2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圖形的變換》專項(xiàng)檢測卷帶有答案

學(xué)校:姓名：班級：考號：

1.如圖①，有一張平行四邊形紙片，將紙片沿著對角線剪開，形成兩個(gè)全等的三角形，

ZA=100°,ZACB=60°,AC=4cm,BC=10cm.如圖②，將ADBC沿著3C的方向以每秒2cm的速度

平移得到△￡(尸石；設(shè)運(yùn)動時(shí)間為1秒，連接ARDC.

圖①圖②

(1)四邊形的形狀為「

⑵當(dāng)才為何值時(shí)，四邊形AFDC是菱形？請說明你的理由；

⑶四邊形能是矩形嗎？若能，求出力的值及此時(shí)矩形的面積；若不能，說明理由.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)三角形系中，三角形A3C的頂點(diǎn)在網(wǎng)格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(-2,5).若把三角形MC先向下平移3個(gè)單位長度，再右平移2個(gè)單位長度，得到三角

⑴寫出點(diǎn)5的坐標(biāo)并求出三角形A5C的面積；

(2)在圖中畫出三角形A瓦G并寫出A出C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

⑶若三角形ABC上有一點(diǎn)/(s〃)，求”點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)監(jiān)的坐標(biāo).

3.如圖，將VABC延射線A8的方向平移2個(gè)單位到山砂的位置，點(diǎn)A,BC的對應(yīng)點(diǎn)分

別為點(diǎn)DE,F.

⑴直接寫出圖中與AB相等的線段.

(2)若M=3,則AE等于.

⑶若-4BC等于75。，求/CFE的度數(shù).

4.如圖，VABC是等腰三角形，AB=AC,ZA=36。.以點(diǎn)5為圓心，任意長為半徑作弧，

交A5于點(diǎn)尸，交8C于點(diǎn)G分別以點(diǎn)尸和點(diǎn)G為圓心，大于;尸G的長為半徑作弧，兩弧

相交于點(diǎn)”，作射線9/交AC于點(diǎn)。；分別以點(diǎn)5和點(diǎn)。為圓心，大于:物的長為半徑

作弧，兩弧相交于"、N兩點(diǎn)，作直線MN交于點(diǎn)E,連接￡>E.

(2)若AC=2,求BC的長.

5.如圖，VABC和ADCE都是等腰直角三角形，其中N3G4=NDCE=90。.

(2汝口圖2,將△DCE繞著。點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定度數(shù)，則(1)中結(jié)論還成立嗎？請說明

理由.

6.在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。為直線AC上一點(diǎn)，連接

⑴如圖1,點(diǎn)。在線段AC上，點(diǎn)E在線段加上，若BC=6,AD=BE=26,分別過點(diǎn)B作出)

的垂線、點(diǎn)E作的垂線交于點(diǎn)歹，連接加，求DF的長；

(2)如圖2,點(diǎn)。在AC延長線上，G為AC邊上一點(diǎn)，連接8G,作的，3G交班延長線于

點(diǎn)、H,作GU即于點(diǎn)/.若8C平分ZD8G,BG=AD,猜想線段以與AH之間的數(shù)量關(guān)系，

并證明你的猜想；

(3)如圖3,在(1)的條件下，點(diǎn)M為直線A3下方一點(diǎn)，連接收，8M，點(diǎn)尸在線段.

上，且AP=〉M,連接加，將線段加繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段叱，連接DP,

4MB=90。，直接寫出線段DP的長度的最小值.

7.四月陽光明媚，正是草莓成熟時(shí).人們走進(jìn)草莓園；采摘鮮紅欲滴的草莓，品嘗春

天的甜蜜滋味，樂趣無窮.清明假期小依一家去某草莓采摘基地游玩，該基地里，同

一平面內(nèi)五處景點(diǎn)的道路分布如圖所示.經(jīng)測量，景點(diǎn)2在景點(diǎn)A的正南方向，且位于

景點(diǎn)c的北偏西60。方向，％=1000米；景點(diǎn)。在景點(diǎn)c的正東方向500米處，且在景點(diǎn)A

的東南方向；景點(diǎn)E在景點(diǎn)。的正北方向，且在景點(diǎn)A的北偏東75。方向.(參考數(shù)據(jù)：

y/2?1.419\/3?1.73)

⑴求景點(diǎn)A、。之間的距離（結(jié)果保留根號）；

（2）爸爸和小依同時(shí)從景點(diǎn)A出發(fā)，爸爸沿A-B-C-D路線步行到景點(diǎn)。處，小依沿

A-E-D路線步行到景點(diǎn)。處.已知爸爸的步行速度為60米/分，小依的步行速度為90

米/分，請通過計(jì)算說明小依和爸爸誰先到達(dá)景點(diǎn)。？（結(jié)果精確到01分）.

8.如圖，VABC內(nèi)接于。。，作AO于D,與0。交于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在04的延長線上，使

^ZFCA=ZABC=a.

⑴求證：W是0。的切線；

⑵若tana="BE=8,求°。的半徑長.

9.【問題背景】如圖1,正方形鉆8的邊長為8,E是正方形內(nèi)一點(diǎn)，△母是直角三角

形，ZAEB=90°,把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。到A4DE,連接跖交AD于點(diǎn)。，連接DE.

