1、用主元連乘法定義行列式工科線性代數(shù)現(xiàn)代化和大眾化的思路之二西安電子科技大學(xué) 陳懷琛 高淑萍email： hchchen1934摘要：提出了用主元連乘積法來定義行列式，可以把高斯消元法與行列式有機(jī)地聯(lián)系起來，大大簡化行列式的理論講授難度，可以避開的許多困惑的概念，并且使行列式的計算和編程十分方便快捷。這 從1995到2004的十年間，為了把科學(xué)計算軟件用于機(jī)械、電子、控制等類工科課程，我寫了五本書，涉及十多門課程，解了超百道的線性代數(shù)問題，真正體驗(yàn)了后續(xù)課程和工程問題對線性代數(shù)的需要。發(fā)現(xiàn)工科線性代數(shù)現(xiàn)代化和大眾化的首要手段是引進(jìn)機(jī)算。其次，許多老師根本不知道工程上是如何應(yīng)用線性代數(shù)的，憑想象選

2、材。造成在內(nèi)容上，“有用的不教，教了的沒用”。本文只就行列式的用法和算法問題做些探討。一、 工科后續(xù)課究竟如何用行列式的？工科學(xué)生遇到的主要線性代數(shù)問題是解方程組。其階數(shù)通常為五階以上，直到成百上千。求解的基本原理是高斯消元法，采用的工具是計算機(jī)，用手工筆算是不可能的。不過現(xiàn)在的大學(xué)數(shù)學(xué)就是偏偏只教筆算，只管解三階以下的題目。“不教機(jī)算”的問題我已談得很多，2009年高教司已立項(xiàng)“用MATLAB和建模實(shí)踐改造工科線性代數(shù)”來解決這個問題，有19所大學(xué)，45000名學(xué)生參與了試點(diǎn)，深受師生歡迎，現(xiàn)在正在繼續(xù)推廣，本文就不多說了。在這里我要談的是線性代數(shù)中的一個困難的理論問題行列式，應(yīng)該如何教。大

3、家知道，“行列式不為零”是判斷線性方程組解存在的根據(jù)，從數(shù)學(xué)上看，必不可少。因此現(xiàn)在的線性代數(shù)老師教給學(xué)生的是這樣一個概念：拿來一個線性方程組，先算它的系數(shù)行列式，如果它不等于零，再去求解；否則就不算了。實(shí)際情況遠(yuǎn)非如此，我解的上百道矩陣應(yīng)用題目，都是直接求解方程，沒有先算行列式“判解”這個步驟。其原因何在呢？1. 先判解，后求解，這樣的操作順序要有一個前提，那就是，判解應(yīng)該比求解容易。如果求解快，判解慢，那有何必多此一舉去“判解”呢？因此，計算復(fù)雜度是關(guān)鍵，當(dāng)前線性代數(shù)中不考慮計算復(fù)雜度是一個大的缺陷。2. 方程組求解現(xiàn)在都用高斯消元法，數(shù)學(xué)上早有證明，那是最快的方法。行列式的計算法則隨定義

4、而定，現(xiàn)有三種定義方法1：顯式法、代數(shù)余子式法和主元連乘積法。我國的現(xiàn)有教材從來都不講第三種，而前兩種定義下的計算復(fù)雜度極高。三階及以上的系統(tǒng)，判解遠(yuǎn)慢于求解。階數(shù)愈高，兩者的差距愈大。因此，判解實(shí)際上是不進(jìn)行的。 3. 消元法求解的過程中，已經(jīng)經(jīng)歷了解的存在性的判斷。只要消元所得的行階梯矩陣的主對角線上的元素不為零，方程組就有解；主元出現(xiàn)零，方程就無解。其實(shí)，求出了行階梯矩陣，用主元連乘積的定義，已經(jīng)可以很方便地通過N-1次連乘，得到行列式的值，所以求解和求行列式幾乎是同時完成的，并不需要多付出雙倍以至千百倍的無用功來先判解的。尤其是使用計算機(jī)解題時，如果出現(xiàn)了某個零主元，計算機(jī)會發(fā)出出錯告

