PAGEPAGE25專題八平面向量一、考試內(nèi)容：

向量．向量的加法與減法．實數(shù)與向量的積．平面向量的坐標表示．線段的定比分點．平面向量的數(shù)量積．平面兩點間的距離、平移．

二、考試要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．

（2）掌握向量的加法和減法．

（3）掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．

（5）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

（6）掌握平面兩點間的距離公式，以及線段的定比分點和中點坐標公式，并且能熟練運用掌握平移公式．三、命題熱點高考對解析幾何的考查主要包括以下內(nèi)容：平面向量的概念和線性運算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的應用。雖然該部分內(nèi)容在試卷中試題數(shù)量多、占有的分值較多，但是試題以考查基礎為主，試題的難度一般是中等偏下。在高考中重點考查：平面向量的數(shù)量積、平面向量的幾何意義等。四、知識回顧（一）本章知識網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)（二）向量的概念(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法；字母表示：a；坐標表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.(3)向量的長度：即向量的大小，記作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.單位向量aO為單位向量｜aO｜＝1.(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.3.向量的運算運算類型幾何方法坐標方法運算性質(zhì)向量的加法1.平行四邊形法則2.三角形法則向量的減法三角形法則,數(shù)乘向量1.是一個向量,滿足:2.>0時,同向;<0時,異向;=0時,.向量的數(shù)量積是一個數(shù)1.時，.2.4.重要定理、公式(1)平面向量基本定理e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內(nèi)任一向量，有且僅有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)兩個向量平行的充要條件a∥ba＝λb(b≠0)x1y2－x2y1＝O.(3)兩個向量垂直的充要條件a⊥ba·b＝Ox1x2＋y1y2＝O.(4)線段的定比分點公式設點P分有向線段所成的比為λ，即＝λ，則＝＋(線段的定比分點的向量公式)(線段定比分點的坐標公式)當λ＝1時，得中點公式：＝（＋）或(5)平移公式設點P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到點P′（x′，y′），則＝+a或曲線y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：y－ｋ＝f（x－ｈ)(6)正、余弦定理正弦定理：余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

（7）三角形面積計算公式：設△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長為P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r.①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R④S△=1/2sinC·ab=1/2ac·sinB=1/2cb·sinA⑤S△=[海倫公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下圖]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb[注]：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內(nèi)心，其余3個是旁心.如圖：圖1中的I為S△ABC的內(nèi)心，S△=Pr圖2中的I為S△ABC的一個旁心，S△=1/2（b+c-a）ra附：三角形的五個“心”；重心：三角形三條中線交點.外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點.垂心：三角形三邊上的高相交于一點.旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點.⑸已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s為△ABC的半周長,即]則：①AE==1/2（b+c-a）②BN==1/2（a+c-b）③FC==1/2（a+b-c）綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）.特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=（如圖3）.⑹在△ABC中，有下列等式成立.證明：因為所以，所以，結(jié)論?、嗽凇鰽BC中，D是BC上任意一點，則.