抽象函數(shù)對稱性與周期性問題【18類題型歸納］

高中對函數(shù)性質(zhì)的考查往往是綜合性的，如將奇偶性、周期性、單調(diào)性綜合考查，因此，復習過程

中應注意在掌握常見函數(shù)圖象和性質(zhì)的基礎上，注重函數(shù)性質(zhì)的綜合應用的演練.

^總覽題型罐諄

【題型1】對稱軸，對稱中心的抽象表達式的識別

【題型2】由平移前后關系得出原函數(shù)對稱性

【題型3】由中心對稱求出函數(shù)中間值：膽）=奇函數(shù)+M

【題型4］由對稱性求交點坐標的和

【題型5】由對稱性解函數(shù)不等式

【題型6】由解析式看出對稱性

【題型7】由解析式看出對稱中心再解函數(shù)不等式

【題型8】由解析式看出對稱軸再解函數(shù)不等式

【題型9】與對稱性有關的材料題

【題型10】通過表達式直接得出周期（迭代）

【題型11】利用周期性求解析式

【題型12】由對稱性進而得出周期

【題型13】由條件不等式構造新函數(shù)解不等式

【題型14】類周期函數(shù)與倍增函數(shù)

【題型15］已知一個對稱軸（中心）和周期

【題型16］兩個函數(shù)混合型

【題型17］抽象函數(shù)賦值計算

【題型18］抽象函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性

題型匯編R知識統(tǒng)理與學考題型

【題型1】對稱軸，對稱中心的抽象表達式的識別

核心?技巧

TY!4-11

若/(冽+、)=/(〃—X),且工一=6三/(%)關于X=b對稱

若/(m+x)+f(n-x)=2b,SL=a=/(x)關于(〃/)對稱

對稱性的作用：最突出的作用為“知一半而得全部“，即一旦函數(shù)具備對稱性，則只需要分析一側的

性質(zhì)，便可得到整個函數(shù)的性質(zhì)，主要體現(xiàn)在以下幾點：

(1)可利用對稱性求得某些點的函數(shù)值

(2)在作圖時可作出一側圖像，再利用對稱性得到另一半圖像

(3)在軸對稱函數(shù)中，關于對稱軸對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相反；在中心對稱函數(shù)中，關于對稱

中心對稱的兩個單調(diào)區(qū)間單調(diào)性相同

1.設/(')是定義域為R的奇函數(shù)，且〃l+x)=/(r).若/)

15

B.——D.-

3cI3

【答案】C

【鞏固練習1】(多選題)已知函數(shù)/(x)的定義域為R,/(x)關于對稱，且對于任意

xeR,都有/(2-3x)=〃3x),則()

A./(x+l)=/(x)

C./(x+2)為偶函數(shù)D.為奇函數(shù)

【答案】BCD

【解析】由〃2-3x)=/(3x),得〃2-

由/+是奇函數(shù)，得)+=—j即/(X)=-/(l-x),

所以/(2-工)=一/(1-工)，即/(x+l)=-/(x),所以/(x+2)=/(x),故選項A錯誤；

由〃x)=-/(lr),得/(J=0,由/(x+l)=-/(x),得/(j一/卜所以《一￡|=0,故

選項B正確；

由〃x+2)=〃x),/(2-x)=/'(x),得/(2-x)=/(2+x),即/(x+2)為偶函數(shù)，故選項C正確;

由/(x)=-/(l-x),/(x+2)=/(x),得=—則=

即/卜為奇函數(shù)，故選項D正確.

【題型2】由平移前后關系得出原函數(shù)對稱性

/核心?技巧/

若已知/S?x+Z?)+C是奇(偶)函數(shù)求/(X)對稱性

/(加X+0+Z?是偶函數(shù)三/(X)關于X=。對稱，/(M+a)+b是奇函數(shù)三f(x)關于(。力)對稱

舉個例子：

若/(2x+1)+3是奇函數(shù)

證：設/(x)關于x=a對稱，通過函數(shù)圖像的平移和伸縮變換求出0,6的值

/(X)/(x+1)/(2x+l)/(2x+l)+3

對稱中心(。,6)(a-1,6)fa-17八\a-\

LTI2JU=-3

2.定義在R上的函數(shù)y=/(x)和y=g(x)的圖象關于了軸對稱，且函數(shù)y=/(x-2)+l是奇函數(shù)，則

函數(shù)y=g(x)圖象的對稱中心為()

A.(2,1)B.(-2,-1)C.(-2,1)D.(2-1)

【答案】D

【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)結合函數(shù)的對稱性求解即可.

