2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之立體幾何初步（一）

一.選擇題（共10小題）

1.(2025?天津)若機為直線，a,0為兩個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若機〃a,〃ua,則m//nB.若〃?_La,陽_1_0,則a_LB

C.若〃i〃a,則a±pD.若"?ua,a±p,貝

2.（2025?上海）如圖，46。￡>?小5|。囪是正四棱臺，則下列各組直線中屬丁異面直線的是（）

C.BDi和BiDD.AQ和A4

3.（2024?新高考I)已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為V5,則圓錐的體積

為（）

A.2A/3TTB.3V3TTC.6x/3nD.9X^3TT

4.（2024?天津）在如圖五面體中，棱AD,BE,C廠互相平行,且兩兩之間的距離均為1.若40=1,BE

=2,CF=3,則該五面體的體積為（)

A在B虺+三C.在3731

D.——--

642242

5.（2024?上海）空間中有兩個不同的平面a,B和兩條不同的直線in,則下列說法中正確的是（）

A.若a_L0,〃_L0,則mln

B.若a_L0,in-La,帆J_〃，則〃邛

C.若a〃0,〃?〃a,〃〃仇則m//n

D.若?！?,”?〃a,in//n,則〃〃B

1

6.12024?全國）正四棱柱的八個頂點都在一個半徑為1的球O的球面上，O到該正四棱柱側(cè)面的距離為1

則該正四棱柱的體積是（）

LL五五

A.2V2B.V2C.—D.—

23

7.（2024?甲卷）已知a、0是兩個平面，加、〃是兩條直線，aC0=〃?.下列四個命題:

①若〃?〃〃，則〃〃a或〃〃0

②若〃?_!_〃，則〃_1_。，〃_1_0

③若〃〃a,且〃〃0,則〃

④若〃與a和0所成的角相等，則inLn

其中，所有真命題的編號是（）

A.①③B.②③C.①?③D.???

8.（2024?天津）已知〃?，〃是兩條直線，a是一個平面，則下列命題正確的是（）

A.若〃?〃a,則〃_LaB.若〃?_La,inA.ii,貝]l〃_La

C.若〃i〃a,〃_La,貝！JD.若〃?_La,La,貝Uin.Ln

9.（2024?北京）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面A8CQ是邊長為4的正方形，PA=PB=4,PC=PD

=2V2,該棱錐的高為（

C.41D.V3

10.（2024?甲卷）已知a、0是兩個平面，〃?、〃是兩條直線，。即=〃?.下列四個命題:

①若m//n,則〃〃a或〃〃（3

②若/“_!_〃，則〃_1_?；颉╛1_0

③若〃〃a且〃〃廿，則m//n

④若〃與a,0所成的角相等，則〃?_L〃

其中，所有真命題的編號是（）

A.①③B.②③C.①?③D.???

二,多選題（共1小題）

（多選）11.（2025?新高考I）在正三棱柱ABC-Ai81cl中，D為BC中點，則（）

A.AD±A\CB.5C_L平面/Ui。

C.CCi〃平面D.AD//A\B\

三.填空題（共7小題）

12.（2025?新高考H）一個底面半徑為高為9a〃的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)有兩

個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為C7H.

13.（2025?北京）某科技興趣小組使用3。打印機制作的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中

A8CDEF是一個平面多邊形，平面ARFJ_平面ABC,平面TC￡>_L平面ABC,ABLBC,AB//RS//EF//

CD,AF//ST//BC//ED,若AB=BC=8,AF=CD=4,AR=RF=TC=TD=則該多面體的體積

為.

14.（2025?上海）如圖，在正四棱柱向在正中,BD=40,DB1=9,則該正匹棱柱的體枳

為.

15.（2025?上海）已知P是一個圓錐的頂點，出是母線，PA=2,該圓錐的底面半徑是1.B、C分別在圓

錐的底面上，則異面直線以與4c所成角的最小值為.

16.（2024?全國）已知二面角a-AB-0的大小為90°,正方形A8CO在a內(nèi)，等邊三角形AB/在0內(nèi)，

則異面直線4c與8/所成角的余弦值為.

17,（2024?甲卷）已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為r2云口門，母線長分別為2（川-r2）和3（八-

.、V甲

r2）,則兩個圓臺的體積之比廠=

18.（2024?甲卷）已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為相刃門，母線長分別為2（n-/2）和3（n-

甲

f2），則兩個圓臺的體積之比二一=_______________________

V乙

2021-2025年高考數(shù)學(xué)真題知識點分類匯編之立體幾何初步（一）

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案CDBCABACDA

二.多選題（共1小題）

題號11

答案BC

一.選擇題（共10小題）

1.（2025?天津）若〃?為直線，a,0為兩個平面，則下列結(jié)論中正確的是（）

A.若加〃a,〃ua,貝ijB.若"?_La,卅_1_0,貝ija_L0

C.若機〃a,則a_L0D.若〃?ua,Q_L0,則m_L0

【考點】直線與平面垂直.

