北師大版(2024)八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第七章《命題與證明》

單元整體教學(xué)設(shè)計(jì)

錄

第一部分單元主題及內(nèi)容闡述.............................*

第二部分課標(biāo)對(duì)本單元的要求.............................*

第三部分單元教材分析..................................*

第四部分第*章第一節(jié)第*課時(shí)...........................*

一、教材內(nèi)容和內(nèi)容解析...................................*

二、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容要求.....................................*

三、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析...................................*

四、學(xué)生學(xué)情分析.........................................*

五、教學(xué)策略分析.........................................*

六、教學(xué)重難點(diǎn)...........................................*

七、教學(xué)過程.............................................*

八、板書設(shè)計(jì).............................................*

九、教學(xué)反思...........................................*

十、參考文獻(xiàn)...........................................*

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第一部分單元主題及內(nèi)容闡述

一、單元主題：

認(rèn)識(shí)證明的價(jià)值，初步掌握證明的方法及相應(yīng)表達(dá)規(guī)范，體會(huì)證明的嚴(yán)謹(jǐn)性,

形成重論據(jù)、有條理、合乎邏輯的思維習(xí)慣，發(fā)展推理能力等。

二、單元設(shè)計(jì)思路：

本章是證明的起始階段.學(xué)生先前己經(jīng)通過觀察、測量、實(shí)驗(yàn)、操作等活動(dòng)

探究得到了一些幾何結(jié)論，學(xué)生也嘗試進(jìn)行了一些驗(yàn)證和說理，基本認(rèn)可這些結(jié)

論，但畢竟不是證明.本章首先要讓學(xué)生明確認(rèn)識(shí)到:這些探究的結(jié)論需要加以證

明；同時(shí)證明需要一個(gè)話語體系，為此就有了所謂的定義、命題等.其次，證明需

要確定一些出發(fā)點(diǎn)，為此需要梳理有關(guān)結(jié)論，選擇某些結(jié)論作為證明的出發(fā)點(diǎn)（實(shí)

際上這就是構(gòu)建局部的公理體系）；有了這些證明的出發(fā)點(diǎn)，接著就依次證明一些

先前探究得到的定理，在證明過程中，初步掌握證明的要求和格式，認(rèn)識(shí)到證明

的嚴(yán)謹(jǐn)性，做到步步有據(jù)，發(fā)展學(xué)生的推理能力.

本章以之前學(xué)過的部分基本事實(shí)作為證明的起點(diǎn)，經(jīng)歷根據(jù)基本事實(shí)推出其

他結(jié)論的過程，證明與平行線的性質(zhì)有關(guān)的一些結(jié)論，將“平行線的證明”納入

到“命題與證明”這一更廣泛的章節(jié)中，并且增加了“認(rèn)識(shí)證明”這一部分內(nèi)容，

這一調(diào)整不僅讓證明的學(xué)習(xí)更加系統(tǒng)化，還提升了學(xué)生的邏輯思維能力和證明技

巧的培養(yǎng)。系統(tǒng)地加強(qiáng)學(xué)生的邏輯思維訓(xùn)練，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的證明過程和

思維方式。通過“認(rèn)識(shí)證明”這一章節(jié)的增加，教材旨在培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)推理能

力。新教材較為簡潔，沒有三角形內(nèi)角和定理。

三、單元內(nèi)容：

本章共二節(jié)五個(gè)課時(shí)的內(nèi)容。

第一節(jié)：認(rèn)識(shí)證明

第二節(jié)：平行線的證明

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第二部分課標(biāo)對(duì)本單元的要求

一、課標(biāo)對(duì)本單元內(nèi)容的要求

1.體會(huì)通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過程，在多種

形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,發(fā)展合情推理與演繹推理的能力.

2.通過具體實(shí)例，認(rèn)識(shí)證明，了解定義、命題、定理、推論的意義.

3.結(jié)合具體實(shí)例，會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論.

4.知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道證明的過程

可以有不同的表達(dá)形式，會(huì)綜合法證明的格式。

5.判斷命題的真假，了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤

的.

6.了解公理和定理,探索并證明對(duì)頂角相等、同角（等角）的余角相等、同角（等

角）的補(bǔ)角相等、三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì).

7.掌握基本事實(shí):兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條

直線平行.

8.掌握基本事實(shí):過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.

9.掌握平行線的性質(zhì)定理:兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等.了

解平行線性質(zhì)定理的證明.

10.探索并證明平行線的判定定理:兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角

相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)），那么這兩條直線平行;探索并證明平行線的性質(zhì)定理:兩條

平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ)）.

