統(tǒng)計(jì)學(xué)原理主講：李曉輝南昌航空大學(xué)1第一節(jié)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量第二節(jié)大大數(shù)數(shù)定律與與中心極極限定理理第三節(jié)由由正態(tài)態(tài)分布導(dǎo)導(dǎo)出的幾幾個(gè)重要要分布第四節(jié)常常用的的抽樣方方法第五節(jié)抽抽樣分分布第五章抽樣與抽抽樣分布布2第一節(jié)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量（statistic）：描述樣本特征的概括性數(shù)字度量,根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算的一個(gè)隨機(jī)變量，是對(duì)總體分布特征推斷的工具。設(shè)X1,X2,…Xn為總體X的樣本，如果樣本的函數(shù)g(X1,X2,…Xn)是一個(gè)隨機(jī)變量，并且不包含任何未知參數(shù)，則稱g(X1,X2,…Xn)為統(tǒng)計(jì)量。3幾個(gè)常用用的統(tǒng)計(jì)計(jì)量：1.樣本均值值：2.樣本方差差：3.樣本標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差：4第二節(jié)大大數(shù)數(shù)定律與與中心極極限定理理一、大數(shù)數(shù)定律大數(shù)定律律（lawsoflargenumbers）也稱大數(shù)法則則，它是闡闡述大量量同類隨隨機(jī)現(xiàn)象象的平均結(jié)果果穩(wěn)定性的的規(guī)律。。5辛欽大數(shù)數(shù)定理設(shè)隨機(jī)變量X1,X2,…Xn相互獨(dú)立，服從同一分布，且具有數(shù)學(xué)期望EXi=(i=1,2，…n)則對(duì)任意0，有定律表明：只要隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，即使不存在有限方差，其數(shù)學(xué)期望仍可由n個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均值作為其近似值。6二、中心心極限定定理在統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)中，論論證隨機(jī)機(jī)變量和和的極限限分布是是正態(tài)分分布的一一系列定定理統(tǒng)稱稱為中心極限限定理（centrallimittheorem）。7獨(dú)立同分分布中心極限限定理

設(shè)X1,X2,…Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，且存在有限的數(shù)學(xué)期望EXi=和方差DXi=2(i=1,2，…n)，那么當(dāng)n時(shí)，中心極限定理為均值的抽樣推斷奠定了理論基礎(chǔ)。不論總體服從何種分布，只要期望和方差存在，對(duì)這一總體進(jìn)行重復(fù)抽樣，當(dāng)樣本量充分大，樣本均值就趨于正態(tài)分布。8棣莫佛—拉普拉斯斯中心極限限定理定理表明明，當(dāng)n很大，np和n(1--p)(n是試驗(yàn)的的次數(shù)，，p是試驗(yàn)中中事件A發(fā)生的概概率)也都不太太小時(shí)，，二項(xiàng)分布布可以用用正態(tài)分布布去近似似。9第三節(jié)由由正態(tài)分布布導(dǎo)出的幾幾個(gè)重要要分布由樣本統(tǒng)統(tǒng)計(jì)量對(duì)對(duì)未知總總體分布布進(jìn)行推推斷，必必須知道道統(tǒng)計(jì)量所所服從的的分布。本節(jié)介紹紹幾個(gè)重重要的常常用統(tǒng)計(jì)計(jì)量分布布：2分布，t分布，F(xiàn)分布。