【專題】分類討論；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；空間想象.

【答案】C

【分析】根據(jù)直線與平面的位置關(guān)系進行判斷.

【解答】解:對于4,若〃?〃a,〃ua,則，〃與〃可能平行也可能異面，故A錯誤;

對于8,若〃?_La,則a〃0,故8錯誤；

對于C,若〃?〃a,機_1_0,則a_L0,C正確：

對于。，若，〃ua,a±p,則用可能平行于0，也可能與0斜交，也可能垂直于仇故。錯誤.

故選：C.

【點評】本題主要考查直線和平面間的位置關(guān)系，屬于中檔題.

2.（2025?上海）如圖，ABCO-AiBCiQi是正四棱臺，則下列各組直線中屬于異面直線的是（）

1C,

A

A.AB^WC\D\B.AAifllCCiC.BD\fllB\DD.和AB

【考點】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；異面直線的判定.

【專題】集合思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離：數(shù)學(xué)抽象.

【答案】。

【分析】根據(jù)棱臺的性質(zhì)及直線與直線的位置關(guān)系即可判斷.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于人，因為人8C。-AiBiCiQi是正四棱臺，所以/W〃人41〃C1O1,故A錯誤，

對于B,棱臺的側(cè)棱延長后交于一點，所以44與相交，故B錯誤，

對于C,同理B,與O也相交，所以8,Bi,Di,D四點共面，所以BDi與BiZ）相交，故。錯

誤，

對于。，AiOi與A8既不相交，也不平行，是異面直線，故。正確.

故選：D.

【點評】本題考查空間直線的位置關(guān)系，涉及異面直線的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2024?新高考1）已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為g,則圓錐的體積

為（）

A.2V3nB.3>/3KC.6751rD.9757r

【考點】圓錐的體積.

【專題】計算題：轉(zhuǎn)化思想：綜合法：空間位置關(guān)系與距離：運算求解.

【答案】B

【分析】設(shè)出底面半徑，通過高結(jié)合側(cè)面積相等，求解底面半徑，然后求解圓錐的體積.

【解答】解：設(shè)圓錐的底面半徑為：八圓錐的母線長為：VT+77,

圓柱和圓錐的側(cè)面積相等，可得2百加=*x2仃x仔

解得r=3,圓錐的體積為：-xyrx32x73=3V3n.

3

故選：B.

【點評】本題考查空間幾何體的側(cè)面積和體積的求法，是基礎(chǔ)題.

4.（2024?天津）在如圖五面體中，棱4）,BE,C尸互相平行，且兩兩之間的距離均為1.若AO=1,BE

=2,CF=3,則該五面體的體積為（)

【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；立體幾何；運算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，分別延長A。、8E至IJG、H,使AG、BH、C”平行且相等，得至U三棱柱A8C-G”立

根據(jù)四邊形ABED與四邊形HGDE全等，利用錐體的體積公式得到Vi-.ABED=VI-HGDE=^VABC-GHF>

J

然后求出ABC?G〃/的體積，進而算出該五面體的體積，可得答案.

【解答】解：延長AO到G,使0G=2,延長到〃，使EH=1,連接ARBF,

可得AG=8，==3,結(jié)合AG〃e〃〃。凡可知ABC-GH/為三棱柱，

因為四邊形ABED與四邊形HGDE全等，所以V/..ABED=VF.HGDE=^VABCGHF,

由AG〃8〃〃CR且它們兩詼之間的距離為1.可知：

當(dāng)ABC-G”/為正三棱柱時，底面邊長為1,高為3,此時％8c=梟12乂3=￥.

根據(jù)棱柱的性質(zhì)，若ABC-GH尸為斜三棱柱，體積也是這，

4

因此，VF-HGDE=IVABC-GHF=字，可得該五面體的體積V=VABC-GHF-VF-HGDE=警.

故選：c.

【點評】本題主要考查棱柱的定義與性質(zhì)、柱體與錐體的體積公式及其應(yīng)用等知識，考查了計算能力、

圖形的理解能力，屬于中檔題.

5.（2024?上海）空間中有兩個不同的平面a,0和兩條不同的直線機，〃，則下列說法中正確的是（）

A.若aJLp,mJLa,則/〃_L〃

B.若aj_0,則〃_L0

C.若a〃0,〃?〃a,〃〃[3,則〃?〃〃

D.若?！?,〃?〃a,tn//n,則〃〃0

【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：平面與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位

置關(guān)系.