二、課標(biāo)對(duì)本單元學(xué)業(yè)的要求

1.推理能力：通過具體實(shí)例，了解定義、命題、定理的含義，會(huì)區(qū)分命題的

條件和結(jié)論。了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。

2.幾何直觀：在證明過程中，能正確畫出圖形，并能用圖形直觀地幫助理解

和表達(dá)推理過程。

3.謖輯思維：了解證明的必要性和意義，知道證明要合乎謖輯，體會(huì)證明的

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更深入的圓和二次函數(shù)，其推理的核心方法論均源于此章。它所培養(yǎng)的邏輯思維

能力（如分析法、綜合法、反證法）是高中乃至整個(gè)理科學(xué)習(xí)的核心思維工具。

本章學(xué)不好，后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將舉步維艱。

（二）、核心分析：超越知識(shí)的“思維體操”

本章的深層價(jià)值不在于那幾個(gè)定理本身，而在于其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法：

轉(zhuǎn)化與化歸思想：以基本事實(shí)作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，這是解決數(shù)學(xué)問題

的根本大法。

公理化思想：學(xué)生首次完整地體驗(yàn)歐幾里得公理體系的運(yùn)作模式：從少數(shù)“基

本事實(shí)”（公理）出發(fā)，通過邏輯推理，證明出一個(gè)個(gè)“定理”，像搭積木一樣

構(gòu)建起整個(gè)幾何大廈。這是理性精神的啟蒙。

數(shù)形結(jié)合思想：證明過程的每一步，都需要在圖形上找到對(duì)應(yīng)關(guān)系，嚴(yán)格遵

循“圖形-文字-符號(hào)”三種語言的轉(zhuǎn)換規(guī)則。

直觀推理階段：通過觀察、畫圖、測量建立初步判斷；

非形式化演繹推理：借助已知結(jié)論推導(dǎo)新結(jié)論；

形式化演繹推理：在《命題與證明》章節(jié)系統(tǒng)介紹命題、證明、邏輯語言，

推動(dòng)邏輯思維能力發(fā)展。

整合基本事實(shí)構(gòu)建證明體系：教材將七、八年級(jí)獲得的圖形性質(zhì)歸納為“基

本事實(shí)”，為證明活動(dòng)打好基礎(chǔ)。

突出合情推理與演繹推理結(jié)合：邊觀察邊論證，強(qiáng)化邏輯思維與直觀感知的

互動(dòng)。

（三）、學(xué)情難點(diǎn)分析

1.心理層面：畏難情緒，認(rèn)為“證明”抽象、枯燥，思維習(xí)慣仍停留在直觀感知

階段，未適應(yīng)邏輯抽象的范式。

2.語言層面：不會(huì)將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言和圖形語言。書寫不規(guī)范，漏寫依

據(jù)。缺乏“數(shù)學(xué)寫作”的訓(xùn)練，不清楚證明的本質(zhì)是“展示推理過程給人看”。

3.思維層面：不會(huì)添輔助線，沒有“創(chuàng)造性地運(yùn)用已知條件”的意識(shí)。思路卡殼，

不知從何下手，不會(huì)逆向分析（從結(jié)論倒推）?？臻g想象能力和邏輯聯(lián)想能力不

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足。

4.概念層面：對(duì)“定理”、“基本事實(shí)”、“判定”、“性質(zhì)”等術(shù)語的理解停

留在表面，沒有建立起概念之間的邏輯從屬關(guān)系網(wǎng)絡(luò)。

（四）、與其它內(nèi)容的聯(lián)系分析

與“平行線”：本章是平行線性質(zhì)的第一次大規(guī)模、高價(jià)值應(yīng)用，讓學(xué)生深

刻體會(huì)到以前所學(xué)的知識(shí)不是孤立的，而是有力的工具。

與“全等三角形”：本章是學(xué)習(xí)全等三角形的直接前奏。全等的證明是幾何

證明的主體，其思路分析、格式書寫、輔助線添加等所有技能，均在本章萌芽并

接受初步訓(xùn)練?？梢哉f，本章是“新兵營”，全等三角形是“第一戰(zhàn)場”。

與“等腰三角形”、“勾股定理.”等：這些重要定理的證明，都需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?/p>

演繹推理能力，本章是這一切的基礎(chǔ)。

（五）、教學(xué)價(jià)值總述

《命題與證明》一章，是初中數(shù)學(xué)課程中培養(yǎng)學(xué)生理性精神、邏輯思維和嚴(yán)

謹(jǐn)科學(xué)態(tài)度的最關(guān)鍵章節(jié)。它的成功教學(xué)，意味著：

1.為學(xué)生安裝了“數(shù)學(xué)思維的引擎”，讓他們從被動(dòng)的知識(shí)接收者，開始轉(zhuǎn)

變?yōu)橹鲃?dòng)的推理探索者。

2.在學(xué)生心中樹立了“確定性”的標(biāo)桿，讓他們明白數(shù)學(xué)真理不依賴于權(quán)威

或?qū)嶒?yàn)，而依賴于無懈可擊的邏輯。

3.搭建了從感性認(rèn)知通往理性王國的橋梁，是學(xué)生學(xué)術(shù)成長和思維成熟的一

次重要飛躍。

二、本單元知識(shí)結(jié)構(gòu)圖

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三、課時(shí)安排建議

課題課時(shí)數(shù)

