2024年高考數(shù)學(xué)全真模擬卷06（新題型地區(qū)專用）

（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分笫I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、往考證號(hào)填寫

在答題卡上。

2.回答第I卷時(shí)，選出母小題答案后，用2B鉗筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無效。

3.回答第I【卷時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷（選擇題）

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要

求的。

1.（5分）（2023?四川涼山?統(tǒng)考一模）已知一組數(shù)4必產(chǎn)3，h的平均數(shù)土=1，方差s2=l,則數(shù)據(jù)2%+

1,2X2+1,2X3+1,2X4+1的平均數(shù)和方差分別是（）

A.3,2B.3,4C.2,4D.2,2

【解題思路】根據(jù)平均數(shù)和方差的性質(zhì)運(yùn)算求解.

【解答過程】由題意，數(shù)據(jù)2勺+1,2X2+1,2%3+L2%4+1的平均數(shù)為2元+1=2乂1+1=3,

方差為22s2=4x1=4.

故選：B.

2.（5分）（2023?四川雅安?統(tǒng)考一模）如圖，正方形4BC。的邊長為4,E為BC的中點(diǎn),F為CD邊上一點(diǎn)，

若萬?荏=|荏『，則=（）

A.A/17B.2V5C.2V6D.5

【解題思路】建系，設(shè)|D『|=ae[0,4],根據(jù)題意結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得a=3,即可得結(jié)果.

【解答過程】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)|DF|=ac[0,4],

D

則A(0,0),E(4,2),F(a,4),可得而=(Q,4),荏=(4,2),

因?yàn)椴?族=|而產(chǎn)，即4a+8=20,解得Q=3,

即方=(3,4),所以|4F|=|AF|=V32+42=5.

故選：D.

3.(5分)(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛b｝是等比數(shù)列，若%+的+。9=

9,5b8=3V3,則1A；二()

1.十。2。8

A.2B.V3C.-D.—

23

【解題思路】根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)分析求解.

【解答過程】由題意可得解得仔5=*,

(b2b5b8=怩=3V3kb5=V3

所以=匹=￡=。

「八1+烤1+32'

故選:C.

4.(5分)(2023?四川成都?成都七中校考一模)設(shè)m、n是兩條不相同的直線，*0是兩個(gè)不重合的平面，

則下列命題錯(cuò)誤的是()

A.若機(jī)la,八〃￡，a〃R,1n

B.若九//a,n1/7,則a16

C.若m、九是異面直線，mua,nc/?,n//a,則切//?.

D.若mJLn,ml/?,貝加〃/5

【解題思路】利用線面平行和線面垂直的性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)：利用線面平行的性質(zhì)和面面垂直的判定定理

可判斷B選項(xiàng)；利用線面平行和面面平行的判定定理可判斷C選項(xiàng)：根據(jù)已知條件直接判斷線面位置關(guān)系，

可判斷D選項(xiàng).

【解答過程】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)?tila,a//P，則

因?yàn)閚〃夕，過直線n作平面y,使得夕Cy=a,貝ija〃n,如下圖所示；

因?yàn)閙l/?,au0,則mlQ,故m1〃，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)榫拧╝,過直線ri作平面y,使得any=Q,則a〃九,如下圖所示:

因?yàn)閚le則Q1￡,因?yàn)閍ua,則a1￡,B對(duì)；

對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)榫拧╝,過直線71作平面y,使得any=a,則a〃〃,如下圖所示:

因?yàn)閍/",nuB，QC/?,則a〃0,

又因?yàn)閙、〃是異面直線，Q〃九，且aua,mua,

假設(shè)a〃m,則/n〃7i,與已知條件矛盾，假設(shè)不成立，故m、a相交，

又因?yàn)閙〃夕，因此，a〃夕，C對(duì)；

對(duì)于D選項(xiàng)，若mln,7九10,則九〃/?或九u/?,D錯(cuò).

故選：D.

5.（5分）（2023?全國?模擬預(yù)測(cè)）2022年10月16日至10月22日,中國共產(chǎn)黨第二十次全國人民代表

0*!吧嗎=±分子分母同時(shí)除以cosacos/?得:

sinacosp-cosasin/73

1-tanatan/?_lyjx

tana-tan/?3'

a-^>0

一］<-0<0,所以0<”0<3

（0<a

所以cos（a-/?）=

所以tan（a-6）=半狹=：,

rcos（a-/?）4

即tana-ta嗎_2^ana—tan/?=七十日匕皿匕邛，代人①得：

l+tanatan/?4廠44廣

:;anata”_2，解得tanatan/?=

-+-tanatan/?35

故選:B.