【專題】計算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，由直線與平面平行、垂直的性質(zhì)分析選項，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,若a_LB，機_La,則〃?〃0或〃?u0,又〃J_0,所以〃?_!_〃，故A正確；

對于從若。_1d則）〃0或〃?u0,由〃?_L〃，則〃與0斜交、垂直、平行均有可能，故8錯

誤；

對于C,若?！辞小╝,則加〃口或由〃〃R,則“7與〃相交、平行、異面均有可能，故C錯

誤；

對于。，若a〃0,〃?〃a,則或"?u0,又〃?〃〃，則〃〃0或〃u0,故。錯誤.

故選:A.

【點評】本題考查空間直線與平面間的位置關(guān)系，涉及直線與平面平行、垂直的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

6.：2024?全國）正四棱柱的八個頂點都在一個半徑為1的球O的球面上，。到該正四棱柱側(cè)面的距離為今

則該正四棱柱的體枳是（）

LL企在

A.2aB.V2C.—D.一

23

【考點】棱柱的體積；球內(nèi)接多面體.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；球；運算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可正四棱柱的體對角線即為其外接球的直松2R=2,再建立方程求出正四棱柱的，最

后代入體積公式，即可求解.

【解答】解：???正四棱柱的八個頂點都在一個半徑為1的球。的球面上，。到該正四棱柱側(cè)面的距離

玲

???正四棱柱的底面邊長為1,設(shè)正四棱柱的高為/?,

則正四棱柱的體對角線即為其外接球的直徑2R=2,

???（2R）2=]2十]2十方2,gp4=2+7?,

h=V2,

，該正四棱柱的體積為1X1Xa=VL

故選：B.

【點評】本題考查正四棱柱的外接球問題，屬基礎(chǔ)題.

7.（2024?甲卷）已知a、0是兩個平面，"2、/?是兩條直線，aQ0=〃?.下列四個命題：

①若〃?〃〃，貝ij〃〃。或〃〃口

②若/"_!_〃，則〃_La,〃J_0

③若n//a?且〃〃依則m//n

④若〃與a和0所成的角相等，則

其中，所有真命題的編號是（）

A.①③B.②③C.①?③D.①③④

【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】整體思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維.

【答案】A

【分析】由已知結(jié)合直線與直線，直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系檢驗各命題即可判斷.

【解答】解：①若〃ua,因為mu0,則〃〃B，

若〃u0,因為加〃〃，加ua,則〃〃a,

若〃不在a也不在0內(nèi),因為機〃〃，mua,"?u0,

所以n//a且n//0,故①正確：

②若/〃J_〃，則〃與a,0不一定垂直，也有可能相交，故②錯誤；

③過直線〃分別作平面，與a，0分別相交于直線小直線反

因為〃〃a,過直線〃的平面與平面a相交于直線a,所以〃〃a,

同理可得〃〃力，所以4〃力，

因為qua,bu0,則a〃仇因為aua,aClp=mf則。〃加，

又因為〃〃a,則〃?〃〃，故③正確；

④〃與a和0所成的角相等，則機和〃不一定垂直，故④錯誤；

綜上只有①③正確.

故選:A.

【點評】本題主要考查了空間線面位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

8.（2024?天津）已知〃?，〃是兩條直線，a是一個平面，則下列命題正確的是（）

A.若機〃a,則〃_LaB.若〃?_La,"?_!_〃，則〃_La

C.若機〃a,〃_La,則〃i_L〃D.若，〃_La,〃_La,則〃?_L〃

【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】計算題；方程思想；綜合法；立體幾何；數(shù)學(xué)抽象.

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，由空間直線與平面的位置關(guān)系依次分析選項，綜合可得答案.

【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于A,若加〃a,〃?_!_〃，則〃、a平行或相交，不一定垂直，A錯誤；

對于從若〃…a,機_!_〃，則〃〃a或〃ua,B錯誤；

對于C,小〃a,〃_La,過"，作平面0,使得0Ca=p,

因為〃廣廿，所以“7〃〃，又因為/ka,所以〃」〃.故C正確：

對于/）,若m_La,〃_La,則用〃〃，。錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，涉及直線與平面平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

9.（2024?北京）如圖，在四棱錐尸?A8CD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，以=尸8=4,PC=PD

=2魚，該棱錐的高為（）

【考點】棱錐的結(jié)構(gòu)特征；棱柱、棱錐、棱臺的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；運算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意分析可知平面心孑」平面A5CQ,可知PG_L平面448,再結(jié)合等面積法，即可求

解.

