21.1一元二次方程

知識梳理

考點一：一元二次方程的定義:

（1）等號兩邊都是—整式只含有一個一未知數(shù)_（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程,

叫做一元二次方程.

（2）注意以下幾點：①只含有——個未知數(shù)；②未知數(shù)的最高次數(shù)是_2_；③等號兩邊都是整式

考點二：一元二次方程的一般形式：

一元二次方程的一般形式是—af+bx+cRm和）.其中，加是—二次項〃是_二次項系數(shù)_；法是—一次項

〃是一次項系數(shù)」。是—常數(shù)項.

考點三：一元二次方程的根：

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的,也叫做一元二次方程的根.方程的

解的定義是解方程過程中驗根的依據(jù).將此數(shù)代入這個一元二次方程的左右兩邊，看是否相等，若相等,

就是這個方程的根；若不相等，就不是這個方程的根.

題型一：一元二次方程的定義

I.如果（〃?-3）/+5x-2=0是一元二次方程，則（）

A.〃中）B.C.m=0D.m=3

2.下列方程是關于x的一元二次方程的是（）

A.x14---2=0B.2x=6x2C.2.v+3=0D.x2-y2=()

x

3.下列方程中，是關于x的一元二次方程的是（）

A.ax2+bx+c=0B.x2-y-\=()

C.X24--r=0D.(x-l)(x+2)=l

X

題型二：一元二次方程一般形式

4.將方程5/+|=4K化成立+飯+c=（）的形式，則小Ac的值分別為（）

A,5,4,1B.5,4,-IC.5,-4,1D.5,-4,-I

5.下列說法正確的是（）

A.方程8/-7=0的一次項系數(shù)為-7

B.一元二次方程的一般形式是62+6+。=0

C.只有當攵=0時，方程W+3x-1=/為一元二次方程

D.當那取所有實數(shù)時，關于x的方程（〃尸+1）/-mx-3=0為一元二次方程

6.將一元二次方程3/_1=5X化為一般形式后，其中二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是（）

A.3,5,—IB.-3,5,1C.3,-5,-1D.3,-5,1

題型三：一元二次方程的根

7.若x=2是關于x的一元二次方程￡_如+2=0的一個根，則機的值為（）

A.5B.4C.3D.2

8.已知x=2是一元二次方程9+4+機=（）的一個解，則機的值是（）

A.6B.-6C.0D.0或一6

9.若關于x的一元二次方程3-3）/+"/_]=0的一個根是0,則〃的值為（）

A.1B.-1C.1或-1D.g

一、單選題

10.下列方程一定是一元二次方程的是（

A.ax2+bx+c=()B.2x2-3x=2(x2-2)

C.V-2x+7=0D.(A-2)2-4=0

11.一元二次方程0￥2+/次+0=0至少有一個根是零的條件是(

A.c、=0且。工0B.b=0

C.c=0且b=0D.c=0

12.已知x=0是關于x的一元二次方程2/+3》+〃-4=0的一個根：則女的值為（）

A.4B.-4C.±1D.±4

13.關于x的方程5+2)/+2〃“+2=0是一元二次方程，則”的值為()

A.-2B.2C.±2D.I

14.把一元二次方程(X+1)。-1)=3工化成一般形式，正確的是()

A.x2-3x-l=0B.x2-3x+l=0C.x2+3x-1=0D.x2+3^+l=0

2

15.關于x的方程++h=0的解是％=-2,x2=1(a,〃?，力均為常數(shù)，a^O),WOa[x+m+2)+b=0

的解是（)

A.=-2,x2=]B.X]=1,巧=3

C.%=-4,x2=-lD.無法求解

16.十是方程方+%-1=0的根,貝IJ代數(shù)式2m2+26+2020的值為（）

A.2018B.2024C.2025D.2025

17.下列方程①f-5.『2025,@ax2+bx+c=0,③3/+$=1,@（x-2）（x+6）=x2+l,一定是關于x的一元二次

6

方程的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2020

18.已知“是方程/?2024x+l=0的一個根，則/_2019〃+「一的值為（）

。~+1

A.2017B.2018C.2024D.2024

19.若關于x的一元二次方程潑+2瓜_2=0的一個根是x=2022,則一元二次方程夕x+2『+法+2）=1必有一根

為（）.

