高等數(shù)學(xué)公式篇

?平方關(guān)系：

sinA2(a)+cosA2(a)=1

tanA2(a)+1=secA2(a)

cotA2(a)+1=cscA2(a)

?積的關(guān)系：

sina=tana*cosa

cosa=cota*sina

tana=sina*seca

cota=cosa*csca

seca=tana*csca

csca=seca*cota

?倒數(shù)關(guān)系：

tanacota=1

sinacsca=1

cosaseca=1

直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,

余弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對(duì)邊比鄰邊，

?三角函數(shù)恒等變形公式

?兩角和與差的三角函數(shù)：

cos(a+p)=cosacosp-sinasinp

cos(a-p)=cosacosp+sinasinp

sin(a±p)=sinacosp±cosasinp

tan(a+p)=(tana+tan3)/(1-tanatanp)

tan(a-P)=(tana-tanp)/(1+tanatan3)

?三角和的三角函數(shù):

sin(a+p+Y)=sinacospcosY+cosasinpcosY+cosacospsinY-sinasinpsinY

cos(a+p+Y)=cosacosPcosY-cosasinpsinY-sinacosPsinY-sinasinp-cosY

tan(a+p+Y)=(tana+tanp+tanY-tana-tanptanY)/(1-tanatan|3-tanptanY-tanYtana)

?輔助角公式：

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)sin(a+t),其中

sint=B/(AA2+BA2)A(1/2)

cost=A/(AA2+BA2)A(1/2)

tant=B/A

Asina+Bcosa=(AA2+BA2)A(1/2)cos(a-t),tant=A/B

?倍角公式：

sin(2a)=2sinacosa=2/(tana+cota)

cos(2a)=cosA2(a)-sinA2(a)=2cosA2(a)-1=1-2sinA2(a)

tan(2a)=2tana/[1-tanA2(a)]

?三倍角公式：

sin(3a)=3sina-4sinA3(a)

cos(3a)=4cosA3(a)-3cosa

?半角公式：

sin(a/2)=±\'((1-cosa)/2)

cos(a/2)=±V((1+cosa)/2)

tan(a/2)=±\'((1-cosa)/(1+cosa))=sina/(1+cosa)=(1-cosa)/sina

?降移公式

sinA2(a)=(1-cos(2a))/2=versin(2a)/2

cosA2(a)=(1+cos(2a))/2=covers(2a)/2

tanA2(a)=(1-cos(2a))/(1+cos(2a))

?萬(wàn)能公式:

sina=2tan(a/2)/[1+tanA2(a/2)]

cosa=[1-tanA2(a/2)]/[1+tanA2(a/2)]

tana=2tan(a/2)/[1-tanA2(a/2)]

?積化和差公式：

sinacosp=(1/2)[sin(a+p)+sin(a-p)]

cosasinp=(1/2)[sin(a+p)-sin(a-p)]

cosacosp=(1/2)[cos(a+p)+cos(a-p)]

sinasinp=-(1/2)[cx)s(a+P)-cos(a-P)]

?和差化積公式：

sina+sinp=2sin[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

sina-sinp=2cos[(a+p)/2]sin[(a-3)/2]

cosa+cosp=2cos[(a+p)/2]cos[(a-p)/2]

cosa-cosP=-2sin[(a+p)/2]sin[(a-P)/2]

,推導(dǎo)公式

tana+cota=2/sin2a

tana-cota=-2cot2a

1+cos2a=2cosA2a

1-cos2a=2sinA2a

1+sina=(sina/2+cosa/2)A2

?其他:

sina+sin(a+2n/n)+sin(a+2TT*2/n)+sin(a+2n*3/n)+......+sin[a+2n*(n-1)/n]=0

cosa+cos(a+2n/n)+cos(a+2n*2/n)+cos(a+2n*3/n)+.......+cos[a+2TT*(n-1)/n]=0以及

sinA2(a)+sinA2(a-2rr/3)+sinA2(a+2TT/3)=3/2

tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=O

三角函數(shù)的角度換算

[編輯本段]