【詳解】由題意得函數(shù)y=/(x-2)+1是奇函數(shù)，則>=/(x)關于(-2,-1)對稱，

另知函數(shù)y=/(X)和y=g(x)的圖象關于7軸對稱，故y=g(x)關于(2,-1)對稱

【鞏固練習】已知函數(shù)/(X)的定義域為R,y(l-2x)為偶函數(shù)，/(X-1)為奇函數(shù)，貝I()

A./(O)=OB./(-2)=0

C./(-3)=0D./(-5)=0

【答案】D

【詳解】函數(shù)/(I的定義域為R,由〃>2x)是偶函數(shù),得/(l+2x)=/(l-2x),即〃2-x)=/(x),

由〃x-l)為奇函數(shù),得/(-x-l)=-/(x-l),即〃一2-x)=-/(x),顯然/(一1)=0,

因此〃2-x)=-/(-2-x),即/(4+x)-(x),有〃0)=/(2)=-/(-2),

，(一3)=-/■⑴，/(-5)=-/(-1)-0,而/(0)J⑴的值都不確定，ABC錯誤，D正確

【題型3】由中心對稱求出函數(shù)中間值：%)=奇函數(shù)+V

/核心?技巧/...............

已知/(x)=奇函數(shù)+M,xe[-a,a],則

(1)/(一x)+/(x)=2M

(2)/(x)1Mx+/(x).=2，

3,已知函數(shù)/(x)=V］+l在區(qū)間-2025,2025］上的最大值為“，最小值為%,則"+加=.

【答案】2

【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的最值性質(zhì)即可求解.

【詳解】記g(x)=/(力一1=三口顯然g(x)的定義域［-2025,2025］關于原點對稱，且

g(-x)=-g(x),

所以g(x)是區(qū)間［-2025,2025］上的奇函數(shù)，

設g(X)的最大值為g(x)1mx=g(x0)=(z>0,則g(x)的最小值為g(尤)1nhi=g)=-g(%)=-a,

所以M+加=1+Q+1—Q=2.

4.7(x)是定義在R上的函數(shù)，/、+￡]+(為奇函數(shù)，則/(2023)+〃-2022)=(

)

11

A.-1B.――C.-D.1

22

【答案】A

工+^卜1,為奇函數(shù)，則

【解析】/(x)是定義在R上的函數(shù)，f

2

/f+g4/x11+/x1=-1

4H2242

4045j_

.-./(2023)+/(-2022)=/2+2=-1

5.函數(shù)/@)=皂萼㈣在［-2020,2020］上的最大值和最小值分別為",〃z,貝|〃+加=______.

x+1

答案2

解析+2x)+(%+1)=-3+21+],顯然/(%)關于(0,1)對稱，所以M+加=2

x2+lx2+l

6,已知函數(shù)/(l)=辦7+6工3+X2+。、一2023,且/(10)=6,則/(—10)=.

【答案】-3852

【解析】由/'(X)=ox，+6x3+x?+CX-2023,得ax，+加，+cx=/(x)-x?+2023,

構建函數(shù)〃(x)=ax1+bx3+cx=/(x)-x2+2023,定義域為R,

貝|J=a(-x)7+8(-X)3+c(-x)=_(御7+bx3+cx)=-A(x),即h(x)是奇函數(shù)，

于是〃(-10)=一4(10),所以/(一10)-(-10)2+2023=-[/(10)-102+2023],

可得/(-10)=-/。0)-3846,

又〃10)=6,因此/(一10)=-3852.

故答案為：-3852

【鞏固練習1】設函數(shù)〃x)="二的最大值為最小值為加，則"+加=()

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【分析】將/(X)整理為/(力=2-慧］，令g(x)=/(x)-2,由奇偶性定義可證得g(x)為奇函數(shù),

則g(x)1mx+g(x)mm=0,由此可求得〃+加的值.

2(1)22(x2+lj-4x_4x

【詳解】???/(%)=

x2+l~?+i~-~x2+l

可令g(x)=/(X)-2=-若,貝]g(-x)=_罟=若=_g(x),

八十1An-1A十1

；.g(x)為定義在R上的奇函數(shù)，：.g(x)max+ga)mm=0,

則Af—2+機一2=0,M+m=4.

故選：D.

【鞏固練習2】已知函數(shù)/(x)=V—4+3,xe［-2023,2023］的最大值為M，最小值為加，則

M+m=.

【答案】6

【分析】構造g(X)=〃>)-3,定義判斷奇偶性，利用對稱性有g(X)max+g(x)min=。，即可求結果.

【詳解】令g(x)=/(X)-3=d一J_+3,JLXGR,

g(—x)-―/=-X3+—=-g(x),

-XX

所以g(x)為奇函數(shù)，且在［-2023,2023］上連續(xù)，

根據(jù)奇函數(shù)的對稱性：8(%)在工￡［-2023,2023］上的最大、最小值關于原點對稱，

則g(x)max+g(x)min=河一3+加—3=0,故"+加=6.

【鞏固練習3】已知定義在R上的函數(shù)/(X)滿足Vx/￡Rja+y)=/(x)+〃y)-2024,若函數(shù)

XA/2024-X2

g(x)=+/(x)的最大值和最小值分別為M%,貝ljM+加=

2024+x2

【答案】4048

【解析】令x=V=0,得/(0)=2024,令歹=一1,則/(O)=/(x)+/(—力―2024,

所以/(r)-2024=-[/(%)-2024],令/⑴=/(x)-2024,

所以〃(一x)=-%0),h(x)為奇函數(shù)，/(x)=//(%)+2024.