10一、分位位數(shù)設(shè)X為隨機(jī)變量量，對(duì)給給定的概率(1>>0))，若實(shí)數(shù)數(shù)F滿足不等等式則稱F為隨機(jī)變變量X分布概率為的上側(cè)分位位數(shù)。若實(shí)數(shù)T/2滿足不等等式則稱T/2為隨機(jī)變變量X分布概率率為的雙側(cè)分位位數(shù)。11標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布的的上側(cè)分位位數(shù)Z0Z12標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)分布的的雙側(cè)分位位數(shù)/2/2Z0-Z/2Z/213設(shè)X1，X2，……Xn是取自標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)態(tài)總體的樣樣本，，則隨機(jī)機(jī)變量服從具有有n個(gè)自由度度的2分布，記為c2-分布(2-distribution)14不同自由由度的c2-分布c2n=1n=4n=10151.變量值始始終為正正2.通通常為不不對(duì)稱的的右偏分布布，隨著自自由度的的增大逐逐漸趨于對(duì)對(duì)稱3.期望E(2)=n，方差D(2)=2n(n為自由度度)4.可加性：若U和V為兩個(gè)獨(dú)立的2分布隨機(jī)機(jī)變量，，U~2(n1)，V~2(n2),則U+V服從自由由度為n1+n2的2分布c2-分布性質(zhì)和特特點(diǎn)16t-分布(t-distribution))設(shè)X~N(0,1)),Y~2(n),且X與Y相互獨(dú)立立，則稱稱服從自由由度為n的t分布，記為t~t((n)17t

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布tt(df=20)t(df=10)z018t分布的性性質(zhì)：（1）與正態(tài)態(tài)分布一一樣，是是對(duì)稱的，但比正正態(tài)分布布要平一一些。（2）自由度度充分大大時(shí)，t分布近似似于正態(tài)態(tài)分布。。自由度度趨向無(wú)無(wú)窮大時(shí)時(shí)，t分布就是是標(biāo)準(zhǔn)正正態(tài)分布布。（3）t分布的均均值為0，其方差差為n/(n-2))。19設(shè)X~2(m),Y~2(n),且且X與Y相互獨(dú)獨(dú)立，則則稱服從自由由度m和n的F分布，記為F-分布(Fdistribution)20不同自由由度的F分布F(1,10)(5,10)(10,10)右偏分布布21第四節(jié)常常用的的抽樣方方法通常有以以下幾種種抽樣方方法：簡(jiǎn)單隨機(jī)機(jī)抽樣分層抽樣樣系統(tǒng)抽樣樣整群抽樣樣多階段抽抽樣22一、簡(jiǎn)單單隨機(jī)抽抽樣對(duì)總體未未作任何何處理，，按隨機(jī)原則則直接從總總體中抽抽出若干干單位構(gòu)構(gòu)成樣本本.抽取樣本的的具體方方法：抽簽法:將總體中中每個(gè)單單位的編編號(hào)寫(xiě)在在外形完完全一致致的簽上上，將其其攪拌均均勻，從從中任意意抽選，，簽上的的號(hào)碼所所對(duì)應(yīng)的的單位就就是樣本本單位。。隨機(jī)數(shù)表表法:將總體中中每個(gè)單單位編上上號(hào)碼，，然后使使用隨機(jī)機(jī)數(shù)表，，查出所所要抽取取的調(diào)查查單位。。僅適用于于規(guī)模不大大、內(nèi)部部各單位位標(biāo)志值值差異較較小的總體直接抽選選法23先將總體體按某一一標(biāo)志分分層，然然后從各各層中按按隨機(jī)原則則抽取樣本本單位組組成樣本本。二、分層層抽樣實(shí)質(zhì)上是是分組法與隨機(jī)原則則的結(jié)合。。例如，在在居民生活活水平調(diào)調(diào)查中，先按按職業(yè)分分類，然然后每種種職業(yè)分分別隨機(jī)機(jī)抽取部部分居民民進(jìn)行調(diào)調(diào)查。24樣本在各各層間的的分配方方法：等比例分配配法：按各層層單位的的比例分分配樣本本單位。。類型抽樣樣的優(yōu)點(diǎn)點(diǎn)：能提高樣樣本的代代表性；；組織起來(lái)來(lái)較為方方便；25先將總體體各單位位按某一一標(biāo)志排排隊(duì)，然然后按固固定的順順序和間間隔抽取取樣本單單位。又又稱機(jī)械抽樣樣或等距抽樣。三、系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣樣是不重重復(fù)抽樣樣，適合合于對(duì)單單位數(shù)不不多且能能進(jìn)行排排序的總總體抽樣樣。