（圖1）（圖2）

【初步感知】（1）求證：AE||DF；

【研究感悟】（2）求線段在長度的最小值；

【深度探索】（3）在線段上截取AG=OD,連接OG,如圖2所示，若ZABE=30。，求線

段OG的長.

10.如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,若sinB=羋，BC=45.

⑴求AB的長.

（2）若C。是斜邊上的中線，求tan/CDB的值.

H.如圖1,已知正方形"8邊長為4,點(diǎn)E、點(diǎn)廠分別是邊AB,BC上的動點(diǎn)，且AE=3尸,

連接用，過點(diǎn)尸作FGL防交。邊于點(diǎn)G,連接EG,設(shè)EG=m.

（1）①猜想AEPG的形狀并證明；

②取EG中點(diǎn)0,連接OA,則OA=_;AFGC的面積=_;（用含機(jī)的代數(shù)式表示）

（2）如圖2,在EG上方作等邊AEMG,ME,MG分別交AD邊于點(diǎn)尸，Q,且點(diǎn)M始終處在

兩平行直線8之間的區(qū)域內(nèi)，

①直接寫出機(jī)的范圍」

②計(jì)算士+與的值?（結(jié)果用含機(jī)的代數(shù)式表示）

12.閱讀材料，并解決問題:

A

【思維指引】（1）如圖1等邊VA2C內(nèi)有一點(diǎn)P,若點(diǎn)尸到頂點(diǎn)4、B、。的距離分別為

3,4,5,求上4尸3的度數(shù).

解決此題，我們可以將AMP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP處，此時(shí)AACP絲AABP,連接PP,借

助旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以推導(dǎo)出人巴/爐是_____三角形；這樣利用旋轉(zhuǎn)變換，我們將三條線段

PA、PRPC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出皿8=。；

【知識遷移】（2）如圖2,在VA5C中，ZCAB=90°,AB=AC,E、尸為BC上的點(diǎn)且ZE4F=45。，

請判斷防，BE,用的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【方法推廣】（3）如圖3,在VABC中，ZABC=30。，AB=2,BC=3,點(diǎn)尸為VA2C內(nèi)一點(diǎn)，

連接尸A、PB、PC,直接寫出PA+0PB+PC的最小值.

13.【問題情境】如圖1,點(diǎn)E為正方形內(nèi)一點(diǎn)，AE=2,BE=4,ZAEB=90°,將直

角三角形叱繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)a度（0<?<180°）,點(diǎn)B,E的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)9，

E,.

【問題解決】

（1）如圖2,在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)9落在了AC上，此時(shí)CE的長為；

（2）若戊=90。，如圖3,得到“DE（此時(shí)9與。重合），延長晶交DE于點(diǎn)尸.

①試判斷四邊形但右的形狀，并說明理由；

②連接CE,求CE的長；

(3)在直角三角形ME繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)過程中，線段匿，長度的最小值為,

最大值為.

14.綜合與探究

問題情境：

矩形小8中，AB=3IC=4,N3AC的平分線交BC于點(diǎn)爪將AABE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得

到△FGE點(diǎn)A,5的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)尸，G(點(diǎn)G與點(diǎn)5不重合).

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)尸在邊上時(shí)，求證：ZAEF=2ZBAE-

⑵如圖2,當(dāng)點(diǎn)G在線段AE上時(shí)，連接"，CF,求四邊形的面積;

(3)當(dāng)點(diǎn)G在矩形鉆8的對角線上時(shí)，連接枕，直接寫出“'的長.

15.如圖1,A3是。。的直徑，弦CDLAB于點(diǎn)反尸是AO上的一個(gè)動點(diǎn)，連接AC、AF、CF.

圖1圖2

(1)求證：ZACD=ZAFC.

(2汝口圖2,若CT與的交點(diǎn)G為線段OE的中點(diǎn)，DG//CB,CD=4非，求線段AC的長.

(3)如圖3,a的延長線交AB的延長線于點(diǎn)H.求證：OB-=OGOH.

參考答案

L(1)平行四邊形

(2)r=3,見解析

(3)能，f=l,面積為16病n?

【分析】(I)根據(jù)平移和平行四邊形ABAC的性質(zhì)證明AC=Z)尸，AC//DF,即可求證；

(2)當(dāng)"3秒時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和判定，即可得出四邊形A陽C是菱形；

(3)根據(jù)矩形的性質(zhì)可得NG4F=900<NG4B=100。，ZAFC=30°,在根據(jù)含30。的直角三角形

可得FC=8cm,再根據(jù)勾股定理可得■=而=1/=4百，BF=BC-FC=2cm,從而得出

S矩形AFDC=AC,A尸.

【詳解】(1)證明：:平行四邊形的C,

AB=CD,DB=AC,AC//BD,

ZACB=ZDBC,

根據(jù)平移的性質(zhì)得到：BD=DF,ZDFE=ZDBC,

/.AC=DF9ZACB=ZDFE9

AC//DF9

四邊形人尸。。是平行四邊形；

(2)解：當(dāng)"3秒時(shí)，四邊形”是菱形.

t=3,

BF=3x2=6cm,

/.CF=BC-BF=10-6=4cm,

VAC=4cm,ZACB=60°

??AAC尸是等邊二角形,

/.AC=AF,

丁四邊形AFDC是平行四邊形，

四邊形4陽。是菱形.

