2023—2024學(xué)年南師附中高二期初測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，，，則（）A B.C. D.2.已知復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7人，則樣本容量為（）A.7 B.15 C.25 D.354.有3個(gè)完全相同的小球，，，隨機(jī)放入甲、乙兩個(gè)盒子中，則兩個(gè)盒子都不空的概率為（）A. B. C. D.5.設(shè)，，則“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件6.設(shè)，且，則（）A. B.10 C. D.7.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù).，，且，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.8.平面四邊形中，，，，將其沿對(duì)角線折成四面體，使平面平面，若四面體頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.某大學(xué)生暑假到工廠參加生產(chǎn)勞動(dòng)，生產(chǎn)了100件產(chǎn)品，質(zhì)檢人員測(cè)量其長(zhǎng)度（單位：厘米），將所得數(shù)據(jù)分成6組：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則對(duì)這100件產(chǎn)品，下列說(shuō)法中正確的是（）A. B.長(zhǎng)度落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為35C.長(zhǎng)度的眾數(shù)一定落在區(qū)間內(nèi) D.長(zhǎng)度的中位數(shù)一定落在區(qū)間內(nèi)10.已知，，且，下列不等式恒成立的有（）A. B.C. D.11.已知函數(shù)對(duì)任意，都有成立，且函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.則下列結(jié)論正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，B.函數(shù)的最小正周期為2C.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（）中心對(duì)稱D.函數(shù)在（）上單調(diào)遞減12.連接球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦，半徑為4的球的兩條弦，的長(zhǎng)度分別等于，，，分別為，的中點(diǎn)，每條弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng)，則（）A.弦，可能相交于點(diǎn) B.弦，可能相交于點(diǎn)C的最大值為5 D.的最小值為1三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線的方程為______.14.在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若，，，，則的最大值是______.15.已知函數(shù)（且），若函數(shù)的圖象上有且僅有一組點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的取值范圍是______.16.已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為、、，設(shè)的面積為，若，則的最大值為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.（10分）已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，其中.（1）若，且，求的坐標(biāo)；（2）若，且與垂直，求與的夾角.18.（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的值域；（2）若，求的值.19.（12分）某社區(qū)舉辦“環(huán)保我參與”有獎(jiǎng)問(wèn)答比賽活動(dòng)，某場(chǎng)比賽中，甲、乙、丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)環(huán)保知識(shí)的問(wèn)題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲、丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是，乙、丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是.若各家庭回答是否正確互不影響.（1）求乙、丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；（2）求甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率.20.（12分）已知函數(shù)，，若函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)具有性質(zhì).（1）判斷函數(shù)是否具有性質(zhì)？并說(shuō)明理由；（2）證明：函數(shù)具有性質(zhì).21.（12分）如圖，在四棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，底面為等腰梯形，，，，，、、分別是棱、、的中點(diǎn).（1）證明：直線平面；（2）求二面角的余弦值.22.（12分）設(shè)的三個(gè)內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、且.（1）求的大??；（2）若，求的取值范圍.