【解答】解：由題意知△818為正三角形,

因為PC2+PQ2=CQ2,

所以PCLPD,

連接PE,EF,PF,則PE=26，PF=2,EF=4,

貝IjPE^+PF2=EF2,

所以PELPF,

過點P作PG_LEF,垂足為G.易知COJ_尸產(chǎn)，CD1EF,EF,PRz平面PE凡SLEFQPF=F,

所以CQ_L平面尸￡尸.又PGu平面PEF,

所以CQ_LPG.

又PGtEF,CD,EFc^ffiABCD,CDCEF=F,

所以PGJ_平面43CQ,

所以PG為四棱錐P-ABCD的高，

因為［PE-PF=^EFPG

所以PG=隼臀=名著=V5.

CtrT,

故選：D.

【點評】本題主要考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于難題.

10.（2024?甲卷）已知a、0是兩個平面，〃?、〃是兩條直線，aC\p=m.下列四個命題：

①若〃?〃〃，則〃〃a或〃〃6

②若m.Ln,則nA.a或〃_1_廿

③若n//a且〃〃（3,則m//n

④若〃與a,0所成的角相等，則〃?_L〃

其中，所有真命題的編號是（）

A.①③B.②③C.①②@D.①③④

【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；運算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空間中線與面之間的關(guān)系，即可求解.

【解答】解：①若〃ua,因為機〃〃，機u0,則〃〃0,

若“U0,因為m//n,//zca,則n//a,

若〃不在a也不在口內(nèi)，因為〃2〃〃，ua,"7U0,

所以〃〃a且〃〃B，故①正確；

②若〃，則〃與a,0不一定垂直，也有可能相交，故②錯誤；

③過直線〃分別作平面，與80分別相交于直線a,直線從

因為〃〃a,過直線〃的平面與平面a相交于直線a,所以〃〃a,

同理可得/i〃b,所以a〃方,

因為aua,/?cp,則a〃0,因為aua,aAp=m,則a〃m,

又因為nJJa,則m//n,故③正確：

④〃與a和0所成的角相等，則〃?和〃不一定垂直，故④錯誤；

綜上只有①③正確.

故選:A.

【點評】本題主要考查空間中直線與平面之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

二,多選題（共1小題）

（多選）11.（2025?新高考I）在正二棱柱中，D為3c中點，貝U（）

A.ADLA\CB.8C_L平面44。

C.CCi〃平面/UiQD.AD//A\B\

【考點】直線與平面平行；直線與平面垂直.

【專題】轉(zhuǎn)化思想：綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運算求解.

【答案】BC

t分析】對于A,通過AIOUCDI,可以得出與AC不垂直；對于3,ADLBC,A41JLBC,從而

BC_L平面A4Q；對于C,由得CCi〃平面/MiO；對于。，由A8A40=A,AB//A\B\,

得A。與4用不平行.

【解答】解：在正三棱柱A8C-AI8I。中，。為BC中點，

對于4,取B6中點。I,連接4。1,CD\,

因為4QI_LCOI,A\D\//AD,所以4Qi與AC不垂直，即A3與AC不垂直，故A錯誤；

對于從ADLBC,A4_L3C,ADQAA\=A,

???BC_L平面4A1。,故8正確;

對于C,???CCi〃A4,CC近平面AA1D,平面A4?〃平面A4W故C正確；

對于D,,：ABQAD=A,AB//A\B\,

???A。與不平行，故。錯誤.

故選：BC.

【點評】本題考查線線垂直、線面垂直、線面平行、線線平行的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查空間思維

能力，是中檔題.

三.填空題（共7小題）

12.（2025?新高考II）一個底面半徑為45?，高為9cm的封閉圓柱形容器（容器壁厚度忽略不計）內(nèi)有兩

個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為an.

【考點】球的體積.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；球；邏輯思維；運算求解；空間想象.

【答案】1.

2

【分析】根據(jù)鐵球在圓柱內(nèi)的不同位置進行分類討論，得到鐵球半徑的最大值.

【解答】解：若兩鐵球相切，旦下方鐵球與底面和側(cè)面均相切，軸截面如圖，

則球的半徑R=4,此時4R=16>9,故不符合題意；

若兩鐵球相切，且上方鐵球與上底面相切，下方鐵球與下底面相切,

兩球心均在圓柱上下底面中心連線上，如圖，

則鐵球半徑R滿足4R=9,此時

若兩鐵球相切，且上方鐵球與上底面相切，下方鐵球與下底面相切,

兩球心分別在圓柱軸截面對角的角平分線上，軸截面如圖，

其中AC為軸截面對角線，。、3為兩球球心，

分別過。|作A。的平行線，過。2作。的平行線，兩線交于點M,

設(shè)鐵球半徑為R,

則MOi=8-2R,02M=9-2R,0102=2/?,

所以(9-2/?)2+(8-2R)2=4/?2,

解得R=5或R=竽(舍去)，

故此時R=

綜上，鐵球半徑的最大值為去

故答案為：!.

【點評】本題主要考查圓柱的內(nèi)切球，屬于中檔題.

13.（2025?北京）某科技興趣小組使用3。打印機制作的一個零件可以抽象為如圖所示的多面體，其中

是一個平面多邊形，平面ARF_L平面A8C,平面7rD_L平面ABC,AB1BC,AB//RS//EF//

CD,AF//ST//BC//ED,若AB=BC=S,AF=CD=4,AR=RF=TC=TD=^,則該多面體的體積為

60.

【考點】棱錐的體積.

【5?題】整體思想；數(shù)形結(jié)合法；分割補形法；立體幾何；空間想象.

【答案】60.

【分析】分析出組合體為對稱立體圖形后，將組合體體積拆分成VAFRBNQ+VCDN-BMP+V5.BMEN+VS-

BMP^VS-BNQ,根據(jù)代入棱錐、棱柱體枳公式計算即可.

【解答】解：*：AB//EF//CD.AF//BC//ED,且

可得BCJ_CO,CD.LDE,DEA.EF,EF1AF,AF1AB,

延長CB與E/相交于點M延長/W與E。相交于點M,

所以CNIEF,

所以四邊形ABNF和四邊形CDMB為矩形，所以AF=CD=BM=BN,

所以四邊形BNME為正方形,所以BM=ME=EN=BN=AF=CD=4,

即￡尸=?！?12,由此可得組合體關(guān)于平面SBE對稱；

過點8作8Q〃/1R,交RS于點Q,連接QN,過點8作3P//C7,交75于點P,連接PM,

所以平面AR/7〃平面BQN,平面CDT//BMP,

所以組合體體積可以分為V=VAFR-BNQ+VeDN-Vs-BMEN+V.S-Vs-BNQ,

①求解三棱柱AFR-BNQ和CDN-BMP的體積：

因為平面ARF_L平面ABC,平面AR/A平面ABLAF,

所以三棱柱AFR-BNQ為直三棱柱(三棱柱CDN-BMP同理)，

所以VAbR-BNQ=VcDN-BMP=SMRr\AB\=|x4xJ(1)2-22x8=24；

②求解四棱錐S-BMEN的體積：

由組合體關(guān)于平面SBE對稱，所以平面SO￡J_平面3MEM

作式S在底面/WEF的投影，因為八尺=尸七平面A尺尸J_平面八6C,所以尺在底面的投影為八廣中點,

又因為平面SQE_L平面AMEN,所以S在底面的投影為BE的中點O,SO即為1砂-2?=看

“13

所以Vs-BMEN=X4X4X=8；

③求解三棱錐S-BMP和三棱錐S-BNQ的體枳：

因為人8_L平面人RF,AH//RQ,平面平面人RF〃平面8QM

所以平面僅2N垂直AS,所以QS即為三棱錐S"NQ的高，QS=』NE=2,

所以Vs-BMP=Vs-BNQ=|xix4xJ(1)2-22x2=2；

綜上，組合體體積為24+24+8+2+2=60.

故答案為：60.

【點評】本題考查立體幾何圖形體積的求解，考查空間想象能力，屬于中檔題.

14.(2025?上海)如圖，在正四棱柱ABCD-A\B\C\D\中，BD=4五,DBi=9,則該正四棱柱的體積為

112

【考點】棱柱的體積.

【專題】數(shù)形結(jié)合；綜合法；立體幾何；運算求解.

【答案】112.

［分析］由四棱柱ABCD-A\B\C\D\為正四棱柱可得底面ABCD為止方形且_L底面ABCD,再結(jié)合

勾股定理求得AR,即再由棱柱的體積公式即可求得.

【解答】解：由題知，底面ABC。為正方形，所以24B2=BD2=32,所以AB=4,

因為四棱柱ABCD-A山iC'id為正四棱柱，

所以底面A8CQ,因為8Qu底面力BCO,

所以88i_LB。，所以38/+創(chuàng)>=

所以=<81-32=7,

所以該正四棱柱的體積為4X4X7=112.

故答案為：112.

【點評】本題考查棱柱的體積求解，屬于基礎(chǔ)題.