(3)解：能.,.ZAFDC是矩形，ZACB=60°,

ZCAF=900<ZCAB=100°,ZAFC=30°,

*.*AC=4cm,

?1FC=8cm,

AF=力FC，-AC，=4A/3,

I.BF=BC-FC=2cm,

即當(dāng)年1四邊形"DC是矩形，

2

^AFDC=AC-AF=4x4A/3=16V3cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，平移和全等三角形的性質(zhì)，勾股定

理，含30。的直角三角形，平行四邊形，矩形和菱形的性質(zhì)和判定，熟練掌握以上知識

是解題的關(guān)鍵.

2.⑴(TO);13

(2)圖見解析,4(0,2),男(-2,-3),6(4,—1)

(3)(m+2,?-3)

【分析】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)與圖形變化一平移，正確根據(jù)平移方式得

到A，昂C三點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置，可得點(diǎn)5坐標(biāo)，再利用割補(bǔ)法求出對應(yīng)三角形面積計(jì)算；

(2)根據(jù)平移方式得到三點(diǎn)的坐標(biāo)，描出4耳6,并順次連接A，昂G即可；

(3)根據(jù)“上加下減，左減右加”的平移規(guī)律求解即可.

【詳解】(1)解：由題意得，點(diǎn)5的坐標(biāo)為(TO),

S=6x5—x2x5—x3x4—x2x6=13?

△ABC222，

（2）解：,把三角形ABC先向下平移3個(gè)單位長度，再右平移2個(gè)單位長度，得到三

角形A與G,A（-2,5）,3（Y,0）,C（2,2）,

（0,2）,4（-2,-3）,Q（4,-l）,

如圖所示，三角形A4G即為所求；

（3）解：解：?..把三角形ABC先向下平移3個(gè)單位長度，再右平移2個(gè)單位長度，得

到三角形A4G,"（〃▽）為三角形ABC上一點(diǎn)，

???加點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)叫的坐標(biāo)為（〃?+2,”-3）.

3.⑴OE

（2）5

（3）ZCFE=105°

【分析】此題主要考查了平移變換，平行線的性質(zhì)，正確應(yīng)用平移的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

（1）直接利用平移的性質(zhì)得出相等線段；

（2）直接平移的性質(zhì)得出班的長，進(jìn)而得出答案；

（3）由平移變換的性質(zhì)得：BC//EF,AE//CF,再根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到NCFE

的度數(shù).

【詳解】（1）解：與血相等的線段有：DE；

(2)-.-AB=3,將AABC沿射線A3的方向平移2個(gè)單位到戶的位置，

/.BE=2,

貝ljAE=3E+AB=5.

故答案為：5；

(3),由平移變換的性質(zhì)得：BC//EF,AE//CF,

:.ZE=ZABC=15°,

.?.NCFE+/E=180。，

ZCFE=105°.

4.⑴見解析

(2)石-1

【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，尺規(guī)作圖，

三角形內(nèi)角和等知識點(diǎn)，熟練掌握各知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

(1)由作圖知，8。平分/ABC,MN垂直平分根據(jù)角平分線和等邊對等角，進(jìn)一步

證明。石〃BC,即可；

(2)證明AD=8D=3C,再由△CBD26B,列出比例式解方程即可.

【詳解】(1)證明：:VABC中，AB=AC,ZA=36。，

/.ZABC=ZC=1(180°-ZA)=72°,

由作圖知，此平分/ABC,MN垂直平分BD,

/.ZABD=ZCBD=-ZABC=36°,EB=ED,

2

ZEBD=ZEDB,

I.ZEDB=ZCBD,

DE//BC,

..ZAED=ZABC；

（2）解：由（1）得ZABD=ZA=36。，

/.BD=AD，

ZBDC=ZA+ZABD=72°,

由（1）得NC=72。,

ZBDC=ZC9

/.BD=BC,

/.AD=BD=BC,

?/ZC=ZC,ZCBD=ZA=36°,

/.ZSCBD^公CAB,

?CBCD

**CA-cF?

?CB2-BC

?*~2~CB'

解得：8C=世-1或3C=-石-1（舍）.

5.（1）BE=AD,BELAD

（2）仍然成立，見解析

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理證明

RbBCE絲RQACD（SAS）,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

（2）證明RtABCE絲Rt"CD（SAS）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明即可.

【詳解】（1）證明：BE=AD,BE,AD.證明如下：

***AE_LBC,AC=BC,CD=CE,

ZBCE=ZACD=90°,

CE=CD

\9lZBCE=ZACD=90°

BC=AC

RtABCE^RtAACD（SAS）,

A

BE=AD,/CBE=/CAD,

延長篦交AD于點(diǎn)M,

/BCE=90。,

/.ZCBE+ZBEC=90°,

/.ZCBE+ZAEM=90°,

/.AEAM+AAEM=90°,

/.Z￡M4=90°,

/.AD.LBE,

^CAD=BE,ADLBE.

