2025年中考數學總復習《拱橋問題與二次函數》專項測試卷(帶答案)

學校:班級：姓名：考號：

1.某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為48m2,還要兼顧

美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求價出了兩個設計方案，現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直

角坐標系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，點N在x軸上，PELON,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度ON'=8m,拱高PE'=6m其中，點N'在x軸上，P'E'±O'N',O'E'=E'N'.

要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細忽略不計)，方案一中，矩形框架ABCD的面積

記為H，點A、。在拋物線上，邊在QV上；方案二中，矩形框架AB'C'D的面積記為S2,點A',力在拋物線

2

上，邊3'C'在ON'上，現知，小華已正確求出方案二中，當A?=3m時，S2=1272m,請你根據以上提供的相關

(1)求方案一中拋物線的函數表達式;

(2)在方案一中，當AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積跖并比較%S2的大小.

2.一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索乙與纜索人均呈拋物線型，橋塔AO與橋塔均垂直于橋

面，如圖所示，以。為原點，以直線F尸'為無軸，以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系.

己知：纜索4所在拋物線與纜索4所在拋物線關于y軸對稱，橋塔AO與橋塔3c之間的距離OC=100m,

AO=BC=17m,纜索乙的最低點尸到尸尸的距離PD=2m(橋塔的粗細忽略不計)

(1)求纜索4所在拋物線的函數表達式;

⑵點E在纜索4上，EFLFF',且EF=2.6m,FO<OD,求尸O的長.

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3.如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數后，受到該圖啟示設計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物

線的一部分(如圖②所示)，拋物線的頂點在C處，對稱軸OC與水平線。4垂直，0c=9,點A在拋物線上，且點

A到對稱軸的距離0A=3,點B在拋物線上，點B到對稱軸的距離是1.

圖①

⑴求拋物線的表達式;

(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在OC上找一點尸，加裝拉桿尸4尸2,同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找

到點尸的位置并求出坐標;

(3)為了造型更加美觀，小星重新設計拋物線，其表達式為＞=-/+2"+6一1(人＞0),當44xV6時，函數V的值總

大于等于9.求6的取值范圍.

4.現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以。為坐標原點，以0E所在直

線為無軸，以過點O垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系.根據設計要求：OE=10m,該拋物線的頂點

P到0E的距離為9m.

(1)求滿足設計要求的拋物線的函數表達式；

⑵現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點48處分別安裝照明燈.已知點到0E

的距離均為6m,求點A、B的坐標.

5.根據以下素材，探索完成任務.

如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案?

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圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線

素形橋拱的示意圖，某時測得水面寬

材20m,拱頂離水面5m.據調查，該河

1段水位在此基礎上再漲1.8m達到最b---------與—―n

圖1圖2

高.

為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱

上懸掛40cm長的燈籠，如圖3.為了安

橋橫

素全，燈籠底部距離水面不小于1m；為

材了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平安全距離，

2間距均為L6m；為了美觀，要求在符

合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸圖3

對稱分布.

問題解決

任

務確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數表達式.

1

任

在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的

務探究懸掛范圍

最小值和橫坐標的取值范圍.

2

任

給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數量，并根據你所建立的坐標系，

務擬定設計方案

求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標.

3

6.某?？萍紖f(xié)會組織橋梁模型制作比賽，向全校同學征集作品.圖①是某“實踐小組”制作的橋梁模型，圖②是該

模型簡化后在平面直角坐標系（以。為原點，橋面AB,CD所在直線為x軸，上、下橋拱最高點E,尸所在直線為

y軸）中的截面示意圖，下面是他們的設計方案：

①上橋拱AEB和下橋拱CTD均為拋物線型，其中上橋拱曲所在拋物線的函數表達式為必=上無2+20；

②上、下橋拱最高點E,尸之間的距離為10；

③上橋拱的點A,8到原點。的距離均為40,下橋拱的點C,。到原點。的距離均為15.

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圖①

(1)求下橋拱CED所在拋物線的函數表達式;

(2)“實踐小組”欲在上、下橋拱之間設計一個矩形牌匾跖VP。，并在牌匾上將該橋命名為“智慧橋”.已知點N(點

M在點N的左側)均在直線y=10上，點P,。在上橋拱上(點P,。關于y軸對稱，且P,。均在直線＞=1。

的上方)，若矩形尸。的周長為57.5,請求出點N的坐標.

7.某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，還要兼顧美觀、大方、和諧、通暢等因素，設計部門按要

求給出了兩個設計方案，現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中如圖所示.

