2025年下學期高中數(shù)學競賽不變量試卷一、填空題（共8小題，每小題8分，滿分64分）代數(shù)不變量：設(shè)函數(shù)$f(x)$滿足對任意實數(shù)$x$，均有$f(x+2)-f(x)=4x+4$，且$f(0)=1$，則$f(x)$的最小值為________。解答：設(shè)$f(x)=ax^2+bx+c$，代入遞推式得$a(x+2)^2+b(x+2)+c-(ax^2+bx+c)=4ax+4a+2b=4x+4$，對比系數(shù)得$4a=4$，$4a+2b=4$，解得$a=1$，$b=0$。由$f(0)=c=1$，故$f(x)=x^2+1$，最小值為$1$。幾何不變量：在$\triangleABC$中，$AB=AC=5$，$BC=6$，點$P$為平面內(nèi)一動點，滿足$PA^2+PB^2+PC^2=48$，則點$P$的軌跡是________（填軌跡類型）。解答：以$BC$中點為原點建系，$B(-3,0)$，$C(3,0)$，$A(0,4)$。設(shè)$P(x,y)$，則$PA^2=x^2+(y-4)^2$，$PB^2=(x+3)^2+y^2$，$PC^2=(x-3)^2+y^2$，求和得$3x^2+3y^2-8y+34=48$，化簡為$x^2+\left(y-\frac{4}{3}\right)^2=\frac{64}{9}$，軌跡為圓。數(shù)論不變量：若正整數(shù)$n$滿足$\sigma(n)=2n$（$\sigma(n)$為$n$的所有正因數(shù)之和），且$n$的質(zhì)因數(shù)分解中2的指數(shù)為3，則$n$的最小值為________。解答：設(shè)$n=2^3p_1^{a_1}p_2^{a_2}\cdotsp_k^{a_k}$，由$\sigma(n)=(1+2+4+8)\prod(1+p_i+\cdots+p_i^{a_i})=14\prod\sigma(p_i^{a_i})=2n=16p_1^{a_1}\cdotsp_k^{a_k}$，即$7\prod\sigma(p_i^{a_i})=8p_1^{a_1}\cdotsp_k^{a_k}$。最小質(zhì)數(shù)$p=7$，$\sigma(7^1)=8$，故$n=8\times7=56$。組合不變量：將$1,2,\cdots,9$填入$3\times3$方格，使每行、每列、每條對角線的和均相等，則中心格的數(shù)字為________。解答：設(shè)幻和為$S$，總和$45=3S\RightarrowS=15$。設(shè)中心格為$x$，四條線（橫、豎、兩對角線）之和為$4S=60$，其中中心格重復4次，其余格各1次，故$45+3x=60\Rightarrowx=5$。代數(shù)不變量：已知復數(shù)$z$滿足$|z-2|=|z+2i|$，且$|z|=2\sqrt{2}$，則$z=$________。解答：設(shè)$z=a+bi$，由$|z-2|^2=(a-2)^2+b^2=|z+2i|^2=a^2+(b+2)^2$，化簡得$a+b=0$。又$a^2+b^2=8$，聯(lián)立解得$a=2,b=-2$或$a=-2,b=2$，故$z=2-2i$或$-2+2i$。幾何不變量：棱長為2的正方體$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，點$P$在棱$AA_1$上，點$Q$在棱$CC_1$上，則$PQ$中點$M$的軌跡長度為________。解答：以$A$為原點建系，$P(0,0,t)$，$Q(2,2,s)$，$M(1,1,\frac{t+s}{2})$，其中$t,s\in[0,2]$，故$M$軌跡為平面$x=1,y=1$上$z\in[0,2]$的線段，長度為$2$。數(shù)論不變量：若$a,b\in\mathbb{Z}$，且$2a+3b$與$4a+5b$均為11的倍數(shù)，則$7a+12b$除以11的余數(shù)為________。解答：設(shè)$2a+3b=11m$，$4a+5b=11n$，解得$a=11(5m-3n)/2$，$b=11(2n-2m)$。代入$7a+12b=11[7(5m-3n)/2+12(2n-2m)]$，分子為$35m-21n+48n-48m=27n-13m$，模2余$n-m$，由$a\in\mathbb{Z}$知$5m-3n$為偶數(shù)，即$m-n$偶，故$7a+12b$為11的倍數(shù)，余數(shù)為$0$。組合不變量：某班50人參加數(shù)學、物理、化學競賽，每人至少參加1項，統(tǒng)計得數(shù)學30人，物理26人，化學22人，數(shù)學與物理都參加12人，物理與化學都參加10人，數(shù)學與化學都參加9人，則三項都參加的人數(shù)為________。解答：由容斥原理$50=30+26+22-12-10-9+x\Rightarrowx=3$。二、解答題（共4小題，滿分116分）9.代數(shù)與不變量（20分）題目：定義數(shù)列${a_n}$：$a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{a_n^2+2}{2a_n}$，證明：對任意$n\geq1$，$\frac{a_n-1}{a_n+1}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2^{n-1}}$。