6.4隨機變量的數(shù)字特征教學(xué)目標： 會計算簡單的連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差；教學(xué)重點： 連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差教學(xué)難點： 方差授課時數(shù)：2課時教學(xué)過程過程備注觀察在實際應(yīng)用中，為了描述一組數(shù)據(jù)的大致情況，我們經(jīng)常使用“平均值”的概念．例如，一批鋼筋共有10根，它們的抗拉強度指標分別為：110，120，120，125，125，125，130，130，135，140，則它們的平均抗拉強度指標為．講授5′新知識將這種計算平均值的方法一般化，得到如下數(shù)學(xué)期望（均值）的定義．設(shè)離散性隨機變量的概率分布為，則隨機變量的所有可能取值與其相應(yīng)的概率的乘積之和，叫做離散性隨機變量的數(shù)學(xué)期望，簡稱期望（或均值），記作．即．(6.23)(2)設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為，若積分收斂，則稱積分的值為連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望，即．(6.24)講授15′知識鞏固例1求0—1分布隨機變量的數(shù)學(xué)期望．解隨機變量的概率分布為01 則．例2設(shè)服從上的均勻分布，求．解的概率密度為則．學(xué)生自主完成30′新知識常見隨機變量的數(shù)學(xué)期望如下表，讀者可以自行驗證．隨機變量分布數(shù)學(xué)期望離散型隨機變量（0—1）p連續(xù)性隨機變量35′2．數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)新知識可以證明（證明略）數(shù)學(xué)期望具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1設(shè)為常數(shù)，則．性質(zhì)2，其中為常數(shù)．性質(zhì)3設(shè)是兩個隨機變量，則有．性質(zhì)3對個隨機變量的和仍然成立．即．講授40′知識鞏固例3據(jù)統(tǒng)計，一位40歲的健康（一般體檢未發(fā)現(xiàn)病癥）人，在五年之內(nèi)仍然活著的概率為（，為已知），在五年內(nèi)死亡（非自殺死亡）的概率為．保險公司開辦五年期人壽保險，條件是參加者需交保險費元，若五年之內(nèi)死亡，公司賠償元（），那么應(yīng)如何定值才能使公司可能獲益．若有人參加保險，公司可能從中收益多少？解設(shè)隨機變量表示公司從一個參加者身上所得收益，則（0—1），其概率分布為：公司可能獲益為，而．所以應(yīng)滿足才能使公司獲益，若有個人參加保險，則．學(xué)生自主完成50′4.4.2隨機變量的方差1．方差的定義探究數(shù)學(xué)期望描述了隨機變量取值的集中趨勢．但僅靠這個特征來描述隨機變量一般是不夠的．例如，現(xiàn)有兩批鋼筋，每批各10根，它們的抗拉強度指標分別為：第一批：110，120，120，125，125，125，130，130，135，140第二批：90，100，120，125，125，130，135，145，145，145這兩批鋼筋的抗拉強度指標的平均值都是126．但使用鋼筋時，一般要求抗拉強度指標不低于一個指定的值，例如115，那么第二批鋼筋的諸抗拉強度指標，由于與平均值偏差較大，即取值比較分散，所以它們中間盡管有幾根抗拉強度指標很大，但是不合格的根數(shù)比第一批多．從實用價值看，可以認為第二批的質(zhì)量比第一批差．由上例子可以看出，衡量各指標值與平均值的偏離程度是一個很重要的數(shù)量特征，為此引入方差的概念．講授55′新知識設(shè)是一個隨機變量，若存在，則叫做隨機變量的方差，記作，即(6.25)稱方差的算術(shù)平方根為隨機變量的標準差．(1)當為離散型隨機變量時，其概率分布為，則(6.26)(2)當為連續(xù)型隨機變量，其概率密度為時，(6.27)由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可得方差的如下計算公式：(6.28)事實上，方差刻劃了隨機變量的取值對于其數(shù)學(xué)期望的離散程度．若的取值比較集中，則方差較??；若的取值比較分散，則方差較大．2．方差的性質(zhì)可以證明（證明略）方差具有如下性質(zhì)：性質(zhì)1（是任意常數(shù)）．性質(zhì)2（是任意常數(shù)）．性質(zhì)3（是任意常數(shù)）．性質(zhì)4若相互獨立（即對任意實數(shù)，有），則．性質(zhì)4對個相互獨立的隨機變量（即它們?nèi)≈禃r互不影響）的和仍成立，即．性質(zhì)5的充分必要條件是：．講授70′知識鞏固例4設(shè)服從（0—1）分布，其概率分布為01求．解由例1知，，又，故．其中．學(xué)生自主完成80′新知識常見的隨機變量的方差如下表，讀者可以自行驗證．隨機變量分布方差離散型隨機變量（0—1）