方案二

其中點N在x軸上，PE±ON,OE=EN

方案二：拋物線型拱門的跨度ON'=8m,拱高PE'=6m,其中N'點在無軸上，P'EVON',OE'=E'N'.

要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細忽略不計)，方案一中，矩形框架ABCD的面積

記為匹，點A、。在拋物線上，邊在ON上；方案二中，矩形框架、AB'C/y的面積記為$2，點A,川在拋物

2

線上，邊3'C在ON'上，現知，小華已正確求出方案二中，當AB'=3m時，S2=1272m,請你根據以上提供的相

關信息，解答下列問題:

(1)求方案一中拋物線的函數表達式;

(2)在方案一中，當AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積S一并比較耳，邑的大小.

8.綜合與實踐

問題情境：山西的窯洞是中國黃土高原傳統(tǒng)民居，它不僅是當地居民適應自然環(huán)境的智慧結晶，也承載著深厚的歷

史記憶和地域文化.圖1是小紅家鄉(xiāng)剛建好的窯洞及內部結構圖，圖2是某裝修公司承攬窯洞裝修任務后設計出的

窯洞內部墻面及頂部裝修示意圖.

數學建模:

如圖3所示是窯洞的截面圖，可近似看成是由拋物線的一部分和矩形構成，已知窯洞的寬A3為4m,窯洞頂部最高

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點。離地面3.75m,點A離地面2.25m.

(1)在圖3中畫出以點。為原點，平行于的直線為x軸、豎直方向為＞軸的平面直角坐標系，并求拋物線的函

數表達式.

問題解決：

(2)如圖4,裝修公司計劃在窯洞兩側離地面3m的C,。處安裝吊頂，若窯洞的深度為8m,求吊頂所需材料的

面積(結果精確到1m2,參考數據：夜名1.414);

(3)小紅想在裝修完工后為窯洞增添一些裝飾.她計劃從點A到點D,從點C到點B各拉一條彩帶，并在C,。兩

處懸掛彩燈CD,CM,DNCM,N在彩帶上，CMLCD,DNLCD).試計算小紅需要購買彩燈的總長度(結

果精確到。［m)).

9.根據以下素材，探索完成任務.

如圖，某經濟開發(fā)區(qū)計劃在道路A3上方搭建一座拋物線橋拱形彩虹橋，已知道路

的寬為20m(路內側兩邊各有2m寬的綠化帶，其余路面正常通行)，橋面最高

材處與路面的距離為8m.

料M

橋拱1

A

4—20m-八B

任

以AB所在直線為x軸，以的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，求該

務

拋物線形彩虹橋的解析式.

1

任

按計劃在該彩虹橋下方需對稱安置兩個支撐柱進行支撐，若要確保道路AB的正常通

務

行，求支撐柱的最小高度.

2

任若在該彩虹橋下方有一個限高5m的橫桿，現要在橫桿上方懸掛一個寬9m、高1m的

務橫幅，在不超出橋面的情況下，橫幅能否按計劃懸掛(不考慮橫桿的寬度)？請通

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3過計算說明.

10.新中國成立以來，幾代人逢山開路，遇水架橋，正在加快建設交通強國.如圖1是某地高速公路上修建的兩個

隧道，如圖2是其橫截面示意圖.

圖2

素材一：隧道4與4均呈拋物線型，已知陳道右底部C與隧道乙底部A相距2加，以直線AC為x軸，線段AC的

中垂線為y軸建立平面直角坐標系，點。、8都在x軸上.

素材二：4所在拋物線與人所在拋物線關于y軸對稱，4底部寬A3為12m,4所在拋物線的最高點尸與路面A3的

距離為8m.

(1)求隧道右所在拋物線的表達式;

(2)現需在隧道4、工內壁上分別安裝攝像頭N、M,如圖2所示，即N、M均在各自拋物線對稱軸左側的拋物線上，

己知點M、N到路面AC的豎直距離均為6m,求N兩點間的距離.

11.某市一處十字路口立交橋的橫斷面如圖所示,橋拱的DGD部分為一段拋物線，頂點G的高度為8米,它兩側AD

和AD是高為5.5米的支柱，Q4和OA為兩個方向的機動車通行區(qū)，寬都為15米，線段和C力’為兩段對稱的

上橋斜坡，其坡度(即垂直高度與水平寬度的比)為14.以CC'所在直線為x軸，橫斷面的對稱軸為y軸建立平

面直角坐標系.

(1)求橋拱DG。所在拋物線的解析式及OC的長；

(2)BE和為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應的和AE為兩個方向的行人及非機動車通行區(qū)，直接寫出

寬A3的長度；

(3)按規(guī)定，汽車通過該橋下時，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米.今有一大型運貨汽車，裝載某大型

設備后，其寬為4米，車載大型設備的頂部與地面的距離均為7米.它能否從橋下區(qū)域安全通過？請說明理由.