7.1認(rèn)識(shí)證明3

7.2平行線的證明2

☆回顧與思考2

總計(jì)7

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第四部分第七章《命題與證明》

第一節(jié)第1課時(shí)

《認(rèn)識(shí)證明》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.經(jīng)歷觀察、驗(yàn)證、歸納等過程，在活動(dòng)中體會(huì)到觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到的

結(jié)論未必可靠。初步感受證明的必要性,發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)。

2.了解確定數(shù)學(xué)結(jié)論正確與否的常用方法:計(jì)算、舉出反例、推理論證等。

3.結(jié)合課本內(nèi)容,體會(huì)理性思考、勇于探索的科學(xué)精神。

二、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容要求

1.體會(huì)通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過程,在多種

形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力。

2.知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道可以用不同

的形式表述證明的過程,會(huì)用綜合法的證明格式。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.理解為什么要證明.

2.經(jīng)歷觀察、歸納、驗(yàn)證等活動(dòng)過程，在活動(dòng)中體會(huì)到觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納所

得到的結(jié)論未必可靠,切步感受證明的必要性,發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí).

3.培養(yǎng)學(xué)生言之有據(jù)的人生觀，明白眼睛有時(shí)也會(huì)騙自己.

四、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中，經(jīng)歷了通過觀察、歸納、驗(yàn)證等活動(dòng)得到數(shù)學(xué)結(jié)論的

過程，并且能通過簡單的計(jì)算、邏輯推理驗(yàn)證結(jié)論；能應(yīng)用這些結(jié)論解決一些簡

單的問題，具備一定的合情推理能力，并能進(jìn)行初步的邏輯推理.

學(xué)生已經(jīng)參與了本事件的觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、歸納等活動(dòng)，為本節(jié)的自主探

究、合作交流等活動(dòng)打下了良好的基礎(chǔ).

基于已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，部分學(xué)生不理解測量、實(shí)驗(yàn)、歸納得到的結(jié)論可能不

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正確；對(duì)于正確的結(jié)論即使能感知其正確，卻又不能清楚的說明正確的依據(jù).

因此，本節(jié)的教學(xué)需要呈現(xiàn)大量的活動(dòng)以及活動(dòng)結(jié)果，這些活動(dòng)需要涵蓋常

規(guī)的探索方法（如觀察、測量、猜想、歸納），活動(dòng)的結(jié)果既有正確的也有錯(cuò)誤

的，讓學(xué)生感受證明的必要性.

八年級(jí)學(xué)生已經(jīng)具備一定的抽象推理能力但并不成熟，以前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，對(duì)

證明也有了模糊的認(rèn)識(shí)，但這與單純地給出“已知、求證、證明”的方式研究圖

形性質(zhì)是有區(qū)別的，這之前并不是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，對(duì)此學(xué)生很難區(qū)分.

五、教學(xué)策略分析

通過生活中的實(shí)例或數(shù)學(xué)史中的經(jīng)典問題引入證明的概念。設(shè)計(jì)問題引導(dǎo)學(xué)

生思考，通過小組討論、合作探究等方式激發(fā)學(xué)生的興趣。通過具體的數(shù)學(xué)問題,

展示證明的過程，幫助學(xué)生理解證明的步驟和邏輯。布置適量的練習(xí)題，LL學(xué)生在

實(shí)踐中掌握證明的方法。引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)證明的重要性及其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。

六、教學(xué)重難點(diǎn)

（一）重點(diǎn)：觀察、測量、實(shí)驗(yàn)、猜想等活動(dòng)過程.

（二）難點(diǎn)：歸納和推理的能力.

七、教學(xué)過程

情境導(dǎo)入

觀察與思考

三角形的邊是直線嗎兩條線段長度相等嗎

?小3

圖形是靜的還是動(dòng)的

眼見未必為實(shí)!實(shí)踐出真知！

有時(shí)視覺受周圍環(huán)境的影響,往往誤導(dǎo)我們,讓我們得出錯(cuò)誤的結(jié)論,所以僅

靠經(jīng)驗(yàn)觀察是不夠的，只有通過科學(xué)的實(shí)驗(yàn)進(jìn)行嚴(yán)格的推理，才能得出最準(zhǔn)確的

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結(jié)論。

新知初探

探究探究證明的方法

活動(dòng)1:實(shí)例驗(yàn)證

如圖所示,把地球看成球形,假如用一根比地球赤道長1m的鐵絲將地球赤道

圍起來，鐵絲與地球赤道之間的間隙能有多大?能放進(jìn)一個(gè)拳頭嗎?先憑感覺想象

一下,再具體算一算,看看與你的感覺是否一致,并與同伴進(jìn)行交流。

活動(dòng)2:反例驗(yàn)證

有人認(rèn)為，對(duì)于所有自然數(shù)n,代數(shù)式n2-2n+ll的值都是質(zhì)數(shù)。你怎么看待

這個(gè)結(jié)論?取n=0,1,2,3,4,5試一試。

解：當(dāng)n取0,1,2,3,4,5時(shí)，對(duì)應(yīng)n2-2n+ll的值如下:

n012345

n2-2n+ll111011141926

通過上述表格發(fā)現(xiàn)，當(dāng)n=l,3,5時(shí)n2-2n+ll1勺值不是質(zhì)數(shù)，所以對(duì)于所有自

然數(shù)n,代數(shù)式n2-2n+ll的值不一定都是質(zhì)數(shù)。

活動(dòng)3:推理驗(yàn)證

某次數(shù)學(xué)競賽中有5道選擇題,每題1分,每道題在A、B、C三個(gè)選項(xiàng)中，只

有一個(gè)是正確的。下表是甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每道題填涂的答案和這5道題