公式一：

設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同?角函數(shù)的值相等：

sin(2kn+a)=sina

cos(2kn+a)=cosa

tan(2kTr4-a)=tana

cot(2kn+a)=cota

公式二

設(shè)a為任意角，n+a的三角函數(shù)值與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(n+a)=—sina

cos(n+a)=-cosa

tan(n+a)=tana

cot(n+a)=cota

公式三：

任意角a'j-a的二角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(-a)=—sina

cos(—a)=cosa

tan(—a)=—tana

cot(—a)=—cota

公式四：

利用公式二和公式三可以得到n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：

sin(n—a)=sina

cos(n-a)=-cosa

tan(n—a)=-tana

cot(n—a)=-cota

公式五：

利用公式?和公式三可以得到2n-a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(2TT-a)=-sina

cos(2n—a)=cosa

tan(2n—a)=~tana

cot(2n—a)=-cota

公式六：

Tf/2±a及3n/2±a與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:

sin(n/2+a)-cosa

cos(n/2+a)=-sina

tan(n/2+a)=~cota

cot(n/24-a)=—tana

sin(TT/2—a)=cosa

cos(n/2—a)=sina

tan(n/2—a)-cota

cot(n/2—a)=tana

sin(3n/24-a)=—cosa

cos(3ir/2+a)=sina

tan(3n/2-4-a)=—cota

cot(3n/2+a)=—tana

sin(3TT/2—a)=—cosa

cos(3n/2—a)=—sina

tan(3u/2—a)=cota

cot(3n/2—a)=tana

(以上k￡Z)

部分高等內(nèi)容

[編輯本段]

?高等代數(shù)中三角函數(shù)的指數(shù)表示(由泰勒級(jí)數(shù)易得)：

sinx=[eA(ix)-eA(-ix)]/(2i)cosx=[eA(ix)+eA(-ix)]/2tanx=[eA(ix)-eA(-ix)]/[ieA(ix)+ieA(-ix)]

泰勒展開(kāi)有無(wú)窮級(jí)數(shù)，eAz=exp(z)=1+z/1!4-zA2/2!+zA3/3!4-zA4/4!+...4-zAn/n!+…

此時(shí)?:角函數(shù)定義域已推廣至整個(gè)復(fù)數(shù)集。

?3角函數(shù)作為微分方程的解：

對(duì)于微分方程組y=?y”;y=y"”，有通解Q,可證明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發(fā)定義Jfj函數(shù)。

補(bǔ)充：由相應(yīng)的指數(shù)表示我們可以定義?種類似的函數(shù)一雙曲函數(shù)，其擁有很多與?二角函數(shù)的類似的性質(zhì)，.者相映成趣。

特殊:?角函數(shù)值

aO'30'45'60'90,

sina01/2<212弋3/21

cosa143/2<2121/20

tana0\'3/3143None

cotaNone\31\f3/30

導(dǎo)數(shù)公式:

1

z2(arcsinx)'

(rgx)=secxr7

(ctgx\=-esc2x

i

(arccosx)z=-

(secxY=secxtgxVl-x2

(escx)'=一escx?ctgx

xx(arctgx)=-~~r

(aY=alna14-x

(iog〃xy=——

(arcctgx)=------7

xlna1+x

基本積分表：

^tgxdx=-ln|cos+C,dx=jsec2xdx=tgx+C

cos2X

|ctgxdx=ln|sinx|+C

'dx=jcsc2xdx=-ctgx+C

jsecxJx=ln|secx4-/gx|+Csin2x

|secxrgAz/x=secx+C

jcscx6^:=ln|cscx-crgx|4-C

jcscx-ctgxdx=-escx+C

dx

a1+x

aa\axdx=-^—+C

dxx-aJIna

22

x-ax+a卜。\shxdx=chx+C

dxa+x

In+c

2chxdx=shx+C

a一1Laa-x

.x-=ln(x+Vx2±a2)+C

=arcsin—+C

x2a

n兀

22

I=jsin"xdx-jcos"xdx=

n口ln-2

oon

_2_________

~ln(x+dx2+a2)+C

2

2

a--Inx+V?-a2+C

2

2

222a.工人

^a-xdx=-x+—arcsin—4-C

2a

三角函數(shù)的有理式積分：

.2u1-w2x.2du

sinx=------rCOSX=--------7ax---------7

1+11+u21+w2

一些初等函數(shù):兩個(gè)重要極限:

一sin/1

雙曲正弦：$床=匕匚lim-----=1

2J。X

雙曲余弦:chx=*+*lim(l+-)t=e=2.718281828459045..