(2)證明：仍然成立.證明如下:

*.*AE_LBC,AC=BC,CD=CE,

/.ZBCA=ZDCE=90°,

/.ZBCN+ZACE=NDCE+ZACE,

ZBCE=ZACD,

BC=AC

[/BCE=NACD

CE=CD

：.Rt^BCE咨RQACD(SAS),

BE=AD,Z.CBE=ACAD,

設(shè)房交AC于點(diǎn)M交于點(diǎn)尸,

,/N3c4=90。,

ZCBE+ZBNC=90°,

NCBE+ZANF=90。，

'：NCBE=NCAD,

ZCAD+ZANF=90°,

：.ZAFN=90°,

BEVAD,

故3E=A￡＞,BE工AD.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，對等角相等，

垂直的定義，等量代換思想，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.⑴。尸=2萬；

⑵BI=2AH；證明見解析

(3)線段的長度的最小值為用-行.

【分析】⑴證明△FBEdBZM(ASA),再利用勾股定理求解即可；

(2)作于點(diǎn)E,連接A/,l^ZGBC=ZDBC=x,求得ZD=ZACB-4?。=45。-%,證明

△BAG絲AD￡A(AAS),得至l」AE=AG,再證明ZABE=ZW=45。+%,證得AAEB-G4H(AAS),推出

BE=AH,證得四邊形AB/G內(nèi)接于圓，求得BE=EI,即可得到由=24/；

(3)連接分，取A￡＞的中點(diǎn)。，連接。尸，BO,利用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，證明

△ABNsAIMP,推出ZAPD=ZM=90。，得到點(diǎn)尸在以A￡＞為直徑的圓。上，將線段8。繞點(diǎn)3順

時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BT,連接T。，得到APB。四推出TP=OP=V?，點(diǎn)P在以T為

圓心，血為半徑的圓T上，當(dāng)。、P、T共線時(shí)，線段。尸，的長度取最小值，最小值為

證明點(diǎn)。、B、八C四點(diǎn)共圓，求得NTCO=180'NOBT=90。，據(jù)此計(jì)算即可求解.

【詳解】(1)解：vZBAC=90°,AB=AC,BC=6,

AB=AC^BC-sin45°=3A/2,

AD=BE=2V2,

.*?BD=A/AB2+AD2=V26，

,:EFLAB,BFYBD,

NFBD=/FEB=ZA=9O。,

Z.FBE=90°-ZABD=ABDA,

/.AFBE^ABZM(ASA),

/.BF=BD=y/26,

DF=?BD=2V13;

(2)解：B/=2AH；理由如下,

作AELBD于點(diǎn)E,連接卸，

,/BC平分ZDBG,

設(shè)ZGBC=ZDBC=x,

VZBAC=90°,AB=AC,

ZABC=ZACB=45°,

ZABG=45°-x,ND=ZACB—NDBC=45°-x,

貝IZABG=ND,

.ZBAG=ZDEA=90°,BG=AD,

.ABAG^AT>E4（AAS）,

??AE=AG,

GH±BG,ZABG=45°-x9

/.”=90。-（45。-％）=45。+%,

*/ZABE=ZABC-^ZDBC=45o+x,

:?ZABE=ZH=45°-^x,

*/ZAEB=ZGAH=90°,AE=AG,

/.AAEB^AG4H（AAS）,

1?BE=AH,

*/ZBAG=ZBIG=90°,

???四邊形AB/G內(nèi)接于圓，

ZAffi=ZAGS=45°+x,

1?ZAIB=ZABI=45o-^x,

/.AB=AI

*/AE±BI,

BE=EI,

1?BI=2AH；

（3）解：連接。P,取AD的中點(diǎn)。，連接OP,BO,

VAD=242,AB=3V2,

.AD_2

**U-3?

?/AP=-BM,

3

?A—/

**3,

?APAD_2

??加—AB-3'

「ZBAD=ZM=90°,

..ZABM=90°-ZBAM=ZDAP,

??AABMsADAP,

，ZAPD=ZM=90°9

???點(diǎn)尸在以AO為直徑的圓。上，止匕時(shí)，OA=OD=OP=①，

將線段8。繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段BT,連接T。，則△。酎是等腰直角三角形,

???線段旅繞點(diǎn)3順時(shí)針旋轉(zhuǎn)9。。得到線段叱,

/.BP=BP',BO=BT,NPBO=ZP'BT=90°一NOBP',

：.^PBO^^P'BT,

TF=OP=近,

J點(diǎn)戶在以T為圓心，及為半徑的圓T上，

當(dāng)“P、T共線時(shí)，線段DP的長度取最小值，最小值為。7-血,

???△。川是等腰直角三角形，

ZBTO=Z.BCO=45°,Z.OBT=90°,

.,.點(diǎn)。、B、T、C四點(diǎn)共圓，

I.ZTCO=180°-ZOBT=90°,

?AB=3\/2，AO=-s/2,

?*-BO=^IAB^AO1=275，

???△。/是等腰直角三角形，

OT=同。=2M,

OC=3A/2-A/2=2N^,

.*?CT=^OT--OC~=4A/2,

DT=y/cD2+CT2=A/34，

J線段。尸’的長度的最小值為庖-8.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性

質(zhì)，勾股定理，二次根式的混合運(yùn)算，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，

解直角三角形.正確引出輔助線解決問題是解題的關(guān)鍵.

7.(1)(500^+50072)^

(2)小依先到達(dá)景點(diǎn)D

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，理解題意，構(gòu)造直角三角形是解答的關(guān)鍵.