8.（5分）（2023?陜西銅川?統(tǒng)考一模）古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家阿基米德最早采用分割法求得橢圓的

面積為橢圓的長半軸長和短半軸長乘積的IT倍，這種方法已具有積分計(jì)算的雛形.已知橢圓C的面積為12遙m

離心率為/F］,尸2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，4為橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

①橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程可以為1+《=1②若乙尸/尸2=,則=2073

362。314

③存在點(diǎn)4使得乙尸［仍=］④島+總的最小值為;+今

A.??B.②?C.②③D.①④

【解題思路】由橢圓的性質(zhì)判斷A：由定義結(jié)合余弦定理、三角形面枳公式判斷B；由余弦定理得出NF】AF2

的最大角為銳角，從而判斷C；由基本不等式判斷D.

（ab=1275

【解答過程】對(duì)于①：由］-=-,解得Q=6,b=2V5,c=4,

Ia3

=/）24-c2

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為左+<=L故①正確：

.Sn20

對(duì)于②:由定義可知|4尸1|+|小引=12,

|4&|2+"尸2|2一|&&|2_(|4F|+|4F|)2-2|/1F||4F|-|FF|2

由余弦定理可得:121212

cosz.FiAF2=

2IA&IIAF2I_2\AFX\\AF2\

—出辿業(yè)如竺整理得|/R||/1尸21=巴

2\AFy\\AF2\23

則SA&"2=\|AF1||AF2|sinzFiAF2=：xgx/=竽，故②錯(cuò)發(fā):

對(duì)于③：設(shè)4(s,￡)，(+'=I'S?=36(1—或)=36—白2,

居(-4,0),尸2(4,0),麗?麗=(-4-s,-t)?(4-s,-￡)=s2-16+t2

=36-；t2-16+t2=20-；t2,由于一2WtW2,

0<t2<4,0<白2<<2O-Jt2<20,

則不存在點(diǎn)4使得/巳力尸2一》故③錯(cuò)誤；

對(duì)于④:島+意/島+意)(必+1傷I)=累2+鬻+l+g|)號(hào)(3+2郎=、+多

當(dāng)且僅當(dāng)鬻=霜，

即|AFJ=或/尸2|時(shí)，等號(hào)成立，故④正確；

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的

要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得。分。

9.：6分)(2023?廣東凍莞市東華高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模)函數(shù)/(x)=Asin(a)x+租)(A>0,3>0,|初<：)

的部分圖象如圖所示，將函數(shù)/(%)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，然

后向左平移*個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則()

A.4=1

B.g(x)的解析式為y-2sin(1+力

C.(：,())是g(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

D.g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是［3ATT—與\3/CTT—同，/c6Z

【解題思路】先利用三角函數(shù)的圖象求得/'(%)的解析式，再利用三角函數(shù)平移的性質(zhì)與正弦函數(shù)的性質(zhì)即

可得解.

【解答過程】依題意，由圖象可知4=1,1一.)=爭則7=口，故A正確；

因?yàn)?>0,所以W=1T,則3=2,所以/(x)=sin(2x+9),

因?yàn)?(x)的圖象過點(diǎn)1)，所以sin(2xg+中)=1,

則生+9=口+2/m,kEZ,即卬=—E+2/cn,kWZ,

326

又卜ol<3則9=所以/(%)=sin(2x-力，

26\6/

將函數(shù)/Xx)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到y(tǒng)=sin(|x-的圖象，

縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到y(tǒng)=2sin(|x-J的圖象，

向左平移4個(gè)單位長度，得到函數(shù)ga)=2sin]|(x+?一總=2sin(|x+9的圖象，故B正確；

因?yàn)椤?T)=2sin(|xy+0=2sinyH0,故C錯(cuò)誤:

令——+2ku<-%+-<--+2kn,kG解得3/CTT——-<x<3ku---,kEZ,

233244

所以g(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[3/nr-詈,3k7T-彳卜/cGZ,故D正確.

故選：ABD.

10.(6分)(2023?河北石家莊,統(tǒng)考三模)已知復(fù)數(shù)z1=l+2i,復(fù)數(shù)z滿足憶一為|=2,貝ij()

A.?石=S

B.A/5-2<|Z|<V5+2

C.復(fù)數(shù)4在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-1,2)

D.復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z(%y),則(％-+(y-2產(chǎn)=4

【解題思路】根據(jù)共規(guī)復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義判斷BCD,由復(fù)數(shù)的乘法判斷A.