2.18%

雙曲正切:比％=迎=^^

chxe+e

arshx=ln(.￥+7.r2+1)

archx-±ln(x+-1)

T1.1+x

arthx=—In-----

21-x

三角函數(shù)公式：

-誘導(dǎo)公式：

數(shù)

sincostgctg

角A\

-a-sinacosa-tga-ctga

90°-acosasinactgatga

900+acosa-sina-ctga-tga

1800-asina?cosa-tga-ctga

180。+。-sina-cosatgactga

270%-cosa-sinactgatga

27O0+a-cosasina-ctga-tga

36O0-a-sinacosa-tga-ctga

36O0+asinacosatgactga

?和差角公式：?和差化積公式：

a+

sin(a±/?)=sinacosp±cosasinj3sina+sin/?=2sinCos—~~—

cos(<z±^)=cosacos+sinasin/3

sina-sinp=2cossin———

22

1+tgatgfi

n,a+Ba-B

coscr+cos/?二2cos------cos......-

22

ctgp±ctga

cosa-cos/?=2sinsin—~—

22

?倍角公式:

sin2a=2sinacosa

cos2a=2cos2a-\=l-2sin2nr=cos2a-sin2asin3a=3sina—4sin3a

-ctg~a-\cos3a=4cos3a-3cosa

ctg2a=--------

2ctga3tga-tg3a

tg3a=

2tga1一3/g2a

tg?a=

iTg2a

?半角公式:

.a,1-COS6T

sm—=±J----------

2\2

a.1l-cosal-cosasinaa,1+cosa_l+cosa_sina

tg—=±J----------=-----------=-----------”士

2Vl+cosasina1+cosal-cosasinal-cosa

?正弦定理：/一=—匕=—L=2R?余弦定理：c2=a2+h2-2ahcosC

sinAsin8sinC

71

?反三角函數(shù)性質(zhì)：arcsinx=----arccosxarctgx=--arcctgx

高階導(dǎo)數(shù)公式——萊布尼茲(Leibniz)公式:

攵=0

=，，叫+〃心叫小叫〃加-1>.山一人+1)/1)產(chǎn)+-..+/")

2!k\

中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用:

拉格朗日中值定理：/(/?)-/(?)=

/何一/伍)_/'?)

柯西中值定理:

F⑸一F⑷-F'G)

當(dāng)F(x)=x時(shí)，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率:

弧微分公式：ds=yj\+y，2dx,其中y'=fga

平均曲率米=四公。:從M點(diǎn)到M'點(diǎn)，切線斜率的傾角變化量；As：MAT弧長(zhǎng)。

ks

M點(diǎn)的曲率：/r=lim—=—31

A—。Asds

直線：K=0;

半徑為a的圓：K=-.

a

定積分的近似計(jì)算:

矩形法:jy（幻r如工（為+%+…+

?〃

梯形法：j/（x）R匕、：（＞，0+北）+乃+…+

in2

拋物線法:］7（x）=-h--n［（比+y.）+2（乃+為+…+Xi）+4（X+以+…+乂1）］

J3/7

定積分應(yīng)用相關(guān)公式:

功：W=Fs

水壓力：F=p.A

引力：尸二女嗎J女為引力系數(shù)

r

_1b

函數(shù)的平均值：y=----|"/（x）dx

b-aJ

均方根:

空間解析幾何和向量代數(shù):

空間2點(diǎn)的距離：d=|叫％|=J*?-占）2+（乃-NJ+（句/A

----------?----------#?!---------#?

向量在軸上的投影:Prj“AB=A*cos%9是AB與"軸的夾角。

Prjit（萬(wàn)i+?2）=Prja］+Prja2

ah二同WcosB=a也+。也+a2，是?個(gè)數(shù)量，

。也也

兩向量之間的夾角:cose二

Jaj+a、生2.4bj+bj+b：

iJk

c=5xh=axavq_,k]=同[碾山夕例：線速度：v=wxr.