12.學科實踐

驅動任務：

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“天下九塞，雁門為首”，雁門關隧道是大同至運城高速公路的咽喉要道，它的開通是我國高速公路隧道建設史上的

壯舉.某校數學研習小組就隧道通行情況展開探究.

研究步驟：

(1)如圖，隧道的截面由拋物線和長方形構成，雁門關隧道寬的=10m,隧道壁高AB=5m,隧道最高點C位于

AAj的中央且距地面6m.

(2)研習小組了解到為了防止碰撞，保障行車安全，隧道內路面兩側各預留1m的立道牙，該隧道為單向雙車道.

問題解決：

(1)以線段AA所在直線為無軸，AA的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，請在圖中畫出坐標系，并求拋物

線的表達式.

(2)交通部門要求行駛車輛的頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上的高度差至少要有0.5m,求通過隧道的

車輛應限制高度為多少米？(結果精確到0.1m)

C

8f一二一:

13.學科實踐

驅動任務：在日益繁華的城市，“沖上云霄”的商樓隨處可見，往往讓人產生視覺疲勞.太原市某中學為了減緩同學

們的視覺疲勞和學習壓力，特在校園中修建了賞心悅目的花園，并將花園大門的頂部設計成了拋物線型(如圖1所

示).數學興趣小組協(xié)助工人師傅進行裝飾大門的工作.

圖1圖2

研究步驟：1.如圖2是花園大門的截面圖，興趣小組測得大門的寬MN=3米，AM,3N為大門兩旁的立柱，其

高度為2米，拋物線型拱頂最高處點C距地面的距離為3.5米.

2.根據設計要求，要在C點處插一面紅旗，在拋物線拱頂上掛一對紅燈籠.兩個懸掛點到地面的距離相等.同時

做好花園大門的加固工作.

問題解決：請根據研究步驟與相關數據，完成下列任務：

(1)為了安全起見，工人師傅要給大門加固，如圖3,線段AC,可看成是加固時所用的鋼筋(不考慮接口處所

需鋼筋長度)，則給大門加固需要的鋼筋長度為米，若連接A3,則/。18=°；

(2)如圖3,因為要懸掛燈籠，考慮到安全因素，工人師傅要用鋼筋對大門進行二次加固，若保證二次加固的鋼筋與

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第一次加固的鋼筋垂直，即FPJ_AC于點尸，EQL2C于點。（EP,EQ為二次加固的鋼筋）.請你通過計算，確

定二次加固時大門一側所需鋼筋的最大長度（不考慮其他因素，結果保留根號）.

14.某學校數學興趣社團利用二次函數的知識進行探究學習.

【數學建模】他們對一個截面為拋物線且設有兩條（雙向）行車道的隧道進行研究（行車道分界線的寬度忽略不計，

行駛車輛不能越過分界線），建立如圖1所示的直角坐標系，并畫出了隧道截面圖.

【實踐應用】已知隧道的路面寬為10m,隧道頂部最高處點P距地面6.25m,按規(guī)定，過隧道的車輛的頂部與隧道

頂部在豎直方向上的高度差至少為0.5m.現有一輛寬3m、高3.5m的廂式貨車計劃從隧道駛過.

（1）求該拋物線的函數表達式.

（2）請問：廂式貨車能否順利通過隧道？請說明理由.

【問題探究】該社團為進一步探索拋物線的有關知識，借助上述拋物線模型，設計了以下問題：

（3）如圖2,在拋物線內作矩形ABCD,使頂點C,。落在拋物線上，頂點A,8落在x軸上.設矩形ABCZ）的周

長為/,求/的最大值.

（4）在（3）的條件下，如圖3,在矩形周長最大時，將矩形ABCD繞點。逆時針旋轉a（0°<tz<360°）,

當以點P,D,C為頂點的三角形為直角三角形時，請直接寫出旋轉角。的度數.

15.白鹿原隧道被稱為“中國最大斷面黃土隧道”，它的截面近似看作拋物線，某數學課題學習小組，為了研究隧道

的截面，建立如圖坐標系，已知隧道的凈寬加約為18米，凈高（即拋物線最高點到地面的距離）約為12米.在

隧道施工過程中，需要一個“凸”字形的支架支撐隧道的頂部，支架的下部分和上部分都分別由矩形ABC。和矩形

EFG”組成，已知下部分矩形的長8C=12米，上部分矩形的長寬比（即EH:GH=3:2）,點A,D,E,H都在拋

物線上.根據以上信息解決問題.

