6.2.3~6.2.4組合與組合數(shù)

問題一：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的選法？

問題二：從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？甲、乙；甲、丙；乙、丙.3兩個問題有什么聯(lián)系和區(qū)別？探究新知

從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,并成一組問題二

從已知的3個不同元素中每次取出2個元素,按照一定的順序排成一列.問題一排列組合有順序無順序兩個問題有什么聯(lián)系和區(qū)別？聯(lián)系：都是從3個不同元素當中取出2個元素區(qū)別概念講解組合定義:

一般地，從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合．排列定義:一般地，從n個不同元素中取出m(m≤n)

個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從

n個不同元素中取出

m個元素的一個排列.共同點:都要“從n個不同元素中任取m個元素”不同點:排列與元素的順序有關，而組合則與元素的順序無關.

排列與組合的概念有什么共同點與不同點？

思考一:上述問題中，甲乙和乙甲是相同的排列還是相同的組合?為什么?概念理解

構造排列分成兩步完成，先取后排；而構造組合就是其中一個步驟.思考二:組合與排列有聯(lián)系嗎?相同組合：元素相同相同排列：（１）元素相同；（２）元素排列順序相同.思考：校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色各有3輛.判斷下列問題是排列問題還是組合問題?（1）從中選3輛，有多少種不同的方法？（2）從中選3輛給3位同學，有多少種不同的方法？因此組合是選擇的結果，排列是選擇后再排序的結果.組合只選出元素；排列不僅要選出元素還要對元素進行排列變式訓練：判斷下列問題是組合問題還是排列問題?

(1)設集合A={a,b,c,d,e}，則集合A的含有3個元素的子集有多少個?(2)某鐵路線上有5個車站，則這條鐵路線上共需準備多少種車票?有多少種不同的火車票價？組合問題排列問題(3)10名同學分成人數(shù)相同的數(shù)學和英語兩個學習小組,共有多少種分法?組合問題(4)10人聚會，見面后每兩人之間要握手相互問候,共需握手多少次?組合問題(5)從4個風景點中選出2個游覽,有多少種不同的方法?組合問題(6)從4個風景點中選出2個,并確定這2個風景點的游覽順序,有多少種不同的方法?排列問題組合問題例5、平面內(nèi)有A、B、C、D共四個點.(1)以其中2個點為端點的有向線段共有多少條？(2)以其中2個點為端點的線段共有多少條？思考：

利用排列和組合之間關系，以“元素相同”為標準分類，你能建立起例5（1）中排列和（2）中組合之間的對應關系嗎？進一步地，能否從這種對應關系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個數(shù)？（1）排列問題（2）組合問題；只選不排=6

從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用符號表示.例如:從a,b,c三個不同的元素中取出兩個元素的所有組合個數(shù)也就是組合數(shù)是:從4個元素中取出3個元素的組合數(shù)是：概念講解組合數(shù)概念:注意：是一個數(shù)，應該把它與“組合”區(qū)別開來．

例5中已經(jīng)提到，組合和排列有關系，我們能否利用這種關系，由排列數(shù)來求組合數(shù)呢？從a,b,c,d

四個元素中任取三個元素的所有組合。從a,b,c,d

四個元素中任取三個元素的所有排列所有的排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb將每個組合分別進行全排列，就得到了所有排列你發(fā)現(xiàn)了什么?猜想如何計算:組合數(shù)公式根據(jù)分步計數(shù)原理，得到：因此：

一般地，求從n

個不同元素中取出m

個元素的排列數(shù)，可以分為以下2步：

第1步，先求出從這n個不同元素中取出m

個元素的組合數(shù)．

第2步，求每一個組合中m個元素的全排列數(shù)．

這里，且，這個公式叫做組數(shù)公式．

概念講解組合數(shù)公式:

從n個不同元中取出m個元素的排列數(shù)概念講解解：例題分析例6：觀察（1）和（2），（3）和（4）的結果你有什么發(fā)現(xiàn)？（1）和（2）分別用了不同組合數(shù)公式，你對公式的選擇有什么想法？

一般地，從n個不同元素中取出m個元素后，剩下n－m個元素．因為從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下n－m個元素的每一個組合一一對應，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，等于從這n個元素中取出n－m個元素的組合數(shù)，即性質證明：對于組合數(shù)公式（1）（2）例題分析

例7:

在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品．從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件．（1）有多少種不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？解：（1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，為（2）從2件次品中抽出1件次品的抽法有種，

從98件合格品中抽出2件合格品的抽法有種．

因此抽出的3件中恰有1件是次品的抽法的種數(shù)是：

（3）方法1：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，就是從100件中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件都是合格品的抽法的種數(shù)，即方法2：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法，包括1件是次品或2件是次品。可以分兩類：恰有一件次品

恰有兩件次品

故