【解答過程】由已知五二l-2i,其對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,一2),C錯(cuò)；

Zi-z7=I2+Z2=5,A正確；

由|z-zj=2知z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以Z1對(duì)應(yīng)點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓上,㈤=V5,

因此依"2<|z|<V5+2,B錯(cuò)誤；

ZI對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2),因此D正琬.

故選：AD.

11.(6分)(2023?全國?模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足f(%+2)4-f(x)=f(2024),且f(2x+1)

是奇函數(shù)，則（）

A./(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(1,0)對(duì)稱

B.f(0)=f(4)

C.*2)=1

D.若黑)=%則W：>(T)=。

【脩題思路】A選項(xiàng)，得到/(一%+1)+/(%+1)=U,得到函數(shù)的對(duì)稱中心；B選項(xiàng)，由題意條件得到

/Q+4)=/(%),故B正確；C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)得到/(￥)的周期為4,故/(%+2)+/(%)=/[0),賦值法

得到/?⑵=0；D選項(xiàng)，賦值法得到八|)=舊，/(|)=-p/(|)=p結(jié)合函數(shù)的周期得到答案.

【解答過程】A選項(xiàng),由題意知，/(-2x+l)=-/(2x+l),則/?(T+1)+/(%+1)=0,

所以f(%)圖象的對(duì)稱中心為(1,0)，A正確.

B選項(xiàng),f(x+2)4-/(x)=/(2024),f(x+4)+f(x+2)=/(2024),

兩式相減得/■(%+4)=/(幻，所以/?(4)=/(0),B正確.

C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可得，/a)的周期為4,又2024=4x506,

故"％+2)+/(%)=/(2024)=/(0),令4=0得,/(2)+/(0)=/(0),

得/(2)=0,所以C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，因?yàn)?(一%+1)+/(%+1)=0,令％=1得，/(0)+/(2)=0,

又/(2)=0.故/1(0)=0,

f(r+i)+/a+i)=o中，令x=g得，/Q)=-/Q)=-1>

由/a+2)+/(幻=o,得/(|)=-/Q)=-^/?=-/(|)=?

又/(%)的周期為4,

則(4九+1)/(4幾+04-(4n+2)/(4n+m)+(4n+3)/(4n+1)4-(4n+4)/(4九+：)=(4九+1)xg+

(4n+2)x(一習(xí)+(4n+3)x(-以+(4n+4)x：=x[(4n+1)-(4n+2)-(4n+3)4-(4n+4)]=0,

Zioo/

=D正確.

故選:ABD.

第n卷(非選擇題)

三,填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.（5分）（2023?山東濰坊?統(tǒng)考二模）若"x=a”是“sinx+cosx>1”的一個(gè)充分條件，則。的一個(gè)可能

值是：（只需滿足a€9kn,2kn+（k€Z）即可）.

【解題思路】解不等式sinx+cosx>l,可得出滿足條件的一個(gè)Q的值.

【解答過程】由sinx+cos%>1可得/sin（%+：）>1,則sin（%+.）>孝,

所以，2/ar+乙<%+?<2/cn+“（keZ）,解得2/CTT<xV2/cn+三（女￡Z）,

4442

因?yàn)椤癤=a”是“sinx+cosx>1”的一個(gè)充分條件，故a的一個(gè)可能取值為

4

故答案為：；（只需滿足aW（2〃n,2/nr+f（keZ）即可）.

13.（5分）（2023?廣東佛山?校考模擬預(yù)測(cè)）在三棱錐4-BCD中，△BCD是邊長為6的等邊三角形，乙44。=

三棱錐A-BCD體積的最大值是27；當(dāng)二面角A-BZ）-C為120。時(shí)，三棱錐A-8C。外接球的表面積是

84TT.

【解題思路】根據(jù)三棱錐的體積公式可知當(dāng)高最大時(shí)，體積最大，故當(dāng)二面角A-BO-C為90）三棱錐力-

BCD的體積最大，由體積公式即可求解，根據(jù)外接球的性質(zhì)，利月正弦定理和勾股定理，即可聯(lián)合求解球半

徑.

【解答過程】當(dāng)二面角4一80-。為90。，且48=40時(shí)，三棱錐A-8C。的體積最大，設(shè)線段8D的中點(diǎn)為

E,連接AE,易求得力E=3V3,V_=-S-TIE=-x-x6x6-sin60°x373=27.

