2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)表現(xiàn)性任務(wù)測評試卷一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合應(yīng)用（30分）任務(wù)背景：某新能源企業(yè)研發(fā)的新型儲能電池充放電效率受溫度影響顯著。實驗數(shù)據(jù)顯示，在-10℃至40℃范圍內(nèi)，電池容量衰減率(f(x))（單位：%/小時）與環(huán)境溫度(x)（單位：℃）的關(guān)系可近似表示為分段函數(shù)：[f(x)=\begin{cases}0.02x^2+0.1x+2.5&(-10\leqx<10)\-0.01x^2+0.3x+1.5&(10\leqx\leq40)\end{cases}]任務(wù)要求：數(shù)據(jù)分析：分別計算(x=-5℃)、(x=20℃)時的容量衰減率，并比較兩者差異（精確到0.01%）。求出函數(shù)(f(x))在定義域內(nèi)的最小值及對應(yīng)的溫度，解釋其實際意義。優(yōu)化設(shè)計：若該電池在某恒溫環(huán)境中連續(xù)工作8小時，衰減率需控制在15%以內(nèi)，求環(huán)境溫度的取值范圍（精確到整數(shù)℃）。企業(yè)計劃設(shè)計溫控系統(tǒng)，使溫度波動范圍不超過5℃。若初始溫度設(shè)定為(x_0)，寫出衰減率波動值(|f(x_0+\Deltax)-f(x_0)|)（(|\Deltax|\leq2.5)）的表達(dá)式，并計算當(dāng)(x_0=15℃)時的最大波動值。拓展探究：當(dāng)溫度在([a,b])區(qū)間內(nèi)變化時，衰減率的平均變化率為(\frac{f(b)-f(a)}{b-a})。若(a=0℃)，求當(dāng)(b)趨近于0時平均變化率的極限值，并說明其幾何意義。結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識，分析函數(shù)(f(x))在分段點(x=10℃)處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。二、立體幾何與空間向量（25分）任務(wù)背景：某建筑設(shè)計院擬建造一個半圓柱形玻璃展廳，其橫截面為半徑(r=6m)的半圓，長度（垂直于橫截面方向）為(L=20m)。展廳內(nèi)部需安裝一個“錐形觀景臺”，其底面為半圓的內(nèi)接等腰直角三角形，頂點在半圓直徑所在的水平面上，且與半圓的圓心等高。任務(wù)要求：空間建模：建立空間直角坐標(biāo)系（以半圓直徑為x軸，圓心為原點，展廳長度方向為z軸），寫出半圓邊界的方程及觀景臺底面三個頂點的坐標(biāo)。若觀景臺頂點(P)到半圓直徑的距離為4m，求點(P)的坐標(biāo)及觀景臺的體積。結(jié)構(gòu)分析：計算觀景臺側(cè)面與玻璃幕墻（半圓柱側(cè)面）的最小距離（精確到0.1m）。若在展廳中軸線（z軸）上安裝一盞射燈，光線與觀景臺底面所成角為30°，求射燈照射在觀景臺側(cè)面上的光斑面積（結(jié)果保留(\pi)）。動態(tài)優(yōu)化：若觀景臺底面直角頂點沿半圓弧從((6,0,0))移動到((0,6,0))，寫出頂點(P)的軌跡方程，并判斷軌跡曲線的類型。當(dāng)?shù)酌嬷苯琼旤c移動到((3\sqrt{2},3\sqrt{2},0))時，求觀景臺側(cè)面與z軸所成銳二面角的余弦值。三、概率統(tǒng)計與數(shù)學(xué)建模（25分）任務(wù)背景：某中學(xué)為評估學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，采用“項目式學(xué)習(xí)+隨機(jī)測評”模式。該校高二年級共500名學(xué)生，其中男生280人，女生220人。每位學(xué)生需完成3項任務(wù)：數(shù)學(xué)建模（M）、數(shù)據(jù)分析（D）、邏輯推理（L），每項任務(wù)按“優(yōu)秀（A）、良好（B）、合格（C）”三級評分。任務(wù)要求：數(shù)據(jù)整理：下表為抽樣調(diào)查的100名學(xué)生任務(wù)完成情況（單位：人）：|任務(wù)|優(yōu)秀（A）|良好（B）|合格（C）||------|-----------|-----------|-----------||M|25|40|35||D|30|45|25||L|20|50|30|若用分層抽樣法從全校學(xué)生中抽取50人，求女生中需抽取的“數(shù)學(xué)建模（M）優(yōu)秀”學(xué)生人數(shù)（精確到整數(shù)）。