2024-x2

令G(x)=+〃(x),

2024+x2

xyJ2024-x2x-x/2024-x2

則G(-x)=-+/z(-x)=-[+/z(x)]=-G(x)，

2024+x22024+x2

即G(X)為奇函數(shù)，所以G(X)max+G(X)min=0.

x，2024-x2

而g(x)=+g)+2024=G(x)+2024,

2024+x2

所以M+加=G(x)1mx+2024+G(x)min+2024=4048.

1

【鞏固練習4］已知函數(shù)/(x)=(2》2-4x+3Hx-1-—2x+l在［0,2］上的最大值為M,最

x-1

小值為m,則M+m=

【答案】-2

【解析】將函數(shù)/(%)配成關于％—1的形式/(%)=12(x—1)+1］卜一1-----

設g(x)—(212+1Vx—j—2x

JJWg(-x)=[2(-x)2+l](T+L

+2x=-g(x)

故g(x)為奇函數(shù)，其圖象關于坐標原點對稱

又/(x)=g(xT)T,所以其圖象關于點(1,—1)對稱

所以“X)在［0,2］上的最大值為最小值為優(yōu)的和〃+加=-2

【題型4】由對稱性求交點坐標的和

||俄心?技巧/...................................................

一、若/(x)與g(x)關于x=a對稱，且它們有加個交點，則所有交點橫坐標之和。加

二、若/(x)與g(x)關于(。力)對稱，且它們有加個交點，則所有交點橫坐標之和。加，縱坐標之和

為bm

7.(廣州市天河區(qū)高一上期末)定義在R上的函數(shù)/(x)滿足：/(x+1)是奇函數(shù)，且函數(shù)y=/(x)

的圖象與函數(shù)y=j■的交點為(再,必),(芍，必)，…,則%+%+…+X,”=()

x—1

m

A.0B.—C.mD.2m

2

【答案】C

【分析】由題意知函數(shù)/(x)的圖象和函數(shù)y=—的圖象都關于(1,。)對稱，可知它們的爻點也關于

點(1,0)對稱，由此可求得結果.

【詳解】因為/(X+1)是奇函數(shù)，所以/(X)關于點(1,0)對稱，

又函數(shù)>=工的圖象關于點(1,0)對稱，

X-L

所以兩個函數(shù)圖象的交點也關于點(1,0)對稱，

所以兩個圖象的橫坐標之和玉+9+…+/=(Xi+Xa)+(X2；J+(X,"+1)=2+2;-+2=m

8,已知函數(shù)/(x)圖象關于(LO)中心對稱，且與函數(shù)g(x)=(x-l)3圖象有三個交點，分別為

(西,%),(%2，%,(工3，%),則改+必+工2+為+￡+%=()

A.1B.3C.6D.9

【答案】B

【分析】/(X)的圖象關于(1,0)中心對稱，g(x)=(x-l)3關于(1,0)中心對稱，且〃l)=g(l)=。，設

(x2,y2)=(l,0),則仁,必),(￡,乃)關于點(1,0)中心對稱，從而求出答案.

【詳解】/(x)的圖象關于(1,0)中心對稱，

又g(x)=(x-l)3關于(1,0)中心對稱,且g⑴=0,

不妨設(尤2，%)=(1，。)，/(X)與g(x)=(x-l)3的交點(國,必),(七,力)關于點(1,0)中心對稱，

即項+工3=2,弘+為=0,故國+弘+工2+歹2+工3+必=2+1=3.

9.己知函數(shù)/(x)滿足〃2-X)+/(2+X)=8,函數(shù)g(x)="_.且/(x)與g(x)的圖象交點為

(毛，乂)，(芍九)，…，(/，％)，則玉+々+…+%8+%+%+…+>8=.

【答案】48

【分析】求函數(shù)圖像的對稱中心，由函數(shù)的對稱性求值.

【詳解】函數(shù)/(X)滿足/(2-x)+/(2+x)=8,則函數(shù)/(x)的圖像關于點(2,4)對稱，

函數(shù)且⑴:以1=4+—,函數(shù)歹=1的圖像關于原點對稱，則函數(shù)g(x)的圖像關于點(2,4)對稱，

/(x)與g(x)的圖象的8個交點,也兩兩關于點(2,4)對稱，

貝ij西+%2+?,,+/+必+>2+?，，+>8=4X4+4X8=48.