證明：在△ABCD中，由余弦定理，有①在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化簡可得，（斯德瓦定理）①若AD是BC上的中線，；②若AD是∠A的平分線，，其中為半周長；③若AD是BC上的高，，其中為半周長.⑻△ABC的判定：△ABC為直角△∠A+∠B=＜△ABC為鈍角△∠A+∠B＜＞△ABC為銳角△∠A+∠B＞附：證明：，得在鈍角△ABC中，⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.空間向量1．空間向量的概念：具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空間的一個平移就是一個向量⑵向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量⑶空間的兩個向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2．空間向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算如下運算律：⑴加法交換律：⑵加法結(jié)合律：⑶數(shù)乘分配律：3共線向量表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作．當我們說向量、共線（或//）時，表示、的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線．4．共線向量定理及其推論：共線向量定理：空間任意兩個向量、（≠），//的充要條件是存在實數(shù)λ，使＝λ.推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對于任意一點O，點P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t滿足等式．其中向量叫做直線的方向向量.5．向量與平面平行：已知平面和向量，作，如果直線平行于或在內(nèi)，那么我們說向量平行于平面，記作：．通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的6．共面向量定理：如果兩個向量不共線，與向量共面的充要條件是存在實數(shù)使推論：空間一點位于平面內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任一點，有①①式叫做平面的向量表達式7空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，使推論：設是不共面的四點，則對空間任一點，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)，使8空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量，在空間任取一點，作，則叫做向量與的夾角，記作；且規(guī)定，顯然有；若，則稱與互相垂直，記作：.9．向量的模：設，則有向線段的長度叫做向量的長度或模，記作：.10．向量的數(shù)量積：．已知向量和軸，是上與同方向的單位向量，作點在上的射影，作點在上的射影，則叫做向量在軸上或在上的正射影.可以證明的長度．11．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：（1）．（2）．（3）．12．空間向量數(shù)量積運算律：（1）．（2）（交換律）（3）（分配律）．空間向量的坐標運算一．知識回顧：（1）空間向量的坐標：空間直角坐標系的x軸是橫軸（對應為橫坐標），y軸是縱軸（對應為縱軸），z軸是豎軸（對應為豎坐標）.①令=(a1,a2,a3),，則∥(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)②空間兩點的距離公式：.（2）法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果那么向量叫做平面的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求點到面的距離定理：如圖，設n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為.②利用法向量求二面角的平面角定理：設分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補角大小（方向相同，則為補角，反方，則為其夾角）.③證直線和平面平行定理：已知直線平面，，且CDE三點不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對使.（常設求解若存在即證畢，若不存在，則直線AB與平面相交）.