍，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明.【小問1詳解】，顯然有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；【小問2詳解】由得：，，令，則有，令，顯然是減函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減；，a的取值范圍是；【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，，由（1）的結(jié)論作函數(shù)圖像如下：，對(duì)于，得，不妨設(shè)，則有，由圖可知當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量有2個(gè)值，其中，要證明，只需取中較小的數(shù)即可，，，，，要證明，只需證明，在時(shí)，單調(diào)遞增，只需證明，，只需證明，即，構(gòu)造函數(shù)，，，，是增函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，即，命題得證；綜上，（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（2）.【點(diǎn)睛】本題的難點(diǎn)是第三問，根據(jù)函數(shù)的圖像確定和的范圍，再將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性問題.21.已知數(shù)列，為從1到2022互不相同的整數(shù)的一個(gè)排列，設(shè)集合，中元素的最大值記為，最小值記為.（1）若為：1，3，5，…，2019，2021，2022，2020，2018，…，4，2，且，寫出，的值；（2）若，求的最大值及最小值；（3）若，求的最小值.【答案】（1），（2）最小值為6，的最大值為6063（3）6069【解析】【分析】（1）根據(jù)的定義即可求解，（2）根據(jù)，即可求解，（3）根據(jù)任意相鄰的6項(xiàng)的和，求解，即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，中的元素為中的三項(xiàng)相加，故最大元素，最小元素.【小問2詳解】最小值為6，的最大值6063.證明：對(duì)于1，2，…，2021，2022的一個(gè)排列，若，則中的每一個(gè)元素為，，由題意，，那么，對(duì)于任意的，總有.同理，由題意，那么，對(duì)于任意的，總有，當(dāng)時(shí)，滿足：，.【小問3詳解】的最小值為6069.由于