的得分：

第一第二第三第四第五

項(xiàng)目得分

題題題題題

甲CCABB4

乙CCBBC3

丙BCCBB2

TBCCBA

則甲同學(xué)錯(cuò)的是第五題。

意圖說明

通過大量的實(shí)例，直觀地感受觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納得到的結(jié)論可能正確，也可能

不正確。理解證明的必要性。

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八、板書設(shè)計(jì)

認(rèn)識(shí)證明

1.實(shí)例驗(yàn)證

2.反例驗(yàn)證

3.推理驗(yàn)證

九、教學(xué)反思

（一）課前反思：通過本課的教學(xué),使學(xué)生認(rèn)識(shí)到探究得到的結(jié)論未必可靠,

就是可靠的結(jié)論也需要進(jìn)行嚴(yán)格的推理論證.為此,在教學(xué)中，讓學(xué)生通過觀察、

測量、歸納等推理論證過程，總結(jié)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),認(rèn)識(shí)證明的必要性.

（二）課后反思：

十.參考文獻(xiàn)

第一節(jié)第2課時(shí)

《定義與命題》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.理解定義、命題的概念，能區(qū)分命題的條件和結(jié)論，并把命題寫成“如

果……那么……”的形式。

2.了解真命題和假命題的概念，能判斷一個(gè)命題的真假性，并會(huì)對(duì)假命題舉

反例。

二、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容要求

1.通過具體實(shí)例，了解定義、命題的意義。

2.結(jié)合具體實(shí)例,會(huì)區(qū)分命題的條件和結(jié)論。

3.了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個(gè)命題是錯(cuò)誤的。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.了解定義、命題、真命題、假命題的含義，區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解反

例的作用.會(huì)把命題改寫成“如果……那么……”的形式,能判斷命題的真假.

2.通過舉反例判定一個(gè)命題是假命題，使學(xué)生學(xué)會(huì)反面思考問題的方法；通

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過對(duì)歐幾里得《原本》的介紹，感受兒何的演繹體系對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展和人類文明的價(jià)

值.

3.通過了解數(shù)學(xué)知識(shí),拓展學(xué)生的視野,從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

四、學(xué)生學(xué)情分析

學(xué)生在以前的學(xué)習(xí)中接觸了不少幾何知識(shí)，對(duì)很多名字、概念有了很深的認(rèn)

識(shí)。本節(jié)課將對(duì)學(xué)生傳授定義與命題的基本含義，對(duì)此，學(xué)生已經(jīng)有比較多的經(jīng)

驗(yàn)和基礎(chǔ)。在以前的學(xué)習(xí)中學(xué)生對(duì)本節(jié)課將采取的討論、舉例說明等學(xué)習(xí)方式有

了比較深刻的認(rèn)識(shí)，為今天的學(xué)習(xí)作了必要的鋪墊。

五、教學(xué)策略分析

教法:通過探究討論，后發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容。

學(xué)法:觀察、討論、交流、歸納、應(yīng)用。通過課堂討論和練習(xí)掌握新知只。

六、教學(xué)重難點(diǎn)

（一）重點(diǎn)：找出命題的條件和結(jié)論，識(shí)別真、假命題

（二）難點(diǎn)：找出命題的條件和結(jié)論.

七、教學(xué)過程

情境導(dǎo)入

小紅與小剛正在津津有味地討論《我們愛科學(xué)》的部分內(nèi)容。

/是的，現(xiàn)在柯\

互聯(lián)網(wǎng)廣泛運(yùn)用

于我們的生活中,

給我們帶來了方

坐在旁邊的兩個(gè)人一邊聽著他們談話，一邊也在悄悄議論著。

/可能是個(gè)、

這個(gè)黑客是喜歡穿黑衣

個(gè)小偷吧？'服的賊

思考:為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況?

