機械工程控制基礎補充拉氏變換知識4/30/20231第1頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一一個函數(shù)可以進行拉氏變換的充分條件是：⑴t<0時，f(t)=0；⑵t≥0時，f(t)分段連續(xù)；⑶。F(s)—象函數(shù)，f(t)—原函數(shù)。記為反拉氏變換。復習拉氏變換①定義：如果有一個以時間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域t>0，那么下式稱為函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換式：,式中s為復數(shù)。記作拉普拉斯變換:4/30/20232第2頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一復習拉氏變換例1：階躍函數(shù)：,A為常數(shù)。

F(s)=

當A=1時，稱單位階躍函數(shù)。

即。A0yt4/30/20233第3頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一復習拉氏變換例2：指數(shù)函數(shù)y=f(t)=，A，α為常數(shù)，F(xiàn)(s)=

4/30/20234第4頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一復習拉氏變換例3：斜坡函數(shù)f(t)=At,F(s)=當A=1時，稱單位斜坡函數(shù)。即

0f(ttf(t)4/30/20235第5頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一復習拉氏變換例4：正弦函數(shù)f(t)=Asinωt,A、ω為常數(shù)。4/30/20236第6頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一復習拉氏變換歐拉公式：4/30/20237第7頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一復習拉氏變換②常用函數(shù)的拉氏變換：單位階躍函數(shù)：

單位脈沖函數(shù)：

單位斜坡函數(shù)：

單位拋物線函數(shù)：

正弦函數(shù)：其他函數(shù)可以查閱相關(guān)表格獲得。4/30/20238第8頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一⑴線性定理：復習拉氏變換③性質(zhì)：⑵微分定理：4/30/20239第9頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一復習拉氏變換⑶積分定理：⑷初值定理：⑸終值定理：4/30/202310第10頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一⑹卷積定理：復習拉氏變換4/30/202311第11頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一④線性方程的求解：研究控制系統(tǒng)在一定的輸入作用下，輸出量的變化情況。方法有經(jīng)典法，拉氏變換法和數(shù)字求解。在自動控制系統(tǒng)理論中主要使用拉氏變換法。[拉氏變換求微分方程解的步驟]：①對微分方程兩端進行拉氏變換，將時域方程轉(zhuǎn)換為s域的代數(shù)方程。②求拉氏反變換，求得輸出函數(shù)的時域解。線性方程的求解4/30/202312第12頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一線性方程的求解（例子）例：利用拉普拉斯變換解線性常微分方程

已知：解：方程兩邊作拉氏變換，4/30/202313第13頁，共15頁，2023年，2月20日，星期一線性方程的求解（例子）4/30/20