久久，a

4?Ui

向量的混合積%應(yīng)］二@父楊］二么么b.二歸乂〃|.同cosaayg銳角時(shí),

Clj

代表平行六面體的體積。

平面的方程：

1、點(diǎn)法式:A(x-x0)+B(y-yo)+C(z-zo)=0,其中后={4優(yōu)。},^。^。/。,%。)

2、一般方程：Ar+8y+Cz+O=0

3、截距世方程:“+y+2=1

ahc

d=Axo+Byo+Czo+

平面外任意一點(diǎn)到該平面的距離:。

'VA2+52+C2

x=xQ+mt

空間直線的方程:匕包=匕比=七包=/，其中8={"?,",〃}；參數(shù)方程：》=%+處

mnp

Z=Zo+/

二次曲面：

222

1、橢球面:一r+r+=1

a2h2c2

22

2、拋物面:L+2-=z,(p,q同號(hào))

2p2q

3、雙曲面：

222

單葉雙曲面:答+2-今=1

a2b2c2

222

雙葉雙曲面V-七v+0z=1(馬鞍面)

abc

多元函數(shù)微分法及應(yīng)用

全微分：dz--dx-\---dydu--dx-\---dy-\---dz

dxdydxdydz

全微分的近似計(jì)算：Az=dz=/；(x,y)Av+fy(x,)))△)；

多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：

加

改

蟲(chóng)

電

Z=/W),v。)]皆=+一

打

加

dt加37

改

次

加

生

r

S

-一

---加

Z=f[u(x,y),v(x,y)]加

aY8Xax

當(dāng)〃=u(x9y),v=u(犬,y)時(shí)，

,du.du,.dv.3v,

du=—dx-\dydv=——dx+—dy

dxdydxdy

隱函數(shù)的求導(dǎo)公式:

/y_aFa工dy

隱函數(shù)/(兀y)=0,蟲(chóng)=_乙涓一瓦(一胃+豆(一胃Z

dxFy

3z_F次_Fy

隱函數(shù)F(x,y,z)=O,x

dxF,dyF：

dFdF

隱函數(shù)方程組:J=^F,G)=du加_K,尸v

dG

G(x,y,w,v)=03(u,v)HGG?Gv

du3v

__13(F,G)3v=_1a(F,G)

dxJ3(x,v)dxJa(M,x)

a“=_ia(/,G)加=_i3(F,G)

?J3(y,v)dyJ3(w,y)

微分法在幾何上的應(yīng)用:

X=(pQ)

空間曲線y=〃(f)在點(diǎn)M(x°,yo，z。)處的切線方程:宗=與夬=與至

八八夕&)〃&)

Z=(O(t)

在點(diǎn)M處的法平面方程：dQo)aTo)+U(t。)(y-%)+)(Z—Zo)=o

F(x,y,z)=O，則切向量了={fvF、.

若空間曲線方程為:

G(x,y,z)=O5G「G；G：GG,

曲面尸(x,y,z)=0上一點(diǎn)A/(x0，%,Zo)，則：

、

1過(guò)此點(diǎn)的法向量：n={Fx(x0,y0,z。),々(演,孔,z0),F:(x0，%,z。)}

2、過(guò)此點(diǎn)的切平面方程：工(x0,y0,z0)(尤-x0)+Fy(x0,y0,z0)(y-y())+產(chǎn)式％,孔,)(z-)=0

3、過(guò)此點(diǎn)的法線方程:

工(x。，〉。，2)Fy(x0,y0,z0)F：(x0,y0,Z0)

方向?qū)?shù)與梯度:

函數(shù)z=/(x,y)在一點(diǎn)P(x,y)沿任一方向/的方向?qū)?shù)為：%=%cose+%sin9

oloxdy

其中泌x軸到方向/的轉(zhuǎn)角。

函數(shù)z=/(x,y)在??點(diǎn)p(x,y)的梯度：gradf(x,y)=^-T+

oxdy

它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是:%=grad/(x,y)Z,其中，=cos°i+sin°?J,為/方向上的

ol

單位向量。

萼是gradf(x,y)在/上的投影。

dl

多元函數(shù)的極值及其求法：

物工(/，凡)=fv(/,打)=0，令：九CWo)=A，/￡/，%)=8,f?CWo)=C

A<0,(x(),孔)為極大值

AC—爐時(shí)/

A>0,(尤0,光)為極小值

則:AC-爐＜0時(shí).,無(wú)極值

AC—B?=0時(shí)，不確定

重積分及其應(yīng)用：

y)dxdy=J1/(rcos0,rsinO)rdrdO

D

2

dz也'

曲面Z=/（居y）的面積A叩+dxdy

da

\\xp^y）d（yM,\\yp^

平而薄片的重心：汽=2二號(hào)---------,y----=-----------

Mjjp（x,y）d（y

DD

平而薄片的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:對(duì)于九軸/工=JJ/pHyHs對(duì)于y軸4=Jjd/（qy）d。

DD

平面薄片（位于陽(yáng)），平面）對(duì)z軸上質(zhì)點(diǎn)〃（0,0,。）,（。＞0）的引力：F=",￡},其中:

=:JJ夕（x,y）xd。F=_%J]0(x，),)M'

FF*JJPH",：

D（x2+y2+a2）2D(x2+y2+a2)2D(x2+y2+a2)2

柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo)：

x-rcos?

