第5章特殊平行四邊形（壓軸30題專練）

能力提升

一.選擇題（共11小題）

1.（寧波模擬）如圖，一個(gè)菱形被分割成4個(gè)直角三角形和1個(gè)矩形后仍是中心對(duì)稱圖形.若只知

道下列選項(xiàng)中的一個(gè)角度，就一定能算出這個(gè)矩形的長(zhǎng)與寬之比的是（）

A.ZBAFB.ZCBG

C.ZBADD.以上選項(xiàng)都不可以

【分析】先判斷出菱形和矩形的對(duì)角線相較于同一個(gè)點(diǎn)。，再判斷出點(diǎn)A,O,F,8共圓，進(jìn)而

判斷出△AOBs得出空眄，即可得出結(jié)論.

HE0A

【解答】解：如圖，連接AC,2。相交于點(diǎn)。，

?..四邊形是菱形，

：.AC±BD,

：.ZAOB=90°,

連接EG,FH,

???一個(gè)菱形被分割成4個(gè)直角三角形和1個(gè)矩形后仍是中心對(duì)稱圖形，

.二EG與我的交點(diǎn)也是點(diǎn)。，

:四邊形E/GH是矩形，

/.ZHEF=ZAFB=ZEFG=9O°,

二/AO2=NAFB=90°,

.?.點(diǎn)A,。，F(xiàn),B共圓，

/.ZAFO=ZABO,

，△AOBs^HEF,

???H-E~--E-F,

OAOB

.EF_0B

,沃前

在RtZkAOB中，tan/8A0=里,

OA

?.NC是菱形的對(duì)角線，

.,./8AO=/BAD,

2

-EF_tanZBAD

HE2

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了菱形和矩形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，相似三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角

函數(shù)，判斷出是解本題的關(guān)鍵.

△AOBSZ\HEB

2.（諸暨市月考）如圖，一塊長(zhǎng)方形場(chǎng)地A8CD的長(zhǎng)AB與寬BC的比是正：1,DELAC,BFLAC,

垂足分別是E、尸兩點(diǎn).現(xiàn)計(jì)劃在四邊形DEB歹區(qū)域種植花草，則四邊形DEB/與長(zhǎng)方形ABCD的

面積比等于（）

【分析】由A4S證明△AOE2ZXCB尸得出BB=OE.由B/〃。E,即可得出四邊形OE2尸是平行四

邊形.設(shè)A￡>=x,則由勾股定理求出AC,再求出DE、CF、的長(zhǎng)，計(jì)算出四邊形

。仍尸與矩形48CD的面積，再作比值即可得到結(jié)論.

【解答】解：???四邊形ABCD是矩形，

：.AD//BC,AD^BC,90°,

：.NDAE=NBCF.

"BFLAC,DE±AC,

二/AEO=NCF2=90°,BF//DE.

在△ADE和△CB/中，

，ZDAE=ZBCF

,ZAED=ZCFB-

AD=CB

:./XADEdCBF(A4S),

：.DE=BF,AE^CF,

又,：BF//DE,

...四邊形OEB尸是平行四邊形，

陽￡>=8C=x,則CO=AB=&x,

?'?AC=VAB2+BC2=V(V2x)+x2=Mx,

于點(diǎn)E,

SAADC=-AD'CD=-AC'DE,

22

:?X。DE,

:.DE=^^x,

3

在△AOE中，AE={X2_(^-X)2=^X，

CF=^r,

3

：.EF=AC-AE-CF=^x,

3

2

S四邊形0EBF=Z)E=?Y^_JC=Y^JC,

333

：S矩彩ABCD=X?,

二四邊形r>￡B/與矩形ABC。的面積之比為1：3.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判

定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)；熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

3.(南溫區(qū)二模)如圖，在四邊形ABC。中，AB//CD,AB±BD,A8=5,BD=4,CD=3,點(diǎn)、E

是AC的中點(diǎn)，則BE的長(zhǎng)為()

C.娓D.3

【分析】過點(diǎn)C作CPLAB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡根據(jù)題意可判斷四邊形2尸C。是矩形，則有3歹=8

=3,CF=BD=4,再由勾股定理求得BC=5,AC=4而，從而可判斷△ABC是等腰三角形，

則有8ELAC,利用三角形的等積可求解.

【解答】解：過點(diǎn)C作CBLAB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R如圖所示：

J.CDLBD,

VCFLAB,

：.CF±CD,

：.BD//CF,

四邊形8打力是矩形，

：.BF=CD=3,CF=BD=4,

在RtZ\BCF中，BC^VCF2+BF2=732+42=5;

在RtzXA尸C中,AC=^AF2<F2=7(AB+BF)2K：F2=4^5>

:.BC=AB=5,

...△ABC是等腰三角形，

,/點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，

J.BELAC,

..11

?yAB<F=yAC'BE>

.,.AX5X4=AXN^BE,

22

解得：BE=正.

第二種解法：延長(zhǎng)AB,在AB的延長(zhǎng)線上截取連接CM,過點(diǎn)C作CN_LAB,交AB延長(zhǎng)

：.CD±BD,

???CALLA3,

:,CN工CD,

C.BD//CF,

J四邊形是矩形，

：.BN=CD=3,CN=BD=4,

:,NM=BM-BN=2,

在RtACMW中，CM=<\/CN2+NM2=742+22=2\/5，

:點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，AB=BM,

：.BE是△ACM的中位線,

BE=ACM=yfs.

