高中人教B版數(shù)學(xué)必修四3.1.1《兩角和與差的余弦》聽評課記錄1一.基本信息

聽課日期：2023年10月26日

聽課時間：上午第二節(jié)課（45分鐘）

授課教師姓名：王明

學(xué)科/課程名稱：高中數(shù)學(xué)

班級/年級：高一年級

教學(xué)主題或章節(jié)：人教B版數(shù)學(xué)必修四3.1.1《兩角和與差的余弦》

聽課人姓名：李強

聽課人職務(wù)：數(shù)學(xué)教研組長

聽課目的：教學(xué)研究、教師培訓(xùn)

二.課堂觀察記錄

1.教學(xué)準(zhǔn)備

教師的教學(xué)計劃清晰，教學(xué)目標(biāo)明確，圍繞“兩角和與差的余弦公式”的推導(dǎo)和應(yīng)用展開。教學(xué)資源準(zhǔn)備充分，教材使用為人教B版數(shù)學(xué)必修四，配套教具包括三角板和量角器，多媒體課件展示了公式推導(dǎo)過程和典型例題。教師提前準(zhǔn)備了預(yù)習(xí)學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生回顧同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和兩角和的余弦公式，為新課學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

2.教學(xué)過程

開始階段（導(dǎo)入新課的方式及效果）：教師通過復(fù)習(xí)提問“cos(α+β)的值如何計算”引入新課，通過設(shè)置情境“如何求30°+45°的余弦值”激發(fā)學(xué)生思考，導(dǎo)入自然，效果良好。

展開階段（教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用）：教師采用“講練結(jié)合”的方法，首先講解cos(α+β)的推導(dǎo)過程，通過幾何法和代數(shù)法兩種思路展開，幫助學(xué)生理解公式來源。在例題講解中，教師結(jié)合多媒體動態(tài)演示了公式的應(yīng)用，如cos(75°)的計算，并引導(dǎo)學(xué)生分組討論cos(α-β)的推導(dǎo)方法。課堂中穿插了學(xué)生自主練習(xí)環(huán)節(jié)，通過填空題和選擇題鞏固公式，教師巡視指導(dǎo)，及時糾正錯誤。

結(jié)束階段（總結(jié)歸納、布置作業(yè)）：教師帶領(lǐng)學(xué)生回顧本節(jié)課的核心內(nèi)容，強調(diào)公式的記憶要點和變形應(yīng)用，布置了基礎(chǔ)題和拓展題，要求學(xué)生完成教材P35練習(xí)題1-3題，并預(yù)習(xí)cos(α+β)的幾何證明方法。

3.師生互動

師生交流頻率較高，教師通過提問和追問引導(dǎo)學(xué)生思考，如“cos(α+β)與cosα、cosβ有什么關(guān)系？”等。學(xué)生參與度良好，約80%的學(xué)生能夠積極回答問題，課堂中出現(xiàn)了多次小組討論，如cos(α-β)公式的推導(dǎo)過程，學(xué)生通過合作完成證明，教師適時點撥。反應(yīng)情況方面，學(xué)生對于公式應(yīng)用環(huán)節(jié)表現(xiàn)出較高興趣，但在符號變形時存在混淆，教師通過對比講解幫助學(xué)生厘清。

4.學(xué)生學(xué)習(xí)狀態(tài)

學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性較高，尤其是在例題講解環(huán)節(jié)，學(xué)生認真記錄解題步驟，部分學(xué)生主動舉手分享自己的解題思路。專注度方面，課堂前20分鐘學(xué)生注意力集中，后15分鐘出現(xiàn)個別走神現(xiàn)象，可能與練習(xí)難度增加有關(guān)。合作學(xué)習(xí)情況良好，小組討論中學(xué)生分工明確，如一人負責(zé)公式推導(dǎo)，一人負責(zé)例題計算，教師通過觀察記錄評價了各小組的表現(xiàn)。

5.課堂管理

課堂紀(jì)律良好，學(xué)生遵守課堂規(guī)范，教師通過眼神和手勢進行非言語管理，有效控制了課堂秩序。時間分配合理，導(dǎo)入5分鐘，展開30分鐘，結(jié)束10分鐘，符合教學(xué)進度要求。課堂節(jié)奏控制得當(dāng)，在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)適當(dāng)放慢速度，在練習(xí)環(huán)節(jié)加快節(jié)奏，確保學(xué)生充分理解。