2023—2024學(xué)年南師附中高二期初測(cè)試數(shù)學(xué)試題參考答案一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.【答案】C.【解析】∵，，∴，∴.故選：C.2.【答案】C.【解析】因?yàn)椋詫?duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限.故選：C.3.【答案】B.【解析】青年職工、中年職工、老年職工三層之比為7:5:3，所以樣本容量為.故選：B.4.【答案】C.【解析】先求兩個(gè)盒子中有一個(gè)空的概率為，所以兩個(gè)盒子都不空的概率為.故選：C.5.【答案】B.【解析】若，則如滿足條件，但不滿足且，不是充分條件，若且，則，，所以，即，是必要條件，所以“”是“且”的必要不充分條件.故選：B.6.【答案】D.【解析】∵，∴，，∴，∴，故選：D.7.【答案】B.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以關(guān)于軸對(duì)稱，由向左平移1個(gè)單位得到，所以關(guān)于直線對(duì)稱，，，且，都有，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞減，∵，且，，∴，∴，解得，∴原不等式的解集為.故選：B.8.【答案】B.【解析】由題意，四面體頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，和都是直角三角形，所以的中點(diǎn)就是球心，所以，球的半徑為：，所以球的表面積為：.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.【答案】ABD.【解析】對(duì)于A：由頻率之和為1，得，解得，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B：長(zhǎng)度落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為，所以選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C：對(duì)這100件產(chǎn)品，長(zhǎng)度的眾數(shù)不一定落在區(qū)間內(nèi)，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：對(duì)這100件產(chǎn)品，因?yàn)?，而，所以長(zhǎng)度的中位數(shù)一定落在區(qū)間內(nèi)，所以選項(xiàng)D正確，故選：ABD.10.【答案】BC.【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)，滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，A錯(cuò)誤；∵正實(shí)數(shù)，滿足，，則，B成立；，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，C成立；，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.【答案】AB.【解析】因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意都有，所以，即，所以，所以，即恒成立，所以的周期為4.函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.故時(shí)，.任取，則，因?yàn)楹瘮?shù)對(duì)任意都有，即，所以.所以，作出的圖象如圖所示：對(duì)于A.由前面的推導(dǎo)可得：當(dāng)時(shí)，.故A正確；對(duì)于B.函數(shù)的圖象可以看成的圖象軸上方的圖象保留，把軸上方的圖象軸下方的圖象翻折到軸上方，所以函數(shù)的最小正周期為2.故B正確；對(duì)于C.由圖象可知：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（）中心對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D.作出的圖像如圖所示，在上函數(shù)單調(diào)遞增.故D錯(cuò)誤.故選：AB.12.【答案】ACD.【解析】設(shè)球心為，則，.因?yàn)?，所以弦，可能相交于點(diǎn)，不可能相交于點(diǎn).因?yàn)?，所以，?dāng)、、三點(diǎn)共線且，在兩側(cè)時(shí)，有最大值5；當(dāng)、、三點(diǎn)共線且，在同側(cè)時(shí)，有最小值1；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.【答案】或.【解析】當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上的截距為0時(shí)，可設(shè)直線：，∵直線過(guò)點(diǎn)，∴，即直線的方程為，當(dāng)直線在坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，可設(shè)直線：，∵直線過(guò)點(diǎn)，∴，即，即直線的方程為.故答案為：或.14.【答案】.【解析】如圖，由題知，球的體積要盡可能大時(shí)，球需與三棱柱內(nèi)切.需保證截面圓與內(nèi)切，記圓的半徑為，則由等面積法得，∴，又，，∴，得.由于三棱柱高為5，此時(shí)可以保證球在三棱柱內(nèi)部，若增大，則無(wú)法保證球在三棱柱內(nèi)，故球的最大半徑為2，∴的最大值是.故答案為：.15.【答案】.【解析】易得時(shí)已有一個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，故只需當(dāng)，且時(shí)，函數(shù)的圖象上有且僅有1個(gè)點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱即可.由題意，時(shí)，顯然成立；時(shí)，關(guān)于軸的對(duì)稱函數(shù)為，則，∴，綜上所述，的取值范圍是，故答案為：.16.【答案】.【解析】由，得，則，同時(shí)，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則，故的最大值為，故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.【答案】（1），或；（2）.【解析】（1）∵；∴設(shè)，且，；∴；∴；∴，或；（2）∵與垂直，∴，即，又，，∴，∴，又，∴與的夾角.18.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，得，所以的值域?yàn)?（2）由（1）知，，所以，所以.19.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）設(shè)事件表示“甲家庭回答正確這道題”，事件表示“乙家庭回答正確這道題”，事件表示“丙家庭回答正確這道題”，由題意得：，解得乙家庭回答正確這道題的概率，丙家庭回答正確這道題的概率.（2）甲、乙、丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率為：.20.【答案】（1）否，理由見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析.【解析】（1）函數(shù)不具有性質(zhì).由，可得，，，由，即，可得，即，該方程無(wú)解，故函數(shù)不具有性質(zhì)；（2）證明：，由，可得，化簡(jiǎn)可得，即，由圖像可知，兩個(gè)函數(shù)必有交點(diǎn)，可得函數(shù)在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)，使得成立，故函數(shù)具有性質(zhì).21.【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，，.∵，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴.