2024?2025學年福建省福州十五中高一（下）期中數(shù)學試卷

一、單選題：本題共6小題，每小題5分，共30分。在每小題紿出的選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知復數(shù)z=&,其中云=1-3i,Z2=2-i,則|z|=（）

z2

A.2B,<2C.1D.苧

2.設@=3,\b\=41與石的夾角為120°,則益在石上的投影向量為（）

A.-ybB.y/jC.-^bD.^-b

o68o

3.己知球的半徑和圓錐的底面半徑相等，且圓錐的側(cè)面展開圖是半圓.若球的表面積為47T,則圓錐的高為（）

A.1B.72C.73D.2

4.如圖，半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S—/BCD,這個正四棱錐的高與半球的半徑相等且底面正方形4BCD的邊

長為2,則這個半球的表面積是（）

A—

B.47n

C.67r

D.87r

5.在△48C中，力=60。，b=l,其面積為C,則就鬻而:等于（）

「8C

A.3cB呼D?爭

6.一個體積為467r的球在一個正三棱柱的內(nèi)部，旦球面與該正三棱柱的所有面都相切，則此正三棱柱的表

面積為（）

A.54<3B.54C.2773D.27

二、多選題：本題共6小題，共36分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

7.已知圓錐的頂點為S,AB為底面直徑，ASAB是面積為1的直角三角形，貝lj（）

A.該圓錐的母線長為，IB該圓錐的體積為

C.該圓錐的側(cè)面積為7TD.該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為，1兀

8.2025年2月7日，第九屆亞洲冬運會開幕式在哈爾濱舉行.如圖是第九屆亞洲冬運會會徽，適當選擇四

個點作四邊形4BCD,就可以覆蓋會徽的主圖案.在四邊形4BCZ）中，E,尸分別是BC,CD的中點，AH=2HB,

AG=2GD,則下列等式一定成立的是（）

第1頁，共14頁

A.AC=AB+ADA

A

B.AB+JC=AD+DCD

C.HG+GD=AD-AH

__wK

D.~EF=-HGHARBIN2025//一二.

-

ASIANWINTERGAMESB*￡

9.在△ABC中，若COST!=cosC=a=1,則下列正確的是（）

A.sinA=-1B.sinB=C.S=6D.b=|^

OOOAABCOy

10.在△力BC中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,月S=看a=/3,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若b則△力BC有一解

B.若b=2,則△48C有兩解

C.Az48c面積的最大值為平

D.若^ABC是銳角三角形，則/?+c的取值范圍為（3,271]

11.在△48c中，18=4,AC=6,1=,，點。為邊8C上一動點,則（）

A.8C=2V7

B.當/W為角4的角平分線時，誓

C.當點。為邊8C上點，麗=2反時，AD=^-

D.若點P為2{8C內(nèi)任一點，PA^（PB+玩）的最小值為一號

12.如圖所示，線段48是。C的弦，其中48=8,AC=5,點。為0C上任意一點，則以下結(jié)論正確的是（

A.\AD\<10

Q

B.而而的最大值是78

C.當荏?麗=0時，sin^DAB

D.AC-AB=32

三、填空題：本題共4小題，每小題5分,,共20分。

13.若示石是夾角為60。的兩個單位向量，2蒼+石與一3方+2%垂直，MA=_____.

且若則的最小值

14.已知a,bER,第數(shù)Zi=a+3z2=—b—i,Zi+z2=0,z=a+bi,|z-\/3i|

第2頁，共14頁

15.“文翁千載一時珍，醉臥襟花聽暗吟”表達了對李時珍學識淵博、才華橫溢的贊嘆.李時珍是湖北省薪春

縣人，明代著名醫(yī)藥學家.他歷經(jīng)27個寒暑，三易其稿，完成了192萬字的巨著《本草綱目)，被后世尊

為“藥圣”.為紀念李時珍，人們在美麗的幀春縣獨山修建了一座雕像，如圖所示.某數(shù)學學習小組為測量雕

像的高度，在地面上選取共線的三點4、B、C,分別測得雕像頂?shù)难鼋菫?0。、45。、30。，且力B=BC=10<6

米，則雕像高為______米.