新知初探

探究一定義

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活動(dòng)1:定義:一般地,能清楚地規(guī)定某一名稱或術(shù)語的含義的句子叫作該名

稱或術(shù)語的定義。

如：“具有中華人民共和國國籍的人,叫作中華人民共和國公民”是“中華人

民共和國公民”的定義。

“兩點(diǎn)之間線段的長度，叫作這兩點(diǎn)之間的距離”是“兩點(diǎn)之間的距離”的

定義。

“無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)”是“無理數(shù)”的定義。

“有兩邊相等的三角形叫作等腰三箱形”是“等腰三角形”的定義。

意圖說明

結(jié)合具體實(shí)例讓學(xué)生增加對(duì)定義的理解,鍛煉學(xué)生有條理的數(shù)學(xué)表達(dá)能力。

探究二命題

活動(dòng)2:命題的概念

下面的語句中，哪些語句對(duì)事情作出了判斷，哪些沒有?與同伴進(jìn)行交流。

(1)任何一個(gè)三角形一定有一個(gè)角是直角；

(2)對(duì)頂角相等；

(3)無論n為怎樣的自然數(shù),式子n2-n+ll的值都是質(zhì)數(shù)；

(4)如果兩條直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行；

(5)你喜歡數(shù)學(xué)嗎。

(6)作線段AB=CDo

學(xué)生經(jīng)過思考，自主探究，與同伴交流，借助語文的經(jīng)驗(yàn),可以得到正確的結(jié)

論。

歸納總結(jié):判斷一件事情的句子，叫作命題。

例如,上面語句中的⑴⑵⑶(4)對(duì)事情進(jìn)行了判斷,都是命題。

如果一個(gè)句子沒有對(duì)某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題。

注意：

(1)只要對(duì)一件事情作出了判斷,不管正確與否,都是命題。如:相等的角是對(duì)

頂角。

第13頁共27頁

(2)如果一個(gè)句子沒有對(duì)某一件事情作出任何判斷,那么它就不是命題。如:

畫線段AB二CD。

活動(dòng)3:命題的構(gòu)成

觀察下列命題,這些命題有什么共同的結(jié)構(gòu)特征？

(1)如果一個(gè)三角形是等腰三角形,那么這個(gè)三角形的兩個(gè)底角相等；

(2)如果a=b,那么a2=b2;

(3)如果兩個(gè)三角形中有兩邊和一個(gè)角分別相等，那么這兩個(gè)三角形全等。

歸納總結(jié):一般地，每個(gè)命題都由條件和結(jié)論兩部分組成。條件是已知的事項(xiàng),

結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。命題通?？梢詫懗伞叭绻敲础钡?/p>

形式，其中“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結(jié)論。

命題的組成：

條件-已知事項(xiàng)

結(jié)論-由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)

活動(dòng)4:命題的分類

有些命題如果條件成立,那么結(jié)論一定成立;而有些命題條件成立時(shí).，結(jié)論不

一定成立。

正確的命題叫真命題,不正確的命題叫假命題。

注意:要說明一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例。反例是指具備命題的條件,

而不具有命題的結(jié)論的例子。

意圖說明

通過三個(gè)活動(dòng)使學(xué)生理解命題的概念、命題的構(gòu)成、命題的分類，然后緊跟

著給出對(duì)應(yīng)的練習(xí)題進(jìn)行鞏固，以加深理解,突破重難點(diǎn)。

八、板書設(shè)計(jì)

定義與?命題

1.定義

2.命題的概念

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3.命題的構(gòu)成

4.命題的分類

九、教學(xué)反思

（一）課前反思：本節(jié)課我們主要研究了命題的組成及真假，知道任何一個(gè)

命題都是由條件和結(jié)論兩部分組成，命題分為真命題和假命題.

在辨別真假命題時(shí)注意：假命題只需舉一個(gè)反例即可,而真命題除公理和性

質(zhì)夕卜,必須通過推理論證.

（二）課后反思：

十.參考文獻(xiàn)

第一節(jié)第3課時(shí)

《定理與證明》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.了解公理、定理和證明的概念，會(huì)區(qū)分定理、公理和命題。

2.了解證明的表達(dá)格式,會(huì)按規(guī)定格式證明簡單命題。

3.通過證明步驟中由命題畫出圖形，寫出已知、求證的過程，繼續(xù)訓(xùn)練學(xué)生由

幾何語句正確畫出幾何圖形的能力。

二、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容要求

1.體會(huì)通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論,運(yùn)用演繹推理加以證明的過程,在多種

形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力。

2.知道證明的意義和證明的必要性，知道證明要合乎邏輯，知道可以用不同

的形式表述證明的過程,會(huì)用綜合法的證明格式。

3.探索并掌握對(duì)頂角相等、同角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的補(bǔ)角

相等的性質(zhì)。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.進(jìn)一步了解命題中的真命題、假命題的含義，命題的構(gòu)成，能區(qū)分命題中的

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條件和結(jié)論,領(lǐng)會(huì)和理解公理、證明和定理的含義.

2.經(jīng)歷實(shí)際情境,初步體會(huì)公理化思想和方法，了解本教材所采用的公理.

3.通過反例說明假命題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到任何事情都是正反兩方面對(duì)立統(tǒng)一,

并培養(yǎng)學(xué)生樹立科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度.