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(1)求隧道截面拋物線的解析式；

(2)請確定支撐點打的位置(即點”的坐標).

16.綜合與實踐

問題情境

如圖1,窯洞是黃土高原獨特的居住形式，具有十分濃厚的中國民俗風情和鄉(xiāng)土氣息.為響應國家鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，

協(xié)助當地村民改善居住環(huán)境，留住文化底蘊.當地政府計劃將窯洞現有的紗布糊窗統(tǒng)一改為玻璃窗戶，并將門上方

的窗戶換為斷橋窗戶，進一步提升窯洞的采光和通風.

方案設計

小明對窯洞進行了測量并繪制了如圖2所示的窯洞口的示意圖，窯洞口的輪廓可以看成是由矩形ABC3和拋物線組

成的封閉圖形.已知AB=4米，BC=2米,窯洞口的最高點尸到地面的距離為4米，其中點H,G在上,

點E,尸在拋物線上.

圖1

方案實施

在圖2中，以A3所在的直線為x軸，以A3的垂直平分線為＞軸建立平面直角坐標系.請按照以上方法解決問題:

⑴請在圖2中畫出坐標系，并求拋物線的函數表達式.

(2)當/G=2EF時，求斯和FG的長.

⑶如圖3,在矩形EFG”兩側分別作兩個正方形印和正方形L肱VG,其中，點J,M在拋物線上，點K,L在AB

上，點/，N分別在即和FG上.若將拋物線和A3構成的封閉區(qū)域內的線段定制為木質框架(不含拋物線和A3,

不考慮木質框架寬度)，當矩形瓦所需的木質框架總長度最長時，請直接寫出封閉區(qū)域內木質框架的總長度.

參考答案

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1.某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，并要求所設計的拱門的跨度與拱高之積為48m2,還要兼顧

美觀、大方，和諧、通暢等因素，設計部門按要求價出了兩個設計方案，現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直

角坐標系中，如圖所示：

方案一，拋物線型拱門的跨度ON=12m,拱高PE=4m其中，點N在x軸上，PELON,OE=EN.

方案二，拋物線型拱門的跨度ON'=8m,拱高PE'=6m其中，點N'在x軸上，P'E'±O'N',O'E'=E!N'.

要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好(框架的粗細忽略不計)，方案一中，矩形框架的面積

記為跖，點A、。在拋物線上，邊在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C'O的面積記為$2,點A',。'在拋物線

2

上，邊B'C'在ON'上，現知，小華已正確求出方案二中，當A?=3m時，S2=12V2m,請你根據以上提供的相關

(1)求方案一中拋物線的函數表達式；

(2)在方案一中，當AB=3m時，求矩形框架ABCD的面積跖并比較％S2的大小.

14

【答案】⑴,土+0鏟

2

(2)S1=18m,Sj>S2

【分析】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，求出函數關系式.

(1)由題意知拋物線的頂點尸(6,4),設頂點式用待定系數法可得方案一中拋物線的函數表達式;

(2)令y=3可得％=3或x=9,故BC=6m,S,=AB-BC=18m2；再比較品邑的大小即可.

【詳解】(1)解：由題意知，PE=4m,OE=1c?N=|xl2=6m

二方案一中拋物線的頂點尸(6,4)

設拋物線的函數表達式為y=。(彳-6)2+4

把0(0,0)代入得，0=?(0-6)2+4

解得：g

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y=-—（X-6Y+4=-—x2+—x

9V793

???方案一中拋物線的函數表達式為y=-1^°+京4；

14

（2）解：在y=—0+耳力中

14

令y=3得：3=--x2+~x<

解得x=3或x=9

3C=9—3=6m

=ABBC=3x6=18m2

Q18>12A/2

S]>邑.

2.一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋.橋梁的纜索。與纜索右均呈拋物線型，橋塔A0與橋塔BC均垂直于橋

面，如圖所示，以。為原點，以直線FP為無軸，以橋塔AO所在直線為y軸，建立平面直角坐標系.

▲v/m

已知：纜索人所在拋物線與纜索4所在拋物線關于y軸對稱，橋塔4。與橋塔8C之間的距離0C=100m,

AO=BC=Hm,纜索4的最低點尸到ET的距離尸D=2m（橋塔的粗細忽略不計）

（D求纜索右所在拋物線的函數表達式；

⑵點E在纜索4上，EF±FF',且EF=2.6m,FO<OD,求尸。的長.

【答案】⑴y=旃（x-50『+2；

（2）尸O的長為40m.

【分析】本題考查了二次函數的應用，待定系數法求二次函數解析式，根據題意求得函數解析式是解題的關鍵.