6.教學(xué)技術(shù)使用

教師有效利用了多媒體技術(shù)，通過動態(tài)演示公式推導(dǎo)過程，如用旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系展示cos(α+β)的幾何意義，增強了學(xué)生的直觀理解。課件中嵌入了互動題庫，學(xué)生通過平板電腦完成練習(xí)，教師實時查看答題情況，及時調(diào)整教學(xué)策略。技術(shù)對教學(xué)效果的支持作用明顯，尤其是公式應(yīng)用環(huán)節(jié)，多媒體展示了不同解題路徑，拓展了學(xué)生的思維空間。

三.教學(xué)效果評價

1.目標(biāo)達成

教學(xué)目標(biāo)明確且適切，符合高一年級學(xué)生的認知水平。預(yù)設(shè)目標(biāo)包括：理解cos(α+β)公式的推導(dǎo)過程；掌握并能應(yīng)用兩角和與差的余弦公式進行簡單計算；體會公式的幾何意義。從課堂表現(xiàn)和作業(yè)反饋來看，學(xué)生基本達到了預(yù)期目標(biāo)。在公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)，約85%的學(xué)生能夠跟隨教師思路理解幾何法和代數(shù)法的推導(dǎo)過程，課堂練習(xí)中，90%以上的學(xué)生能夠正確運用cos(α+β)公式計算簡單角度的余弦值。對于cos(α-β)公式的推導(dǎo)，由于時間限制，部分學(xué)生僅停留在小組討論層面，未能獨立完成，但教師通過預(yù)習(xí)作業(yè)彌補了這一不足。目標(biāo)達成度整體較高，但需關(guān)注個體差異，對理解較慢的學(xué)生提供額外支持。

2.知識掌握

學(xué)生對知識點的理解和記憶情況良好。公式推導(dǎo)過程通過幾何和代數(shù)兩種方法呈現(xiàn)，幫助學(xué)生建立了多角度的認知，部分學(xué)生能夠自主總結(jié)公式的結(jié)構(gòu)特征，如“余弦變積弦，符號看象限”的口訣。在技能掌握方面，學(xué)生能夠靈活應(yīng)用公式解決基礎(chǔ)題型，如計算cos(15°)、cos(105°)等，但在符號判斷和變形應(yīng)用上存在不足。課堂練習(xí)中，錯誤主要集中在兩項式合并同類項（如cos(45°+30°)≠cos45°+cos30°）和誘導(dǎo)公式混淆（如cos(α-β)與cos(β-α)的關(guān)系）。教師通過對比講解和變式練習(xí)（如cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)）強化了技能訓(xùn)練。課后作業(yè)反饋顯示，基礎(chǔ)題正確率達95%，拓展題正確率約為70%，表明學(xué)生掌握了核心知識，但綜合應(yīng)用能力仍需提升。

3.情感態(tài)度價值觀

課堂有效促進了學(xué)生的全面發(fā)展。在情感態(tài)度方面，教師通過設(shè)置挑戰(zhàn)性問題（如“cos(α+β)能否用sin(α+β)推導(dǎo)？”）激發(fā)好奇心，學(xué)生在探究過程中體驗了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的樂趣，部分小組主動提出改進證明思路，體現(xiàn)了學(xué)習(xí)主動性。公式的幾何意義演示環(huán)節(jié)，學(xué)生通過動手操作三角板，直觀感受了數(shù)學(xué)與圖形的聯(lián)系，增強了學(xué)習(xí)興趣。態(tài)度上，學(xué)生能夠認真參與小組討論，對有挑戰(zhàn)性的題目保持耐心，教師對學(xué)生的每一次嘗試都給予肯定，培養(yǎng)了堅韌的學(xué)習(xí)品質(zhì)。價值觀方面，教師通過例題展示公式在三角恒等變換中的應(yīng)用價值，如cos(α+β)cos(α-β)-sin(α+β)sin(α-β)=cos2α，引出后續(xù)倍角公式，滲透了數(shù)學(xué)的簡潔美和邏輯美。課堂小結(jié)時，教師強調(diào)“公式是工具，理解是關(guān)鍵”，引導(dǎo)學(xué)生形成科學(xué)的學(xué)習(xí)觀。此外，小組合作環(huán)節(jié)培養(yǎng)了學(xué)生的團隊意識，個別內(nèi)向?qū)W生通過同伴帶動提升了表達自信，體現(xiàn)了課堂的育人功能。