A.2024B.2025C.2025D.2023

同

一：選擇題

20.已知"=機是一元二次方程/一％_]=0的一個根，則代數(shù)式加一〃?+2021的值為（）

A.2025B.2025C.2023D.2024

21.若關于x的一元二次方程ad+辰+5=0,=0）有一根為2025,則方程。（工+1『+可工+1）=-5必有根為（）

A.2025B.2024C.2024D.2025

22.若x=2是關于x的一元二次方程加7-八。的一個根，則2+&z—功的值為（）

A.0B.2C.4D.6

23.若。是工2-3工一2022=0的一個根，則/-3〃+1的值是（）

A.2024B.2025C.2025D.2023

4（x-l）＞3x-2

24.不等式組2x+\4的整數(shù)解是一個一元二次方程的兩根，則該方程為（）

A.x2-i-3x+4=0B.x2+7.V+12=0C.x2-3x+4=0D.x2-7x+12=0

二、填空題

25.已知關于x的方程（＞-112+〃。+2=0,當拼時，方程為一元二次方程.

c.該方程是一元一次方程，故本選項不合題意；

D.該方程中含有兩個未知數(shù)，故本選項不合題意；

故選:B.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次

方程.

3.D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可.

【詳解】解：A、當4=0時，不是一元二次方程，故本選項不符合題意：

B、含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故本不選項符合題意；

C、不是整式方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；

D、原方程整理得/+『3=0是一元二次方程，故本選項符合題意；

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數(shù),

并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2II勺整式方程，叫一元二次方程.

4.C【分析】根據(jù)任何一個關于x的一元二次方程經(jīng)過整理，都能化成如下形式以2+/?+-（）（〃#））.這種形式叫一

元二次方程的一般形式.其中“N叫做二次項，。叫做二次項系數(shù)；如叫做一次項，。是一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項

進行分析即可.

【詳解】解：5/+1=41可化為5/?4x+l=0,

它的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項分別為5,-4,1.

故選：C.

【點睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，關鍵是掌握要確定二次項系數(shù)，一次項系數(shù)和常數(shù)項，必須先

把一元二次方程化成一般形式.

5.D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義及一般形式可進行求解.

【詳解】解：A、方程7=0的一次項系數(shù)為0,故選項錯誤；

B、一元二次方程的一般形式是〃/+氏+c=0（g0）,故選項錯誤；

C、當即原1時，方程去2+31-1=/為一元二次方程，故選項錯誤；

D、當加取所有實數(shù)時，關于工的方程（機2+1）3=0為一元二次方程是正確的.

故選：D.

【點睛】本題主要考查一元二次方程的定義及一般形式，熟練掌握一元二次方程的定義及一般形式是解題的關鍵.

6.C【分析】根據(jù)一元二次方程定義解答.

【詳解】解：一元二次方程3/—1=5尤化為一般形式為3f—5x-1=（），

二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是3,-5,-1,

故選：C.

【點睛】此題考查了一元二次方程的定義，熟記方程的一般形式的特點及各字母的名稱是解題的關鍵.

7.C【分析】把％=2代入/■〃優(yōu)+2=0,得到關于〃?的一元一次方程，解方程即可求出，〃的值.

【詳解】解:根據(jù)題1,得2°—2m+2=O,BP6-2m=0,

解得，〃?=3.

故選：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方

程的解.又因為只含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程

的根.也考查了解一元一次方程.

8.B【分析】由2是一元二次方程/+x+m=0的一個解，將尸2代入方程得到關于機的方程，求出方程的解，即

可得到〃?的值.

【詳解】解：???2是一元二次方程/以+〃?=0的一個解，

???將x=2代入方程得：4+2+"尸0,

解得：-6.

故選：B.

【點睛】此題考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解，即為能使方程左右兩邊相等的未知

數(shù)的值.

9.C【分析】將x=0代入（。-3）尤2+工+4_]=0中，求出。的值，再根據(jù)3=0,即可確定”的值.