5、警，指出系數(shù)行列式接近或等于于零。二、 用主元連乘積法定義行列式1設(shè)二階方陣開始，設(shè)二階方陣的系數(shù)矩陣為，只用第三類初等變換來消元，所得的行階梯矩陣為：，對角項(xiàng)（主元）的連乘積D不為零，得到 D=ad-bc0這個D=ad-bc就稱為矩陣A的行列式?？梢?，二階線性方程組主元的連乘積就等于行列式。 如果用矩陣的下標(biāo)來標(biāo)注元素，其行列式為 。2.三階方程組的行列式設(shè)三階方程組的系數(shù)矩陣為則只用第三類初等變換的高斯消元法求得其上三角矩陣如下：要求三個對角元素的連乘積不為零。結(jié)果為： 可見用主元連乘積也同樣可定義三階系數(shù)矩陣的行列式。為了使行列式的值具有唯一性，必須限定消元變換中不使用第一類（會改變正負(fù)

6、號）和第二類（會改變乘數(shù)）初等變換。3. 向高階行列式的演繹由此可以推想，將N階系數(shù)方陣用高斯消元法變換為上三角方陣，其對角線上所有主元的連乘積就是該方陣的行列式，即。我們已經(jīng)知道，消元法解方程時，若主元不等于零，解就存在并可用除法求得。所以，在這個定義下，判斷行列式是否為零與判斷諸主元是否為零是等價的。反過來說，用消元法如能求出方程組的解，則此方程組系數(shù)矩陣的主元，因而行列式必不等于零，再用行列式去判解是多此一舉。許多數(shù)學(xué)書上對此定義方法早有定論。比如在1中明確地指出主元連乘積法是現(xiàn)有的行列式的三種定義方法之一。不知什么原因，得不到重視。中國直到2012年游宏教授的教材2中才首次見到其推導(dǎo)證

7、明。三、 高階行列式的三種定義方法可以認(rèn)為三種高階行列式定義方法都是從二、三階行列式從形式上向上演繹而得出的。顯式法是從各元素下標(biāo)的排列組合規(guī)律向上演繹，代數(shù)余子式法是從矩陣按行展開的規(guī)則進(jìn)行演繹，而主元連乘積法則是從消元法所得上三角矩陣向上演繹的。1顯式法：按照這個定義，n×n矩陣的行列式中每一項(xiàng)將由不同行不同列的n個矩陣元素乘積組成(即要做n-1次乘法)，這些項(xiàng)應(yīng)該能覆蓋所有可能的排列方式，根據(jù)排列理論，行列式將有N=n!項(xiàng)相加。即使n=10，N將達(dá)3628800，而需要的乘法次數(shù)為n×(n-1)!之多，而每項(xiàng)的正負(fù)號將由這n項(xiàng)下標(biāo)排列的逆序數(shù)決定，還需要更多的計算量。

8、所以顯式法也稱為大公式法。顯式法中的逆序和排列計數(shù)對非數(shù)學(xué)系的大學(xué)新生往往是攔路虎。而它的運(yùn)算量不僅超越了人們筆算可能性，也超越了計算機(jī)的能力。一個25階的行列式若按這個大公式來算，用每秒1萬億次的超級計算機(jī)，也要算1200萬年才能得出結(jié)果。這種現(xiàn)象在計算數(shù)學(xué)上稱為“維數(shù)災(zāi)難”。所以它的主要用途是數(shù)學(xué)推理，搞數(shù)學(xué)的當(dāng)然不可缺少，但在應(yīng)用上并沒有多少價值。2代數(shù)余子式法，其思路是將n×n矩陣的行列式化為n個(n-1)×(n-1)較小的行列式（考慮正負(fù)號后稱為代數(shù)余子式）的線性組合。逐級分解，可以減少高階行列式的計算量；逐級綜合，就可由n-1階行列式向上定義n階行列式。因?yàn)槎A

9、行列式要兩次乘法，按照這個方法，三階行列式要三個二階行列式的線性組合，即要3+3*2=9次乘法，四階行列式要4+4*9=40次乘法，依此類推，當(dāng)n很大時，要算的是n!個二階行列式的線性組合，近似為2n!次乘法。因此，這種方法的計算量與顯式法相差不大，其主要好處是可以避開逆序定義和排列組合理論，但不可能成為有實(shí)用計算價值的方法。3主元連乘法，它的核心是高斯消元法，通過等價變換消元，將系數(shù)矩陣化為上三角陣，然后把主對角線上n個主元連乘；得到行列式。這種定義的運(yùn)算量已經(jīng)在消元法中討論過，實(shí)現(xiàn)上三角矩陣所需的計算量約為Nn3/3，n=10時，N=333次，n=25時，N5200，用現(xiàn)有的微機(jī)可以在微秒