五、典型例題例1在下列各命題中為真命題的是()①若=(x1,y1)、=(x2,y2)，則·=x1y1+x2y2②若A(x1,y1)、B(x2,y2)，則｜｜=③若=(x1,y1)、=(x2,y2),則·=0x1x2+y1y2=0④若=(x1,y1)、=(x2,y2)，則⊥x1x2+y1y2=0A、①②B、②③C、③④D、①④解：根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示；若=(x1,y1),=(x2,y2)，則·=x1x2+y1y2，對照命題(1)的結(jié)論可知，它是一個假命題、于是對照選擇支的結(jié)論、可以排除(A)與(D)，而在(B)與(C)中均含有(3)、故不必對(3)進行判定，它一定是正確的、對命題(2)而言，它就是兩點間距離公式，故它是真命題，這樣就以排除了(C)，應選擇(B)、說明：對于命題(3)而言，由于·=0=或=或⊥x1x2+y1y2=0，故它是一個真命題、而對于命題(4)來講，⊥x1x2+y1y2=0、但反過來，當x1x2+y1y2=0時，可以是x1=y1=0，即=，而我們的教科書并沒有對零向量是否與其它向量垂直作出規(guī)定，因此x1x2+y1y2=0⊥)，所以命題(4)是個假命題、例2已知=(－,－1),=(1,)，那么，的夾角θ=()A、30°B、60°C、120°D、150°解：·=(－,－1)·(1，)=－2｜｜==2｜｜==2∴cosθ===例3已知=(2,1),=(－1,3),若存在向量使得：·=4,·=－9，試求向量的坐標、解：設=(x,y),則由·=4可得：2x+y=4；又由·=－9可得：－x+3y=－9于是有：由(1)+2(2)得7y=－14,∴y=－2,將它代入(1)可得：x=3∴=(3,－2)、說明：已知兩向量，可以求出它們的數(shù)量積·，但是反過來，若已知向量及數(shù)量積·，卻不能確定、例4求向量=(1,2)在向量=(2，－2)方向上的投影、解：設向量與的夾角θ、有cosθ===－∴在方向上的投影=｜｜cosθ=×(－)=－例5已知△ABC的頂點分別為A(2，1)，B(3，2)，C(－3，－1)，BC邊上的高AD，求及點D的坐標、解：設點D的坐標為(x,y)∵AD是邊BC上的高，∴AD⊥BC，∴⊥又∵C、B、D三點共線，∴∥又=(x－2,y－1),=(－6,－3)=(x－3,y－2)∴解方程組，得x=,y=∴點D的坐標為(，)，的坐標為(－，)例6設向量、滿足：｜｜＝｜｜=1，且+=(1，0)，求，、解：∵｜｜＝｜｜=1，∴可設=(cosα,sinα),=(cosβ,sinβ)、∵+=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(1,0)，由(1)得：cosα=1－cosβ……(3)由(2)得：sinα=－sinβ……(4)∴cosα=1－cosβ=∴sinα=±,sinβ=或例7對于向量的集合A={=(x,y)｜x2+y2≤1}中的任意兩個向量、與兩個非負實數(shù)α、β；求證：向量α+β的大小不超過α+β、證明：設=(x1,y1)，=(x2,y2)根據(jù)已知條件有：x21+y21≤1,x22+y22≤1又因為｜α+β｜==其中x1x2+y1y2≤≤1所以｜α+β｜≤=｜α+β｜=α+β例8已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA=∠DAB=90°,CD=DA=AB、求證：AC⊥BC證明：以A為原點，AB所在直線為x軸，建立直角坐標系、如圖，設AD=1則A(0，0)、B(2，0)、C(1，1)、D(0，1)∴=(－1,1),=(1,1)·=－1×1+1×1=0∴BC⊥AC、例9已知A(0，a),B(0,b),(0＜a＜b)，在x軸的正半軸上求點C，使∠ACB最大，并求出最大值、解，設C(x,0)(x＞0)則=(－x,a),=(－x,b)則·=x2+ab、cos∠ACB==令t=x2+ab故cos∠ACB=當=即t=2ab時，cos∠ACB最大值為、當C的坐標為(,0)時，∠ACB最大值為arccos、例10如圖，四邊形ABCD是正方形，P是對角線BD上的一點，PECF是矩形，用向量法證明(1)PA=EF(2)PA⊥EF證明：建立如圖所示坐標系，設正方形邊長為1，｜｜=λ,則A(0，1)，P(λ，λ)，E(1，λ)，F(xiàn)(λ，0)∴=(－λ,1－λ),=(λ－1,－λ)(1)｜｜2=(－λ)2+(1－λ)2=λ2－λ+1｜｜2=(λ－1)2+(－λ)2=λ2－λ+1∴｜｜2=｜｜2,故PA=EF(2)·=(－λ)(λ－1)+(1－λ)(－λ)=0∴⊥∴PA⊥EF、例11已知求；②當k為何實數(shù)時,k與平行,平行時它們是同向還是反向？解：①=(1,0)+3(2,1)=(7,3),∴==.②k=k(1,0)－(2,1)=(k－2,－1).設k=λ(),即(k－2,－1)=λ(7,3),∴.故k=時,它們反向平行.例12已知與的夾角為,若向量與垂直,求k.解：=2×1×=1.∵與垂直,∴()=,∴2k=－5.例13如果△ABC的三邊a、b、c滿足b2+c2=5a2,BE、CF分別為AC邊與AB上的中線,求證：BE⊥解：∴⊥,即BE⊥CF.例14是否存在4個平面向量，兩兩不共線，其中任何兩個向量之和均與其余兩個向量之和垂直?解：如圖所示，在正△ABC中，O為其內(nèi)心，P為圓周上一點，滿足，，，兩兩不共線，有(+)·(+)=(+++)·(++)=(2++)·(2+)=(2－)·(2+)=42－2=42－2=0有(+)與(+)垂直、同理證其他情況、從而，，，滿足題意、故存在這樣4個平面向量、利用向量的坐標運算，解決兩直線的夾角，判定兩直線平行、垂直問題例15已知向量滿足條件，，求證：是正三角形解：令O為坐標原點，可設由，即①②①②兩式平方和為，，由此可知的最小正角為，即與的夾角為，同理可得與的夾角為，與的夾角為，這說明三點均勻分部在一個單位圓上，所以為等腰三角形.例16求等腰直角三角形中兩直角邊上的中線所成的鈍角的度數(shù)解：如圖，分別以等腰直角三角形的兩直角邊為軸、軸建立直角坐標系，設，則，從而可求：,=..利用向量的坐標運算，解決有關線段的長度問題例17已知，AD為中線，求證證明：以B為坐標原點，以BC所在的直線為軸建立如圖2直角坐標系，設，，則，.=，從而，.利用向量的坐標運算，用已知向量表示未知向量例18已知點是且試用解：以O為原點，OC，OB所在的直線為軸和軸建立如圖3所示的坐標系.