【詳解】將x=0代入（a-3）/+x+/-1=0中

a2-1=0

解得a=±l

???這是關于x的一元二次方程

a-3Ho

解得"3

故。=±1

故答案為：C.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定義、一元二次方程的定義是解題的關鍵.

10.D【分析】根據(jù)一元二次方程的定義判斷選擇即可.

【詳解】A.當〃=0時，原方程不是一元二次方程，故不符合題意；

B.原方程整理得：-3x=-4,不是一元二次方程，故不符合題意；

C.V-2.r+7=0是一元三次方程，故不符合題意；

D.符合一元二次方程的定義，故符合題意；

故選D.

【點睛】本題考查判斷一元二次方程.掌握一元二次方程的定義是解題關鍵.

II.A【分析】將廣。代入原式即可求出c的值，另外注意，子0.

【詳解】解：由題意可知：/0,

當該方程至少有一個根為0時，

將x=0代入ax2+bx+c=0,

/.c=0,

綜上，一元二次方程ax^bx+c^至少有一個根是零的條件是且c=0.

故選：A.

【點睛】本題考查一元二次方程的解，解題的關鍵是正確理解一元二次方程的定義以及一元二次方程的解?.

12.A【分析】將尸0代入方程計算求出A的值即可.

【詳解】因為x=0是一元二次方程2/+3X+A-4=0的一個根，

所以"4=0,

解得女=4.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的根，理解一元二次方程的根的定義是解題的關鍵.

13.B【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，即可求解.

【詳解】解：???方程（/〃+2）/+2g+2=0是一元二次方程,

，制=2且加+2/0,

解得：m=2.

故選：B

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，熟練掌握能使方程左右兩邊同時成立的未知數(shù)的值是方程的解是解題

的關鍵.

14.A【分析】先把方程的左邊按照平方差公式進行整理，再移項把方程化為f-3x-1=0,從而可得答案.

【詳解】解：V（x+l）（x-l）=3x,

/.x2-I=3x,

\X2-3x-1=0,

???方程的一般形式為：x2-3x?1=0,

故選A

【點睛】本題考查的是一元二次方程的一般形式，掌握“一元二次方程的一般形式：ad+笈+。=0（々工0）”是解本

題的關健.

15.C【分析】可把方程4（%+〃?+2）2+工0看作關于x+2的一元二次方程，從而得到1+2=-2,"2=1,然后解兩4'^一

次方程即可.

【詳解】可把方程〃*+〃?+2）2+方=0看作關于工+2的一元二次方程，

而關于x的方程a(x+/n)2+b=O的解是xi=~2,X2=1,

所以產(chǎn)2=-2,x+2=I,

所以X/=-4,X2=-l.

故選C.

【點睛】本題考查了解一元二次方程-直接開平方法：形如/=〃或(姑+⑼2=p0左0)的一元二次方程可采用直接開平

方的方法解一元二次方程.

16.D【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義得到〃/+〃?=1,然后把病+加=1整體代入所求式子中求解即可.

【詳解】解：??”是方程f+x—l=0的根，

nf+/Z2-1=0?

nr+rn=1>

2nr+2m+2020=2(/?r+/〃)+2020=2+2020=2022,

故選D.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程解的定義，代數(shù)式求值，熟知一元二次方程解的定義是解題的關鍵.

17.B【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可.

【詳解】解：①.P-5x=2025,是一元二次方程；

②ad+Z?x+c=0，當4=0時不是一元二次方程；

③3/+：=|,是一元二次方程；

O

@(X-2)(X4-6)=X2+1,整理后不含二次項，不是一元二次方程，

所以，一定是關于X的一元二次方程的是①@，共2個,

故選：B

【點睛】本題主要考查一元二次方程的概念.只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為2的整式方程叫做一元二次方程,

一般形式是水2+以+c=()(g0).特別要注意*0的條件.這是在做題過程中容易忽視的知識點.

18.C【分析】將〃代入方程/一202(反+1=0,得至。2一2()20〃+1=(),a2+\=2020a,=2020?-1,再利用

換元法的思想整體代入代數(shù)式求值即可.