2

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是求得AC

的長(zhǎng)度.

4.（吳興區(qū)期末）如圖，已知四邊形A8C。是正方形，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連結(jié)￡>E,過點(diǎn)E

作所J_DE,交BC延長(zhǎng)線上于點(diǎn)R以DE,EF為鄰邊作矩形DEFG,連結(jié)CG.若AB=2&,則

A.2B.3C.4D.5

【分析】通過矩形和正方形的性質(zhì)證明矩形。EFG是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△ADE之

△CDG得到CG=AE,即：CE+CG=CE+AE=AC=4.

【解答】解：作EM_L8C于M,ENLCD于N,

：.ZMEN=90°,

:點(diǎn)E是正方形A3CZ）對(duì)角線上的點(diǎn)，

：.EM=EN,

VZDEF=9Q°,

.'.ZDEN=ZMEF,

:/DNE=NFME=90°,

在△￡）￡1%和△FEM中，

，ZDNE=ZFME

<EN=EM，

ZDEN=ZFEM

；.4DENmAFEM(ASA),

：.EF=DE,

'：四邊形。跳'G是矩形，

.,?矩形OEFG是正方形；

,/正方形。EFG和正方形ABCD,

:.DE=DG,AD=DC,NAOC=/￡DG=90°,

,/ZCDG+ZCDE=ZADE+ZCOE=90°,

：.ZCDG=ZADE,

在△?1￡)￡■和△CDG中，

'AD=CD

<NADE=NCDG，

DE=DG

.?.△AOE/△C￡?G(SAS),

：.AE^CG,

：.CE+CG=CE+AE=AC=近AB=&X2&=4,

【點(diǎn)評(píng)】此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，矩形的判定，三角形

的全等的性質(zhì)和判定，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，通過證明全等判定矩形。EPG

是正方形.

5.（寧波模擬）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AB=l,以AB,AC,8C為邊在同一側(cè)作正

方形ABED,正方形ACGF,正方形BC田,CG交DE于點(diǎn)N,CH交BE于點(diǎn)L.EJLCG于點(diǎn)JLK

于點(diǎn)K,設(shè)NE=x,當(dāng)矩形CLKJ為正方形時(shí)，x的值等于（）

A?管B?苧"ID-V

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△的￡之△3EN得到BL=EN=x,AL=BN=yJ1+^f根據(jù)正

方形的性質(zhì)分別證明△3C￡S43EN和△LKE'sAgEN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出KL和C￡的

長(zhǎng)度，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到KL=CL進(jìn)而求解.

【解答】解：???NACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

■:NABC+NNBE=9U°,

：?NCAB=NNBE,

?：NACL=/NEB=90°,AB=BE=1,

:.AABL沿ABEN(ASA),

:,BL=EN=x,AL=BN=V1+x2,

■:NCBL=/EBN,NLCB=NNEB=90°,

:.ABCLSABEN,

?BL=CL

"BN而'

???X―-=CL,

Vu?X

,:KL〃JB,

：.ZKLE=NEBN,

VZLKE=ZBEN=90°,

.?.△LKESABEN,

.KL=EL

"BEBN"

?-?KL-f1-x=^~,

1V1+x2

;矩形CLK/為正方形，

:.KL=CL,

?1-x-—2

71+X271+X2

...x=±應(yīng)或犬=二1必(舍去)，

22

?-1+^/5

2

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)正

方形的性質(zhì)證明ZXABL絲ABEN,△BCLs△BEN和△LKEs/\BEN.

6.（富陽區(qū)一模）如圖，矩形ABC。中，AB=6,A￡>=8,點(diǎn)E在邊4。上，且AE：ED=1：3.動(dòng)

點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3停止，過點(diǎn)E作成UPE交射線8c于點(diǎn)R聯(lián)結(jié)PR設(shè)M是線段

的中點(diǎn)，則點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過程中，線段DM長(zhǎng)的最小值為（）

A.AVToB.A>/Toc.3V2D.TL

5513

【分析】連接BE、EM、BM,作BE的垂直平分線GH分別與D4的延長(zhǎng)線、BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G、

H,過。作。NLGH于點(diǎn)N,連接EH,過H作HKLAO,與AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,根據(jù)直角三角

形斜邊上的中線等于斜邊的一半，知說明M點(diǎn)在BE的垂直平分線GH上，當(dāng)M與N點(diǎn)

重合時(shí)￡>M=￡W的值最小，根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性

質(zhì)求得DN便可.