四、學(xué)生學(xué)情分析

本節(jié)課針對(duì)的是八年級(jí)上學(xué)期的學(xué)生，他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)上已經(jīng)有了一定的積

累，但這是他們第一次援觸到嚴(yán)格的幾何定理證明，要讓學(xué)生初步體會(huì)證明的思

路與書寫的過程，這將會(huì)是他們學(xué)習(xí)上的一大難點(diǎn)。

五、教學(xué)策略分析

教法:通過探究討論，啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)本課內(nèi)容。

學(xué)法:觀察、討論、交流、歸納、應(yīng)用。通過課堂討論和練習(xí)掌握新知識(shí)。

六、教學(xué)重難點(diǎn)

（一）重點(diǎn)：感受公理化思想，了解定理的證明過程.

（二）難點(diǎn)：了解定理與公理之間的關(guān)系，能直接用公理簡單推理出定理.

七、教學(xué)過程

情境導(dǎo)入

舉一個(gè)反例就可以說明一個(gè)命題是假命題，那么如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題

呢？

要說明一個(gè)命題是正確的，無論驗(yàn)證多少個(gè)特例，也無法保證命題的正確性。

如何驗(yàn)證命題的正確性,其實(shí)在數(shù)學(xué)發(fā)展史上,數(shù)學(xué)家也遇到過類似的問題,今天

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我們就來共同學(xué)習(xí)。

新知初探

探究一公理、定理

活動(dòng)1:公理與定理

公理:數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L期實(shí)踐中總結(jié)出來的，并把它們

作為判斷其他命題真假的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，這樣的公認(rèn)的真命題稱為公理。

定理:數(shù)學(xué)中有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用演繹推理的方法證明它

們是正確的,經(jīng)過證明的真命題稱為定理。

真命題分類：1.公理：是人們實(shí)踐活動(dòng)中總結(jié)出來的;2.定理:是通過證明得

到的。

本套教科書選用九條基本事實(shí)作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了其

中的八條：⑴兩點(diǎn)確定一條直線。（2）兩點(diǎn)之間線段最短。⑶同一平面內(nèi)，過一

點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。（4）兩條直線被第三條直線所截,如果同位

角相等,那么這兩條直線平行（簡述為：同位角相等，兩直線平行）。（5）過直線外一

點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行。（6）兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形

全等。（7）兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等。（8）三邊分別相等的兩個(gè)三

角形全等。

其他哪些還可以作為公理？

數(shù)與式的運(yùn)算律和運(yùn)算法則、等式的有關(guān)性質(zhì)，以及反映大小關(guān)系的有關(guān)性

質(zhì)都可以作為證明的依據(jù)。

例如,如果a=b,b=c,那么a=c,這一性質(zhì)也可以作為證明的依據(jù),稱為“等量

代換”。

又如，如果a>b,b>c,那么a>c,這一性質(zhì)同樣可以作為證明的依據(jù)。

意圖說明

經(jīng)歷實(shí)際情境,初步體會(huì)公理化思想和方法，了解本教材所采用的基本事實(shí),

讓學(xué)生對(duì)真假命題有一個(gè)清楚的認(rèn)識(shí),從而進(jìn)一步了解定理、公理的概念,培養(yǎng)學(xué)

生的語言表達(dá)能力。

第17頁共27頁

探究二證明命題

活動(dòng)2:從基本事實(shí)出發(fā),就可以證明已經(jīng)探索過的結(jié)論了。例如，我們可以

證明下面的定理：

定理:同角（或等角）的補(bǔ)角相等。

定理:同角（或等角）的余角相等。

定理:三角形的任意兩邊之和大于第三邊。

例題證明對(duì)頂角相等

已知：如圖所示,直線AB與直線CD相交于點(diǎn)0,NA0C與NB0D是對(duì)頂角。

求證：NAOONBOD。

證明：??,直線AB與直線CD相交于點(diǎn)0（已知），

???NA0B與NC0D都是平角（平角的定義）。

???ZA0C和NB0D都是NA0D的補(bǔ)角（補(bǔ)角的定義）。

???NA0C=NB0D（同角的補(bǔ)角相等）。

由上面的例題,我們可以得到定理:對(duì)頂角相等。

意圖說明

通過學(xué)生合作交流，培養(yǎng)了學(xué)生互助交流的意識(shí);讓學(xué)生初步感受證明推理的過

程，體會(huì)證明的思路，體驗(yàn)書寫的過程以及數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

八、板書設(shè)計(jì)

定理與證明

1.公理

2.定理

3.八條基本事實(shí)

4.定理的證明

九、教學(xué)反思

（一）課前反思：通過本課的教學(xué),使學(xué)生知道證明的必要性,初步掌握簡單

第18頁共27頁

定理的證明過程,會(huì)有根據(jù)地對(duì)簡單定理進(jìn)行證明；使學(xué)生了解證明的一般過程

和步驟,進(jìn)一步明確定理與公理的關(guān)系,加深對(duì)兒何公理化的理解.