【詳解】解：是方程/一2020工+1=0的一個根，

???/一2020。+1=0,即/+1=2020。，/=2020〃-1,

2020

/一2019〃+

a?+1

2020

=20201/-1-2019^+

2020a

2020”.

=------1

a

=2019,

故選：C.

【點睛】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，利用換元法的思想是

解答本題的關鍵.

19.A【分析】對一元二次方程垓(x+2p+加:+2〃=1變形，設f=x+2得到a產(chǎn)+2"-2=0,利用加+蘇-2=0的

一個根是T=2O22可得7=2。25,從而求出丫即可.

【詳解】解：對于一元二次方程和+2『+云+?=1即a(x+2『+2〃(x+2)-2=0,

設，=x+2,則可得“J+2Z”2=0,

而關于x的一元二次方程以2+次_2=()的一個根是x=2022,

所以〃/+3/-2=0有一個根為/=2025,

所以x+2=2025,

解得x=2024,

所以一元二次方程粉+2『+灰+2〃=1必有一根為工=2024,

故選：A.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

20.B【分析】把機代入一元二次方程W—x_i=o得到濟—〃?二],再利用整體代入法解題即可.

【詳解】解：把〃?代入一元二次方程/-X—1=0得，

m2—-1=0>

/.ni2—???=1,

nr-/〃+2021=1+2021=2022，

故選：B.

【點睛】本題考杳一元二次方程的解.、已知式子的值求代數(shù)式的值、整體思想等知識，是重要考點，難度較易，掌

握相關知識-是解撅關群.

21.D【分析】設/=x+l,即。(工+9+/心-+1)=-5可改寫為/+勿+5=0，由題意關于x的一元二次方程

ad+/M+5=0(aw0)有一根為x=2022,即+6+5=0有一個根為Z=2022,所以x+1=2022,42025.

【詳解】由a(x+l)2+/?(x+l)=-5得到a(x+l『+Z?(x+1)+5=0,

對于一元二次方程。(x+1)2+/?(x+l)=-5,

設f=%+1,

所以“+初+5=0,

而關于x的一元二次方程如2+區(qū)+5=0(。=0)有一根為X=2022,

所以4+9+5=0有一個根為f=2022,

則x+l=2022,

解得工=2021,

所以一元二次方程a(x+l)2+/?(x+l)=-5有一根為x=2021.

故選：D.

【點睛】本題考查一元一次方程的解.掌握換元法解題是解答本題的關鍵.

22.D【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把m2代入方程依2-『/?=0得4〃-〃=2,再把2+&"2〃變形為2+2

(4。/),最后整體代入求值即可.

【詳解】解：??3=2是關于x的一元二次方程0?-工-〃=0的一個根，

：.4a-2-b=0,

4a-b=2,

...2+8?-2Z>=2+2(4?-/?)-2+2x2-2+4-6,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的解，將代數(shù)式進行適當變形是解答本題的關鍵.

23.D【分析】由“是方程/-3%-2(：22=0的一個根，得/-3〃=2022,由此可求得/-34+1的值.

【詳解】解：:。是方程萬-2022=0的一個根,

「?-3a-2022=0,

即3a=2022,

???片―3a+l=2O23.

故選：D.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解，熟知一元二次方程的解與一元二次方程的關系是解題的關鍵.

24.D【分析】先解不等式組，可得解集為2<工工4,故整數(shù)解為3和4,又因為不等式組的整數(shù)解是一個一元二次

方程的兩根，故方程為*—3)(x-4)=0,化簡得7x+12=0,即可得出結論.

【詳解】解：解不等式40-1)>3工一2得%>2,

解不等式等Nx-l得XW4,

???不等式組的解集為2<%￡4,

???不等式組的整數(shù)解為3,4,

???不等式組的整數(shù)解是一個一元二次方程的兩根，

，方程為(x-3)(x-4)=0,

化簡得f-7x+12=0.

故選D.

【點睛】本題主要考查了一元一次不等式組的解集、一元二次方程的解.

25.=±1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，即可求出答案.