【解答】解：連接BE、EM、BM,作BE的垂直平分線GH分別與D4的延長(zhǎng)線、2C的延長(zhǎng)線交

于點(diǎn)G、H,過。作ON_LGH于點(diǎn)N,連接EH,過H作HK_LA。，與AO的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)K,

VZABC=ZPEF^90°,M是的中點(diǎn)，

：.BM=EM,

...無論尸點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，M點(diǎn)始終在BE的垂直平分線上，

點(diǎn)在GH上，

當(dāng)M與N點(diǎn)重合時(shí)，0M=ON的值最小，

設(shè)EH=x,

G”是BE的垂直平分線，

：.BH=EH=x,

???ZEHG=/BHG,

,:GD〃BH,

：.ZEHG=ZBHG=ZG,

：.EG=EH=x,

VZABH=ZBAK=ZK=90°,

J四邊形為矩形，

：.AK=BH=xfAB=KH=6,

VAD=8,點(diǎn)E在邊上，且AE1：ED=lz3,

：.AE=2,皮)=6,

：.EK=AK-AE=x-2f

^EH1-EI^=K*

.*.x2-(x-2)2=62,

解得，x=10,

：.GE=x=10f

GD=EG+DE=x+6=10+6=16,

?：OE〃DN,

:?△GEOs/\GDN,

???—E0=—GE=—10=—5,

DNGD168

:.DN=&EO,

5

BE=VAB2+AE2=也6+4=2V10，

.'.EO=-BE="/10，

2

即線段DM■長(zhǎng)的最小值為宜應(yīng)?，

5

解法二：建立如圖坐標(biāo)系，過點(diǎn)尸作五九LA￡＞于J.則。(8,6),E(2,6),設(shè)尸(0,a),

由APAEs叢EJF,可得AJ=18-3a,

：.F(20-3a,0),

'：PM^MF,

：.M(10-1.5a,0.5a),

..DM—yj(iQ-i05a-8)2+(0.5a-6)^~y^a^-12a+4：0，

...當(dāng)a=_=￡時(shí)，OM的值最小，此時(shí)0M=苴叵＞.

2X|55

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)，直角三

角形的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，難度較大，要用的輔助線較多，關(guān)鍵在確定DM最小值

的位置.

7.（溫州模擬）四個(gè)全等的直角三角形如圖所示擺放成一個(gè)風(fēng)車的形狀，連接四個(gè)頂點(diǎn)形成正方

形ABCD,。為對(duì)角線AC,BO的交點(diǎn)，OE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)尺記圖中陰影部分的面積為Si,

S,

空白部分的面積為S2,若2CF=3BF,則一L的值為（）

S2

A,

BFC

A.2Bc.6D.

3-174

【分析】由對(duì)稱性可知2=7一也”-----利用正方形的性質(zhì)和勾股定理分別求出直角三

‘22AECF+^A0BF

角形的邊，即可解答.

【解答】解：過點(diǎn)。作。與凡如圖,

S1_S^OCE

52^AECF+^A0BF

設(shè)2尸=2a,則C尸=3a,

:.BC=BF+CF=5a,

,正方形ABC。，

...△OBC是等腰直角三角形,

.?.OH垂直平分BC,

BH=CH=OH=$

22

:.HF=CF-HC=旦,

2

在Rt4。?/中，由勾股定理得，

OF=VOH2+FH2=粵~a,

，S.ocF=工CF?OH=CE,

22

.CE^CF'OH

OF

,/OC=^-BC=

2

在RtZ\0FH中，由勾股定理得,

0￡：=VOC2-CE2=^V26?)

SAOCE=-OE*CE=^-a2,

226

SACEF=-CE'EF—里滔，

252

S&OBF=~BF*OH=—a2,

22

.S1_SAOCE_6

??-------------------------f

022AECF+^AOBF7

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)和勾股定理等知識(shí)，關(guān)鍵是能夠表示三角形的邊.

8.（鎮(zhèn)江）如圖，菱形ABCD的頂點(diǎn)3、C在x軸上（B在C的左側(cè)），頂點(diǎn)A、O在無軸上方，對(duì)角

線8。的長(zhǎng)是點(diǎn)E（-2,0）為8C的中點(diǎn)，點(diǎn)P在菱形ABCD的邊上運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)F（0,6）

3

至忸P所在直線的距離取得最大值時(shí)，點(diǎn)尸恰好落在AB的中點(diǎn)處，則菱形ABCD的邊長(zhǎng)等于（）

A.此B.\/7oC.西D.3

33

【分析】如圖1中，當(dāng)點(diǎn)尸是AB的中點(diǎn)時(shí)，作尸GLPE于G,連接ER首先說明點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí),

尸G的值最大，如圖2中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，連接4皎2。于H,PE^BD于J.設(shè)BC=2a.利

用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建方程求解即可.

【解答】解：如圖1中，當(dāng)點(diǎn)尸是AB的中點(diǎn)時(shí)，作FGLPE于G,連接M.

"E(-2,0),F(0,6),

：.OE=2,OF=6,

EF=J?2+62=2^10，

VZFGE=90°,

:.FGWEF,

，當(dāng)點(diǎn)G與E重合時(shí)，/G的值最大.

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)E重合時(shí)，連接AC交2。于H,PE交BD于J.設(shè)8c=2a.

\tPA=PB,BE=EC=a,

J.PE//AC,BJ=JH,

???四邊形A5CD是菱形，

：.AC±BD,BH=DH=^^-,

36

：.PE±BD,

,：NBJE=NEOF=NPEF=9Q°,

：.ZEBJ=ZFEO,

：.ABJE^/\EOF,

.BE=BJ

"EF而，

VTo

-a=6

2V102

?〃一5

3

BC=2a=1°,

3

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題，屬于中考選

擇題中的壓軸題.