15.（2025?上海）已知夕是一個圓錐的頂點，以是母線，力=2,該圓錐的底面半徑是1.B、C分別在圓

錐的底面上，則異面直線以與4c所成角的最小值為_三.

【考點】異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間角；運算求解.

【答案】g

【分析】過人作4。〃8c交底面圓錐于。點，則N%。為異面直線必與8c所成角，結(jié)合余弦定理與

余弦函數(shù)的性質(zhì)即可得N以。的取值范圍，從而得所求最值.

【解答】解：P是一個圓錐的頂點，心是母線，%=2,該圓錐的底面半徑是1,

8、。分別在圓錐的底面上，

如圖，過A作人?！?c交底面圓錐于。點，連接P。，

*：PA=PD,AD//BC,則為異面直線辦與6c所成角，

-冰/PAD-IP*2+|明2-即|2_2?+|物2*_四

.?COSNF"-2\PA\-\AD\~4\AD\~4'

又0V|AQ|W2,

^0<cosZPAD<1,

VZPADG(0,分函數(shù)y=cosa在a€(0,分上單調(diào)遞減,

nn

A-<￡P(guān)AD<-,

32

工異面直線PA與8c所成角的最小值為￡

故答案為：g.

【點評】本題考查異面直線所成角等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題.

16.(2024?全國)已知二面角a?A8-0的大小為90°,正方形A8CO在a內(nèi)，等邊三角形AB/在0內(nèi),

則異面直線AC與8廠所成角的余弦值為半.

【考點】異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用；運算求解.

【答案】

4

【分析】由題意建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長，求由直線8凡AC的方向向量能，荒的坐標(biāo),

進而求出兩個向量的夾角的余弦值，進而求出異面直線所成的角的余弦值.

【解答】解：過尸作尸。_1_4&在平面a過。作,，軸_LAB,

x

因為二面角a?A8?0的大小為90°,所以尸O_L平面a,

設(shè)正方形的邊長為2,由題意OF=V1

可得/(0,0,V3),B(1,0,0),A(-1,0,0),C(L2,0),

則后=(-1,0,百)，AC=(2,2,0),

所以BF?AC=-1X2+0X2+V3x0=-2,

\BF\=/(-l)2+02+(V3)2=2,\AC\=V22+22+02=2^2.

所以cos〈晶，前＞=4^=后=一￥.

|FF||4C|2X2J2勺

所以異面直線AC與B尸所成角的余弦值為|cosV前，AC>\=^.

故答案為：乎.

4

【點評】本題考查用空間向量的方法求異面直線所成角的余弦值的求法，屬于中檔題.

17.（2024?甲卷）已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為門司門，母線長分別為2（川-門）和3（n-

V甲

則兩個圓臺的體積之比丁=V:6^

V74

【考點】圓臺的體積.

【專?題】整體思想：綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由已知結(jié)合圓臺的體積公式即可求解.

【解答】解：因為甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為門和小母線長分別為2（門-72）和3（川一2）,

9(S1+S2+JS1S2m尹h，2(々一堂)產(chǎn)一(丁1一廠2)26(廠1一=2)_V6

甲[p

則兩個圓臺的體積之比I=22

[(Si+Sz+JS/z)/!乙h乙y[3(r1-r2)]-(r1-r2)2y[2(r1-r2')4

故答案為：一V6.

4

【點評】本題主要考查了圓臺的體積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)迦.

18,（2024?甲卷）已知甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為/2卻門，母線長分別為2（ri-/2）和3（ri-

V甲V6

/?），則兩個圓臺的體積之比丁

V74

【考點】圓臺的體枳.

【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運算求解.

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】由已知結(jié)合圓臺的體積公式即可求解.

【解答】解：因為甲、乙兩個圓臺上下底面的半徑均為仁和，」，母線長分別為2（門-門）和3（川-門）,

9（S1+S2+JS1S2）八尹h，2（々一=2）］2-（丁1一廠2）2b（丁1一丁2）_漁

甲ip

則兩個圓臺的體積之比廠二

［（Si+Sz+JSiSzW2h乙V［3（ri-r2）］2_（ri-r2）22V2（ri~r2）4

故答案為：乎

4

【點評】本題主要考查了圓臺的體積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

四.解答題（共2小題）

19.（2025?上海）如圖，尸是圓錐的頂點，。是底面圓心，A8是底面直徑，且AB=2.

（1）若直線力與圓錐底面的所成角為孑求圓錐的側(cè)面積；

71

（2）已知。是母線外的中點，點C、力在底面圓周上，且弧4c的長為CD//AB.設(shè)點M在線段

OC上，證明：直線QM〃平面尸8ZX

【考點】圓錐的側(cè)面積和表面積；直線與平面平行.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；空間想象.