ABCD3hBCD32

當(dāng)二面角4-BD-。為120。時(shí)，△BCD的外接圓圓心分別記為。i和。2，

分別過01和。2作平面A8D和平面8CZ）的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為。?過。】作8。的垂線，垂足記為E,

連接。遂，BO],EC,BO,EO在AABDB，由正弦定理得：20]8=.黑°=4百,所以0科=2百，

22

易知0送二。2￡=百，在RsOOiE中，。。1=。送?tan60。=3,在RsB。。]中，BO=yjO1B+0r0=

房,

所以三棱錐A-4C。外接球的半徑K=V21,所以411扭2=8411,

即三棱錐71-8co外接球的表面積是84n.

故答案為：27；84TL

14.（5分）（2023?湖北孝感?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）若存在實(shí)數(shù)a",使得關(guān)于x的不等式34<axb<2x2+2

對(duì)xe[0,+8）恒成立，則b的最大值是二

【解題思路】令％=0，可得6C[0,2],當(dāng)4>0時(shí)，分b=2和bU（0,2）討論.當(dāng)6C（0,2）時(shí)，將原命題分解

成兩個(gè)恒成立問題，時(shí)于<ax+b恒成立問題，可參變分離構(gòu)造函數(shù)g(x)=3x4-利用導(dǎo)數(shù)求最值，

對(duì)于ax+bW2/+2,可參變分離，利用基本不等式求最值，然后即可解.

【解答過程】令％=0,得bw[0,2].

當(dāng)《>0且匕=2時(shí)，原命題等價(jià)于3%一3-士<a<2%恒成立，由a<2》恒成立可知a<0,又當(dāng)工=1時(shí)，a>

X

3-y=1,所以不存在a,使得該不等式恒成立.

當(dāng)x6(0,+8),且(0,2)時(shí),

21u

由<ax+b,得?

Q>3x*3——X

2

設(shè)g(X)=3X-3-p令g'(x)=-r-3+/=-x；：b=o,解得％=bi

當(dāng)xE(0,反)，g'(x)>0,此時(shí)g[x)在(0,所)上單調(diào)遞增，

當(dāng)xG(成,+8)g'(x)<0,此時(shí)g(x)在(歷,+8)上單調(diào)遞減，

9&。=9儂)=全得QN套

ax+b<2x2+2等價(jià)于Q<2x+書，而2x+一>?口=2,2(2-。),

當(dāng)且僅當(dāng)2x=?，即工二層時(shí)等號(hào)成立，

所以aW2/2(2-b),則專工2j2(2-b),

解得力WbW邛，所以〃的最大值是當(dāng).

222

故答案為：竽.

四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟。

15.(13分)(2023?山東?山東校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)=x—(m+2)hu:—等.

(I)若/Q)在(1,八1))處的切線，垂直于直線x—2y+I=0,求，的方程；

(2)時(shí)論/(幻的單調(diào)性.

【解題思路】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得參數(shù)〃?的值，即可求得答案；

(2)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論機(jī)的取值，結(jié)合解不等式，求得導(dǎo)數(shù)大于()和小于0時(shí)的解，即可求得答案.

【解答過程】⑴由題意得廣(燈=1-卓+等=嗎

因?yàn)?"(%)在％=1處的切線，垂直于直線x-2y+l=0,

所以/'(1)=-2,即1一(m+2)+2m=-2,解之得7九二-1；

又/⑴=3,

所以，的方程為y-3=-2(%-1),即2%+y-5=0.

(2)f(%)的定義域?yàn)?0,+8),

由(1)得((x)=/(m+y+2m=-2)廣？

7X2X2

所以當(dāng)mW。時(shí)，令/'(X)>U得乃>2,令/'(X)VU得。<%<乙

所以/(幻在(2,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0VmV2時(shí)，令廣(%)>0得0V%Vm或無>2,令/'(%)<0得m<x<2,

所以/(x)在(0,m)和(2,+8)上單調(diào)遞增，在(7九,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)?n=2時(shí),尸(%)N0在(0,+8)上恒成立,

所以f(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)加>2時(shí)，令/(%)>0得0VXV2或%>m,令，(x)<0得2Vxem,

所以fO)在(0,2)和(m,+8)上單調(diào)遞增，在(2,m)上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)mW0時(shí)，/(外在(2,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)。VmV2時(shí),/(%)在(0,優(yōu))和(2,+8)上單調(diào)遞增，在(m,2)上單調(diào)遞減;

當(dāng)m=2時(shí)，/(%)在(0,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)m>2時(shí)，/(%)在(0,2)和(m,+s)上單調(diào)遞增，在(2,m)上單調(diào)遞減.