10、級的時間內(nèi)完成。求行列式只要做一個n元的連乘，其運(yùn)算量可忽略不計。它的另一個好處是把方程組求解和求系數(shù)行列式在同一個運(yùn)算過程用同一個程序來完成，也就是把判解（的存在唯一性）和求解統(tǒng)一起來，實(shí)際上所有數(shù)學(xué)軟件計算行列式時都采用這種方法。用MATLAB為例，只用兩條語句：L,U=lu(A); % 對方陣A做LU分解D=prod(diag(U)% U的主對角線元素連乘積即為A的行列式行列式的三種定義方法所需乘法次數(shù)列表如下階數(shù)N23451025高斯消元法求主元N3/331121413335208消元法求行列式N3/3+ N-141324453425233代數(shù)余子式法求行列式2N!2940205725

11、76003.1022e+025顯式法求行列式 (N-1)N!21272480326592003.7227e+026從此表可以看出，只有N=2時，用顯式法判解才比消元法方便。N=3時，兩者的計算量基本相同。N>3時，N每加一，用顯式法定義的計算量成十倍地增長。代數(shù)余子式法計算量與顯式法基本相同，只有消元法的計算量最小，而且不引進(jìn)其他新概念，理應(yīng)作為高階行列式計算的首選。對于非數(shù)學(xué)類的學(xué)生，應(yīng)該教他們走一條比較平坦好走的路走到目標(biāo)，沒必要選一條難走的懸崖峭壁讓大家去攀爬，因而又得去學(xué)習(xí)各種攀登的技巧和工具，人為地給課程增加了難度。四、 行列式性質(zhì)教法的改變采用主元連乘法講行列式后，逆序數(shù)、排

12、列組合、代數(shù)余子式、矩陣按行展開、伴隨矩陣等許多概念都可以不講，那樣是不是會影響學(xué)生理解行列式的性質(zhì)呢？初步的探索證明，比較容易用主元連乘法定義證明的性質(zhì)有下面一些：*任意三角方陣、對角方陣的行列式等于其對角元素的連乘積；*第一、二、三類初等矩陣的行列式分別為-1,k和1；*從A的某行中加上另一行的倍數(shù)，其行列式不變；*方陣中任意i,j兩行交換，行列式反號；*方陣中若有一個全零行，其行列式為零。*如果A中兩行的元素相同或差同樣倍數(shù)，行列式等于零。*如果A奇異，則det A=0，如果A可逆，則det A0，這已在行列式定義中證明。*方陣A與它的轉(zhuǎn)置AT的行列式相等。即。也有一些性質(zhì)則不易用主元連

13、乘法證明，比如行列式按行展開等。哪些性質(zhì)對學(xué)生重要，關(guān)鍵是要研究這些性質(zhì)對學(xué)生未來工作有什么應(yīng)用價值。行列式按行展開的作用是便于推理，這對數(shù)學(xué)系必不可少，另一個作用是為高階行列式的手工計算服務(wù)，其實(shí)根據(jù)前面的分析，它并不能減少多少復(fù)雜度。對于工科學(xué)生，在采用主元連乘法和計算機(jī)軟件來算行列式后，這類用處不大的性質(zhì),是可以不講的。五、 結(jié)論高等教育的現(xiàn)代化和大眾化是現(xiàn)代社會發(fā)展的需要，大學(xué)數(shù)學(xué)向真實(shí)世界數(shù)學(xué)靠攏是它改革的基本目標(biāo)，工科線性代數(shù)的大眾化改革是很有潛力的3。把行列式與消元法無縫連接可以大大減輕課程的難度并提高它的實(shí)踐性，也提高了課程的內(nèi)在邏輯性。老師可以把講課的重點(diǎn)放在行列式的幾何及物理意義上，無需花很多時間去講它的性質(zhì)與計算，其優(yōu)點(diǎn)是無可比擬的。至于采取了這種講法，原來為顯式法或代數(shù)余子式法準(zhǔn)備的那些概念應(yīng)該怎樣處理？哪些保留？哪些揚(yáng)棄？肯定是一個極有爭論性的問題。因?yàn)楦鱾€專業(yè)、各類學(xué)生的要求都會不同，傳統(tǒng)的考研命題也會繼續(xù)產(chǎn)生影響。各個學(xué)校、專業(yè)和各類學(xué)生