【答案】（1）2m（2）證明見解答.

【分析】（1）由題意及圓錐的性質(zhì)，結(jié)合圓錐側(cè)面積公式計算即可；

（2）利用證明面和面平行證線面平行.

【解答】解：⑴如圖，連接尸o,依題意及圓錐的性質(zhì)得/以0=攝，AO=\AB=\,ZP0A=

p

所以以=赤%=備=2,

所以圓錐的側(cè)面枳Sm=Ti*A0*PA=2Tx.

（2）證明：連接QO,QC,0D,

因為Q是母線小的中點，人8是底面圓。的直徑,

所以QO〃PB,

又P8u平面PBD,QOC平面PBD,

所以Q0〃平面PBD,

因為*=ZAOC*OA=j,

所以NAOC=條

因為CD〃AB,

所以NOCO=NAOCT，

則△0C。為等邊三角形，ZCOD=

所以/BOZ）二條

所以△OB。為等邊三角形，ZOBD=

所以O(shè)C//BD,

所以四邊形OCDB是平行四邊形，則OC//BD,

乂BDu平面PBD,平面PBD,

所以0C〃平面PBD,

而OCDQO=。，OC,QOu平面QC。，

所以平面Q。?！ㄆ矫鍼BD,

又QWU平面QCO,所以。例//平面心。.

【點評】本題考查圓錐的性質(zhì)及側(cè)面積的求解，考查「空間中直線與平面平行的證明，屬于中檔題.

20.(2025?新高考I)如圖所示的四棱錐。?ABCO中，玄_1_平面A8CQ,BC//AD,ABYAD.

(1)證明：平面辦5_1_平面B4。；

(2)若必=A8=或，AD=V3+1,BC=2,P,B,C,。在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為O.

(/)證明：O在平面4BCO上；

(H)求直線AC與直線PO所成角的余弦值.

【考點】平面與平面垂直：異面直線及其所成的角.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；空間向量及應(yīng)用；球；邏輯思維；空間想象.

V2

【答案】(I)證明見解答；(2)(i)證明見解答；(”)

【分析】⑴由附_L平面A8CD得R1J_A8,結(jié)合題意，可得48_L平面PAD,再由面面垂直的判定定

理證明即可；

(2)(/)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心。(右y,z),半徑R,利用空間中兩點的距離公式建立方程組，

解方程組可得O點坐標(biāo)和R,進而可得結(jié)論：

(”)利用空間向量法求異面直線所成角的余弦值即可.

【解答】解：(1)證明：:用_L平面ABC。，A8u平面A8CD,

C.PALAB,

\*AB±ADfADQPA=A,AD,%u平面以Q,

平面PAD,

平面PAB,

J平面%8_L平面PAD.

(2)(/)證明：由題意，AB,AD,A尸兩兩垂直，分別以4B,AD,A尸為x,y,z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系4-xyz,

z

則8(企，0,0),C(VL2,0),0(0,V3+1,0),P(0,0,V2),

設(shè)球心O(x,y,z),半徑R,

=R

x=0

OP=R2

z=Ry=1

則OB=R_______，解得

OC=Rz=0

2

OD=R-V2)+(y—2)2+z2=R,/?=V3

Jx2+(y-V3-l)24-z2=R

：.O(0,1,0),平面ABC。.

(z7)由(i)得AC=(VL2,0),PO=(0,1,-V2),

設(shè)直線AC與直線PO所成角為仇

則cos6=|cos<AC,PO>\=華PR=晨■后=

\AC\-\PO\J6X，3$

【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查異面直角所成的角的余弦值，考查空間幾何體的外接球

的確定，是中檔題.

考點卡片

1.棱錐的結(jié)構(gòu)特征

【知識點的認(rèn)識】

1.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐.用

頂點和底面各頂點的字母表示，M：S-ABCD.

2.認(rèn)識棱錐

棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個面都叫做棱錐的側(cè)面.

棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.

棱銖的頂點；棱錐中各個側(cè)面的公共頂點叫做棱錐的頂點.

棱性的高：棱錐的頂點到底面的距離叫做棱錐的高.

棱錐的對角面：棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對角面.

3.棱錐的結(jié)構(gòu)特征

底面是多邊形

棱錐、

(2.側(cè)面是三角形

根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：

平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比.

4.棱錐的分類

棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.正棱錐的各個

側(cè)面都是全等的等腰三角形.