證明：不變量構(gòu)造：設(shè)$b_n=\frac{a_n-1}{a_n+1}$，則$b_{n+1}=\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}+1}=\frac{\frac{a_n^2+2}{2a_n}-1}{\frac{a_n^2+2}{2a_n}+1}=\frac{(a_n-1)^2}{(a_n+1)^2}=b_n^2$。歸納法：$b_1=\frac{1-1}{1+1}=0$（矛盾，修正：$a_1=2$時$b_1=\frac{1}{3}$），則$b_n=b_1^{2^{n-1}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{2^{n-1}}$。10.幾何與不變量（25分）題目：在銳角$\triangleABC$中，$H$為垂心，$O$為外心，證明：$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$（$R$為外接圓半徑，$a,b,c$為三邊長）。證明：向量法：$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$（歐拉定理），則$OH^2=|\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}|^2=3R^2+2R^2(\cos2A+\cos2B+\cos2C)$。三角變換：$\cos2A+\cos2B+\cos2C=-1-4\cosA\cosB\cosC$，又$a=2R\sinA$，故$a^2+b^2+c^2=4R^2(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C)=4R^2[3-\cos2A-\cos2B-\cos2C]=4R^2[4+4\cosA\cosB\cosC]$，代入得$OH^2=9R^2-(a^2+b^2+c^2)$。11.數(shù)論與不變量（25分）題目：證明：方程$x^3+y^3+z^3=3xyz$的所有整數(shù)解為$x=y=z$或$x+y+z=0$。證明：因式分解：$x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$。不變量分析：若$x+y+z=0$，則方程成立；若$x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx=0$，則$(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\Rightarrowx=y=z$。12.組合與不變量（46分）題目：在$8\times8$棋盤上放置棋子，每次操作將一行或一列的所有棋子翻轉(zhuǎn)（黑變白，白變黑）。證明：無論初始狀態(tài)如何，總可通過有限次操作使棋盤上至多有1個黑棋。證明：不變量定義：設(shè)行向量$r_i\in{0,1}$（0表示不翻轉(zhuǎn)，1表示翻轉(zhuǎn)），列向量$c_j\in{0,1}$，則格$(i,j)$的最終狀態(tài)為$a_{i,j}+r_i+c_j\mod2$（$a_{i,j}$為初始狀態(tài)）。目標轉(zhuǎn)化：需存在$r_i,c_j$使$\sum_{i,j}(a_{i,j}+r_i+c_j\mod2)\leq1$?？紤]方程$r_i+c_j=b_{i,j}$，其中$b_{i,j}$為目標狀態(tài)（至多1個1）。構(gòu)造解：若初始黑棋數(shù)為偶數(shù)，取$r_i=0,c_j=0$；若為奇數(shù)，取一個黑棋位置$(i_0,j_0)$，令$r_{i_0}=1,c_{j_0}=1$，其余為0，此時僅$(i_0,j_0)$變?yōu)?，滿足條件。三、附加題（共2小題，滿分50分）13.綜合不變量（25分）題目：設(shè)$n$階方陣$A$滿足$A^2=A$（冪等矩陣），證明：$\text{rank}(A)+\text{rank}(E-A)=n$（$E$為單位矩陣）。證明：核空間分解：$\forallx\in\mathbb{R}^n$，$x=Ax+(E-A)x$，故$\mathbb{R}^n=\text{Im}(A)+\text{Im}(E-A)$。交空間為零：若$y\in\text{Im}(A)\cap\text{Im}(E-A)$，則$y=Ax=(E-A)z$，故$y=A^2x=A(E-A)z=0$，從而$\text{rank}(A)+\text{rank}(E-A)=n$。14.開放探究題（25分）題目：定義“不變量度”為一個問題中獨立不變量的個數(shù)，例如：三角形全等判定中“SSS”對應(yīng)3個不變量。請設(shè)計一個含2個不變量的幾何問題，并證明其不變性。解答：問題：定圓內(nèi)接三角形中，兩邊之積與第三邊上的高的比值為不變量。證明：設(shè)圓半徑$R$，$\triangleABC$內(nèi)接于圓，$a=BC$，$b=AC$，$h_c$為$AB$邊上的高