（二）課后反思：

十.參考文獻(xiàn)

第二節(jié)第1課時(shí)

《平行線的判定》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

1.會(huì)根據(jù)基本事實(shí)“同位角相等，兩直線平行”來證明“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線

平行”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，并能簡單應(yīng)用這些結(jié)論。

2.通過畫圖、討論、推理等活動(dòng)，理解和總結(jié)證明的步驟、格式和方法。

二、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容要求

1.掌握基本事實(shí):兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條

直線平行。

2.探索并證明平行線的判定定理:兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)譜角

相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ);，那么這兩條直線平行。

3.能用三角板和直尺過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.初步了解證明的基本步驟和書寫格式;會(huì)根據(jù)基本事實(shí)“同位角相等，兩直

線平行”來證明“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，并

能熟練應(yīng)用這些結(jié)論.

2.經(jīng)歷觀察、操作、想象、推理、交流等活動(dòng)，進(jìn)一步發(fā)展空間觀念、推理

能力和有條理的表達(dá)能力;理解并學(xué)會(huì)執(zhí)因?qū)Ч蛨?zhí)果索因的思考方法.

3.在小組合作學(xué)習(xí)中，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，交流互動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的合作意識(shí)和

團(tuán)隊(duì)精神,并感受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣,激發(fā)學(xué)習(xí)的積極性.

四、學(xué)生學(xué)情分析

第19頁共27頁

在學(xué)生先前已通過觀察、測量、實(shí)驗(yàn)、操作等活動(dòng)探究得到了結(jié)論，學(xué)生基

本認(rèn)可，但畢竟不是證明。引導(dǎo)學(xué)生初步掌握證明的要求和格式，認(rèn)識(shí)到證明的

嚴(yán)謹(jǐn)性，做到步步有據(jù)，發(fā)展學(xué)生的推理能力。

五、教學(xué)策略分析

展示鐵軌、雙杠等生活實(shí)例,讓學(xué)生觀察其特點(diǎn)，引出平行線判定的課題,激

發(fā)學(xué)習(xí)興趣。借助教具演示,如用木條模擬直線位置變化，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)同位角、

內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的關(guān)系與兩直線平行的聯(lián)系，再給出準(zhǔn)確判定定理。安排基礎(chǔ)

證明題與復(fù)雜圖形題，讓學(xué)生運(yùn)用判定定理進(jìn)行推理，強(qiáng)化對(duì)知識(shí)的理解和運(yùn)用。

六、教學(xué)重難點(diǎn)

（一）重點(diǎn)：運(yùn)用判定兩直線平行的公理和定理進(jìn)行推理;探索并掌握兩直

線平行的判定方法.

（二）難點(diǎn)：證明題的書寫步驟及推理依據(jù).

七、教學(xué)過程

情境導(dǎo)入

請(qǐng)找出圖中的平行線,思考它們?yōu)槭裁雌叫校?/p>

新知初探

探究一平行線的判定

活動(dòng)1:如圖所示，N1和N2是直線a,b被直線c截出的內(nèi)錯(cuò)角，且Nl=/2,求

證:a〃b。

證明：???N1=N2（已知】N1=N3（對(duì)頂角相等），,/

??.N3=N2（等量代換）ob%

???a〃b（同位角相等，兩直線平行）。

C

小結(jié)：兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條Q-

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直線平行。

簡述為：內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行。

應(yīng)用格式：

???N1=N2（己知），

???a〃b（內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行）。

活動(dòng)2:“兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行”

這個(gè)命題也正確嗎?說明理由。

定理證明：

如圖所示，/I和N2是直線a,b被直線c截出的同旁內(nèi)角，且Z1

C

與N2互補(bǔ)。求證：a〃boa--jyX

學(xué)生思考交流后獨(dú)立完成,教師給予點(diǎn)評(píng)指導(dǎo)?！銡q

證明：???/1與N2互補(bǔ)（已知）,

???/1+/2=180°（互補(bǔ)的定義）。

AZ1=180°-N2（等式的性質(zhì)）。

VZ3+Z2=180°（平角的定義），

AZ3=180°-N2（等式的性質(zhì)）。

???Z1=Z3（等量代換）oa—/

???a〃b（同位角相等，兩直線平行）。6/

小結(jié):兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補(bǔ),那么這兩條直線平行。

簡述為：同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行。

應(yīng)用格式：

VZ1+Z2=18O°（已知），

???a〃b（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）。

意圖說明

兩個(gè)例子都是以基本事實(shí)“同位角相等，兩直線平行”為依據(jù)分別證明平行線的

判定定理：“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”。在此過

程中要引導(dǎo)學(xué)生明確現(xiàn)在證明的出發(fā)點(diǎn)有哪些，哪些概念、法則、基本事實(shí)、定

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理可用，讓學(xué)生養(yǎng)成證明時(shí)“有理有據(jù)”的習(xí)慣，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。

探究二平行線判定的應(yīng)用

活動(dòng)3:思考?交流

⑴如圖所示，利用兩個(gè)全等的直角三角尺作出平行線，請(qǐng)說說其中的道理。

解:可以利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”說明兩條直線平行。

⑵在一張不規(guī)則的四力形紙片上折出平行線，并予以證明；與同伴交流各自的折

紙方法與證明過程。

意圖說明

利用平行線的判定定理解釋作圖的道理。教學(xué)中還可以讓學(xué)生利用手中的直尺、

三角尺等工具快捷地作出平行線，從而得到更多作平行線的方法，說明道理的方

法也可能更為多樣，開放教學(xué)。

八、板書設(shè)計(jì)

平行線的判定

1.同位角相等，兩直線平行.