由OA=2，，所以，易求，設.例19如圖，用表示解：以O為坐標原點，以OA所在的直線為軸，建立如圖所示的直角坐標系，則，.利用向量的數(shù)量積解決兩直線垂直問題例20如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求證：C1C⊥BD(2)當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.(1)證明：設=a,=b,=c,依題意，|a|=|b|，、、中兩兩所成夾角θ=0,∴C1C⊥BD.(2)解：若使A1C⊥平面C1BD，只須證A1C⊥BD，A1C⊥由=(a+b+c)·(a－c)=|a|2+a·b－b·c－|c|2=|a|2－|c|2+|b|·|a|cosθ－|b|·|c|·cosθ=0,得當|a|=|c|時，A1C⊥DC1，同理可證當|a|=|c|時，A1C⊥∴=1時，A1C⊥平面C1BD.例21如圖，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A(1)求的長；(2)求cos<>的值；(3)求證：A1B⊥C1M解：(1)如圖，以C為原點建立空間直角坐標系O－xyz.依題意得：B(0，1，0)，N(1，0，1)∴||=.(2)解：依題意得：A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2).∴==(0，1，2)=1×0+(－1)×1+2×2=3||=(3)證明：依題意得：C1(0，0，2)，M()∴∴A1B⊥C1M利用向量的數(shù)量積解決有關距離的問題，距離問題包括點到點的距離，點的線的距離，點到面的距離，線到線的距離，線到面的距離，面到面的距離.例22求平面內(nèi)兩點間的距離公式解：設點，,而點與點之間的距離為：利用向量的數(shù)量積解決線與線的夾角及面與面的夾角問題.例23證明:證明：在單位圓上任取兩點，以為始邊，以為終邊的角分別為，則點坐標為點坐標為；則向量，它們的夾角為，,由向量夾角公式得：,從而得證.注：用同樣的方法可證明利用向量的數(shù)量積解決有關不等式、最值問題.例24證明柯西不等式證明：令當或時，，結(jié)論顯然成立；當且時，令為的夾角，則.又（當且僅當時等號成立）.（當且僅當時等號成立）平面向量的坐標運算1、已知向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋nb與a－2b共線，則eq\f(m,n)＝________.解析ma＋nb＝(2m,3m)＋(－n,2n)＝(2m－n,3m＋2n)，a－2b＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．由于ma＋nb與a－2b共線，則有eq\f(2m－n,4)＝eq\f(3m＋2n,－1)，∴n－2m＝12m＋8n，∴eq\f(m,n)＝－eq\f(1,2).答案－eq\f(1,2)六、近幾年高考試題分析(2009·湖南文)如圖，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若則x＝___________________________，y＝__________.解析又又設則由題意知又∵∠BED=60°,顯然與的夾角為45°.∴由得eq\f(\r(6),2)×1×cos45°＝(x－1)×12.∴x＝eq\f(\r(3),2)＋1.同理,在兩邊與數(shù)量積可得y＝eq\f(\r(3),2).答案1＋eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(3),2)（2011湖南文科）14、在邊長為1的正三角形中，設，則。答案：解析：由題，，所以。(2010年湖南文科)七、總結(jié)由于本章知識分向量與解斜三角形兩部分，所以應用本章知識解決的問題也分為兩類：一類是根據(jù)向量的概念、定理、法則、公式對向量進行運算，并能運用向量知識解決平面幾何中的一些計算和證明問題；另一類是運用正、余弦定理正確地解斜三角形，并能應用解斜三角形知識解決測量不可到達的兩點間的距離問題。在解決關于向量問題時，一是要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進行向量的各種運算，進一步加深對“向量”這一二維性的量的本質(zhì)的認識，并體會用向量處理問題的優(yōu)越性。二是向量的坐標運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想，所以要通過向量法和坐標法的運用，進一步體會數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學問題上的作用。在解決解斜三角形問題時，一方面要體會向量方法在解三角形方面的應用，另一方面要體會解斜三角形是重要的測量手段，通過學習提高解決實際問題的能力。八、命題預測高考對給部分考查的主要內(nèi)容為：平面向量的概念和線性運算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的應用。高考對該部分的考查重基礎，試題的難度一般是中等偏下。在高考中重點考查：平面向量的數(shù)量積、平面向量的幾何意義等。預測1.已知向量，其中，函數(shù)的最小正周期為，最大值為3。（1）求和常數(shù)的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間。解析：（1），，由，得。又當時，得.