10.定義在R上的函數(shù)滿足〃4-x)=-〃x),〃2x+l)為偶函數(shù)，/(1)=2,函數(shù)g(x)(xwR)

滿足g(x)=g(2-x),若了=/(x)與y=g(x)恰有2023個交點，從左至右依次為

(孫弘(X2023/2023)，則下列說法正確的是()

A./(X)為奇函數(shù)B.2為了=/(x)的一個周期

C.必012=2D.X]+%2+尤3+',,+”2023=2023

【答案】ACD

7(2+X)+/(2-X)=0

【分析】根據(jù)題意推得《得到/(2+x)+/(x)=0,結合函數(shù)的基本性質(zhì),

/(2-x)=/(x)

逐項判定，即可求解.

【詳解】由/(2x+l)為偶函數(shù)，則函數(shù)/'(x)的圖象關于直線x=l對稱,

又由/(4-x)=-/(%),則函數(shù)/(X)的圖象關于點(2,0)對稱,

[/(2+x)+/(2-x)=0

可得/(2+x)+/(x)=0.

/(2-x)=/(x)

對于A中，由/(2+x)+/(x)=0,可得/(2-x)=-/(-x),

所以=,所以/(無)為奇函數(shù)，所以A正確；

對于B中，由〃4+x)=-/(2+x)=/(x),所以函數(shù)/(X)是以4為周期的周期函數(shù),

可得了⑴=2,43)=-/⑴=一2,顯然/(3)//(1),所以B錯誤；

對于C中，由g(x)=g(2-x),所以函數(shù)g(x)的圖象關于直線x=l對稱，

因此函數(shù)〃x)與g(x)的交點也關于x=l對稱，則必oi2=/⑴=2,所以C正確；

2023

對于D中，由函數(shù)/(X)與g(x)的交點也關于x=l對稱，可得2毛=2023,故D正確.

Z=1

【鞏固練習1】已知/(X)是定義在R上的奇函數(shù)，且/(X)在［0,2］上單調(diào)遞減，/(X+2)為偶函數(shù),

若/(x)=加在［0,12］上恰好有4個不同的實數(shù)根%,馬，三，%,則占+9+毛+5=.

【答案】24

【解析】由/(x+2)為偶函數(shù)，則〃r+2)=/(x+2),故/(-x)=/(x+4),

又/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，則/■(無)=-f(-x),

所以/(x)=-/(x+4),故/(x+4)=-/(x+8),即有/(x)=/(x+8),

綜上，/(X)的周期為8,且關于x=2對稱的奇函數(shù)，

由/(x)在［0,2］上單調(diào)遞減，結合上述思路點撥知：在［2,6］上遞增，［6,10］上遞減，［10,12］上遞增,

所以/(x)在［0,12］的大致草圖如下：

要使/(x)=加在［0,12］上恰好有4個不同的實數(shù)根，即/(x)與了=加有4個交點,

所以，必有兩對交點分別關于x=2,x=10對稱，則西+演+匕=24.

【鞏固練習2】已知函數(shù)/(x)(xeR)滿足：/(x+1)是偶函數(shù)，若函數(shù)了=,-2x-3|與函數(shù)y=/(x)

圖象的交點為(毛,匕)，化,外)，…，(乙,乂“)，則橫坐標之和西+馬+…+/=()

A.0B.mC.2mD.4m

【答案】B

【解析】由/(x+1)是偶函數(shù)，知函數(shù)/(%)的圖象關于直線％=1對稱，函數(shù)

>=,—2x——《，其圖象也關于直線i=1對稱，

所以函數(shù)歹=,一2、一3］與函數(shù)>=/(%)圖象的交點也關于直線x=l對稱，當m為偶數(shù)時，其和為

2x-y=m；當加為奇數(shù)時，其和為2”21+1=加.

【鞏固練習3】已知函數(shù)/(x)的定義域為R,若g(x)=l-/(2x-1)為奇函數(shù)，且直線

(2加+1卜+(1—加)j+3加=0與/(X)的圖象恰有5個公共點(占,乂)，(巧，％)，(工3，%)，(//4)，

5

(%,%),則Z(x,--％)=.

i=l

【答案】-10

【解析】g(x)=l-f(2x-l)為奇函數(shù)，則有g(x)+g(-x)=o,

即1一/(2x-l)+l-一2x-l)=0,可得/(2x-l)+/(-2x—l)=2,

2x-l+；2x-l)=t,所以函數(shù)/(x)的圖象關于點(-1,1)對稱.

直線(2加+l)x+(l—加)*>+3加=0,Fp(2x-^+3)m+x+y=0,

f2x—y+3=0fx=-1/、

由.c,解得,,所以直線過定點-1,1,

[x+y=0[y=l

即直線(2加+l)x+(l-m)-y+3加=0關于點(—1,1)對稱.

直線(2加+1)%+(1-m)-歹+3加=0與/(x)的圖象恰有5個公共點(石,必)，(工2，%)，(工3，%)，

555

(匕,乂)，(％，%),則有Zx，=5x(-1)=一5,X%=5x1=5,Z(x,-%)=T0.

i=lz=li=\

【鞏固練習4】定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(f)+/(x)=0,/(f)=/(x+2)；且當xe[0,l]時,

f(x)=xi-x2+x.貝IJ方程4/(x)-x+2=0所有的根之和為()

A.6B.12C.14D.10

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可得/(x)為奇函數(shù)，其圖象關于直線x=l對稱且一個周期為4,再根據(jù)當xe[0,l]

時，f(x)=x3-x2+x,求導分析單調(diào)性，從而畫出簡圖，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解零點和即可.

