章末質(zhì)量檢測(cè)（六）平面向量初步

（分值：150分）

授課提示：對(duì)應(yīng)章末質(zhì)量檢測(cè)13頁(yè)

一、單項(xiàng)選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只

有一個(gè)是符合題目要求的）

1.給出下列命題：

①兩個(gè)具有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線向量；

②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，則品=欣是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條

件；

③若a與b同向，且貝Ia>b；

④入，N為實(shí)數(shù)，若入a=pb,則a與b共線.

其中假命題的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：①不正確，當(dāng)起點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，雖然終點(diǎn)相同，但向量不共線.

②正確，因?yàn)橥?玩，所以|通|=|玩|且屈〃欣.

又因?yàn)锳,B,C,D是不共線的四點(diǎn)，

所以四邊形ABCD是平行四邊形.

反之，若四邊形ABCD是平行四邊形，則AB=DC且靠與玩方向相同，因此靠=玩.

③不正確，兩向量不能比較大小.

④不正確，當(dāng)入=（1=。時(shí)，a與b可以為任意向量，滿足入a=|ib,但a與b不一定共線.

答案：C

2.在平行四邊形ABCD中，M為跖上任一點(diǎn)，則前一而+而=（）

A.BCB.AB

C.ACD.AID

解析：AM-DM+DB=AM+Ml5+DB=AD+DB=AB.

答案：B

3.已知點(diǎn)G是4ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),滿足前+GB+無(wú)=0,則G點(diǎn)是4ABC的（）

A.垂心B.內(nèi)心

解析：因?yàn)槿?而+玩=0,所以前+而=—前=氏,

以GA,GB為鄰邊作平行四邊形GADB,連接GD,交AB于點(diǎn)O,如圖所示,

則就=而，所以而=：麗，CO是AB邊上的中線，

所以G點(diǎn)是AABC的重心.

故選D.

答案：D

4.已知向量a,b滿足a+b=(l,3),a—b=(3,—3),則a,b的坐標(biāo)分別為()

A.(4,0),(-2,6)B.(-2,6),(4,0)

C.(2,0),(-1,3)D.(-1,3),(2,0)

解析：由題意知，a+b-C1,3):

a-b=(3,-3),

<t03).

答案：C

5.如圖，E,F分別是矩形ABCD的邊CD,BC的中點(diǎn)，則2品+既=()

A.-AB+iADB.-AB+-AD

2222

C.iAB+-ADD.AB+2AD

22

解析：因?yàn)镋是DC的中點(diǎn)，所以玩W玩，所以“=而+麗=而+］玩=而+(通.

因?yàn)镋,F分別是矩形ABCD的邊CD,BC的中點(diǎn)，所以前=前+而=［而一］而,

所以2魂+EF=2((AD)''+|AB")+(|AB-|AD)=|AB+|崩.

答案：B

6.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，OP=xOA+yOB,MBP=2PA,貝1］()

B

C.x=-y=-D.x=-,y=-

4fy44J4

解析：由題意知麗=麗+麗，又壽=2萬(wàn)，所以麗=麗+|前=麗+"市一加)=

|0A+10B,所以x=|,y=j.

答案：A

7.已知ei，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，則下列四組向量中，不能做基底的是()

A.ei與e】+e2B.2e2與e】+e2

C.e】+e2與e］一e?D.-3e1+2e2與3e1一2e2

解析：A項(xiàng)，Tei,e2不共線，:.ei與ei+e2不共線，可以作為基底，A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，

,「ei,e2不共線，；.e2與ei+e2不共線，即2e?與ei+e2不共線，可以作為基底，B項(xiàng)錯(cuò)誤；

C項(xiàng)，?.,不存在實(shí)數(shù)入，使得ei+e2=Me］一?2),，ei+e2與ei—?2不共線，可以作為基底，

C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，???一3ei+2e2=—(3ei—2e2),???一3ei+2e2與3由一2e2共線，不能作為基底，

D項(xiàng)正確.故選D.

