2025年下學期高中數學創(chuàng)新技術觀試卷一、單項選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）在人工智能算法中，某神經網絡模型的損失函數為L(θ)=||y-f(x;θ)||2+λ||θ||?，其中λ>0。該函數體現的數學思想是（）A.最小二乘法B.正則化方法C.梯度下降原理D.貝葉斯估計某自動駕駛汽車的路徑規(guī)劃系統(tǒng)采用A*算法，其估價函數f(n)=g(n)+h(n)。若h(n)始終小于等于從節(jié)點n到目標節(jié)點的實際代價，則該算法屬于（）A.貪心搜索B.廣度優(yōu)先搜索C.可采納啟發(fā)式搜索D.深度優(yōu)先搜索在區(qū)塊鏈技術中，哈希函數H(x)需滿足的性質不包括（）A.抗原像性B.抗碰撞性C.線性可加性D.雪崩效應某元宇宙平臺采用三維坐標系表示虛擬空間位置，點P(1,2,3)經過旋轉變換矩陣[\begin{bmatrix}0&-1&0\1&0&0\0&0&1\end{bmatrix}]變換后，其新坐標為（）A.(-2,1,3)B.(2,-1,3)C.(-1,2,3)D.(1,-2,3)量子計算中的量子比特狀態(tài)可用二維復向量表示，若|ψ?=α|0?+β|1?，則下列等式恒成立的是（）A.|α|+|β|=1B.α2+β2=1C.|α|2+|β|2=1D.α+β=1某大數據分析系統(tǒng)對用戶行為數據進行聚類，采用K-means算法時，若將樣本點到聚類中心的距離定義為余弦相似度，則該距離度量適用于（）A.高維稀疏數據B.低維稠密數據C.時序序列數據D.圖結構數據在數字孿生技術中，某機械臂的物理參數通過微分方程(m\frac{d2x}{dt2}+b\frac{dx}{dt}+kx=F(t))建模，其中F(t)為輸入力。該方程的通解形式為（）A.指數函數與三角函數的疊加B.多項式函數C.分段線性函數D.對數函數某物聯網設備的傳感器數據服從正態(tài)分布N(μ,σ2)，采用3σ原則進行異常檢測時，數據點x被判定為異常的條件是（）A.|x-μ|>σB.|x-μ|>2σC.|x-μ|>3σD.|x-μ|>4σ在增強現實（AR）技術中，某平面標志物的透視投影變換滿足的數學原理是（）A.仿射變換B.射影變換C.歐式變換D.相似變換某推薦系統(tǒng)采用協(xié)同過濾算法，用戶-物品評分矩陣如下（-表示未評分）：用戶\物品電影A電影B電影C用戶甲54-用戶乙3-2若采用余弦相似度計算用戶甲和用戶乙的相似度，則其值為（）A.√2/2B.17/(5√13)C.19/(5√13)D.√3/2在密碼學中，RSA算法的公鑰為(n,e)，私鑰為(n,d)。若明文m=3，n=33，e=7，則密文c=m?modn的值為（）A.6B.9C.12D.15某機器學習模型的混淆矩陣如下：預測正例預測負例實際正例8020實際負例1090該模型的F1分數為（）A.0.8B.0.85C.16/19D.17/20二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某自然語言處理系統(tǒng)采用n元語法模型，若語料庫中"人工智能"出現120次，"人工"出現300次，則二元語法P(智能|人工)的最大似然估計值為________。某無人機的飛行控制系統(tǒng)采用PID控制器，其控制量u(t)=Kpe(t)+Ki∫e(τ)dτ+Kdde(t)/dt。若系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差e(t)→c（常數c≠0），則需通過調節(jié)________參數消除穩(wěn)態(tài)誤差。在元宇宙虛擬經濟系統(tǒng)中，某加密貨幣的價格波動滿足幾何布朗運動dS=μSdt+σSdW，其中W為維納過程。該方程的解析解S(t)服從________分布。某數字信號處理系統(tǒng)采用快速傅里葉變換（FFT），對長度為N=2?