3.2勾股定理的逆定理第三章

勾股定理1.經(jīng)歷勾股定理的逆定理的探索過程，掌握勾股定理的逆定理，理解勾股定理及其逆定理之間的關(guān)系；2.能利用勾股定理的逆定理判定一個三角形為直角三角形；3.了解勾股數(shù)的概念，熟悉常用的勾股數(shù)．四千多年前，古埃及人在建造金字塔時，他們在一根繩子上打上距離相等的結(jié)，然后把繩子分成12等份，再分別取3份、4份、5份的長度做邊長，用木樁釘成三角形，他們認為其中一個角就是直角，你知道為什么嗎？勾股定理的的逆命題是什么？它的真假性如何？逆命題：如果一個三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形．活動.

描述勾股定理的逆命題，并完成下列問題.探究一：探索勾股的逆定理1.這個命題的條件是什么？結(jié)論是什么？2.如何構(gòu)造一個已知是直角三角形的圖形，這個圖形的邊長與已知三角形的邊長有直接關(guān)系？1.條件：一個三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方；結(jié)論：這個三角形是直角三角形2.構(gòu)造輔助直角三角形與原三角形的邊長對應相等．已知：在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，且a2＋b2＝c2．求證：△ABC是直角三角形．AbaCBc證明：作一個△A′B′C′，使∠C′＝90°，B′C′＝a，

A′C′＝b，根據(jù)勾股定理，得

A′B′2＝a2＋b2，因為

AB2＝a2＋b2，所以A′B′＝AB，根據(jù)“SSS”，可知△ABC≌△A′B′C′，于是，∠C＝∠C′＝90°，△ABC是直角三角形．∟A′baC′B′活動1.

獨立完成下列證明，說明勾股定理的逆命題為真命題..勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a、b、c，且a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．CABabc符號語言：在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊長分別為a，b，c，且a2＋b2＝c2．∴△ABC為直角三角形，且∠C＝90°.1.△ABC的三邊長分別是a，b，c且a＝n2－1，b＝2n，c＝n2＋1，n＞1．△ABC是直角三角形嗎？證明你的結(jié)論．證明：是直角三角形，∵a2＋b2＝(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1．c2＝(n2＋1)2＝n4＋2n2＋1．∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形.思考：運用勾股定理的逆定理判斷直角三角形的一般步驟是什么？運用勾股定理的逆定理判斷直角三角形的步驟：找：確定三角形的最長邊；算：分別計算出最長邊的平方與另兩邊的平方和；比：通過比較來判斷最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等；判：作出結(jié)論，若相等，則說明這個三角形是直角三角形，否則不是直角三角形.活動1.

閱讀下面情境，回答問題.探究二：勾股數(shù)四千多年前，古埃及人在建造金字塔時，他們在一根繩子上打上距離相等的結(jié)，然后把繩子分成12等份，再分別取3份、4份、5份的長度做邊長，用木樁釘成三角形，他們認為其中一個角就是直角.思考：為什么其中一個角就是直角？

如果三個正整數(shù)a，b，c滿足關(guān)系a2＋b2＝c2，則稱a，b，c為勾股數(shù)．注：勾股數(shù)必須同時滿足兩個條件：

1．三個數(shù)都是正整數(shù)；2．兩個較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方．常見的勾股數(shù)有：3、4、5；6、8、10；5、12、13；(1)a＝8，b＝15，c＝17；(2)a＝13，b＝14，c＝15．1.下面以a，b，c為邊長的三角形是不是直角三角形？若是，請指出哪個角是直角．解：(1)在△ABC中，∵a2＋b2＝82＋152＝64＋225＝289，c2＝172＝289，∴a2＋b2＝c2．∴△ABC是直角三角形，∠C是直角．(2)在△ABC中，∵a2＋b2＝132＋142＝365，c2＝152＝225，∴a2＋b2≠c2，∴△ABC不是直角三角形．三角形是直角三角形的判斷方法：用角判定：

1．兩個銳角互余的三角形是直角三角形；2．有一個角是90°的三角形是直角三角形．用邊判定：如果已知條件與邊有關(guān)，則可通過勾股定理的逆定理進行判斷．如圖，AD是△ABC的中線，AD＝24，AB＝26，BC＝20．求AC的長．ABCDABD

活動2.

利用勾股數(shù)求解相關(guān)問題.1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)嗎？為什么？(1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12．解：(1)∵122＋152＝144＋225＝369，182＝324，∴122＋152≠182．∴12，15，18不是勾股數(shù)．(2)∵112＋602＝121＋3600＝3721，612＝3721，∴112＋602＝612．∴11，60，61是勾股數(shù)．1.下列各組數(shù)是勾股數(shù)嗎？為什么？(1)12，15，18；(2)11，60，61；(3)15，36，39；(4)36，35，12．解：(3)∵152＋362＝225＋1296＝1521，392＝1521，∴152＋362＝392．∴15，36，39是勾股數(shù)．(4)∵122＋352＝144＋1225＝1369，362＝1269，∴122＋352≠362．∴36，35，12不是勾股數(shù)．

(2)設a＝3k、b＝4k、c＝5k(k＞0)，∵a2＋b2＝(3k)2＋(4k)2＝25k2，c2＝(5k)2＝25k2，∴a2＋b2＝c2.∴△ABC是直角三角形，∠C是直角.2.判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形．3.計算圖中四邊形ABCD的面積．∟CABD12161525

勾股定理與其逆定理有什么區(qū)別與聯(lián)系？勾股定理勾股定理的逆定理圖形條件結(jié)論區(qū)別聯(lián)系AbaCB∟在Rt△ABC中，∠C＝90°a2＋b2＝c2“直角三角形”為條件，數(shù)量關(guān)系a2＋b2＝