16.在△A8C中，E為AC上一點，且前=4；而，P為BE上一點、,且滿足而=加而+幾萬(m>0,九>0),則

5+;最小值為一?

四、解答題：本題共3小題，共34分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

17.(本小題10分)

已知△48C中，Q,b,c分別為角4,B,C的對邊，>/lbsinA=a(2+cosB>).

⑴求B：

(2)若a=3c,點。是AC的中點,且BD=5,求△ABC的面積.

18.(本小題12分)

在中，內(nèi)角A,B,。對應的邊分別是a,b,c,h.bcosC+ccosB=2acosA.

(1)求角4的大??；

(2)若△48C的面枳是竽,a=2,求△48C的周長；

(3)若448。為銳角三角形，求sEB+sin。的取值范圍.

19.(本小題12分)

如圖，在高為2的正三棱柱ABC-481cl中，AB=2,。是棱AB的中點.

第3頁，共14頁

(1)求三棱錐。-&B1G的體積；

(2)設E為棱Big的中點，尸為棱8%上一點，求4尸+EF的最小值.

第4頁，共14頁

答案解析

1.【答案】B

【解析】解：復數(shù)z=3其中"=1-3%=2—3則Zi=l+3K

加外z22T(2-0(2+i)555，

所以⑶:j(-1)2+(1)2=6.

故選：B.

根據(jù)共挽復數(shù)的概念，利用復數(shù)的乘、除法運算求出復數(shù)Z,結(jié)合復數(shù)的幾何意義計算即可求解.

本題主要考查復數(shù)的基本運算，居于基礎題.

2.【答案】C

【解析】解：設同=3,畫=4,五與石的夾角為120°,

則七在石上的投影向量為普?看=3x4x;siz(r|=_的.

故選：C.

根據(jù)投影向量的求法求得正確答窠.

本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎題.

3.【答案】C

【解析】解：設球的半徑為r,則圓錐的底面半徑為r,設圓錐的高為h,

則球的表面積為4nr2=4TT,Ar=1,

???圓錐的母線/=Vr2+/i2=VT7P,又圓錐的側(cè)面展開圖是半圓，

」?〃=平二常常解得八二6

故選：C.

根據(jù)圓錐與球的幾何性質(zhì)，即可求解.

本題考查圓錐與球的幾何性質(zhì)，居基礎題.

4.【答案】C

【解析】解：因為半球內(nèi)有一內(nèi)接正四棱錐S-力BCD,

且這個正四棱錐的高與半球的半徑相等且底面正方形4BCD的邊長為2,

所以大圓直徑2R=2，Z所以R=，2,

所以這個半球的表面積是2n7?2+兀氏2=37TX2=67r.

故選：c.

第5頁，共14頁

根據(jù)題意可得大圓直徑2R=2心，從而可求解.

本題考查球的幾何性質(zhì)，屬基礎題.

5.【答案】B

【解析】解：在A/1BC中，A=60°,b=l,其面積為，5,

bcsinA=x/3,

即c=4,

由余弦定理次=b2+c2-2%cosA可得:a2=13,

即&=XT13,

由正弦定理，一=--=，一可得：---a+b+c——=，_=華.二旦豆，

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinCsinA蟲3

故選:B.

由三角形面積公式，結(jié)合正弦定理及余弦定理求解即可.

本題考查了三角形面積公式，重點考查了正弦定理及余弦定理，屬基礎題.