【詳解】??"(-x)+/(x)=0,為奇函數(shù)，又?."(-無)=/(尤+2),/(X)的圖象關于直線

x=l對稱.

當xe[0,l]時，/(X)=3X2-2X+1>0,單調(diào)遞增.

由/(-x)=/(x+2)=-/(x),即有/(x+4)=-/(x+2),

所以/(x+4)=/(x),即函數(shù)/(%)的一個周期為4,

由/(-x)+/(x)=0可得，/(-x)+/(x+4)=0,所以/(x)的圖象關于(2,0)中心對稱.

函數(shù)/(x)的簡圖如下：

其中W=2,由/(x)=：(x-2),.?.所有實根之和為(%]+x5)+(z+苫4)+毛=4+4+2=10

【鞏固練習5】已知定義在R上的偶函數(shù)/(x)滿足"x)=〃2-x),當xe[0,l]時，/(x)=x.函數(shù)

g(x)=x2-2x+2(-l<x<3),則/(x)與g(x)的圖像所有交點的橫坐標之和為()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】首先根據(jù)題干條件確定抽象函數(shù)/(x)的對稱性和周期性，然后根據(jù)/(x)的性質(zhì)及g(尤)

的解析式畫出〃無)與g(x)在(-1,3)的圖像，觀察圖像，結合函數(shù)對稱性求解所有交點橫坐標之

和.

【詳解】由/■COu/Q-x),可知函數(shù)/(X)的圖像關于直線x=l對稱，

又‘?'/(x)為偶函數(shù)，；./(x)=/(2-x)=+2),故函數(shù)/(x)是周期函數(shù)，且周期7=2,

g(x)=Q*T(-1<x<3),二g(x)的圖像也關于直線x=l對稱，

當lWx<2時，/(x)=2-x,g(x)=el~x,i^h(x)-2-x-^~x,(\<x<2),

則〃(x)=-l+eiT<0,即函數(shù)〃(x)在［1,2］為減函數(shù)，

又〃(1)=0,即〃(x)WO,即函數(shù)/(x),g(無)的圖像在(1,2)無交點，

貝I函數(shù)/(x),g(x)在(T3)上的圖像有3個交點，一個在直線x=l上，另外兩個關于直線x=l對稱，

則三個交點的橫坐標之和為3

【鞏固練習6】定義在R上的函數(shù)/(x)滿足/(-x)+〃x)=0J(x)=〃2-x)；且當xe［O,l］時，

f(x^x3-x2+x.貝歷程7〃尤)-》+2=0所有的根之和為()

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【思路點撥】根據(jù)題中所給的函數(shù)性質(zhì)可得/(x)的周期為4且關于(2,0),再畫圖思路點撥丁=/(x)

與>=g(x-2)的交點對數(shù)，進而根據(jù)對稱性可得根之和即可.

【詳解】由/(f)+/(x)=0J(x)=/(2-x)可得/(x)為奇函數(shù)，且關于x=l對稱.

又由題意f(-x)=-f(x),故/(x)=/(2-x)=-/(2+x),所以/(x)關于(2,0)對稱，且

/(x)=-/(2+x)=/(4+x),故/(x)的周期為4.

又當xe［O,l］時，/(x)=x3-x2+x,此時/'(%)=3x?-2x+l=+-|>0,故/(x)=x，-x?+x

在xe［O,l］為增函數(shù).綜上可畫出y=/(x)的函數(shù)部分圖像.

又方程7/(x)-x+2=0的根即y=/(x)與y=g(x-2)的交點，易得在區(qū)間卜5,2),(2,9］上均有3個

交點，且關于(2,0)對稱，加上(2,0)共7個交點，其根之和為3x2x2+2=14

【題型5】由對稱性解函數(shù)不等式

/核心?技巧/

一、具有中心對稱的函數(shù)往往需要先移項，再脫掉

二、具有軸對稱的函數(shù)脫掉，了后注意加絕對值符號

11,已知定義在R上的函數(shù)啟)在［0,+8)上單調(diào)遞增，且函數(shù)大X)—1為奇函數(shù)，

則人3x+4)+/(l—x)<2的解集為.

【答案】

【解析】函數(shù)/(x)T為奇函數(shù)|函數(shù)/(%)關于(0,1)中心對稱|/(%)+/(-%)=2

|f(l-x)+f(-l+x)=2,又/(X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，；.f(x)在(-00,+oo)上單調(diào)遞增，

/(3^4)+f(l-x)<2n/(3x+4)+2-/(-1+x)<2=>/(3x+4)</(x-l),3x+4vx—1,

,5

/.2x<-5|x<—.