（1）根據題意設纜索。所在拋物線的函數表達式為y=o（x-50）2+2,把（0,17）代入求解即可；

（2）根據軸對稱的性質得到纜索A所在拋物線的函數表達式為y=薪（元+50）一+2,由斯=2.6m,把y=2.6代入

求得無1=-40,3=-60,據此求解即可.

【詳解】（1）解：由題意得頂點尸的坐標為（50,2）,點A的坐標為（0,17）

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設纜索A所在拋物線的函數表達式為y=?(X-50)2+2

把(0/7)代入得17=a(0—50y+2

3

解得"就

纜索4所在拋物線的函數表達式為y=志(》-50)-+2；

(2)解：???纜索人所在拋物線與纜索4所在拋物線關于y軸對稱

???纜索L2所在拋物線的函數表達式為y=赤(％+50)2+2

9：EF=2.6

.?.把y=2.6代入得，2.6--(%+50)-+2

解得玉=-40,x2=-60

尸0=4001或尸0=60111

,/FO<OD

：.尸。的長為40m.

3.如圖①，是一座拋物線型拱橋，小星學習二次函數后，受到該圖啟示設計了一建筑物造型，它的截面圖是拋物

線的一部分(如圖②所示)，拋物線的頂點在C處，對稱軸OC與水平線Q4垂直，OC=9,點A在拋物線上，且點

⑴求拋物線的表達式；

(2)如圖②，為更加穩(wěn)固，小星想在OC上找一點P,加裝拉桿尸4網，同時使拉桿的長度之和最短，請你幫小星找

到點尸的位置并求出坐標;

⑶為了造型更加美觀，小星重新設計拋物線，其表達式為y=-Y+26x+b-1@>0),當4WxV6時，函數V的值總

大于等于9.求6的取值范圍.

【答案】(l)y=-f+9

⑵點尸的坐標為(0,6)

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（3）*>—

13

【分析】（1）設拋物線的解析式為y=#+A,將C（0,9）,A（3,0）代入即可求解；

（2）點8關于y軸的對稱點？，貝1]24+必=1+必七"'，求出直線A&與y軸的交點坐標即可;

（3）分0<645和6>5兩種情況，根據最小值大于等于9列不等式，即可求解.

【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸與y軸重合

???設拋物線的解析式為y=ax2+k

OC=9,OA=3

C（0,9）,A（3,0）

將C（0,9）,4（3,0）代入尸加+左，得：

pt=9

[32.a+^=0

%=9

解得,

[a=-l

二拋物線的解析式為>=-必+9；

（2）解：拋物線的解析式為y=+9,點8到對稱軸的距離是1

當x=]時，y=-1+9=8

8（1,8）

作點B關于>軸的對稱點8,

則？（一1,8）,B'P=BP

PA+PB=PA+PB'>AB'

.,.當？，B,A共線時，拉桿長度之和最短

設直線AB'的解析式為y=mx+n

/、/、10=3m+n

將9（-1,8）,A（3,0）代入，得8=_租+〃

[m=-2

解得，

[九=6

直線AB'的解析式為y=-2x+6

當x=0時，y=6

，點P的坐標為（0,6）,位置如下圖所示:

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..?拋物線開口向下

當0<645時

在4<xW6范圍內,當x=6時，y取最小值，最小值為：一6?+2x66+6-1=136-37

則13b—3729

解得心二46

：.—<b<5；

13

當b>5時

在4WxW6范圍內,當x=4時，y取最小值，最小值為：4+2x46+6-1=96-17

貝I」96-1729

解得此個

b>5；

46

綜上可知，—<b<5^b>5

??.b的取值-范圍E為,6喑46.

【點睛】本題考查二次函數的實際應用，涉及求二次函數解析式，求一次函數解析式，根據對稱性求線段的最值,

拋物線的增減性等知識點，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質，第3問注意分情況討論.

4.現要修建一條隧道，其截面為拋物線型，如圖所示，線段OE表示水平的路面，以。為坐標原點，以0E所在直

線為無軸，以過點。垂直于x軸的直線為y軸，建立平面直角坐標系.根據設計要求：OE=lOm,該拋物線的頂點

P到0E的距離為9m.

第14頁共39頁

(1)求滿足設計要求的拋物線的函數表達式；

⑵現需在這一隧道內壁上安裝照明燈，如圖所示，即在該拋物線上的點42處分別安裝照明燈.已知點42到0E

的距離均為6m,求點A、B的坐標.