9.（椒江區(qū)月考）如圖，平行四邊形A8C。中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,BD=2AD,E,F,G

分別是OC,OD,AB的中點(diǎn).下列結(jié)論正確的是（）

①EG=EF；

②AEFG注AGBE；

③FB平分/EFG；

④EA平分/GEP；

⑤四邊形BEFG是菱形.

D

C.①②③④D.①②③④⑤

【分析】由中點(diǎn)的性質(zhì)可得出EF〃CD,且EP=_lcr)=BG,結(jié)合平行即可證得②正確，由BO

2

=2BC得出BO=BC,即而得出8ELLAC,由中線的性質(zhì)可知G尸〃BE,且GP=_lgE,AO=EO,

2

證AAPG名△EPG得出AG=EG=EF得出①正確，再證AGPE經(jīng)得出④再求，證出四邊

形BEFG是平行四邊形，⑤③不正確；此題得解.

【解答】解：設(shè)G/和AC的交點(diǎn)為點(diǎn)尸，如圖：

尸分別是OC、。。的中點(diǎn),

：.EF//CD,且所=」?！?,

2

?..四邊形ABC。為平行四邊形，

.,.AB//CD,且AB=CD,

:./FEG=NBGE,

?.?點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，

.\BG^1AB^^CD=FE,

22

'BG=FE

在△EFG和AGBE中，，NFEG=/BGE，

GE=EG

：.4EFG沿AGBE(SAS),即②正確，

：.ZEGF=ZGEB,GF=BE,

：.GF//BE,

;BD=2BC,點(diǎn)。為平行四邊形對(duì)角線交點(diǎn),

：.BO=1.BD=BC,

2

?.?E為OC中點(diǎn)，

J.BELOC,

：.GP±AC,

：.ZAPG=ZEPG=90a

"GP//BE,G為AB中點(diǎn)，

為AE中點(diǎn)，即4P=PE,且GP=」8E,

2

'AP=EP

在△APG和△EGP中，，ZAPG=ZEPG-

GP=PG

AAPG^AEPG(SAS),

：.AG=EG=1.AB,

2

：.EG=EF,即①正確，

'：EF//BG,GF//BE,

...四邊形8G五E為平行四邊形，

：.GF=BE,

?：GP^1.BE^1.GF,

22

:.GP=FP,

'：GF±AC,

：.ZGPE=ZFPE=90°

'GP=FP

在AGPE和中，，ZGPE=ZFPE>

EP=EP

：./\GPE^/\FPE(SAS),

ZGEP=NFEP,

平分/GEF,即④正確.

"BG=FE,GF=BE,

...四邊形BEFG是平行四邊形，

沒有條件得出BEBG是菱形，⑤③不正確；

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線定理以及平

行線的性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是利用中位線，尋找等量關(guān)系，借助于證明全等三角形找到邊角

相等.

10.(諸暨市期末)如圖，正方形紙片ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別在四條平行線/1、/2、13、〃上，這四

條直線中相鄰兩條之間的距離依次為加、hi、hi(/ii>0,〃2>0,fe>0),若〃i=5,hi—2,

則正方形ABCQ的面積S等于()

A.34B.89C.74D.109

【分析】過A點(diǎn)作”，/3分別交/2、/3于點(diǎn)E、F,過C點(diǎn)作CHL2分別交/2、/3于點(diǎn)/、G,根據(jù)

正方形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，證aABE四△CDG即可；易證△ABE之四△CDGgA

DAF,且兩直角邊長(zhǎng)分別為加、加+〃2,四邊形EBGH是邊長(zhǎng)為〃2的正方形，所以S=4X_lx〃i

2

(Ai+fe)+/122=2A12+1h1112+h?2=(/ZI+/J2)2+hr,將〃i=5,拉2=2代入,即可解決問題.

【解答】證明：如圖，過A點(diǎn)作”L扮別交也、/3于點(diǎn)E、F,過C點(diǎn)作C/M/2分別交/2、/3于點(diǎn)

H、G,

:四邊形ABCD是正方形，h//l2//h//U,

：.AB=CD,ZABE+ZHBC=90°,

'CCHLh,

：.ZBCH+ZHBC=90°,

/BCH=NABE,

同理可得，ZBCH=ZCDG,

：.NABE=NCDG,

?.?/AEB=/CGO=90°,

在△ABE和△C￡>G中，

，ZABE=ZCDG

<NAEB=NCGD'

AB=CD

.'.△ABE當(dāng)△COG(AAS),

：.AE=CG,

即加=〃3,

?..四邊形A8C￡＞是正方形，

：.AB=BC=CD=DA,

VZAEB=ZDFA=ZBHC=ZCGD=9Q°,ZABE=ZFAD=ZBCH=ZCDG,

：./XAEB^ADAF^ABCH^△CGD,且兩直角邊長(zhǎng)分別為歷、hi+hi,

...四邊形EFGH是邊長(zhǎng)為近的正方形，

二正方形ABC。的面積S=4X_LX/71(/ZI+/Z2)+/?22=2/?I2+2/?I/Z2+/Z22=(加+近)2+hi2,

2

hi=2,

：.S=(/zi+ta)2+歷2=49+25=74.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，本題的

關(guān)鍵在于作好輔助線，根據(jù)已知找到全等三角形即可.