6.【答案】A

【解析】解：設球的半徑為R,因為9兀/?3=4門嗚

1J

所以R=V3,

因為球面與該正三棱柱的所有面都相切，

所以正三棱柱的高為2C,

設正三楂柱底面邊長為如

因為球的半徑等于底面正三角形的內(nèi)切圓半徑，

所以c=1x4G,

所以Q=6,

則正三棱柱的表面積為3x6x2/3+2x1x6x6x^=54^3.

故選:A.

先根據(jù)內(nèi)切球得出三棱柱的高，再計算得出底面邊長，進而計算得出表面積即可.

本題考查幾何體表面積的計算，屬于中檔題.

7.【答案】ABD

【解析】解：設該圓錐的母線長為人因為軸截面S4B是面積為1的直角三角形，所以犯=1,解得|=

力正確;

第6頁，共14頁

設該圓錐的底面圓心為。，在△S/1B中，SA=SB=/2,所以4B=2,則圓錐的高SO=1,

所以該圓錐的體積V=17TX12X1=1/1,

側(cè)面積為nr,=女x1x\[2=y/~2n,B正確、C錯誤；

設該圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角為a,則心仇=2兀x1,所以戊=/2兀，。正確.

故選：ABD.

利用三角形的面枳公式求出圓錐SO的母線長，可判斷4選項：利用圓錐的體枳公式、側(cè)面枳公式可判斷8、

c選項；利用扇形的弧長公式司.判斷。選項.

本題考查圓錐的幾何特征，屬于中檔題.

8.【答案】BCD

【解析】解：對于4由題圖可知在四邊形4BCD中，前二而+而不一定成立，故4錯誤；

對于B,而+比=而，AD+~DC=AC^所以荏+近=而+尻，故8正確；

對十C，HG+GD=HD，AD-AH=所以775+而=而一而，故C止確；

對于0,連接8。，如下圖所示，因為E,尸分別是BC,C0的中點，由中位線的性質(zhì)可知IE/7/BD，EF=^BD,

又加=2而，AG=2GD^所以標=，而，所以阮=]麗=（又3福,

所以而=3而，故。正確.

4

故選：BCD.

9.【答案】BD

【解析】解：根據(jù)A、C是三角形內(nèi)角，可得sizM=V1-cos2/l=I，sinC=V1-cos2C=言

12,4_5__56

所以sinB=sin（7r-8）=sin（714-C）=sinAcosC+cosAsinC=-x+X

J13513=65,

根據(jù)正弦定理得b=竺萼=字=黑

sirrA239

5

所以=JabsinC=9xx1x★工6,可知B、D正確,R、C錯誤.

ZZuv

故選：BD.

第7頁，共14頁

根據(jù)同角三角函數(shù)的關系算出sim4、sinC,運用誘導公式與兩角和的正弦公式求出sinB,結(jié)合正弦定理求

出邊b，進而根據(jù)三角形的面積公式求出S-8C，即可得出本題答案.

本題主要考查正弦定理與三角形的面積公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式等知識，屬于基礎題.

10.【答案】ACD

【解析】解：4選項，根據(jù)正弦定理，急二焉即普=嘉，得sMB=1，

且人<a,則8=3，則△48C有一解，故4選項正確；

4

8選項，若匕=2,則普=可得si〃8=l,得3=%則△ABC有一解，故8選項錯誤；

VSSUlDL

C選項，由余弦定理Q2=b2+c2-2bccos43=b2+c2-de>be,當b=c時等號成立，

所以SMBc=：bcs譏力=苧兒工學，所以△力8C面積的最大值為苧，故C選項正確：

fo<F

1

。選項，由-7=2,貝昉=2sinB,c=2sinC,月12nn得［<BV曰，

)0<y-F<j62

所以b+c=2sinB+2sin(g+B)=3sin8+VlcosB=2Csin(B+*),+*<得，

O。JUD

所以2Csin(B+?)的范圍是故。選項正確.

故選:ACD.

根據(jù)正弦定理，即可判斷48：

根據(jù)余弦定理，面積公式，結(jié)合基本不等式，即可判斷C：

根據(jù)正弦定理，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題，即可判斷。.