2

12.已知函數(shù)歹=/(xT)的圖象關于x=l對稱，且對歹=/(x),xeR,當項,％e(一*0］時,

;二<0成立，若f(2ax)<f(2x2+1)對任意的xeR恒成立，則a的可取值為()

A.-V2B.-1C.1D.V2

【答案】BC

【解析】???/（x）向右平移一個單位—.=/（x）的圖象關于x=0對稱，/（X）是偶函數(shù)，

易證/（x）在（-00,0］上遞減，則/（X）在（0,+00）上遞增,

貝|Jf（2ox）<f（2x2+1）n12axi<|2x2+l|=2x2+1,

-2x2-1<2ax<2x2+1,對xeR恒成立，

由-2x2-1<lax,得2^2+lax+1>0n△<0n-V2<a<V2

由2ax<2x2+1,得2》2—2ax+1>0△V00—V2<a<V2

綜上，-6<a<C,故BC成立.

【鞏固練習1】已知函數(shù)N=/（3x+l）為偶函數(shù)，且在［0,+。）上為增函數(shù)，若〃x）</（2x+l）,則

x的范圍是.

【答案】x<-I或x>；

【分析】結合了=/（3x+l）的奇偶性與增減性，可得函數(shù)/（X）的對稱性與單調(diào)性，結合對稱性與單

調(diào)性的性質(zhì)計算即可得解.

【詳解】由函數(shù)y=/（3x+l）為偶函數(shù)，故〃3x+l）=/（-3x+l）,即/（x+l）=/（-x+l）,

則/（無）的圖象關于x=l對稱，由了=/（3x+l）在［0,+8）上為增函數(shù)，

則3x+le［l,+s）,即/（x）在［1,+co）上為增函數(shù)，則/（無）在（-<?」）上為減函數(shù)，

則對/（x）</（2x+l）可得+,即卜-1|<國,

則（X-1『<（2X）2,化簡得（3尤一1乂丫+1）>0,即X<—1或X>；.

故答案為：X<—1或X>§.

【鞏固練習2】（重慶八中）已知y=/（x+l）為偶函數(shù)，若對任意a,6e［L+°°）,總有

“伍）+刈⑷（阿⑷+為伍）成立,則不等式/（2“</（4）的解集為（）

A.（-1,2）B.（-2,2）

-

c（12^D-rk1d2

【答案】A

【詳解】由個（6）+勿"（a）〈十（。）+<0）可得的'（b）-Z/（6）+<W（a）-<（a）,

即(。一6)/(b)<(a-b)〃a),也即(。一6)[/伍)一/(。)]<。，

當a>6?l時，f(a)>f(b),當6>a?l時，f(b)>f(a),

所以函數(shù)/(x)在[1,+⑹單調(diào)遞增，

又因為y=/(x+l)為偶函數(shù)，所以/(x)的圖象關于x=l對稱，

所以/(x)在(-叫1]單調(diào)遞減，且/(4)=/(-2),

所以由〃2尤)</(4)得-2<2x<4解得一1<X<2

【題型6】由解析式看出對稱性

/核心?技巧7

一、具有中心對稱的函數(shù)往往需要先移項，再脫掉，尸

二、具有軸對稱的函數(shù)脫掉，尸后注意加絕對值符號

2

13.(安徽部分高一上期末)已知函數(shù)〃x)==7,貝I

1+3

/(-2024)+--+/(-I)+/(0)+/(I)+/(2)+--+/(2024)=()

A.4047B.4048C.4049D.4050

【答案】C

【分析】由已知，得y(-x)+/(x)=2,

則/(-2024)+-..+/(-1)+/(0)+/(1)+/⑵+…+/(2024)=2x2024+/⑼，即可求得結果.

2??x

【詳解】因為函數(shù)/(x)=；7，所以=

1+3'l+3-v3工+1

,2(1+3”)

所以〃r)+〃x)=，=2,

1+3

所以/(-2024)+-??+/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)+…+/(2024)=2x2024+/(0)=4048+1=4049.

14.已知函數(shù)/(無)=上^,則下列敘述正確的是()

A./(x)的值域為(-雙2)口(2,+。)B./(x)在區(qū)間(-雙2)上單調(diào)遞增

C./(x)+/(4-x)=4D,若xe{x|x>2,xeZ},則/(x)的最大值為9

【答案】ACD

【分析】由/@)=生==2+工的圖像可以得出/(x)的性質(zhì)，即可判斷選項.

x—2x-2

【詳解】因為/(x)=生?=2+1的圖像如下圖所示，由圖像可知，/(x)的值域為

(-S,2)U(2,+8),故A正確；

/(X)在區(qū)間(-8,2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞減，故B錯誤；

所以當xe{x|x>2,xeZ}時，/(x)^=/(3)=9,故D正確；

由圖像可知，/(x)的圖像關于點(2,2)對稱，所以/(x)+/(4-x)=4,故C正確.