16.(15分)(2023?廣東?校聯(lián)考二模)某中學(xué)的風(fēng)箏興趣小組決定舉行一次盲盒風(fēng)箏比賽，比賽采取得分

制度評(píng)選優(yōu)勝者，可選擇的風(fēng)箏為硬翅風(fēng)箏、軟翅風(fēng)箏、串式風(fēng)箏、板式風(fēng)箏、立體風(fēng)箏，共有5種風(fēng)箏，將

風(fēng)箏裝入盲盒中摸取風(fēng)箏，每位參賽選手摸取硬翅風(fēng)箏或軟翅風(fēng)箏均得1分并放飛風(fēng)箏，摸取串式風(fēng)箏、板

式風(fēng)箏、立體風(fēng)箏均得2分并放飛風(fēng)箏，每次摸取風(fēng)箏的結(jié)果相互獨(dú)立，且每次只能摸取1只風(fēng)箏，每位選

手每次摸取硬翅風(fēng)箏或軟翅風(fēng)箏的概率為|，摸取其余3種風(fēng)箏的概率為|.

(1)若選手中連續(xù)摸了2次盲盒，其總得分為X分，求X的分布列與期望；

(2)假設(shè)選手乙可持續(xù)摸取盲盒，即摸取盲盒的次數(shù)可以為1,2,3,…中的任意一個(gè)數(shù)，記乙累計(jì)得〃分的概率

為P(〃)，當(dāng)71之3時(shí),求P(7l).

【解題思路】(1)根據(jù)相互獨(dú)立事件乘法公式求得分布列并求得數(shù)學(xué)期望.

(2)根據(jù)已知條件列出遞推關(guān)系，利用構(gòu)造等比數(shù)列、累加法等知識(shí)求得PQ).

【解答過程】(1)X的可能取值為2,3,4,則：P(X=2)=(|)2==3)=2x|x(1-|)=

白-4)=(1-工4,

則X的分布列為

EE工口

Erd12rri

故E(X)=2嗎+3祓+4抵建吟

(2)當(dāng)九N3時(shí)，得分累計(jì)n分，即在得到n-l分后再得1分，或在得到n—2分后再得2分，

所以P(n)=|p(n—l)+gP5-2),

則P(〃)-P(n-1)=-1[P(n-1)-P(n-2)].

因?yàn)镻i=g，P2=：+(勺J會(huì)所以22—匕二親

所以｛PS+D-P(7l)｝為等比數(shù)列，且首項(xiàng)為《，公比為一3

則25+1)一尸(九)=￡(一§"一二&一。1=02-01+23-尸2+-+%—P時(shí)1

=2x+㈠+…+—門=2x蟲等，

2S\5/\5/J25

_

則及=：+：(_§，故當(dāng)九N3時(shí)，Pn=1+|(1)?

17.(15分)(2023?四川雅安?統(tǒng)考一模)如圖，在三棱柱ABC-力述心中，直線1?平面4BC,平面力4心。1

平面B81GC.

(1)求證：AC1

(2)若｛C=BC=8Ci=2,在楂％當(dāng)上是否存在一點(diǎn)P,使二面角P—BC-G的余弦值為答？若存在，求

W的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

【解題思路】(1)利用面面垂直的性質(zhì)、線面垂直的性質(zhì)判定準(zhǔn)理即得.

(2)作Cz〃G3,建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法求解即得.

【解答過程】(1)在三棱柱4BC-4道1GL中，由C$_L平面ABC,u平面ABC,得C/1BC&B1AC,

在平面8aGC內(nèi)過8作B。1CG于。，由平面AAiGC1平面8a的。，平面44也傳n平面8a(:傳=CC、,

得8。1平面AAiGC,而ACu平面A4GC,則有8014C,

顯然B0CG8=8,B0,CiBu平面8&GC,因此4C1平面B81GC,又8/u平面8&C1C,

所以AC1BBL

小Gz：

(2)過點(diǎn)C作Cz〃G8,由G818C，G81AC,得CzlC4czic8,

由(1)知AC1平面881GC,BCu平面BBiGC，則。41CB,即直線。4,CB,Cz兩兩垂直，

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線C4,CB,Cz分別為％y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