（2）由（1）當，即，故的單調(diào)增區(qū)間為，。動向解讀：本題主要結(jié)合三角函數(shù)與平面向量考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。三角函數(shù)解答題的命題方向：（1）考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)為主，一般需要求出函數(shù)的解析式，通過三角恒等變換的方法變換函數(shù)的解析式。（2）考查三角形中的三角恒等變換，其核心為根據(jù)正余弦定理實現(xiàn)邊角之間的互化。（3）考查利用正余弦定理解三角形（包括實際應用題），這在近幾年課標區(qū)高考試題中經(jīng)常考到。九、鞏固練習【平面向量練習】一、選擇題：1、下列各式中正確的是（C）（1）(λ·a)·b=λ·(ab)=a·(λb),（2）|a·b|=|a|·|b|,（3）(a·b)·c=a·(b·c),（4）(a+b)·c=a·c+b·c A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不對.2、在ΔABC中,若(+)·(－)=0,則ΔABC為（C） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．無法確定3、若|a|=|b|=|a－b|,則b與a+b的夾角為（A）A．30° B．60° C．150° D．120°4、已知|a|=1,|b|=,且(a－b)和a垂直,則a與b的夾角為（D）A．60° B．30° C．135° D．45°5、若·+=0,則ΔABC為（A） A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形D．等腰直角三角形6、設|a|=4,|b|=3,夾角為60°,則|a+b|等于（C） A．37 B．13 C． D．7、己知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為600,c=3a+b,d=λa－b,若c⊥d,則實數(shù)λ A． B． C． D．8、設a,b,c是平面內(nèi)任意的非零向量且相互不共線,則（D）①(ab)c－(ca)b=0②|a|－|b|<|a－b|③(bc)a－(ca)b不與c垂直④(3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|其中真命題是 （） A．①② B．②③ C．③④ D．②④二、填空題：9、已知e是單位向量,求滿足a∥e且a·e=－18的向量a=__________.－18e10、設a=(m+1)i－3j,b=i+(m－1)j,(a+b)⊥(a－b),則m=________.－211、|a|=5,|b|=3,|a－b|=7,則a、b的夾角為__________.120°12、a與d=b－關系為________.a⊥b三、解答題：13、已知|a|=4,|b|=5,|a+b|=,求：①a·b；②(2a－b)·(a+3b)解：①|(zhì)a+b|2=（a+b）2=a2+2ab+b2=|a|2+2a·b+|b|2=.②（2a－b）·（a+3b）=2a2+5a·b－3b2=2|a|2+5a·b=2×42+5×（－10）－3×52=－93.14、四邊形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a，判斷四邊形ABCD是什么圖形？分析：在四邊形ABCD中，a+b+c+d=0，這是一個隱含條件，對a+b=－（c+d），兩邊平方后，用a·b=b·c=d·c代入，從四邊形的邊長與內(nèi)角的情況來確定四邊形的形狀. 解：∵a+b+c+d=0，∴a+b=－（c+d），∴（a+b）2=（c+d）2，即|a|2+2a·b+|b|2=|c|2+2c·d+|d|∵a·b=c·d，∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……①同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2……②①，②兩式相減得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2，即|b|=|d|，|a|=|c|.∴ABCD為平行四邊形.又∵a·b=b·c，即b·（a－c）=0，而a=－c，∵b·（2a）∴a⊥b，∴四邊形ABCD為矩形.15、已知：|a|=5,|b|=4,且a與b的夾角為60°,問當且僅當k為何值時,向量ka－b與a+2b垂直？解：.【平面向量的綜合應用練習】一、選擇題1.設A、B、C、D四點坐標依次是(－1，0)，(0，2)，(4，3)，(3，1)，則四邊形ABCD為()A.正方形 B.矩形C.菱形 D.平行四邊形解析：=(1，2），=(1，2），∴=，∴∥，又線段AB與線段DC無公共點，∴AB∥DC且|AB|=|DC|，∴ABCD是平行四邊形，又||=，=(5，3），||=，∴||≠|(zhì)},∴ABCD不是菱形，更不是正方形；又=(4，1），∴1·4+2·1=6≠0,∴不垂直于，∴ABCD也不是矩形，故選D答案：D2.已知△ABC中，=a，=b，a·b<0，S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則a與b的夾角是()A.30° B.－150° C.150° D.30°或150°解析：∵·3·5sinα得sinα=,則α=30°或α=150°.又∵a·b＜0,∴α=150°.答案：C二、填空題3.將二次函數(shù)y=x2的圖象按向