答案：D

8.如圖所示，已知點(diǎn)G是aABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作直線分別交AB,AC兩邊于M,N

兩點(diǎn)，且詢=x屈，AN=yAC,則2x+y的最小值為()

3+2V24V2

--------------D.--------

33

C.3+2魚(yú)D.4V2

解析：因?yàn)辄c(diǎn)G是AABC的重心，MAM=xAB,AN=JAC,

所以前=|x/M+亞）=/5俞+'碩），

因?yàn)镸,G,N三點(diǎn)共線，

所需C+?=L

所以2元+y=32x+y）D=#2+半+?+1）沖3+2a）,當(dāng)且僅當(dāng)號(hào)三，即y=<2x

時(shí)，等號(hào)成立，

所以2x+y的最小值為管生.故選A.

答案：A

二'多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）

9.設(shè)點(diǎn)0是正方形ABCD的中心，則下列結(jié)論正確的是（）

A.AO=OCB.BO^DB

C.靠與而共線D.AO=BO

解析：如圖，

;而與前方向相同，長(zhǎng)度相等，；.A中結(jié)論正確；：B,0,D三點(diǎn)在一條直線上，，前

〃而，B中結(jié)論正確；：AB〃CD,...兩與而共線，C中結(jié)論正確；?.?而與前方向不同，

AAO^BO,D中結(jié)論錯(cuò)誤.故選ABC.

答案：ABC

10.下列說(shuō)法中正確的是（）

A.若魂=灰，則A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)平行四邊形

B.若2〃1>,b〃c,貝！|a〃c

C.互為相反向量的兩個(gè)向量模相等

D.NQ+QP+MN-MP=O

解析：對(duì)于A,當(dāng)A,B,C,D四點(diǎn)共線時(shí)，不成立，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,零向量與任何向量共線，當(dāng)b=0時(shí)，a〃b,b//c,則a〃c不成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,互為相反向量的模相等，方向相反，故C正確；

對(duì)于D,NQ+QP+MN-MP=NP+PM+MN=NM+MN=O,故D正確.

答案：CD

11.如圖，已知長(zhǎng)方形ABCD中，AB=3,AD=2,DE=XDC(0<X<1),則下列結(jié)論正

確的是()

A

B

2-一

BE

A.當(dāng)九=乙時(shí)，AD=-AE+3-

B.當(dāng)入=2時(shí)，cos<AE,BE)=—

310

C.對(duì)任意九￡(0,1),靠_1屁不成立

D.|靠+呢|的最小值為4

fy

\DEC

A]Bx

解析：如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB,AD所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)

系，則A(0,0),B(3,0),C(3,2),D(0,2),由屁=后記，可得E(332).A項(xiàng)，當(dāng)入=決寸，

E(l,2),則靠=(1,2),BE=(-2,2),設(shè)X5=mlS+n屁，又說(shuō)=(0,2),所以10--2n,

(2=2m+2n,

(2

m=一，

得｛:故而W第+[篦A錯(cuò)誤；B項(xiàng)，當(dāng)入=|時(shí)，E(2,2),則靛=(2,2),BE=(-

n=一,

k3

1,2),故cos(AE,BE)=禺獸=不^=叵，B正確；C項(xiàng)，AE=(3X,2),BE=(3X

|AE||BE|2V2XV510\\

-3,2),若品_L前，則屈?前=3人(3九一3)+2X2=9X—9九+4=0,對(duì)于方程9V-9A.+4

=0,A=(-9)2-4X9X4<0,故不存在九G(0,1),使得品，品，C正確；D項(xiàng)，AE+BE=

(6九一3,4),所以由+麗=J(6人一3尸+4224,當(dāng)且僅當(dāng)九=手寸等號(hào)成立，D正確.

答案：BCD

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分，把正確答案填在題中橫線上)

12.已知向量a,b,在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,

則|a—設(shè)。CR)的最小值是

解析：建如圖所不的平面直角坐直系,則a=(2,1)，b=(2,-1),?*?3—M)=(2一2九,

1+入）,

**?|a-X,b|—J(2—2入/+(1+入)2=入2—6入+5=J5(入一§+裝,

當(dāng)人=|時(shí)，|a—M>|取得最小值，最小值是半.

答案：第

13.若向量m=(0,—2),n=(3,1),則|2m+n|=,寫(xiě)出一個(gè)與向量2m+n

方向相反的非零向量嬴=.

解析：2m+n=2(0,-2)+(3,1)=(3,-3),所以|2m+n|=,32+(一3-=3段.與2m

+n方向相反的非零向量0A可以是(一3,3)(只要向量坐標(biāo)滿足(一3九，3九)，X)即可).