(1)延長AB、OC交于點(diǎn)O,在RCOBC和Rt-OD中，解直角三角形求解即可；

(2)過石作跖工于尸，設(shè)AF=x,在Rtz\￡AF中，AE=2AF=2x,EF=6AF=&,在RtAEFD

中，DF=EF=y(3x,DE=6EF=&,由U>=AF+D/列方程求得x=5OO0,進(jìn)而可求得兩人

的路程和，求出兩人所用時(shí)間即可求解.

【詳解】(1)解：延長AB、DC交于點(diǎn)O,

由題意，/。=90。，ZOAD=45°,ZBCO=3Q°,3c=1000米，CD=500米

在RCO3C中，08=；8C=500米，OC=3BC=5006米，

22

/.OD=OC+CD=^500y/3+500)米，

在RtAAOD中，AD=-J2OD=(500A/6+50072),

答:景點(diǎn)A、。之間的距離為(500#+500忘)米；

西旺》東

(2)解：過石作跖工也于尸，

由題意，ZE4F=180°-45°-75°=60°,ZEDF=ZOAD=45°,

設(shè)AE=x,

在Rt^E4F中，AE=2AF=2x,EF=y/3AF=y/3x,

在RtAEFD中,DF=EF=y/3x,DE=6EF=&,

AD=AF+DF=x+y/3x=500^+500y/2解■得x=500亞，

AE=1000應(yīng)米，DE=1000相米,

'：0A=OD=(5006+500)米，03=500米，

/.AB=OA-OB=500y/3^：,

：.爸爸所用時(shí)間為(500g+1000+500)^60?39.4(分)，

小依所用時(shí)間為(100。直+1。004b90x34.9(分)，

,/39.4>34.9,

；?小依先到達(dá)景點(diǎn)D.

8.⑴見詳解

（2）5

【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得ZAOC=2/ABC=2o,結(jié)合三角形內(nèi)角和性質(zhì)得

ZACO=ZCAO=90°-a,因?yàn)镹FOl=ZABC=a,ZFCO=ZFCA+ZACO=90°,進(jìn)行作答即可.

（2）先整理得tanZABC=^=:,再根據(jù)垂徑定理以及圓周角定理得4。。=乙甌=°,則

UD4

tanZCED=^1=1,證明AWCs△如石，得會=累，代入數(shù)值得AC=6,AG=|AC=3,最后

Ukj4nrSUDZ

在RtAAGO中，AO=A/G42+OG2=5.

【詳解】（1）解：連接COM。，如圖所示:

?AC=AC

：.ZAOC=2ZABC=2a,

,/CO=AO,

二?ZACO=ZCAO=|x(180°-2cr)=90°-?,

ZFCA=ZABC=a,

ZFCO=ZFCA+ZACO=a^-90o-a=90°,

:。。是半徑，

廠是。。的切線；

3

(2)解：VAD±CB,tana=-,ZABC=a,

.?.在中，tanZABC=^=』，

DB4

連接CO,AO,取AC的中點(diǎn)Q,連接。。交AC于一點(diǎn)G,如圖所示:

1

E

:點(diǎn)。是AC的中點(diǎn),

OQLAC,AQ=QC,AG=^AC,ZAOQ=^ZAOC

,**AC=ACJ

二?ZABC=^ZAOC9

/.ZAOQ=ZABC=a,

?AB=AB，

ZACB=ZAEB,

*/AD±CB,

/.ZADC=ZBDE,

/.AADCs^BDE,

.ACAD

??BE-DB'

??AD_3

?~DB~\，

.AC_3

??前一"

?AJ3

AC=69

則AG=；AC=3,

*/ZAOQ=a

Arz3

貝ljtanNA0Q=3^=z

OG=4

在RtAAGO中，AO=A/G42+OG2=5.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)計(jì)算，圓周

角定理，垂徑定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，難度較大，綜合性較強(qiáng)，正確掌握相

關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

9.（1）見解析；（2）4^5-4；（3）8A/3-8

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓周角定理，點(diǎn)到圓的距離，相似三角形的判定和

性質(zhì)，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得ZAFD+NEAF=180。，即可解答；

（2）利用定弦定角可得E在以秒為直徑的圓"上運(yùn)動，圓心河為48的中點(diǎn)，利用顛

倒圓的距離即可解答；

（3）證明AAOESAOQP,求得40=46-4,AG=12-4A/3,再利用勾股定理即可解答.

【詳解】解：（1）ZAEB=9G°,由AABE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。知，

ZAFD=ZAEB=90°,NEAF=90°,

ZAFD+ZEAF=90°+90°=180°,

AE||DF；

（2）VZAEB=90°

在以A8為直徑的圓M上運(yùn)動，圓心加為A3的中點(diǎn)，如圖，

:.AB=8,AM=BM^EM=4,

在正方形A5CZ）中，AD=8,ZDAB=90°,連接DM

根據(jù)勾股定理可得DM=^Alf+AM2=A/82+42=4后,

???當(dāng)點(diǎn)E在線段DM上時(shí)（即。、E、V三點(diǎn)共線），DE取得最小值.

止匕時(shí)DE最小=DM-EM=4乒4；

DC

(3)由題意知，在RtA4BE中，ZABE=30°,AB=8,

:.AE=4,BE=4y/3,

由旋轉(zhuǎn)知，AF=AE=4,DF=BE=46,

由(1)知尸,

:.AAOESADOF,

.A0_AE_4_1

-'DO-DF-473'

設(shè)AO=x,則。。=AG=后,

AD=8=AO+OD,

x+y/3x-8,

x=4\/3—4,

"。=46-4,AG=12-4A/3,

在RtAAOG中，

OG=ylAO2+AG2=716(>/3-l)2+48(^-l)2=764(73-1)2=8舁8.