5.棱錐的體積公式

設(shè)棱錐的底面積為S,高為近

2.球內(nèi)接多面體

【知識點的認(rèn)識】

1、球內(nèi)接多面體的定義：多面體的頂點都在球面匕且球心到各頂點的距離都是半徑.球內(nèi)接多面體也

叫做多面體外接球.

球外切多面體的定義：球面和多面體的各個面都相切，球心到各面的距離都是球的半徑.球外切多面體也

叫做多面體內(nèi)切球.

2、研究球與多面體的接、切問題主要考慮以下幾個方面的問題：

（I）球心與多面體中心的位置關(guān)系；

（2）球的半徑與多面體的棱長的關(guān)系：

（3）球自身的對稱性與多面體的對稱性；

（4）能否做出軸截面.

3、球與多面體的接、切中有關(guān)量的分析：

M）球內(nèi)接正方體：球和正方體都是中心對稱和軸對稱圖形，設(shè)球的半徑為廣，正方體的棱長為小則:

①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對角線的中點處；

②正方體的四個頂點都在球面上；

③球半徑和正方體棱長的關(guān)系：口室小

（2）球外切正方體：球和正方體都是中心對稱和軸對稱圖形，設(shè)球的半徑為八正方體的棱及為“，則：

①球心就是正方體的中心，球心在正方體的體對角線的中點處：

②球與正方體每個面的切點都是每個面的中心點；

③球半徑和正方體棱長的關(guān)系：r=k

3.棱柱、棱錐、棱臺的體積

【知識點的認(rèn)識】

柱體、錐體、臺體的體積公式：

VVin=iv/7.

4.棱柱的體積

【知識點的認(rèn)識】

棱柱的體積可以通過底面面積B和高度h計算.底面為多邊形的幾何體.

【解題方法點撥】

-計算公式：體積計算公式為V=8".

-底面面積計算：底面面積臺可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計算.

【命題方向】

-棱柱的體積計算：考查如何根據(jù)底面面積和高度計算楂柱的體枳.

-實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用棱柱體積計算.

5.棱錐的體積

【知識點的認(rèn)識】

棱錐的體積可以通過底面面積B和高度h計算，頂點到底面的垂直距離即為高度.

【解題方法點撥】

-計算公式：體積計算公式為V=

-底面面積計算：底面面積8可以根據(jù)底面多邊形的性質(zhì)計算.

【命題方向】

-棱錐的體積計算：考杳如何根據(jù)底面面積和高度計算棱錐的體積.

-實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用棱錐體積計算.

6.圓錐的側(cè)面積和表面積

【知識點的認(rèn)識】

圓錐的側(cè)面枳和表面枳依賴于底面圓的半徑八母線長度/和底面圓的面積.

【解題方法點撥】

一側(cè)面積：計算公式為仃1.

-表面積：包括底面圓的面積和側(cè)面的面積，計算公式為“2+兀冠.

【命題方向】

-圓錐的表面積計算：考查如何計算圓錐的側(cè)面積和表面枳.

-實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用圓錐的表面積計算.

7.圓錐的體積

【知識點的認(rèn)識】

圓錐的體積計算依賴于底面圓的半徑「和圓錐的高度近

【解題方法點撥】

-計算公式：體積計算公式為V=\nr2h.

-實際應(yīng)用：如何根據(jù)實際問題中的圓錐尺寸進行體積計算.

【命題方向】

-圓錐的體積計算：考查如何根據(jù)底面圓的半徑和高度計算圓鋅的體積.

-實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用圓錐的體積計算.

8.圓臺的體積

【知識點的認(rèn)識】

圓臺的體積計算依賴于底面圓的半徑八、頂面圓的半徑72和圓臺的高度h.

【解題方法點撥】

-計算公式：體積計算公式為V=+rxr2+琢）.

-實際應(yīng)用：如何根據(jù)實際問題中的圓臺尺寸進行體積計算.

【命題方向】

-圓臺的體積計算：考查如何根據(jù)底面和頂面的半徑以及高度計算圓臺的體積.

-實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用圓臺的體積計算.

9.球的體積

【知識點的認(rèn)識】

球的體積依賴于球的半徑八計算公式為2兀，.

【解題方法點撥】

4Q

-計算公式：體積計算公式為孑”3.

-實際應(yīng)用：如何根據(jù)實際問題中的球尺寸進行體積計算.

【命題方向】

-球的體積計算：考查如何根據(jù)球的半徑計算體積.

-實際應(yīng)用：如何在實際問題中應(yīng)用球的體積計算.

10.異面直線及其所成的角

【知識點的認(rèn)識】

I、異面直線所成的角：

直線小。是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O,作直線加，//,并使/b'//b.我們把直線4,

n

和〃所成的銳角(或直角)叫做異面直線。和