【詳解】解：???若方程(加—1)/+,皿+2=0是一元二次方程，

nr—I關0,

，"70±1；

故答案為：K±l；

【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，掌握二次項系數(shù)不等于0是解題的關鍵.

26.1272-12【分析】直接將方程的解代入方程求解即可.

【詳解】解：將l=遍-&代入方程得：

(&可-2a(6_近)+〃1=(),

解得：加=120一12,

故答案為：12&-12.

【點睛】本題主要考查已知一元二次方程的解求參數(shù)，準確運算是解題的關鍵.

27.6【分析】將。代入W+2x—3=0,即可得出/+2〃=3,再把/+2。=3整體代入2/+4。，即可得出答案.

【詳解】是一元二次方程V+2.r-3=0的一個根，

:.4+2a-3=(),

***a2+2a=3,

2a1+4。=2,2+勿)=2x3=6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，整體思想是本題的關鍵.

28.(2)(4)##(4)(2)【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進行判斷即可.

【詳解】解：(1)2K-1=4-)，中未知數(shù)的最高次數(shù)是1次，因此此方程不是一元二次方程；

(2)36-1=0是一元二次方程;

(3)(xl)(x3)?/可以變形為-4x十3=0,因此原方程不是一元二次方程；

(4)(02+1)/-2=、中產(chǎn)的系數(shù)一定不等于()，因此此方程一定是一元二次方程；

(5)犬+4=2中分母上含有未知數(shù)，是分式方程，不是整式方程；

x

(6)〃優(yōu)2+2工一3=0中，〃=0時，不是一元二次方程；

綜上分析可知，一定是關于x的一元二次方程的是(2)(4).

故答案為：(2)(4).

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的定義，熟練掌握定義，是解題的關鍵.

29.%=-4，x2=-1【分析】可把方程a(x+/〃+2)2+匕=?？醋麝P于x+2的一元二次方程，從而得至ljx+2=-2或

x+2=l,然后解兩個一次方程即可.

【詳解】解：把方程。*+，〃+2)2+〃=0看作關于x+2的一元二次方程，

而關于x的方程〃。+〃1)2+8=0的解是％=-2,x2=\,

所以x+2=-2或x+2=l,,

所以玉=-4，X2=-\.

故答案為：％=-4，&=-1.

【點睛】本題考杳了一元二次方程的解，根據(jù)換元法得到一元一次方程是解題的關鍵.

30.12【分析】將根代入一元二次方程，求出c的值即可.

【詳解】解：將廣2代入方程可得：22—16+c=0,

解得：c=12.

故答案為：12.

【點睛】本題主要考查一元二次方程根的定義，將根代入方程求解是解題關鍵.

31.1【分析】(1)根據(jù)一元二次方程的定義可進行求解：

(2)把工=0代入方程即可求解.

【詳解】解：(I)???方程(川-2)^-級+3=0是關于x的一元二次方程，

??m-2和，解得〃用2.

故答案為：“2：

(2)將x=0代入(m+1)x2+x+m2-1=0,

/.m2-1=0,

/.m=1或m=~1,

+l#0,

??m—1,

故答案為：1.

【點睛】本題主要考查?元二次方程的定義及?元二次方程的解，熟練掌握一元二次方程的定義及其它的解是解題

的關鍵，注意二次項系數(shù)不能為0.

32.c.=0,C2=8,另一根為【分析】將--2代入解析式即可求出c的值，從而解出另一根.

【詳解】解：???x=-2,是關于x的一元二次方程V+x+c2—&-2=0的一個根，

A4-2+C?2-8C-2=0,

?2-8(=0,

g|Jc(c-8)=0,

解得：。=0，。2=8,

當c=0時，X2+X-2=0?

BP(x-l)(x+2)=0,解得％=l,X2=-2,

當c=8時，x2+x-2=0?

即(x-l)(x+2)=0,解得％=1,X2=-2,

故q=0,q=8,另一根為x=l.

【點睛】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的解使得方程左右兩邊相等，能夠理解一元二次方程的解是

解決本題的關鍵.

33.6.【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到機2M+3,則(蘇加)(w