的序列進行變換時，其時間復雜度為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分）（10分）某智能家居系統(tǒng)通過溫度傳感器采集數據，傳感器輸出信號為x(t)=5+2sin(100πt)+n(t)，其中n(t)為高斯白噪聲。（1）設計一個數字濾波器消除噪聲，要求保留溫度直流分量和基波信號；（2）計算該信號的Nyquist采樣頻率。（12分）在機器學習中，邏輯回歸模型通過sigmoid函數σ(z)=1/(1+e??)將線性組合z=w?x+b映射為概率輸出。（1）推導對數似然函數L(w,b)=∑[y?lnσ(z?)+(1-y?)ln(1-σ(z?))]的梯度表達式?L(w,b)；（2）說明隨機梯度下降（SGD）與批量梯度下降（BGD）在參數更新上的區(qū)別。（12分）某元宇宙社交平臺的用戶關系可用無向圖G=(V,E)表示，其中V={v?,v?,...,v?}為用戶集合，E為好友關系邊集。（1）寫出圖G的鄰接矩陣A的定義；（2）證明：矩陣A3的(i,j)元素等于從v?到v?長度為3的路徑數目；（3）若用戶v?的度為5，其所有鄰居的平均度為4，則該用戶的聚類系數C為多少？（12分）某自動駕駛系統(tǒng)的激光雷達每秒采集100萬個點云數據，每個點用(x,y,z,intensity)四元組表示。（1）計算該系統(tǒng)每天產生的數據量（假設每個數值用4字節(jié)浮點數表示）；（2）采用體素網格（VoxelGrid）下采樣方法，若體素大小為0.1m×0.1m×0.1m，計算在100m×100m×10m的空間范圍內最多可生成多少個體素？（12分）在量子計算中，量子門是操控量子比特的基本單元。（1）寫出Pauli-X門的矩陣表示；（2）若初始狀態(tài)|ψ?=|0?，經過Hadamard門H=1/√2[\begin{bmatrix}1&1\1&-1\end{bmatrix}]作用后，再經過Pauli-X門作用，求最終狀態(tài)；（3）計算該過程的量子線路對應的幺正矩陣。（10分）某區(qū)塊鏈系統(tǒng)采用工作量證明機制，要求找到一個隨機數nonce使得哈希值H(block_header||nonce)的前k位為0。（1）若哈希函數輸出為256位二進制數，求成功找到nonce的概率；（2）當k=20時，平均需要嘗試多少次nonce？（用科學計數法表示，保留2位有效數字）四、創(chuàng)新應用題（本大題共1小題，共20分）某科技公司開發(fā)"數字教師"AI系統(tǒng)，需實現以下功能：（1）手寫公式識別：將學生手寫的數學公式轉換為LaTeX代碼。已知某公式圖像的邊緣輪廓滿足參數方程x=cos3t，y=sin3t（0≤t≤2π），求該曲線所圍成圖形的面積。（6分）（2）智能批改：對定積分∫?^πsinxdx的計算過程進行錯誤檢測。若某學生的計算步驟為：∫?^πsinxdx=cosx|?^π=cosπ-cos0=(-1)-1=-2，請指出錯誤之處并給出正確解法。（6分）（3）個性化推薦：根據學生錯題數據構建知識圖譜，其中節(jié)點表示知識點，邊表示知識點間的依賴關系。若知識點A到知識點B有有向邊A→B，表示掌握A是學習B的前提。現有知識點集合{導數,極限,積分,微分方程}，請畫出合理的知識依賴關系有向圖，并寫出該圖的鄰接矩陣。（8分）五、開放探究題（本大題共1小題，共20分）隨著Web3.0技術的發(fā)展，去中心化金融（DeFi）系統(tǒng)中出現了自動做市商（AMM）機制。某AMM采用恒定乘積公式x*y=k（x,y分別為兩種代幣的儲備量，k為常數）。（1）證明：當用戶用Δx的代幣X兌換代幣Y時，兌換得到的代幣Y數量Δy=(k/(x+Δx))-y；（5分）（2）若初始儲備x=1000，y=2000，k=2×10?。當用戶存入Δx=100的代幣X后，計算：①新的儲備量(x',y')；（3分）②代幣X與Y的