10.(1)5

【分析】本題考查解直角三角形，勾股定理，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，熟練掌握

解直角三角形的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

(1)由ZACB=90。，sin8=￥，得出248=百4C,再結(jié)合勾股定理及BC=行即可求解;

(2)過點(diǎn)C作CE1AB于點(diǎn)E,利用中線得")=m=8=；42=|,設(shè)DE=b,則

BE=BD-DE=^-b,利用成2=82_漬2=g2一版2,列式求解6,再求CE,即可求解.

【詳解】(1)解：:ZACB=90。，5示8=半，

..2A/5AC

??sin/D>=---=,

5AB

2AB=亞AC,

設(shè)AB=,則AC=2a,

?,BC=VAB2—AC2=a=>/5,

?.AB=#>a=5;

(2)解：如圖，過點(diǎn)C作CE1AB于點(diǎn)召,

/.AD=BD=CD=-AB=-,

22

設(shè)DE=b,則2"=2￡>-￡)￡=.-6,

CE2=CD2-DE2=BC2-BE1,

即0"=(遙)，

解得：b=[,

CE=y/CD2-DE2=2,

CE24

?tanZCDB=——=-=-

??DE)3.

2

2

11.(1)①AEFG為等腰直角三角形，證明見解析；②2及，4-g

O

11百+3

；---1---=---

(2)?4<m<~~~MPMQm

【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三

角形，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

（1）①由四邊形A2CZ）是正方形，得鈉=BC,ZABC=ZC=90°,然后證明△砌名△FCG（ASA）,

故有跖=GF,從而求證；

②連接OC,由AEBF^AFCG，貝lj防=CG,再證明△AEC>^ACGO（SAS），故有04=0C,ZAOE=ZCOG,

OA=OC,從而可得40、C三點(diǎn)共線，貝lj有OA=《AC=2應(yīng)，設(shè)/=CG=x,則CF=4-x,由

2

勾股定理得FG=CF2+CG2=（4-X）2+X2=2X2-8X+16,再根據(jù)%GC=；BxCG即可求解；

（2）①當(dāng)EG//AD時(shí)，EG有最小值，當(dāng)。與。重合時(shí)，EG有最大值，又點(diǎn)”始終處在

兩平行直線A5,8之間的區(qū)域內(nèi)，從而求出機(jī)的范圍；

②過M作肱V1AD于點(diǎn)N,通過相似三角形的判定可得AAPESJVPM,^MNQ^^GDQ,所以

含=裝，器=黑，由題意可知”在平行也得直線上運(yùn)動，且跖V=2g一2,設(shè)AE=CG=6,

則DG=44,然后代入即可求解.

【詳解】（1）解：①AEFG是等腰直角三角形，理由，

如圖,

,/四邊形是正方形,

1?AB=BC9ZABC=ZC=90°,

*/FG±EF,

ZEFG=ZABC=90°,

/.Zl+Z2=90°,N2+N3=9。。，

，N1=N3,

*/AE=BF,

AB-AE=BC-BF,

「?BE=CF,

在AEBF和AFCG中,

21=Z3

<BE=CF,

ZEBF=ZC

/.A￡BF^AFCG（ASA）,

/.EF=GF,

.?.△￡FG是等腰直角三角形;

②連接oc,

-----------------------1。

\

gl2VrT\|c

△EBF/AFCG,

：.BF=CG,

：.AE=CG,

四邊形ABC。是正方形,

/.AB//CD,

：.ZAEO=ZCGO,

?.?。為EG中點(diǎn)，

..OE=OC,

，AAEO^CGO（SAS）,

AOA=OC,ZAOE=ZCOG,OA=OC,

*/ZAOE+ZAOG=180°,

NCOG+ZAOG=180。，

。、C三點(diǎn)共線，

AC=y/AB2+BC2=742+42=4>/2，

OA=-AC=2y/2,

2

設(shè)3E=CG=x,貝!jb=4-x,

/.FG2=CF2+CG2=（4-x）2+x2=2%2-8x+16,

2FG2=EG2,

2

222

EG=2（2x-8%+16）=m,gpx^-4x=^--S,

x

SPrr=—2CFCG

=；（4-元）尤

=1（4x-x2）

2

故答案為：2a,4一9；

o

(2)解：①當(dāng)EG〃仞時(shí)，EG有最小值,

，ZE4￡)+ZAEG=180°,

，ZEAD=ZAEG=ZADG=90°,

，四邊形AEG。是矩形，

?**EG=AD=AB=4,即旭的最小值為4,

當(dāng)。與。重合時(shí)，匹有最大值，如圖,

ZBAD=ZADC=9Q0,

?二△M￡G是等邊三角形，

，EM=EG=m,ZM=60°,

/.ZMPD=ZAPE=30。，

設(shè)AE*=Q,貝|￡?=2〃,

PM=m-2a,AP=6a,

PD=4—AP=4—W,

?QAO_PD_y/3

??cos30-------——,

PM2

即土縣=立，解得：m衛(wèi)

m-2a23

丁點(diǎn)M始終處在兩平行直線A5,。之間的區(qū)域內(nèi),

「?加的范圍是4W機(jī)<當(dāng)，；

故答案為：4<m<^y^；

②如圖，過“作肱于點(diǎn)N,

^APE^ANPM,4MNQS4GDQ,

.PE_AEGQDG

''~PM"~MN,蔽一訴’