由"=BC=BQ=2,得4(2,0,0),8(020),G(022),a(0,4,2),CB=(0,2,0)廊=(2,-2,0),

假定在棱兒當(dāng)上存在一點(diǎn)P,使二面角尸-BC-G的余弦值為當(dāng)，

令郎==2函=(2兒一22,0),0vaVI,則P(214—2尢2),CP=(2A,4-2A,2),

、n.FHncc3人"jkT/、(n-CP=2Xx+(4—2A)y+2z=0

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量n=(%yz),則《一一1",

n-CB=2y=0

令%=1,得元=(1,0,一入)，顯然三面BCG的一個(gè)法向量沅=(1,0,0)，

依題意，c°s(沆，元)=篇初=嚓，解得幾號(hào)，即篇=”提

所以在棱力向上存在一點(diǎn)P,使二面角P—BC—G的余弦值為嘮，登=：.

18.(17分)(2023?上海楊浦?統(tǒng)考-一模)已知雙曲線「:《-《=1,力(2,2)是雙曲線「上一一點(diǎn).

JJL/

(1)若橢圓。以雙曲線r的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，長軸長為4舊，求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P是第一象限中雙曲線「漸近線上一點(diǎn)，Q是雙曲線「上一點(diǎn)，且而二而，求APOQ的面積S(。為坐標(biāo)

原點(diǎn))；

(3)當(dāng)直線，：y=-4%4-m(常數(shù)mWR)與雙曲線「的左支交于M、N兩點(diǎn)時(shí)，分別記直線AM、4N的斜率

為A1、fc2?求證：自+七為定值.

【解題思路】(1)先確定雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，由此求解出c的值，結(jié)合a的值可求。2,爐，則橢圓方程可求；

(2)先設(shè)出。點(diǎn)坐標(biāo)，然后表示出Q點(diǎn)坐標(biāo)，將Q點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線可求P,Q坐標(biāo)，計(jì)算山|。。|以及Q到?！旱?/p>

距離則s可求;

（3）設(shè)出M,N坐標(biāo)，聯(lián)立直線與雙曲線得到對(duì)應(yīng)韋達(dá)定理形式，然后將自十七表示為坐標(biāo)形式，結(jié)合韋達(dá)

定理完成證明.

【解答過程】（1）因?yàn)殡p曲線的方程為9一、二1,所以雙曲線的左右頂點(diǎn)為仕百,0）,

設(shè)橢圓方程為'+%=l（a>b>0）,所以2a=4VJ,c=V5,

所以L2c，所以橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程為E+4=l；

（2）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=±2%,不妨設(shè)尸（t,2t）Q>0）,

又PA=4Q,所以［y；_2=2_2t，所以Q（4-t，4-2￡）,

又因?yàn)镼是雙曲線「上一點(diǎn)，所以f—日誓=1,解得t二￡

所以。信，、?-J所以IOPI=聆-。）+G-。）=竽'

又Q到直線OP:2x-y=0的距離d=嗨鴕=塔，

y=-4x+m

x2y2_可得12/-+zn?+12=o,

{T-12-

r-ri.i.87n2mm2+12

所以與+X2=—=—，不必="^―，

且△=647n2-4x12x(m2+12)>0,即m2>36,

又因?yàn)镸,N為左支上兩點(diǎn)，所以%1+工2=等<0,所以血<一6,

y1-2+，2-2—-+771—2+—4“2+m—2—-4Xj+8+771—10+—442+8+m—10

所以的+k2=

Xj-2X2-2XJ-2*2-2M-20一2

所姐+心…+蹴+黃…+(m-1。)xJ器工計(jì)4,

"4々m—6)

所以自+k2=-8+(m-10)x泊+d2m=-8+(m-10)x(mt6)(m_10),

——2XV+4n

所以自+&=-8+8=0,

所以自+心為定值0.

19.（17分）（2023?北京?匯文中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列4%電,…,W5N2）.如果/€{1模…,n}（i=

12…,九），且當(dāng)iHj時(shí)，*a/1<i.j<n）,則稱數(shù)列A具有性質(zhì)R對(duì)于具有性質(zhì)P的數(shù)列A,定義數(shù)列

TQ4):如辦…“-1，其中。=[1?〈a*+"(k=1,2,…,ri一1).

(0以〉耿+1

（1）對(duì)7（4）:0,1,1,寫出所有具有性質(zhì)P的數(shù)列A；

⑵對(duì)數(shù)列邑為與,…，%.15工2）,