11.(潮橋區(qū)校級(jí)模擬)如圖，平面內(nèi)三點(diǎn)A、B、C,AB=4,AC=3,以BC為對(duì)角線作正方形

【分析】如圖將△BZM繞點(diǎn)￡＞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CCM.由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB=CM=4,

DA^DM.ZADM^90°,推出△ADM是等腰直角三角形，推出AO=乂2A推出當(dāng)AM的值

2

最大時(shí)，AD的值最大，利用三角形的三邊關(guān)系求出AM的最大值即可解決問題；

【解答】解：如圖將△BZM繞點(diǎn)￡＞順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CDM.

由旋轉(zhuǎn)不變性可知：AB=CM=4,DA=DM.ZADM=90°,

△ADW是等腰直角三角形，

：.AD=^2LAM,

2

...當(dāng)AM的值最大時(shí)，AO的值最大，

"：AM^AC+CM,

的最大值為7,

??.AO的最大值為工亞，

2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題，三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添

加常用輔助線，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型.

—.填空題（共14小題）

12.（溫州校級(jí)開學(xué)）如圖，點(diǎn)、E,尸分別是矩形A8CZ）的邊CD,AB的中點(diǎn)，兩條平行線AK,CL

分別經(jīng)過菱形EGFW的頂點(diǎn)H,G和邊PG,的中點(diǎn)M,N,已知菱形EGEH的面積為S,則圖

中陰影部分的面積和為.（用含S的代數(shù)式表示）

一6一

【分析】如圖，連接￡F、GH交于點(diǎn)O,設(shè)所交NG于點(diǎn)R,交AK于點(diǎn)T,連接AG,由E、B分別

是CD、AB的中點(diǎn)，可得OE=」C。，AF=1AB,得出四邊形AOE尸是平行四邊形，再利用四邊

22

形EGM是菱形，可得GHLEF,0G=0H=1GH,ZEOG=9Q°,利用AAS證明

2

AFM,再利用ASA證明△AGZgz^EGR,從而得出ER=RT=FT=!即=LD,根據(jù)菱形EG/H

33

的面積為S,可得EF?GH=2S,進(jìn)而得AO?A8=4S,運(yùn)用平行四邊形面積可得&AZCK=AL?AB

=—AD*AB=—S,S^GMHN=—S,再利用S陰影=SAZCK-即可求得答案.

332

【解答】解：如圖，連接E尸、GH交于點(diǎn)。，設(shè)所交NG于點(diǎn)R,交AK于點(diǎn)T,連接AG,

?.?四邊形A3CO是矩形，

：.AB=CD,AB//CD,Z￡>=90°,

?:E、尸分別是C￡>、AB的中點(diǎn)，

，OE=_lc。，AF=1AB,

22

：.DE^AF,

"."DE//AF,

四邊形ADE/是平行四邊形，

VZD=90°,

四邊形4￡>E尸是矩形，

：.EF//AD,EF=AD,ZAFE=90°,

V四邊形EGFH是菱形，

：.GHLEF,OG=OH=LGH,

2

：.ZEOG=9Q°,

：.ZEOG=ZAFE,

：.GH//AF,

：.NGHM=ZFAM,

二?點(diǎn)M是尸G的中點(diǎn)，

：.GM=FM,

在△HGM和△△五M中,

'/GHM=NFAM

,ZGMH=ZFMA-

GM=FM

.?.△HGM注AAFM(AAS),

：.GH^AF,

：.GH=1.AB,

2

：OG=L/，OE=OF,OG//AF,

2

.,?點(diǎn)G是矩形AOE尸的中心，即A、G、E三點(diǎn)在同一條直線上,

：.AG=EG,

?：EF//AD,

：./LAG=/REG,

在△AGZ■和△EGR中，

'NLAG=NREG

<AG二EG，

ZAGL=ZEGR

:.△AGLQ^EGR(ASA),

:?AL=ER,

*：AK//CLfAL//CK,

???四邊形ALCK是平行四邊形，

同理，四邊形ALAT是平行四邊形，

：.AL=RT=CK,

:.ER=RT,

同理可得，RT=FT,

：.ER=RT=FT=AEF=IAD,

33

?.?菱形EGFH的面積為S,

:.EF?GH=2S,

：.AD-AB=4S,

"：AL^XAD,

3

S。ALCK=AL*AB=—AD'AB=As,

33

:S口GMHN=上,

2

41c

；.S陰影=SoA￡CK-S^GMHN=—S--S=—S;

326

故答案為：Is.

6

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，

平行四邊形面積等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)及全等三角形判定和性質(zhì)等相關(guān)

知識(shí)是解題關(guān)鍵.

13.（閔行區(qū)二模）對(duì)于任意三角形，如果存在一個(gè)菱形，使得這個(gè)菱形的一條邊與三角形的一

條邊重合，且三角形的這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)在菱形的這條邊的對(duì)邊上，那么稱這個(gè)菱形為該三角

形的“最優(yōu)覆蓋菱形”.

問題：如圖，在△ABC中，AB=AC,BC=4,且△ABC的面積為〃?，如果△ABC存在“最優(yōu)覆

蓋菱形”為菱形BCMN,那么加的取值范圍是.

B

【分析】由△ABC的面積為機(jī)可得AABC的高為皿，然后再分三角形的高取最大值和最小值兩

2

種情況求解即可.