本題考查了解三角形，屬于中檔題.

11.【答案】ABC

【解析】解:在△A8C中，AB=4,AC=6,A=^點。為邊8c上一動點，

對于力選項：根據(jù)余弦定理可得8C=%U82+力。2一248?4Ccos4=V16+36-24=2yH，故4選項正

確；

對于B選項：當力。為角4的角平分線時，

根據(jù)一：角形的面積公式可得:x6x/4Dxsiny+lx4x/IDxsiny=6x4xsin^?

LbLoZ5

所以可得力。二岑I故4選項正確；

對于C選項：當點。為邊8C上點，由麗=2比，

第8頁，共14頁

根據(jù)向量的加法和減法法則可得而=AC+CD=AC+^CB=AC+^(AB-AC)=lAC+押,

根據(jù)平面向量數(shù)量積公式可得I而I=J(|配+"確2=J/+須.而+納=]16+竽+9=

4、F

3

故C選項正確；

對干力選項：構(gòu)建如下圖的直角坐標系,則A(0,0),B(2,2A/3),C(6,0),若尸(X,y)，

所以丙=(-x,-y),P§=(2-尤2>/3-y),正=(6—％—y)，

根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標公式可得可?(而+無)=(一%-y)-(8-2x,2<3-2y)=2x2-8x+2y2-

26y

、僧、

=x2(x-”2)22+?2?(y-—y2-H19、

當＞=2,y=苧時，P在三角形內(nèi)滿足題設，

此時麗(PB+無)的最小值為％-y2=-1-(-3)2=-y,故D選項錯誤.

故選：ABC.

應用余弦定理求邊長判斷4應用等面積法及三角形面積公式列方程求4八判斷R：由赤3通.應

用向量數(shù)量枳的運算律求線段長度判斷C；構(gòu)建合適的直角坐標系，應用坐標法求數(shù)量積，進而確定最小值

判斷D.

本題考查了平面向量數(shù)量積的運算和三角形的面積公式，屬于中檔題.

12.【答案】AD

【解析】解：對于力，點D為OC上一動點，

可知當點力，C,0二點共線時，

第9頁，共14頁

|荷|的值最大，為24c=10,故4正確；

對于B,如圖1所示，建立平面直角坐標系,

則4(-4,一3),8(4,-3),設點0(5cosa5sin。),

圖I

則標=(8,0)，而二(5cos6+4,5si7i9+3)，而?而=40cos。+32,

所以當cos。=1,即8=0時，麗.而取得最大值72,故8錯誤；

對于C,當而?而=0時，有AB1CD,

此時，點。在OC上有兩個位置，如圖所小,

故sin乙。力8有兩個值，故C錯誤:

AC=5及垂徑定理可得:

AC-AB=\AC\?\AB\cos^CAB=\AC\?\AB\x^-=^\AB\2=32，故。正確.

故選:AD.

根據(jù)圖形特征判斷4,再應用數(shù)最積公式計算判斷氏D,再根據(jù)向量垂直得出角的正弦值判斷C.

本題考資平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬中檔題.

13.【答案】|

4

【解析】解:因為窗石是夾角為60。的兩個單位向量，

所以同=|向=1,a-b=同曲8s60。=；,

因為疝+石與一3H+25垂直，

所以(加+E)?(-3益+2])=0,

第10頁，共14頁

即一3疝2+2了+(2A-3)ab=0,

所以-32+2+(24-3)x/=0,解得入=*.

故答案為:

利用平面向量數(shù)量積的運算律求解即可.

本題考查平面向量的數(shù)量積與夾角，向量垂直的性質(zhì)應用，屬于基礎題.

14.【答案】平

【解析】解:由Z1+Z2=0，復數(shù)Z1=Q+i,z2=-b-i,

可得Q+/+(—b)—i=0,即可得Q=b：

因此|z-V3i|=\a+bi-=Ja2+(b-A/3)2=V2a2-2-/3a+3=J2(a一等)2+,>~

當a二￥時，所求最小值苧.

