課下鞏固精練卷(六十)空間距離及立體幾何中的探索性問題1．(2024·全國甲卷)如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點的五面體中，四邊形ABCD與四邊形ADEF均為等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD＝4，AB＝BC＝EF＝2，ED＝10，F(xiàn)B＝23，M為AD(1)證明：BM∥平面CDE；(2)求點M到ABF的距離．解：(1)因為BC∥AD，BC＝2，AD＝4，M為AD的中點，所以BC∥MD，BC＝MD，所以四邊形BCDM為平行四邊形，則BM∥CD，又因為BM?平面CDE，CD?平面CDE，所以BM∥平面CDE.(2)如圖所示，作BO⊥AD交AD于O，連接OF，因為四邊形ABCD為等腰梯形，BC∥AD，AD＝4，AB＝BC＝2，所以CD＝2，則BM＝CD＝2，又AM＝2，所以△ABM為等邊三角形，O為AM中點，所以OB＝3，又因為四邊形ADEF為等腰梯形，M為AD中點，所以EF＝MD，EF∥MD，所以四邊形EFMD為平行四邊形，F(xiàn)M＝ED＝AF，所以△AFM為等腰三角形，△ABM與△AFM底邊上中點O重合，OF⊥AM，OF＝AF因為OB2＋OF2＝BF2，所以OB⊥OF，所以OB，OD，OF互相垂直，由等體積法可得VM-ABF＝VF-ABM＝13S△ABM·FO＝1由cos∠FAB＝FA2+AB2所以S△FAB＝12FA·AB·sin∠FAB＝1設點M到FAB的距離為d，則VM-FAB＝VF-ABM＝13·S△FAB·d＝1解得d＝61313，即點M到ABF的距離為2．已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，E，F(xiàn)分別是棱C1C，BC的中點．(1)求證：B1F⊥平面AEF；(2)求點A1到直線B1E的距離．解：(1)證明：∵三棱柱ABC-A1B1C1的側棱垂直于底面，∠BAC＝90°，∴以A為坐標原點，以AB，AC，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，∵AB＝AC＝AA1＝1，E，F(xiàn)分別是棱C1C，BC的中點，∴A(0，0，0)，B1(1，0，1)，E0，1，∵B1∴B1F⊥AE，∴B1F⊥AE，B1F⊥AF，∵AE∩AF＝A，AE，AF?平面AEF，∴B1F⊥平面AEF.(2)方法一∵A1(0，0，1)，∴A1又B1∴點A1到直線B1E的距離d＝A1方法二∵A1(0，0，1)，∴A1B1∴cos〈A1B1∴sin〈A1B1故點A1到直線B1E的距離為d＝|A1B3．如圖1，在菱形ABCD中，∠B＝60°，BE＝EC＝1.沿著AE將△BAE折起到△B′AE，使得∠DAB′＝90°，如圖2所示．(1)求異面直線AB′與CD所成角的余弦值；(2)求異面直線AB′與CD之間的距離．解：(1)在菱形ABCD中，∠B＝60°，BE＝EC＝1，由余弦定理得AE2＝AB2＋BE2－2AB·BE·cos60°＝3，所以AE＝3，所以BE2＋AE2＝AB2，即AE⊥BC，又AD∥BC，所以AE⊥AD，在圖2中，∠DAB′＝90°，即AD⊥AB′，又AB′∩AE＝A，AB′，AE?平面AB′E，所以AD⊥平面AB′E，即EC⊥平面AB′E，又B′E?平面AB′E，所以B′E⊥EC，如圖，以E為原點，以EC，EA，EB′所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則E(0，0，0)，C(1，0，0)，D2，3，0，B所以AB'＝0，故cos〈AB則異面直線AB′與CD所成角的余弦值為34(2)由(1)得AC＝1，設m＝(x，y，z)是異面直線AB′與CD公垂線的方向向量，所以AB'令y＝1，則m＝?3所以異面直線AB′與CD之間的距離為AC·4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.(1)求證：PD⊥平面PAB；(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在點M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP解：(1)證明：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，∴AB⊥平面PAD.∵PD?平面PAD，∴AB⊥PD.又PA⊥PD，PA∩AB＝A，PA，AB?平面PAB，∴PD⊥平面PAB.(2)取AD中點O，連接CO，PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD.又∵PO?平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD.∵CO?平面ABCD，∴PO⊥CO.∵AC＝CD，∴CO⊥AD.以O為原點建立如圖所示空間直角坐標系，易知P(0，0，1)，B(1，1，0)，D(0，－1，0)，C(2，0，0)．則PB＝(1，1，－1)，PD＝(0，－1，－1)，PC＝(2，0，－1)，CD＝(－2，－1，0)．設n＝(x0，y0，1)為平面PDC的一個法向量，由n·PD解得y0＝?1，x0設PB與平面PCD的所成角為θ，則sinθ＝cos〈n，∴直線PB與平面PCD所成角的正弦值為33(3)假設存在，設M是棱PA上一點，則存在λ∈[0，1]