概率計算：從100份樣本中隨機(jī)抽取1份，求該學(xué)生至少有2項任務(wù)達(dá)到優(yōu)秀的概率。已知某學(xué)生已獲得數(shù)學(xué)建模（M）優(yōu)秀，求其數(shù)據(jù)分析（D）也為優(yōu)秀的條件概率（需補(bǔ)充條件：樣本中三項任務(wù)均為優(yōu)秀的學(xué)生有5人，僅M和D優(yōu)秀的有3人）。模型構(gòu)建：定義學(xué)生綜合能力指數(shù)(S=3X_M+2X_D+X_L)，其中(X_M,X_D,X_L)分別為M、D、L任務(wù)的等級得分（優(yōu)秀=3，良好=2，合格=1）。求樣本中綜合能力指數(shù)的平均數(shù)和方差（精確到0.01）。假設(shè)全校學(xué)生的M任務(wù)得分服從正態(tài)分布(N(2.1,0.25))，現(xiàn)隨機(jī)抽取1名學(xué)生，求其得分在區(qū)間((1.6,2.6])內(nèi)的概率（參考數(shù)據(jù)：若(X\simN(\mu,\sigma^2))，則(P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)\approx0.6827)）。決策建議：若學(xué)校計劃針對“合格”等級學(xué)生開展輔導(dǎo)，需優(yōu)先選擇哪項任務(wù)？結(jié)合數(shù)據(jù)說明理由（提示：計算各項任務(wù)合格等級的性別差異率(\frac{|男合格人數(shù)-女合格人數(shù)|}{總合格人數(shù)})）。四、數(shù)列與不等式應(yīng)用（20分）任務(wù)背景：某社區(qū)推行“綠色積分”制度鼓勵居民參與垃圾分類，規(guī)則如下：初始積分為0分，每月積分根據(jù)垃圾分類參與度累積；第1個月積分為10分，第2個月積分為20分，從第3個月起，每月積分是前兩個月積分之和的50%；積分可兌換禮品，兌換后積分清零，剩余積分不轉(zhuǎn)入下月。任務(wù)要求：數(shù)列建模：寫出第(n)個月積分(a_n)的遞推公式（(n\geq3)），并計算前6個月的積分值（精確到整數(shù)）。證明數(shù)列(b_n=a_n+pa_{n-1})（(p)為常數(shù)）為等比數(shù)列，并求出公比及(p)的值。求和與不等式：若居民連續(xù)(k)個月不兌換積分，求總積分(S_k=a_1+a_2+\cdots+a_k)的表達(dá)式（用(k)表示）。社區(qū)規(guī)定，累計積分滿100分可兌換一份禮品。求最少需要連續(xù)幾個月不兌換積分才能兌換禮品？優(yōu)化策略：若居民計劃每(m)個月兌換一次積分，且希望每次兌換時積分盡可能接近150分（誤差不超過5分），求(m)的最小值及對應(yīng)積分值。證明：對任意正整數(shù)(n\geq4)，均有(a_n<\frac{3}{4}a_{n-1}+\frac{1}{2}a_{n-2})。五、選做題（從以下兩題中任選一題作答，10分）選做題A：解析幾何與參數(shù)方程任務(wù)背景：某城市公園的湖面形狀為橢圓，以湖中心為原點建立直角坐標(biāo)系，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1)（單位：米）?，F(xiàn)計劃修建一條過橢圓右焦點(F)的觀光棧道，棧道與橢圓交于(A,B)兩點，且與x軸正方向夾角為(\theta)。任務(wù)要求：寫出橢圓的焦點坐標(biāo)及離心率，若棧道長度(|AB|=15)米，求(\tan\theta)的值。若在棧道(AB)上設(shè)置一個觀景臺(P)，使得(\frac{|AP|}{|PB|}=2)，求點(P)的軌跡方程（用參數(shù)方程表示，以(\theta)為參數(shù)）。選做題B：數(shù)論與組合數(shù)學(xué)任務(wù)背景：某密碼鎖的密碼由6位數(shù)字組成，每位數(shù)字可從0-9中選取，但需滿足以下條件：數(shù)字之和為18；任意連續(xù)3位數(shù)字之和不小于5且不大于25。任務(wù)要求：求密碼中各位數(shù)字均為偶數(shù)的概率（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）。若密碼的前3位數(shù)字為(a,b,c)，證明