孫：I

【鞏固練習1】已知函數(shù)/(X)=O?+6X-2,若“2023)=10,則〃一2023)=.

【答案】-14

【分析】根據(jù)/(2023)=10得至I020233+20236=12,然后求/(-2023)即可.

【詳解】因為“2023)=10,所以0(2023)3+20236-2=10,則"0233+20236=12,

/(-2023)=-a-20233-20236-2=-(a-20233+2023b)-2=-14.

【鞏固練習2】已知函數(shù)/(x)=V—2x+a(3I+3T+i)與x軸有唯一交點，貝版=

A.--B.-C.5D.1

232

【答案】C

【詳解】因為/(x)=f—2x+a(3i+3r+，=(x—1)2+。(3M+3-9)-1,設f=x-i,則

/(x)=g")="+。(3',因為g(7)=g(-f),所以函數(shù)g(f)為偶函數(shù)，若函數(shù)/(x)有唯

一零點，則函數(shù)g")有唯一零點，根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可知，只有當，=0時，g(/)=0才滿足題意，

即x=l是函數(shù)/(x)的唯一■零點，所以2a-l=0,解得a=g,故選：C.

【題型7】由解析式看出對稱中心再解函數(shù)不等式

/核心?技巧/

具有中心對稱的函數(shù)往往需要先移項，再脫掉，尸

15.已知函數(shù)/(x)=^+x+l,若/(1一加)+〃2間>2,則用的取值范圍是()

A.(-1,+<?)B.(1,+℃)C.D.(一8,1)

【答案】A

【分析】由題意構造函數(shù)g(x)=/(x)-l=4^+x,首先得出g(x)的單調(diào)性與奇偶性，然后將條件

表達式等價轉換即可得解.

【詳解】令g(x)=/(x)-l=1^+x,因為g(x)的定義域為R關于原點對稱，且

g(-x)=V-x+(-x)=-Vx-x=-g(x),

所以g(x)是R上的奇函數(shù)，

注意到森函數(shù)y=五/=x都是R上的增函數(shù)，

所以g(x)是R上的增函數(shù)，

而f(l-m)+f(2m)>2<=>/(l-m)-l>-^/(2m)-l]o>-g(2m)=g(-2m),

所以1一機〉一2機，解得冽>一1,

綜上所述，m的取值范圍是(-1,田).

16.已知函數(shù)/(%)=」^一2024”一2024X+4,若/-6)+〃/)>8,則實數(shù)。的取值范圍是

2024

【答案】(-3,2)

【詳解】令g(x)=/(x)—4,g(-x)=-g(x),所以g(x)為奇函數(shù),不等式/(a-6)+/(/)>8,

等價于/(?-6)-4>-(/(?2)-4),即g(a-6)>-g(a2),因為g(x)為奇函數(shù)，所以

g(a-6)>g(-a2),因為王，，—2024',—2024x均為減函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，g(x)為減

函數(shù)，貝弓。一6〈一Q?,解得：-3<a<2

【鞏固練習1】(遼寧省名校聯(lián)盟聯(lián)考)已知函數(shù)/。)=擊-/+2,則不等式+-2)<6

的解集為()

A.(-1,2)B.(-c?,-l)u(2,+co)

C.(-2,1)D.(一8,-2)U(l,+s)

【答案】D

【分析】將函數(shù)/(X)變膨為/(x)=j75Px3+3,設g(x)=j7A■-x3,從而得出g(x)為奇函數(shù)，進

而得到/(-x)=6-/(x)，由/(加2)+f(m-2)<6可得f(m-2)</(一/)，然后分析出/(%)的單調(diào)性,

得出答案.

【詳解】/(x)=---——x3+3,設g(x)=^~~-——x3,

3X+123、+1

1一3一“、V-］

因為且(一1)=-^----(-X)3=----+1?=_g(x),所以g(x)為奇函數(shù)，

3-x+l3"+1

則/(—X)+/(x)=g(r)+3+g(x)+3=6.即/(—x)=6-/(x)

2.

又>>=-工在R上均為減函數(shù)，所以/(x)在R上為減函數(shù)，

3+1

由/(加2)+/(加一2)<6得/(加一2)<6—加2)=/(_加2),即/(加一2)</(—加之)

所以m-2>-m2,解得加<一2或加>1.

【鞏固練習2】已知函數(shù)/(x)=l—3，—2x+4,其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，若

3

/(a-6)+/(/)>8,則實數(shù)a的取值范圍是()

A.(2,+8)B.(-3,2)C.(一8,-3)D.(-oo,-3)U(2,+oo)

【答案】B

［思路點撥】觀察可發(fā)現(xiàn)〃x)-4為奇函數(shù)，所以將/(°-6)+/(/)>8變形為

/(a-6)-4>-(/(a2)-4),結合函數(shù)單調(diào)性解不等式即可

【詳解】令g(x)=/(x)—4="—3'—2x,g(-=——3-'+2%=3工——+2x=—g(x),

所以g(x)為奇函數(shù)，不等式/("6)+/(/)>8,等價于/(”6)-4>-(/(儲)-4),即

g(a—6)>—g(<?2),因為g(x)為奇函數(shù)，所以g(a—6)>g(—/),因為［■,—3*,-2x均為減函數(shù)，根

據(jù)單調(diào)性的性質(zhì)可知，g(x)為減函數(shù)，則a-6<-/,解得：-3<a<2

【題型8】由解析式看出對稱軸再解函數(shù)不等式

核心?技巧

具有軸對稱的函數(shù)脫掉，尸后注意加絕對值符號

17.已知函數(shù)/(x)=2工-2+2*2,則〃x-l)>/(2x)的解集為.