柱面坐標(biāo):y=rsin/UJf(x,y，Z)dxdydz=JJjF(r,e,z)rdrd田7

1=2

其中：F(r,6,z)=/(rcosS/sinaz)

x-rsin夕cos6

y=rsin/sin8,dv=rd(p'rSAWtp-dOdr=r~SA\\(pdrd(pd3

z-rcoscp

2不度

JJj/(x,y,zI)dxdydz=夕⑻/'sin幽=^d8^d(p^F(r,(p,^)r2sin^t/r

000

重心：元$肝M尸肝加匕飛=春師加其中M=x=JJJ/My

lYliri1￥l

QQQQ

222

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：Ix=J]**)/+z)pdv,Iy=JJj(x+Z)M,,

LIQ

曲線積分:

第一類曲線積分（對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分）：

匆Cu）在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為⑺3工區(qū)協(xié)則:

[y”Q）

x-t

J/Q,y)ds=J/S。)，4(/)]J"(f)+，(f)df3<B)特殊情況:

Lay=o(f)

第二類曲線積分(對(duì)坐標(biāo)的曲線積分)：

設(shè)L的參數(shù)方程為「=則:

[y=沙(。

P

》(.%y)dx+Q(x,=J｛尸[/(0"(『)]"⑺+QS”),歹《)]/?)｝山

La

兩類曲線積分之間的關(guān)系:1Pdx+Q/y=J(Pcosa+Qcos月)ds,其中a和6分別為

LL

ZJ二積分起止點(diǎn)處切向量的方向角。

格林公式:JJ(：0-，)dxdy=jPdx+Qdy格林公式:JJ(-1)dxdy=jPt/n-Qdy

o*力LJ小i

當(dāng)P二-y,Q=x,即:，。一？二2時(shí)，得到。的面積：A=\\dxdy=LxJv-ydx

oxdyF2,“

,平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件：”

1、G是一個(gè)單連通區(qū)域；

2、P(x.y),Q?y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且乎=丫。注意奇點(diǎn)，如(0,0),應(yīng)

oxdy

減去對(duì)此奇點(diǎn)的積分，注意方向相反！

?二元函數(shù)的全微分求積：

在時(shí)，2公+。公才是二元函數(shù)〃(兀y)的全微分，其中：

dxdy

u(x,y)=Jp(x,y)dx4-Q(.x,y)dy,通常設(shè)%=%=0。

("0)

曲面積分:

對(duì)面積的曲面積分:口f(x,_y,z)ds二fff[x,y,z(x,y)]^1+(x,y)+z^.(x,y)dxdy

E%V

對(duì)坐標(biāo)的曲面積分:J，7。,y,z)dydz+Q(x,y,i)dzdx+R(x,y,z)dxdy,其中：

￡

y,z)dxdy=±y,z(x,y)]dxdy,取曲面的上側(cè)時(shí)取正號(hào);

z%.

[Jp(x,)\z)dydz-±JJP[My,w),}\z]dydz^取曲面的前側(cè)時(shí)取正號(hào);

NOy:

口。(其y,z)dzdx=±/J。]*,y(z,x),z]dzdxf取曲面的右側(cè)口寸取正號(hào)。

兩類曲面積分之間的關(guān)系:JJPdydz+Qdzdx+Rdxdy=jj(Pcosa+Qcos0+Rcosy)ds

高斯公式:

成+M+普)dv=甘Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=耳(尸cosa+QcosJ3+Rcosy)ds

o力次zz

高斯公式的物理意義——通量與散度：

散度：div。=攣+挈+半,即：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)所產(chǎn)生的流體質(zhì)量，若div。＜0,則為消失…

oxdydz

通量：JJ晨五杰==jj(Pcos6Z+0cos0+Rcosy)ds,

z

因此，高斯公式又可寫(xiě)成:JjjdivZdn=抒40

Qz

斯托克斯公式-—曲線積分與曲面積分的關(guān)系：

ff37?3(2xJj/?