O

【答案】(i)y=-石(彳一5)2+9

(2)A(5-,6),8(5+,6)

【分析】(1)根據題意，設拋物線的函數表達式為y=a(x-5)2+9,再代入(0,0),求出a的值即可；

(2)根據題意知，A,B兩點的縱坐標為6,代入函數解析式可求出兩點的橫坐標，從而可解決問題.

【詳解】(1)依題意，頂點尸(5,9)

設拋物線的函數表達式為y=a(x-5)2+9

a

將(。,0)代入，得0=a(0-5y+9.解之，得

Q

...拋物線的函數表達式為y=-—(X-5)2+9.

9

(2)令y=6,if#-—(X-5)2+9=6.

解之,Wx]=~~+5,x2=-~~+5?

???A(5一￥，6),B(5+￥，6).

【點睛】本題考查了運用待定系數法求二次函數的解析式的運用，由函數值求自變量的值的運用，解答時求出二次

函數的解析式是關鍵.

5.根據以下素材，探索完成任務.

如何設計拱橋景觀燈的懸掛方案?

第15頁共39頁

圖1中有一座拱橋，圖2是其拋物線

素形橋拱的示意圖，某時測得水面寬

材20m,拱頂離水面5m.據調查，該河

1段水位在此基礎上再漲1.8m達到最

圖1圖2

高.

為迎佳節(jié)，擬在圖1橋洞前面的橋拱

上懸掛40cm長的燈籠，如圖3.為了安

橋橫

素全，燈籠底部距離水面不小于1m；為

材了實效，相鄰兩盞燈籠懸掛點的水平安全距離，

2間距均為L6m；為了美觀，要求在符

合條件處都掛上燈籠，且掛滿后成軸圖3

對稱分布.

問題解決

任

務確定橋拱形狀在圖2中建立合適的直角坐標系，求拋物線的函數表達式.

1

任

在你所建立的坐標系中，僅在安全的條件下，確定懸掛點的縱坐標的

務探究懸掛范圍

最小值和橫坐標的取值范圍.

2

任

給出一種符合所有懸掛條件的燈籠數量，并根據你所建立的坐標系，

務擬定設計方案

求出最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標.

3

【答案】任務一：見解析，＞=一5尤2；任務二：懸掛點的縱坐標的最小值是T.8;-64x46；任務三：兩種方案，

見解析

【分析】任務一：根據題意，以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標系，待定系數法求解析式即可求解；

任務二：根據題意，求得懸掛點的縱坐標y2-5+L8+l+0.4=-1.8,進而代入函數解析式即可求得橫坐標的范圍；

任務三：有兩種設計方案，分情況討論，方案一：如圖2（坐標系的橫軸，圖3同），從頂點處開始懸掛燈籠；方案

二：如圖3,從對稱軸兩側開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為0.8m,根據題意求得任意一種方案即可

第16頁共39頁

求解.

【詳解】任務一：以拱頂為原點，建立如圖1所示的直角坐標系

圖1

則頂點為(0,0),且經過點(10,-5).

設該拋物線函數表達式為y=ax\aR0)

則-5=100。

._1

??a=-----

20

該拋物線的函數表達式是y=.

任務二：：水位再上漲1.8m達到最高，燈籠底部距離水面至少1m,燈籠長0.4m

.?.懸掛點的縱坐標丫2-5+1.8+1+0.4=-1.8

懸掛點的縱坐標的最小值是-1.8.

當y=-1.8時，-1.8=-，/，解得工=6或x2=-6

..?懸掛點的橫坐標的取值范圍是-64x46.

任務三：有兩種設計方案

方案一：如圖2(坐標系的橫軸，圖3同)，從頂點處開始懸掛燈籠.

-6-4.806

圖2

?：-6<x<6,相鄰兩燈籠懸掛點的水平間距均為1.6m

若頂點一側掛4盞燈籠，則1.6x4>6

若頂點一側掛3盞燈籠，貝i]L6x3<6

頂點一側最多可掛3盞燈籠.

\?掛滿燈籠后成軸對稱分布

共可掛7盞燈籠.

???最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是-4.8.

第17頁共39頁

方案二：如圖3,從對稱軸兩側開始懸掛燈籠，正中間兩盞與對稱軸的距離均為0.8m

▲.▲?--------▲?-------24?▲?▲A

-6016

圖3

???若頂點一側掛5盞燈籠，則0.8+1.6x(5-l)>6

若頂點一側掛4盞燈籠，貝10.8+1.6義(4-1)<6

頂點一側最多可掛4盞燈籠.

???掛滿燈籠后成軸對稱分布

共可掛8盞燈籠.

/.最左邊一盞燈籠懸掛點的橫坐標是-5.6.