故答案為：空.

根據(jù)復數(shù)加減法則運算可得Q=4再由二次函數(shù)性質(zhì)計算可得當Q=苧時取得最小值.

本題主要考查復數(shù)模公式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題.

15.【答案】30

【脩析】解:設雕像高為九，設雕像底部為點。，

因為點兒因C處雕像頂?shù)难鼋菫?0。、45。、30°,

所以根據(jù)直角三角形正切函數(shù)可得：。4=htan30°=^-h,OB=htan450=h,OC=htan60°=V~3/i,

因為45=BC=10港，所以由余弦定理得:

業(yè)+加一?！–B2+OB2—OC2

cos乙480=-2ABOB-,cosZ-CBO=-2CB0B-

因為cos乙ABO=cos(zr-Z.CRO)=—cos乙CBO,

所匕482+。82-。42=_CB2+OB2-OC2

7r人—2ABOR—=2CBOB-，

即(10^)2+層_(苧八產(chǎn)=_(10/6)2―F+(<3/1)2,

解得：九=30,

故答案為：30.

利用解直角三角形得到三邊長，再利用余弦定理得到五邊關系，從而可求解高度.

本題考查余弦定埋的應用，屬于中檔題.

第11頁，共14頁

16.【答案】9

【解析】【分析】

本題考查了平面向量共線定理、利用基本不等式求最值，考查了推理能力與計算能力，屬于較難題.

由笈=4荏，且滿足而=/n麗+幾萬(7九>0,九>0),可得方=m麗+4幾荏，內(nèi)向量共線定理可得m+

4n=l,再利用基本不等式即可求解.

【解答】解：???尼=4；而，且滿足而二G而+九萬0>0,n>0),

二~/\p=mAB+4nAE,

???P為BE上一點,

由向量共線定理可得：m+4n=l,又m>0,n>0,

1111

--m--1--n=(771+4n)(m一+n—)

=5+^+^>5+2J,.*%當且僅當m==：時取等號，

工+」的最小值是9.

7T71

故答案為：9.

17.【答案】B=~

3c.

【解析】(1)因為，5加譏4=a(2+cosB),

所以出力=sinA(2+cosB),

由于力W(0,TT),可得si?h4：>0,

所以=2+cosB,

可得學sinB—\cosB=1,可得sin(8—7)=1,

ZZ0

由于B6(0,zr),可得一號,

所以8—=%即3=釜

oL5

(2)因為點。是AC的中點，

所以說="(瓦(+近)，g|j2BD=BA+BC,

故4前,而)2=BAZ2^A.BC+BC2

=(BA++f

又BD=H,B=率,所以4x7=c2+2accos早+次，

Jo

第12頁，共14頁

由于Q=3c,可得—3c2+9c2=28,

解得c=2,

可得Q=3c=6,

可得△ABC的面積S=^acsinB=1x6x2x^=3x/-3.

乙乙乙

(1)根據(jù)正弦定理化簡得Jis出8=2+cosB,進而由輔助角公式得sin(8-*)=1,根據(jù)角的范圍即可求解.

2

(2)根據(jù)中線向量的表示形式及數(shù)顯積的運算律得4BD=瓦寸+2瓦5.瓦+瓦將條件代入得Q=3c=6,

代人三角形面積公式求解即可.

本題考查了正弦定理，輔助角公式，三角形的面積公式，中線向量的表示形式及數(shù)量積的運算律，考查了

轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

18?【答案】全

2+V13；

弓⑸

(解析]解:(1)根據(jù)余弦定理，可得bcosC+ccosB=b-°]:J+c,°=a，

結(jié)合bcosC4-ccosB=2acosA,可得Q=2acosA,

所以cos/!=,,結(jié)合力為三角形的內(nèi)角，可