由題意可知〃在平行A。得直線上運(yùn)動，且肱V=2百一2,

設(shè)AE=CG=b,貝ljDG=4_,

.PEbGQ4-6

''PM~273-2JMQ~273-2J

.PE+PM_6+2占-2GQ+MQ_4-b+2K-2

,?PM2石-2'MQ~273-2'

.ME__6+2君-2MG_4-6+2舁2

''PM~26-2'MQ~273-2'

.mb+2A/3—2m4-6+26-2

''PM~2^-2，MQ~2A/3-2，

.J_1b+2-^3-24-6+2拓-2_4百一百+3

,,MPMQZH（2A/3-2）"2百-2）m（2^-2）加.

222

12.（1）等邊；150；（2）EF=BE+FC,理由見解析過程；（3）則

【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換前后的兩個(gè)三角形全等，全等三角形對應(yīng)邊相等，全等三

角形對應(yīng)角相等以及等邊三角形的判定和勾股定理逆定理解答；

（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CE'=BE,ZCAE'=ZBAE,ZACE'=ZB,ZEAE'=90°,再

求出/E，AF=45。，從而得到ZE4^=ZEQ,然后利用“邊角邊”證明八￡4尸和A〃AF全等，根

據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得后尸=印，再利用勾股定理列式即可得證；

(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得尸B=P3,PC=PC,由等腰直角三角形的性質(zhì)可得尸尸，=匹尸3,即

PA+V2PB+PC=PA+PP'+P'C,則當(dāng)A,P,P',C四點(diǎn)共線時(shí)，PA+&P8+PC取到最小值,

最小值為AC長，由勾股定理可求解.

【詳解】W：(1)???△ACP^AABP,

,-.AP=AP'=3,CP=BP=4,ZAP'C=ZAPB,

依題意得旋轉(zhuǎn)角NB4P=/BAC=60。，

..△尸/W為等邊三角形，

.-.PP'=AP=3,ZAPrP=60°,

PP'2+P'C2=32+42=25=52=PC2,

.?△PPC為直角三角形，且NPPC=90。，

ZAPB=ZAP'C=ZAP'P+ZPP'C=60°+90°=150°；

故答案為：等邊；150；

(2)EF-=BE-+FC1,理由如下：

如圖2,把AABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到"CE,

圖2

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE'=AE,CE'=BE,ZCAEr=ZBAE,ZACE'=ZB,ZEAEf=ZBAC=90°,

;/EAF=45°,

.\ZEfAF=ZCAEf+ZCAF=ZBAE-i-ZCAF=ZBAC-ZEAF=90o-45o=45o,

:.ZEAF=ZE,AF,

在△區(qū)方和中，

AE=AEr

<ZEAF=/E，AF,

AF=AF

:^EAF^EfAF(SAS),

:.ErF=EF,

ZCAB=9Q°,AB=AC,

:.ZB=ZACB=45°,

二.NEC尸=45。+45。=90。，

由勾股定理得，EfF2=CE,2+FC2,

BPEF2=BE2+FC2;

(3)如圖，在VABC內(nèi)部任取一點(diǎn)尸，連接AP,BP,CP,

將ABPC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到ABPC,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：PB=P'B,PC=P'C',

QNPBP=90°,

PP'=亞PB,

:.PA+-j2PB+PC=PA+PP'+P'C,

二當(dāng)A,P,P',C'四點(diǎn)共線時(shí)，PA+0P8+PC取到最小值，最小值為AC長,

如圖，過點(diǎn)A作臺C垂線交C3延長線于點(diǎn)。，

?/ZABC=30°,

:.ZBAD=30°,

:.BD=~AB=1,AD=JAB。-BD。=6

又QBC=BC=3,

:.C'D=BC'+BD=3+1=4,

AC'=y/AD2+C'D2=73+16=屈.

【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，讀懂題目信息，理解利用旋轉(zhuǎn)構(gòu)造出全等三角形

和等邊三角形以及直角三角形是解題的關(guān)鍵.

13.(1)2A/10-2>/5

⑵①正方形，理由見解析；②2行

(3)275,2師+2

【分析】(1)由勾股定理得A8=26,再由正方形的性質(zhì)得AC=04B=2而，然后由旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)得AB=AB=26，即可求解；

(2)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得松=A￡,ZEAE'=a=90°,ZAE'D=ZAEB=90°,再證四邊形AEFE是

矩形，即可得出結(jié)論；

②過點(diǎn)。作CG_LBE于點(diǎn)G,證ABCG絲AABE(AAS),得CG=BE=4,3G=AE=2,則田二血-皮"？,

再由勾股定理求解即可；

(3)CE的最小值就是初始位置時(shí)的長度26；當(dāng)E落在C4的延長線上時(shí)，AE'=AE=2,

CE最長=AC+AE=2&5+2,即可得出答案.