【點睛】本題考查了二次函數的應用，根據題意建立坐標系，掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

6.某?？萍紖f(xié)會組織橋梁模型制作比賽，向全校同學征集作品.圖①是某“實踐小組”制作的橋梁模型，圖②是該

模型簡化后在平面直角坐標系(以。為原點，橋面A3,所在直線為x軸，上、下橋拱最高點E,尸所在直線為

y軸)中的截面示意圖，下面是他們的設計方案：

①上橋拱和下橋拱CTD均為拋物線型，其中上橋拱所在拋物線的函數表達式為弘=上尤?+20；

80

②上、下橋拱最高點E,尸之間的距離為10；

③上橋拱的點A,B到原點O的距離均為40,下橋拱的點C,D到原點0的距離均為15.

圖①

(1)求下橋拱CED所在拋物線的函數表達式；

(2)“實踐小組”欲在上、下橋拱之間設計一個矩形牌匾“NPQ,并在牌匾上將該橋命名為“智慧橋”.己知點M,N(點

〃在點N的左側)均在直線y=10上，點P,。在上橋拱AEB上(點P,。關于y軸對稱，且P,。均在直線>=1。

的上方)，若矩形MNP。的周長為57.5,請求出點N的坐標.

【答案】(()=_/無2+10

45

⑵點"的坐標為(-10,10)，點N的坐標為(10,10)

【分析】本題考查二次函數的應用.得到二次函數中幾個關鍵點的坐標并選擇合適的函數解析式代入計算是解決本

題的關鍵.

第18頁共39頁

（1）由H=-上尤2+20得尸的坐標，從而得出點C、點￡＞的坐標，設下橋拱CFD在平面直角坐標系中的函數關系

表達式為丫="2+10,再運用待定系數法求解即可;

（2）先畫出圖形，設點N的坐標為（加,10）,得點"的坐標為（-犯10）.點尸的坐標為m,---m2+20可得

80

QP=MN=2m,QM=PN=~m2+10,由矩形MNP。的周長為57.5可得方程，解方程求出機的值可得結論.

【詳解】（1）解：由題意，得E（0,20）,EF=10.

:.OE=20,OF=OE-EF=20-10=10

.-.F（0,10）.

:下橋拱的點C,。到原點。的距離均為15.

OC=OD=\5

.-.C（-15,0）,D（15,0）.

設下橋拱CRD在平面直角坐標系中的函數關系表達式為y=依?+10

由圖象經過點0（15,0）,可得4x152+10=0,解方程，得”-京.

???下橋拱CFD在平面直角坐標系中的函數關系表達式為y=--x2+10；

45

N（點M在點N的左側）均在直線y=10上

,設點N的坐標為（旭,10）,則點M的坐標為（-加,10）.

由矩形MVPQ,得小〃了軸

點P的坐標為］m，-+20

Io（J

:.QP=MN=2m,QM=PN=—^m2+10

由矩形MVPQ的周長為57.5,得21*/+10+2m]=57.5

解得：mt=10,m2=150（不合題意，舍去）

點M的坐標為（-10,10），點N的坐標為（10,10）.

7.某校想將新建圖書樓的正門設計為一個拋物線型門，還要兼顧美觀、大方、和諧、通暢等因素，設計部門按要

第19頁共39頁

求給出了兩個設計方案，現把這兩個方案中的拱門圖形放入平面直角坐標系中如圖所示.

方案一

方案一：拋物線型拱門的跨度ON=10m,拱高PE=4m,其中點N在x軸上，PELON,OE=EN

方案二：拋物線型拱門的跨度=8m,拱高PE'=6m,其中N'點在無軸上，PE'±ON',OE'=E'N'.

要在拱門中設置高為3m的矩形框架，其面積越大越好（框架的粗細忽略不計），方案一中，矩形框架ABCD的面積

記為H，點A、。在拋物線上，邊2C在ON上；方案二中，矩形框架、AZ'C'D的面積記為S2,點A,%在拋物

2

線上，邊？C'在ON'上，現知，小華已正確求出方案二中，當A2'=3m時，S2=12>/2m,請你根據以上提供的相

關信息，解答下列問題：

（1）求方案一中拋物線的函數表達式；

⑵在方案一中，當AB=3m時，求矩形框架ABCZ）的面積跖，并比較跖，S2的大小.

4r

【答案】（l）y=-毛（工-5）-+4

⑵s—z

【分析】本題考查二次函數的應用，解題的關鍵是讀懂題意，求出函數關系式.

（1）由題意知拋物線的頂點尸（5,4）,設頂點式用待定系數法可得方案一中拋物線的函數表達式；

(2)令＞=3可得占=7.5,無2=2.5,故BC=5m,=AB-BC=l5m2■再比較%S2的大小即可.