【解答】解：...△ABC的面積為

，ZVIBC的BC邊上的為高見，

2

如圖：當(dāng)高取最小值時(shí)，△ABC為等邊三角形，

點(diǎn)4與〃或N重合，

?.?等邊三角形ABC,BC=4,

：.ZABC=6Q°,BC=4,ZBAD=30°.

：.BD=2,

.,MD=^42_22=2V3>

二也=2近，即m=4?.

2

如圖：

當(dāng)高取取最大值時(shí)，菱形為正方形.

...點(diǎn)A在MN的中點(diǎn)，

??■^■=4,即m=8，

故答案為：4聲?加＜8.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)/正方形的性質(zhì)/等邊三角形的性質(zhì)以及勾股定理，考查知

識(shí)點(diǎn)較多，靈活運(yùn)用相關(guān)知識(shí)成為解答本題關(guān)鍵.

14.（竦州市模擬）如圖，在菱形ABCD中，NB=60°,點(diǎn)E,F］各對(duì)角線AC三等分，且AC=12,

點(diǎn)P在菱形的邊上，若滿足PE+尸產(chǎn)=a的點(diǎn)尸只有4個(gè)，則a的取值范圍是或12<aV

而一

【分析】不妨假設(shè)點(diǎn)P在線段BC上，作點(diǎn)E關(guān)于8C的對(duì)稱點(diǎn)G,EG現(xiàn)BC交于點(diǎn)K,連接/G交BC

于點(diǎn)P,止匕時(shí)尸E+P歹的值最小，求出尸E+P尸的最值，判斷出在線段8c上存在-點(diǎn)尸滿足PE+尸尸

=。的取值范圍，再根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)便可得出結(jié)論.

【解答】解：不妨假設(shè)點(diǎn)尸在線段上，作點(diǎn)E關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)G,EG現(xiàn)BC交于點(diǎn)K,連接尸G

交BC于點(diǎn)P,此時(shí)尸E+尸產(chǎn)的值最小，如圖1,

過尸作于點(diǎn)71,

?..四邊形ABCD是菱形,

：.AB^BC,

VZB=60°,

△ABC是等邊二角形,

：.AB=BC=AC=12,ZACB=60Q,

:點(diǎn)E,尸將對(duì)角線AC三等分,

.,.AE=EF=fC=4,

:.GK=EK=sinNACB=4?,CK=&￡=4,

2

'：FH±EG,BCLEG,

：.HF//BC,

'：EF=FC,

*'-EH=HK=yEK=2V3'

?,?^=1CK=2-

FG=VGH2+HF2=V(6V3)2+22=4x/7)

6

圖i

根據(jù)菱形的對(duì)稱性知，當(dāng)尸E+PB=a=4jV時(shí)，在菱形ABCD的四邊各存在一點(diǎn)滿足條件PE+P尸

=a；

當(dāng)點(diǎn)P在C點(diǎn)時(shí)，PE+PF=8+4=12,

當(dāng)尸點(diǎn)在2點(diǎn)時(shí)，連接2￡),與AC交于點(diǎn)。，如圖2,

?.?四邊形A3CO是菱形，

：.AC±BD,OC=/AC=6，

???OB=OOtanNACB=6\^，

:OE=OF=LEF=2,

2

：.PE=PF=y](6V3)2+22=4V7>

，PE+PF=8V7，

當(dāng)點(diǎn)尸由C運(yùn)動(dòng)到8時(shí)，尸石+尸尸的值由最大值12減小到4A77再增加到8小？，

由菱形的對(duì)稱性質(zhì)知，當(dāng)12cpE+P尸<84時(shí)，即時(shí)，在菱形A8C￡>的四邊各存在

一點(diǎn)滿足條件尸￡+尸尸=4；

綜上，點(diǎn)P在菱形的邊上，若滿足PE+PB=a的點(diǎn)P只有4個(gè)，則a的取值范圍是。=4*或12<。

<8"

故答案為：4=477或12<°<8后

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，兩點(diǎn)之間線段最短等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型.

15.(溫嶺市一模)在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E、F分別在BC與C￡>上，且NEAB=45°

(1)如圖甲，若EA=EF,則上尸=_'/而_；

（2）如圖乙，若CE=CF,則E/=7亞-4y.

圖甲圖乙

【分析】（1）已知EA=EENEAF=45°,由三角形的內(nèi)角和得/AEF=90°,ZAEB+ZFEC

=90°,又因NBAE+/AE8=90°,等量代換得NA4E=NCEF從而證明△ABE2△ECB

所的長(zhǎng)可由勾股定理求出.

（2）作輔助線FM和EN,已知△€1￡1廠,構(gòu)建兩個(gè)等腰△DEM,△BEN可求出線段。凡AM,FC,

BE和AN的長(zhǎng)；證明△ANEs△歹跖i,再由兩個(gè)三角形相似的性質(zhì)求出相似比，解出x的值，由

勾股定理（或三角函數(shù)）求出所的長(zhǎng).