按無(wú)關(guān)標(biāo)志志排隊(duì)按有關(guān)標(biāo)志志排隊(duì)排序和所所研究標(biāo)標(biāo)志數(shù)值值大小無(wú)無(wú)關(guān)。如如調(diào)查居民民生活水水平時(shí)，，按姓氏氏筆劃排排隊(duì)。排序和所所研究標(biāo)標(biāo)志數(shù)值值大小有有密切關(guān)關(guān)系。如如居民收入入調(diào)查，，按銀行行存款多多少排序序。26根據(jù)樣本本抽選的的方法不不同，可可分為：：隨機(jī)起點(diǎn)點(diǎn)系統(tǒng)抽抽樣半距起點(diǎn)點(diǎn)系統(tǒng)抽抽樣對(duì)稱起點(diǎn)點(diǎn)系統(tǒng)抽抽樣·······（總體單單位按某某一標(biāo)志志排序））·······（總體單單位按某某一標(biāo)志志排序））·······（總體單單位按某某一標(biāo)志志排序））27系統(tǒng)抽樣樣的好處處：1.可以使抽樣樣過(guò)程大大大簡(jiǎn)化化，減輕輕抽樣的的工作量量；2.如果用有關(guān)關(guān)標(biāo)志排排隊(duì)，還還可以縮縮小抽樣樣誤差，，提高抽抽樣推斷斷效果。。按有關(guān)標(biāo)標(biāo)志排隊(duì)隊(duì)系統(tǒng)抽樣，實(shí)際上上是一種種特殊的分層抽樣。28將總體全全部單位位分為若若干“群”，然后以以群作為為抽樣單單位，從從總體中中抽取若若干群作作為樣本本，并對(duì)對(duì)中選群群的所有有單位進(jìn)進(jìn)行全面面調(diào)查。。例：總體體群數(shù)R=16樣本群數(shù)數(shù)r=4樣本容量量簡(jiǎn)單、方方便，能能節(jié)省人人力、物物力、財(cái)財(cái)力和時(shí)間間，但其其樣本代代表性可可能較差差四、整群群抽樣ABCDEFGHIJKLMNOPDPIH29五、多階段抽抽樣某公司要要進(jìn)行全全國(guó)性的的產(chǎn)品售售后服務(wù)務(wù)滿意度度調(diào)查時(shí)時(shí)，通常常是先抽抽幾個(gè)省省，然后后從抽中中的省中中抽取若若干個(gè)城城市，從從抽中的的城市中中，再抽抽取若干干個(gè)縣、、村，最最后再抽抽到戶，，這種抽抽樣方式式就是多多階段抽抽樣。30第五節(jié)抽抽樣分分布一、抽樣樣分布概概念樣本統(tǒng)計(jì)計(jì)量取值值的概率率分布，，叫抽樣分布布（samplingdistribution）。是推斷統(tǒng)統(tǒng)計(jì)中用用樣本推推斷總體體時(shí)的重重要理論論依據(jù)。。31在重復(fù)選選取容量量為n的樣本時(shí)時(shí)，由樣本均值值的所有有可能取取值形成成的概率率分布推斷總體均值值的理論基基礎(chǔ)二、樣本本均值的分布32=50

=10X總體分布n=4抽樣分布xn=16總體服從從正態(tài)分布布N(μ,σ2)，該總體體的任何容量量的樣本均值值x也服從正態(tài)分布布，x的期望值值為μ，方差為σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)33從均值為為，方差為2的一個(gè)任意總體體中抽取容容量為n的樣本，，當(dāng)n(30)充分大時(shí)，樣本均值值的抽樣樣分布近似服從從均值為為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布布樣本均值值的抽樣樣分布趨于正態(tài)態(tài)分布任意分布布的總體體x34樣本均值值抽樣分分布與總體分布布的關(guān)系總體分布布正態(tài)分布布非正態(tài)分分布大樣本小樣本樣本均值值正態(tài)分布布樣本均值值正態(tài)分布布樣本均值值非正態(tài)分分布35總體(或或樣本))中具有有某種屬性性的單位位與全部部單位總總數(shù)之比比不同性別別的人與與全部人人數(shù)之比比合格品((或不合合格品))與全全部產(chǎn)品品總數(shù)之之比總體比例例可表示為為樣本比例例可表示為為三、樣本本比例的的分布(proportion)36在重復(fù)選選取容量量為n的樣本時(shí)時(shí)，由樣樣本比例例的