答案：3V2(-3,3)(答案不唯一)

14.如圖，在aABC中，話=1前，點(diǎn)E在線段AD上移動(dòng)(異于端點(diǎn))，若靠=入熊+

由，貝畛+；的取值范圍是

4

E

BDC

解析：設(shè)￡f=mAB(0<m<l),則品=m(跖+前)=m(熊配)=m[屈+工(麗+品)]

入

m所以

-一

=—AB+上前二因?yàn)檎f(shuō)=而+|1品，所以入=也,-32=—+—(0<m<l).設(shè)f(m)

3m

=y+-，分析知f(m)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)0<mvl時(shí)，f(m)>f(l)=]+3=w所

以g+；的取值范圍是(/,+°°).

答案：(g，+8)

四、解答題(本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

15.(13分)在①(ta+b)〃(a+tb),②|ta+b|=|a+tb|這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面

的問(wèn)題中，并解答.

已知向量a=(—l,—1),b=(0,1).

(1)若，求實(shí)數(shù)t的值；

(2)若向量c=(x,y),且c=—ya+(l—x)b,求|c|.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

解析：(1)由題可得ta+b=(—t,—1+1),a+tb=(—1,—1+t).

若選擇條件①：

*.*(ta+b)〃(a+tb),

.\-t(-i+t)-(-t+i)x(-i)=o,

解得t=±l.

若選擇條件②：

V|ta+b|=|a+tb|,

???J(—"+(—t+1)2=J(-1)2+(_1+),

解得t=±l.

(2)解析：由題意，得c=_y(T,—1)+(1—x)(0,l)=(y,y-\-l—x)=(x,y),

即]

ky+1—x=y,

解得％=y=l,.*.c=(l,1).

|c|=Vl2+l2=V2.

16.(15分)若平面向量a,b滿足|a+b|=l,b=(—2,—1).

(1)若a+b平行于x軸，求向量a的坐標(biāo)；

(2)若|a|=&,求|2a—b|的值.

解析：(1)設(shè)a=(x,y),則a+b=(x—2,y—1),

Ta+b平行于x軸，.?.y—l=O,解得y=l,

V|a+b|=l,/.J(%-2尸+0=1,解得冗=3或x=l,

.?.a=(3,1)或a=(l,1).

(2)解析：設(shè)a=(xo，yo),則a+b=(x()—2,州一1),

fJ以+羽=企,

U(x0—2)2+(y0—1)2=1,

解得卜o=_l；或卜=*

IVo=1[y0=s-

；.2a—b=(4,3)或2a—b=(g,g,

.-.|2a-b|=V4^T3^=J(y)2+g)2=5.

17.(15分)已知平面直角坐標(biāo)系中有不共線的三點(diǎn)，A(l,1),B(2,1),D(4,5).

(1)求以線段AB,AD為鄰邊的平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC,BD的長(zhǎng)；

(2)設(shè)點(diǎn)P滿足靠=(3,3),試判斷點(diǎn)P是在4ABD的內(nèi)部，還是在AABD的外部.請(qǐng)

說(shuō)明理由.

解析：(1)：A(1,1),B(2,1),D(4,5),

.,.AB=(1,0),AD=(3,4),麗=(2,4),

AC=AB+AD=(1,0)+(3,4)=(4,4),

.\AC=|AC|=V42+42=4V2,

BD=V22+42=2V5.

(2)解析：；BD的中點(diǎn)為E(3,3),A(l,1),

.1.AE=(2,2),

又養(yǎng)=(3,3),.*.AP=jAE,

由|>1知點(diǎn)P在AE的延長(zhǎng)線上，

.?.點(diǎn)P不是在4ABD的BD邊上，而是在4ABD的外面.

18.(17分)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(—l,2),c=(4,1).

(1)求滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n；

(2)若(a+kc)〃(2b—a),求實(shí)數(shù)k.

解析：(1)由題意得(3,2)=m(—1,2)+n(4,1),

,(5

=

f—m+4n=3,m—9,

所以解得|8

I2m+n=2,n=

I9

(2)解析：a+kc=(3+4k,2+k),2b—a=(—5,2),

由題意得2X(3+4k)—(—5)X(2+k)=0,解得k=一9

19.(17分)已知集合Sn={X|X=(xi，X2,…，Xn),x￡N*,i=l,2,…，n(n>2)},對(duì)

于A=(ai，a2>an)ESn,B=(bi，b2,—,bn)￡Sn