【解答】解：（1）如圖甲所示：

圖甲

"：EA=EF,

...△AEF是等腰直角形，ZEAF^ZEFA,

VZ￡AF=45°,

：.ZEFA=45°,

又?.?在△AE尸中，ZEAF+ZEFA+ZAEF=1SO°,

ZAEF=180°-45°-45°=90°,

又ZAEB+ZAEF+ZFEC=180°,

：.ZAEB+ZFEC=90°,

又「△ABE中，ZB+ZBAE+ZAEB=180°,

ZB=90°,

ZBAE+ZAEB=90°,

：.NBAE=/CEF,

在ZVIBE和Z\EC尸中

，ZBAE=ZCEF

?ZB=ZC=90°，

AE=FE

:.4ABE/AECF(AAS)

：.AB=EC,BE=CF,

又：A8=3,BC=4,

；.EC=3,CF=1,

在RtZiCEF中，由勾股定理得：

EF=VEC2+FC2=Vs2+12=

故答案為JTU.

圖乙

^DM=DF,BN=BE,分別交A￡),AB于點(diǎn)M和點(diǎn)N,設(shè)M￡>=x,

?..四邊形ABCD4是矩形，

:.NB=ND=90°,

:./BNE=45°,/DMF=90°,

XVZBNE+ZENA=180°,ZFMD+ZFMA=liO°,

：.ZENA=135°,ZFMA=135°,

又/=45°,ZBAD^ZBAE+ZEAF+ZFAD^90a,

：.ZBAE+ZFAD=45°,

"：ZBAE+ZNEA^45°,

在和△FMA中

<fZNEA=ZMAF

1ZENA=ZFMA=135°'

：.AANE^AFMA(AA)

?MFAM.

"AN"NE'

又,：MD=x,

DF=X9

?；CE=CF,A3=3,BC=4,

：.FC=EC=3-x,BE=BN=x+l,AN=2-x,

...x_4r

2-x-A/2(x+1)

解得：2遍-4,或-2a-4（舍去），

.'.FC=3-（276-4）=7-2a，

:.EF=?FC=?（7-2企）=7&-4?.

故答案為7&-4次.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾

股定理的運(yùn)用等相關(guān)知識(shí)，正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵，

16.（鎮(zhèn)海區(qū)期末）如圖，在正方形A8CD中，E,F,G,H分別是它的四條邊上的點(diǎn)，且AE=B歹

=CG=DH,AC與四邊形跖G”的邊￡7狡于點(diǎn)P.若返世3,貝lJ/AHE=22.5度.

ACAB

【分析】過點(diǎn)石作￡^〃2（7交AC于點(diǎn)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AO〃BC,NBAO=90°,ZBAC

=45°,所以EM〃BC,可得△AEM是等腰直角三角形，可得AM=J5AE,然后根據(jù)平行線分

線段成比例定理和已知條件可得AE=AP,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EM〃BC交AC于點(diǎn)M,

?..四邊形ABCD是正方形，

：.AD//BC,/B4O=90°,Na4c=45°,

J.EM//BC,

：.ZAEM=90°,

△AEM是等腰直角三角形，

：.AE=ME,

.".AM=,\[2AE,

,CEM//BC,

?AE=AM=&AE

"ABACAC

??&AP二AE

,AC而

：.AE^AP,

：.ZAEP=ZAPE=1.(180°-45°)=67.5°,

2

：.ZAHE=9O0-67.5°=22.5°.

故答案為：22.5°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例

定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì).

17.(椒江區(qū)校級(jí)月考)如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，且/AE￡>=90°,AE=2,連接BE,則4

【分析】過點(diǎn)8作的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，證明AAB歹也/XADEG4AS),可得8P=AE=2,AF

=DE,設(shè)正方形A8CC的邊長(zhǎng)為a,根據(jù)勾股定理可得A/=DE=小區(qū)］，所以瓦1=”-AE

=Va2-4'2,^S^ABE=S^ABF-S^BEF,進(jìn)而可以解決問題.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)8作BFLAE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R

/AFB=/AE￡)=90°,

?.?四邊形ABC。是正方形，

二/8AO=90°,AB=AD,

：.ZBAE+ZDAE=ZADE+ZDAE=90°,

/.ZBAE=ZADE,

在AAB尸和△AOE中，

，ZAFB=ZDEA=90°

'ZBAF=ZADE，

AB=AD

:.AABF咨AADE(AAS),

：.BF=AE=2,AF=DE,

設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為a,

:.AF=DE=yJ~^l，

：.EF=AF-AE=yJa2_^-2,

?S/\ABE~S/\ABF~S/\BEF,

?\SAABE=—%BF9AF--xBF?EF

22

=1x2X^2^-lX2X（VAJ-2）

=Va2-4-Va2-4+2

=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到AAB歹

18.（柯橋區(qū)期中）如圖，已知：PA=2,PB=4,以AB為邊作正方形ABC。，使P、。兩點(diǎn)落在直

線的兩側(cè).當(dāng)N4PB=45°時(shí)，則尸￡＞的長(zhǎng)為2a.

【分析】由于AO=A3,ZDAB^90°,則把△APD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至A。與

AB重合，PA旋轉(zhuǎn)到A/的位置，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AP=ARZPAF=90°,PD=FB,則4

APF為等腰直角三角形，得到/APF=45°,PF=，、&P=2圾,即有/BPF=NAP2+/AP/

=45°+45°=90°,然后在RtZXFBP中，根據(jù)勾股定理可計(jì)算出尸2的長(zhǎng)，即可得到P。的長(zhǎng).