2.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.

3.同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.

九、教學(xué)反思

（一）課前反思：判定兩直線平行的條件我們?cè)谄吣昙?jí)已經(jīng)學(xué)過，上一節(jié)又

已經(jīng)明確了基本事實(shí)“同位角相等，兩直線平行”，因此教學(xué)中，讓學(xué)生先自主證

明平行線的有關(guān)定理，感受證明的過程和規(guī)范格式，使學(xué)生從幾何證明的開始階

段就認(rèn)識(shí)到,證明的依據(jù)只能是有關(guān)概念的定義、所規(guī)定的基本事實(shí)及已經(jīng)證明

的定理.

（二）課后反思：

+.參考文獻(xiàn)

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第二節(jié)第2課時(shí)

《平行線的性質(zhì)》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容和內(nèi)容解析

i.理解并掌握平行線的.三條性質(zhì)定理。

2.能夠根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行簡單的推理與計(jì)算。

3.區(qū)分平行線的性質(zhì)和判定的關(guān)系,培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力。

二、課程標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容要求

1.掌握平行線的性質(zhì)定理:兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。

2.探索并證明平行線的性質(zhì)定理：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)譜角

相等（或同旁內(nèi)角互補(bǔ):。

3.了解平行于同一條直線的兩條直線平行。

三、教學(xué)目標(biāo)

1.結(jié)合圖形用符號(hào)語言來表示平行線的三條性質(zhì)的條件和結(jié)論,并能總結(jié)歸

納出證明的一般步驟.

2.經(jīng)歷探索平行線的性質(zhì)定理的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析和邏輯推理

的能力,并在探究活動(dòng)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí).

3.培養(yǎng)學(xué)生合作探究的學(xué)習(xí)方法，體會(huì)互逆的思維過程和幾何中的應(yīng)用價(jià)

值.

四、學(xué)生學(xué)情分析

八年級(jí)的學(xué)生有探究熱情，較強(qiáng)的求知欲，也具備一定的思考能力。之前學(xué)

生學(xué)習(xí)了平行線的定義和判定的方法，對(duì)探究平行線的性質(zhì)初步具備了研究思路,

但推理過程的符號(hào)化行于剛剛接觸幾何的八年級(jí)學(xué)生而言具有一定難度。

五、教學(xué)策略分析

在本節(jié)課的教學(xué)中，注重過程性評(píng)價(jià),在教學(xué)過程中，一方面利用問題引發(fā)學(xué)

生的思考，通過學(xué)生的回答情況對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)，另一方面，利用課堂練習(xí)，使學(xué)

第23頁共27頁

生的認(rèn)知情況得到反饋,進(jìn)而及時(shí)調(diào)整教學(xué)。通過過程性評(píng)價(jià),全面考查學(xué)生的學(xué)

習(xí)狀況,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。

六、教學(xué)重難點(diǎn)

(一)重點(diǎn)：平行線的性質(zhì).

(二)難點(diǎn)：運(yùn)用定理和性質(zhì)進(jìn)行推理，寫出已知和求證.

七、教學(xué)過程

溫故知新

(1)平行線的判定方法有哪三種?它們是先知道什么，后知道什么？

(2)已知直線AB及其外一點(diǎn)P,畫出過點(diǎn)P的AB的平行線。

(3)根據(jù)同位角相等可以判定兩直線平行，反過來如果兩直線平行，同位角之

間有H么關(guān)系呢？內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角之間又有H么關(guān)系呢？

學(xué)習(xí)了本節(jié)課以后,我們就能得出這些問題的答案了。

新知初探

探究一平行線的性質(zhì)

活動(dòng)1：根據(jù)“兩條平行直線被第三條直線所載，同位角相等“。你能作出相

關(guān)的圖形嗎？

問題1：你能根據(jù)所作的圖形寫出己知、求證嗎？

問題2:你能說說證明的思路嗎？

己知：如圖所示,直線AB/7CD,N1和N2是直線AB,CD被直線EF截出的同位

角。

求證：Zl=Z2o

該如何證明呢?今天介紹一個(gè)特別的方法一一反證法。

證明：假設(shè)N1WN2,那么我們可以過點(diǎn)M作直線GH,使NEMH二N2,如圖所示。

根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”，可知GH〃CD。

第24頁共27頁

乂因?yàn)锳B〃CD,這樣經(jīng)過點(diǎn)M存在兩條直線AB與G11都與直線CD平行。

這與基本事實(shí)”過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行”相矛盾。

這說明N1WN2的假設(shè)不成立，所以N1=N2。

由此,我們證明了以下的性質(zhì)定理。

定理:兩條平行直線被