【詳解】（1）解：解：由題意得，方案一中拋物線的頂點尸（5,4）

設拋物線的函數表達式為y=a（x-5『+4

把。（0,0）代入得0=4（0—5）一+4,解得：a=--

二「如一5）?+4

492

，方案一中拋物線的函數表達式為：J=-^（X-5）+4;

（2）解：在了=_￡（尤_5）2+4中，令y=3得：3=—（（無一5）2+4

=

解得，石=7.5,x22.5.

第20頁共39頁

/.BC=7.5—2.5=5m

S[=AB,BC=3x5=15m2,

15=^/225<-s/288=12忘

,Sj<S2.

8.綜合與實踐

問題情境：山西的窯洞是中國黃土高原傳統(tǒng)民居，它不僅是當地居民適應自然環(huán)境的智慧結晶，也承載著深厚的歷

史記憶和地域文化.圖1是小紅家鄉(xiāng)剛建好的窯洞及內部結構圖，圖2是某裝修公司承攬窯洞裝修任務后設計出的

窯洞內部墻面及頂部裝修示意圖.

數學建模:

如圖3所示是窯洞的截面圖，可近似看成是由拋物線的一部分和矩形構成，已知窯洞的寬為4m,窯洞頂部最高

點0離地面3.75m,點A離地面2.25m.

(1)在圖3中畫出以點。為原點，平行于4B的直線為x軸、豎直方向為＞軸的平面直角坐標系，并求拋物線的函

數表達式.

問題解決:

(2)如圖4,裝修公司計劃在窯洞兩側離地面3m的C,。處安裝吊頂，若窯洞的深度為8m,求吊頂所需材料的

面積(結果精確到In?,參考數據：72?1.414);

(3)小紅想在裝修完工后為窯洞增添一些裝飾.她計劃從點A到點O,從點C到點8各拉一條彩帶，并在C,。兩

處懸掛彩燈CO,CM,DN(M,N在彩帶上，CMLCD,DN,CD).試計算小紅需要購買彩燈的總長度(結

果精確到?！筸)).

圖

地面

■03"

圖1圖2

3

【答案】(1)了=-?/(2)吊頂所需材料的面積約為23m2(3)小紅需要購買彩燈的總長度約為41m

O

【分析】本題考查二次函數的應用：用到的知識點為：待定系數法求二次函數的解析式，二次函數與一元二次方程

的關系.理解題意選擇恰當的方法是正確解答此題的關鍵.

(1)根據題意畫出平面直角坐標系，找到點A的坐標為(-2,T.5),點5的坐標為(2,-1.5).設拋物線的函數表達式

為丁=辦2.代入坐標即可求解;

第21頁共39頁

(2)根據題意求得點C的坐標為卜3,-0.75),點。的坐標為(挺，-0.75).進而可求8=2應.即可求出吊頂所需

材料的面積；

(3)過點A作A。，。，交QC的延長線于點Q.由題意，得AQ=0.75,QD=2+^2.證明△DCMsAOQA.得

DCCM?

了g=求得CNQO.62.進而可求答案.

【詳解】解：(1)建立如圖1所示的平面直角坐標系.

；窯洞頂部最高點。離地面3.75m,點A離地面2.25m

3.75-2.25=1.5.

點A,8的縱坐標為-1.5.

?/AB=4

/.點A的坐標為(-2,-1.5),點B的坐標為(2,-1.5).

\?點。為拋物線的頂點

???設拋物線的函數表達式為y=ax2.

：A(-2,-1.5)在拋物線〉=加上

??一1.5—4a.

3

解得。=-7

O

???拋物線的函數表達式為y=-?d.

O

(2)：CD離地面3m

3.75-3=0.75.

，點C,。的縱坐標為-0.75.

:點C,。在拋物線丁=-弓尤2上

O

22

?,?將y=。.75代入y=—x9得—x=-0.75.

88

解得玉=—\/2,x2=5/2.

第22頁共39頁

???點C的坐標為卜垃,-0.75）,點D的坐標為-0.75卜

,CD=2亞.

/.吊頂所需材料的面積為8乂20=16夜。23（!112）.

答：吊頂所需材料的面積約為23m2.

（3）如圖2,過點A作42,。，交。C的延長線于點Q.

由題意，得AQ=0.75,QD=2+0.

AQLCD,CMLCD

：.CM//AQ.

：.ADCMsADQA.

.DCCMM||2A/2CM

DQ-QA'刻元

：.CM0.62.

CM+￡>N+C￡>=0.62x2+20=1.24