z-------)dzdx+(--)Jxt/v=(^Pdx+Qdy+Rdz

dx-------dx力r

dydzdzdxdxdycosacos4:os/

上式左端又可寫(xiě)成:]jdda=113a

dxdzdz

pQRpR

dRdQdP_az?a。_dP

空間曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件:

dyHz'dzHxdx

ijk

aad

旋度：rotA=

dxdydz

PQR

向量場(chǎng)N沿有向閉曲線「的環(huán)流量：，Pdx+Qdy+Rdz=0,tds

rr

常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：

等比數(shù)列:l+q+^+…+/I=上立

i-q

等差數(shù)列：l+2+3d---1-72=("+1)"

2

調(diào)和級(jí)數(shù)：1+'---1■,是發(fā)散的

23n

級(jí)數(shù)審斂法:

1、正項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法—根植審斂法(柯西判別法)：

0<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

設(shè)：2=lim亞7，則<p>川寸,級(jí)數(shù)發(fā)散

〃一>8

0=1時(shí)，不確定

2、比值審斂法:

0<1時(shí)，級(jí)數(shù)收斂

設(shè)：2=1而311,貝30〉1時(shí)，級(jí)數(shù)發(fā)散

“T8TJ

"〔2=1時(shí)，不確定

3、定義法：

s“=%+%+…+〃“；limS"存在,則收斂；否則發(fā)散。

+MU

交錯(cuò)級(jí)數(shù)%-“23~4+…(或-/+?2-W3+???,??>0)的審斂法----萊布尼茲定理：

u>

如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足濡n“10,那么級(jí)數(shù)收斂且其和$《對(duì),其余項(xiàng)乙的絕對(duì)值匕|《“,山。

絕對(duì)收斂與條件收斂：

(1)?1+%+…+〃“+…，其中〃”為任意實(shí)數(shù)；

⑵同+叼+同+…+,/+,,?

如果(2)收斂，則⑴肯定收斂，旦稱為絕對(duì)收斂級(jí)數(shù);

如果(2)發(fā)散，而⑴收斂，則稱⑴為條件收斂級(jí)數(shù)。

調(diào)和級(jí)數(shù):z：發(fā)散，而Z野收斂;

級(jí)數(shù):收斂;

n

P級(jí)數(shù):z.PW1時(shí)發(fā)散

P>1時(shí)收斂

寨級(jí)數(shù):

23?/w<1時(shí)，收斂于」一

l+x+廠+x'+…+x+…(X

\|x|21時(shí)，發(fā)散

對(duì)于級(jí)數(shù)(3)劭+叩+。2/+…+a"x"+…，如果它不是僅在原點(diǎn)收斂，也不是在全

/兇</?時(shí)收斂

數(shù)軸上都收斂，則必存在凡使(|x|>R時(shí)發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。

\k|=H時(shí)不定

/"0時(shí)，R=—

/P

求收斂半徑的方法：設(shè)lim-=p,其中。向是(3)的系數(shù)，則夕=0時(shí)，R=+8

〃T8a\

“\p—+8時(shí),R=。

函數(shù)展開(kāi)成暮級(jí)數(shù)：

函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)：〃X)=/(Xo)(X-Xo)+“^(X-Xo)2+...+e^(X-Xo)"+一

2!n\

余項(xiàng)：Rn=￡2@。一%)"+|J(x)可以展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的充要條件是：lim&=0

5+1)!〃T8

%=0時(shí)即為麥克勞林公式：/(3)=/(0)+廣(0)》+工儂/+-+/3豆/'+一

2!n\

一些函數(shù)展開(kāi)成募級(jí)數(shù)：

(1+廣"+蛔22+-.+的外包二工+-.(-1<X<1)

2!〃！

v-352”-1

sinx—x-----------1-----------…+(-1)〃1------------------F?,?(-°°<x<+°°)

3!5!(2〃-1)!

歐拉公式:

cosx=

=cosx+zsinx或v

sinx=

三角級(jí)數(shù):

/(O=4+EA"sin("a+仁)="+

￡(%cosnx+hnsinnx)

rt=l2M=1

其中,a0=aA0,an=Ansm(pn,bn=Ancos(pn,ax=x?

正交性:1,5由/<：05和出2蒼852%?一達(dá)〃%,85〃%?一任意兩個(gè)不同項(xiàng)的乘積在[-匹%]

上的積分=0。

傅立葉級(jí)數(shù):

即

/(x)=+Z(%cosnx+bnsin〃x>周期=21

2H=1