【詳解】(1)解：:,=2,BE=4,ZAEB=90°,

AB=ylAE2+BE2=V22+42=2#>,

丁四邊形ABC。是正方形，

:.BC=AB=2如，ZABC=90°,

AC=丘AB=2而,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB，=AB=2后,

CB，=AC-AB，=2回-2百,

故答案為：2Ms

(2)解：①四邊形AEFE是正方形，理由如下：

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AE'^AE,ZEAE'=a=9Q°,ZAE'D=ZAEB=90°,

ZAEF=180°-90°=90°,

???四邊形是矩形，

又丁AE，=AE,

；?四邊形ASE是正方形；

②過點(diǎn)。作CG,成于點(diǎn)G,如圖3所示：

圖3

貝!j4GC=900=ZAE3,

/.ZCBG+NBCG=ZCBG+ZABE=90°,

ZBCG=ZABE,

在ABCG和AABE中，

ZBGC=ZAEB

<ZBCG=NABE,

BC=AB

：.ABCG%ABE（AAS）,

:.CG=BE=4,BG=AE=2,

..EG=BE-BG=4-2=2,

222

.*?CE=yJccf+EG=V4+2=2A/5;

(3)解：???點(diǎn)E不會在線段AC上，

???CE，的最小值就是初始位置時(shí)的長度26，

當(dāng)E落在8的延長線上時(shí)，AE,=AE=2,CE最長=AC+AE，=2師+2,

故答案為：2百,2M+2.

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、矩

形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知

識.

14.(1)證明見解析

(2)7石

(3)^785或1質(zhì)

【分析】(1)先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得皿=*,

再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得ZAEF=180。-2NEW,然后根據(jù)矩形的性質(zhì)可得

NEAF=90。-/BAE,由此即可得證；

(2)設(shè)AC交跖于點(diǎn)。，先證出△板會少磨，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得OE=BE,

ZAOE^ZB=90°,則AC，￡F,再證出AEOCSA^C,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得OE的長，

然后利用勾股定理求出所的長，最后根據(jù)四邊形AEC廠的面積等于Lo+Sg求解即可得;

(3)分兩種情況：①若點(diǎn)G在對角線AC上時(shí)，過點(diǎn)。作9_LAC于H,先證出點(diǎn)4,GC產(chǎn)

在同一條直線上，再求出的長，從而可得切的長，然后利用勾股定理求解即

可得；②若點(diǎn)G在對角線M上時(shí)，過點(diǎn)下作于"，過點(diǎn)E作硒，于N,先根

據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理求出8G,GN,EN的長，再證出AFGMSAGEN,根據(jù)相似三

角形的性質(zhì)可得的長，從而可得DM的長，然后利用勾股定理求解即可得.

【詳解】⑴證明：???△年繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)得到△FGE,

:.^ABE=^FGE,

/.AE=EF,

:.ZEAF=ZAFE.

s.ZAEF=1SQ°-ZEAF-ZAFE=1SO0-2ZEAF.

??,矩形ABCD中,NBA。=90。,

:.ZBAE+ZEAF=90°,

ZEAF=900-ZBAE,

.?.ZAEF=180°-2ZEAF=180°-2(90°-ZBAE)=2ZBAE.

(2)解：如圖，設(shè)AC交所于點(diǎn)。.

???四邊形ABC。是矩形，AB=3,3C=4,

.??々=90。，AC=VAB2+BC2=5,

AABE=^FGE,

AZAEB=ZAEO9EF=AE,

?.?AE平分N5AC,

/.ZBAE=ZOAE,

在△AB石和AAOE中，

ZAEB=ZAEO

<AE=AE,

/BAE=NOAE

/.AABE^AAOE(ASA),

「?OE=BE,ZAOE=ZB=90°,

，AC.LEF9

，^EOC=^B=9Q°,

在AEOC和NABC中,

(ZEOC=ZB=90°

\ZECO=ZACB'

??&EOCs^ABC,

?OEECBC—BEBC—OE即OE4—OE

**AB~AC~AC-AC'?3-5

3

???口，

BE=|,

/.EF=AE7AB?+BE?=’舊,

2

???四邊形AECF的面積為S“AEF+S.CEF

=-OAEF+-OCEF

22

=1(OA+OC)-EF

=-ACEF

2

=-x5x-V5

22

=2

（3）解：①如圖，若點(diǎn)G在對角線AC上時(shí)，過點(diǎn)。作D"_LAC于

...AE平分4AC,

???點(diǎn)E到AC的距離等于班的長度.

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：BE=GE,GF=AB=3,ZEGF=ZABC=90°,

/.GEVAC,

..ZAGE=90°,

ZAGE+ZEGF=i80°,

???點(diǎn)A，GC尸在同一條直線上,

在“BE和AAGE中，

jAE=AE

[BE=GE'

：.AABE絲AAGE(HL),

：.AG=AB=3,

：.AF=AG+GF=6,

,??在矩形A3C。中，AB=3,BC=4,

AD=BC=4,CD=AB=3,ZADC=90°,

AC=打+42=5,

,/SVALC"D=-2ADCD=-2ACDH7,

AC5

/.AH=yjAD2-DH2,

5

HF=AF-AH=6--=—

559

/.DF=^HF2+DH2=IV85；

②如圖，若點(diǎn)G在對角線瓦）上時(shí)，過點(diǎn)/作于"，過點(diǎn)后作硒,加于N,

/.AD=BC