【解答】解：*.?AO=AB,ZDAB=90°,

.?.把△”￡）繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得至！JzXAFB,A￡＞與A8重合，PA旋轉(zhuǎn)到A尸的位置，如圖,

：.AP^AF,ZPAF=90°,PD=FB,

...尸為等腰直角三角形，

/APB=45°,PF=MAP=2近,

：.ZBPF=ZAPB+ZAPF=450+45°=90°,

在RtZ\P3尸中，PB=4,PF=2如,

由勾股定理得W3=JPB2+PF2=M16+8=2遍,

:.PD=2娓,

故答案為：2v

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)

邊相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段所夾的角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；也考查了正方

形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理.

19.(婺城區(qū)校級(jí)期末)如圖，點(diǎn)A是無軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在y軸上，以AC為對(duì)角線畫正方形ABCD,

已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是C(0,4),設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(”，0).

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，正方形ABCD的邊長(zhǎng)

(2)連接0。，當(dāng)。。=加時(shí)，n=2或6.

【分析】(1)在Rt^AOC中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后再求得正方形的邊長(zhǎng)即可；

(2)先求得。。與y軸的夾角為45°,然后依據(jù)0。的長(zhǎng)，可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，過點(diǎn)。作。M_Ly

軸，￡W_Lx軸，接下來，再證明△DN4四△DWC,從而可得到CM=AN,從而可得到點(diǎn)A的坐

標(biāo).

【解答】解：⑴當(dāng)〃=2時(shí)，04=2,

在Rt/XCOA中，AC2=CO2+AO2=20.

?.NBCD為正方形，

：.AB=CB.

：.AC2=AB2+CB2=2AB2=20,

.,.AB—yflQ.

故答案為：VTo.

(2)如圖所示：過點(diǎn)。作OM_Ly軸，0MLx軸.

，A、B、C、。四點(diǎn)共圓，/D4c=45

又：NCOA=90°,

...點(diǎn)。也在這個(gè)圓上，

：.ZCOD=ZCAD=45°.

又?：0D=近,

：.DN=DM=1.

：.D(-1,1).

在和RtZXDMC中，DC=AD,DM=DN,

：./\DNA^/\DMC.

：.CM=AN=OC-M0=3.

■:D(-1,1),

???A(2,0).

n—2.

如下圖所示：過點(diǎn)。作軸，￡W_Lx軸.

為正方形，

；.A、B、C、。四點(diǎn)共圓，ZDAC=45°.

又：/COA=90°,

...點(diǎn)。也在這個(gè)圓上，

ZAOD=ZACD=45°.

又<OD=?

：.DN^DM=1.

：.D(1,-1).

同理：XDNA/[\DMC,則AN=CM=5.

：.OA=ON+AN=1+5=6.

/.A(6,0).

??72—■6.

綜上所述，〃的值為2或6.

故答案為：2或6.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是正方形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、四點(diǎn)共圓，證得0。與兩坐標(biāo)

軸的夾角為45°是解題的關(guān)鍵.

20.(金牛區(qū)期末)如圖，在正方形ABCD中，AB=6,E為CD上一動(dòng)點(diǎn)，A或BD于F,過尸作尸H

_LAE交BC于點(diǎn)7/,過H作HG_L8￡)于G,連接AH.在以下四個(gè)結(jié)論中：?AF=HE-,②NHAE

=45°；③bC=2&；④的周長(zhǎng)為12.其中正確的結(jié)論有②④.

【分析】①作輔助線，延長(zhǎng)HF交AD于點(diǎn)L連接CK通過證明△A?！鰿DF,可得：AF=

CF,故需證明尸C=FH,可證：AF=FH；

②由FH_LAE,AF=FH,可得：NH4E=45°；

③B是動(dòng)點(diǎn)，CF的長(zhǎng)度不是定值；

④作輔助線，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)使AD=￡)M,過點(diǎn)C作C〃/HL,則〃=HC,可證再根

據(jù)AMEC0AMIC,可證：CE=IM,故△(7比/的周長(zhǎng)為邊AM的長(zhǎng)，為定值.

【解答】解：①連接BC,延長(zhǎng)印咬AD于點(diǎn)L

為正方形ABC￡＞的對(duì)角線，

AZADB=ZCDF=45°.

,：AD^CD,DF=DF,

：.AADF^ACDF(SAS).

：.FC^AF,ZECF^ZDAF.

'：ZALH+ZLAF^90°,

：.ZLHC+ZDAF=90a.

,：/ECF=ZDAF,

ZFHC=ZFCH,

：.FH=FC.

：.FH=AF.故①錯(cuò)誤，

@'：FHLAE,FH=AF,

：.ZHAE=45°.

③?.?尸是動(dòng)點(diǎn)，b的長(zhǎng)度不是定值，本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

④延長(zhǎng)A￡＞至點(diǎn)M,使AZ)=DM,過點(diǎn)C作C/〃乩，貝1］：LI=HC,

根據(jù)△MECg△(7/〃，可得：CE=IM,

同理，可得：AL=HE,

：.HE+HC+EC^AL+LI+IM=AM^12.

.?.△CER的周長(zhǎng)為12,為定值.

解法二：延長(zhǎng)CB到T,使得BT=DE,則△ADE絲/XABT,

想辦法證明/△AHT,可得EH=HT,推出的周長(zhǎng)=Ea+C"+EC=7/aCH