【答案】［3

【分析】由解析式得〃4-x)=/(x),即/(x)關于x=2對稱，再應用定義求證xe(2,+8)上f(x)單調(diào)

性，結合對稱性及不等式有卜-1-2|>|2尤-2|,即可求解集.

【詳解】由/(》)=與+2一，則“4—》)=與+22一'=27+與=/(》)，

222

所以/(%)關于x=2對稱，

當xe［2,+co),令國X22,則/⑷―/(%)=(9+2-)—(白+2，~)

=(2^-2^)(1-^1^),而2』一2>2”—21—>0,

所以/(再)>/(%2),即/(X)在Xe［2,+co)上遞增，

根據(jù)對稱性知：/(x)在xe(-s,2］上遞減，

由?j|x-l-2|>|2x-2|,即(X-3)2>4(X-1)2,

所以3/一2》一5<0,即(3x-5)(x+l)<0,可得故不等式解集為［-1,：］

18.(山東青島三模)已知函數(shù)/(力=卜2—24(3~+3I),則滿足不等式/(2“</(4)的x取

值范圍為()

A.(-*2)B.(-1,2)C.(2,+功D.(1,2)

【答案】B

【分析】首先推導出“X)關于直線x=l成軸對稱，令〃(x)=(x-l)2-l,g(x)=3i+3n),對"(x),

g(x)求導，可得f(x)=〃(x)-g(x)的單調(diào)性，結合單調(diào)性與對稱性將函數(shù)不等式轉化為自變量的不等式，

解得即可.

【詳解】函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(X)=(X2-2X+1-1)-[3-+3-(―]=[(x-I)2-1].[3、T+3一(1],

所以/(-%+l)=/(x+1)=(x2-1)(3*+3-工)，

所以/(無)關于直線x=1成軸對稱，

因為3~+3一(")>2曲一?3-(1)=2,當且僅當3*T=3一(1),x=1時取等號，

令"(X)=(x-)-1,g(x)=31+3一(1),

[2(X7)_[

則u\x)=2(x-1),g\x)=3-_3-(f=1,

當x>2時，u'(x)>0,g'(x)>0,”(x)單調(diào)遞增，g(x)單調(diào)遞增,

所以"(“)>"⑵=0,g(x)>0,所以/'(力="'(力8任)+"(力8'(》)>0,

所以/(x)="(x),g(x)在區(qū)間(2,+8)上單調(diào)遞增，則在區(qū)間(-8,0)上單調(diào)遞減，

又當0<x<2時〃(x)<0,g(x)>0,所以/(x)<0,

當x>2或x<0時"(x)>0,g(x)>0,所以/(x)>0,且/(0)=/(2)=0,

所以要使得/(2x)</(4)=〃-2)成立，則-2.<2x<4,解得-l<x<2,

故不等式/(2x)</(4)的x取值范圍為(-1,2).

故選：B.

【鞏固練習1】已知定義在R上的函數(shù)/(%)在(一8,2］上單調(diào)遞增，若函數(shù)f(x+2)為偶函數(shù)，

且/(3)=0,則不等式獷Q)>0的解集為()

A.(0,3)B.(-oo,0)U(1,3)

C.(-oo,0)U(3,+oo)D.(0,1)U(3,+8)

【答案】B

【分析】由已知，函數(shù)f(x)關于％=2對稱，結合題意作出函數(shù)的大致圖象，利用數(shù)形結合即可求解.

【詳解】由函數(shù)內(nèi)>+2)為偶函數(shù)，可知函數(shù)f(x)關于％=2對稱，

又函數(shù)/'(乃在(一8,2］上單調(diào)遞增，知函數(shù)/■(%)在(2,+8)上單調(diào)遞減，

由f(3)=0,知f(l)=o,作出函數(shù)f(x)的大致圖象，如下：

由圖可知，當x<0時，/(x)<0,則xf(x)>0;

當0<x<1時,f(x)<0,則<0;

當1<x<3時,/(x)>0,則%/(%)>0;

當％>3時，/(x)<0,則x/(x)<0;

所以不等式好(x)>。的解集為(一8,0)u(1,3)

【鞏固練習2】已知函數(shù)/(x)=x2+2*+2r,若不等式/。―")</(2+巧對任意xeR恒成

立，則實數(shù)。的取值范圍是