四、總結(jié)與建議

1.總體評價

本節(jié)課整體印象良好，是一節(jié)目標(biāo)明確、設(shè)計合理、互動性較強的數(shù)學(xué)課。王明教師對教材理解深入，能夠抓住cos(α+β)公式推導(dǎo)的核心方法，通過幾何與代數(shù)雙路徑講解，兼顧了不同思維風(fēng)格學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。最突出的優(yōu)點在于教學(xué)過程的層次性，從公式引入到例題應(yīng)用，再到小組探究，過渡自然，節(jié)奏把控得當(dāng)。特別是多媒體技術(shù)的運用，動態(tài)演示公式推導(dǎo)過程，將抽象的數(shù)學(xué)概念可視化，有效降低了理解難度，激發(fā)了學(xué)生的探究興趣。此外，教師注重情感引導(dǎo)，通過鼓勵性語言和小組評價機制，營造了積極向上的學(xué)習(xí)氛圍，學(xué)生參與度高，課堂氛圍活躍。在難點處理上，教師能夠預(yù)見學(xué)生可能出現(xiàn)的錯誤（如符號判斷），通過對比辨析和變式練習(xí)進行針對性突破，體現(xiàn)了較強的教學(xué)駕馭能力。

2.改進建議

針對存在的問題，提出以下改進措施：

（1）優(yōu)化公式推導(dǎo)環(huán)節(jié)的時間分配。當(dāng)前課堂中，cos(α+β)的幾何法推導(dǎo)耗時較多，導(dǎo)致cos(α-β)的推導(dǎo)僅作為討論任務(wù)，學(xué)生未能充分理解。建議下次課可簡化幾何法演示，聚焦代數(shù)法推導(dǎo)的核心步驟（cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ），將更多時間用于cos(α-β)的自主探究或?qū)Ρ冉虒W(xué)，確保學(xué)生掌握兩種公式的內(nèi)在聯(lián)系（如符號規(guī)律、結(jié)構(gòu)相似性）?？裳a充預(yù)設(shè)性問題，如“cos(π-α)與cos(α-π)是否相同？”，引導(dǎo)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)公式的周期性和對稱性，為后續(xù)學(xué)習(xí)sin(α±β)公式奠定基礎(chǔ)。

（2）加強技能訓(xùn)練的針對性。課堂練習(xí)中，學(xué)生對符號判斷和變形應(yīng)用仍顯薄弱，建議增加專項練習(xí)環(huán)節(jié)。例如，設(shè)計“符號判斷訓(xùn)練營”，通過填空題（如cos(α+β)的符號由______決定）強化認知；增設(shè)“變形速算”比賽，對比不同解題路徑（如cos(75°)=cos(45°+30°)vs.cos(105°)=cos(60°+45°)），提升運算效率。教師可編制“易錯題集”，在課前或課后分發(fā)，幫助學(xué)生鞏固薄弱點。

（3）提升小組合作的有效性。當(dāng)前小組討論多停留在形式層面，部分學(xué)生參與度不高。建議采用“任務(wù)驅(qū)動型”分組模式，明確每個成員職責(zé)（如記錄員、發(fā)言人、檢查員），并設(shè)置階梯式任務(wù)：基礎(chǔ)題獨立完成→小組討論解題思路→展示不同解法→總結(jié)易錯點。教師可巡回觀察，對討論偏離主題的小組及時介入，通過提問（如“為什么這里要取負號？”）引導(dǎo)思維聚焦。此外，可引入“互評機制”，讓學(xué)生評價同伴的解題步驟和符號使用，增強責(zé)任意識。

（4）拓展公式的應(yīng)用情境。課堂例題較為單一，建議增加實際應(yīng)用題，如“已知sinα=3/5（α為銳角），求cos(α+β)的值”，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系同角三角函數(shù)關(guān)系式，提升綜合運用能力?？裳a充“數(shù)學(xué)文化”元素，如介紹歐拉如何通過復(fù)數(shù)推導(dǎo)三角恒等式，激發(fā)學(xué)生探究欲望。

如何進一步提升教學(xué)質(zhì)量？建議教師加強集體備課，針對易混淆知識點（如cos(α±β)與sin(α±β)的符號規(guī)律）設(shè)計對比教學(xué)方案；鼓勵教師參加專題培訓(xùn)，學(xué)習(xí)“錯誤分析”教學(xué)法，通過典型錯誤案例講解，深化學(xué)生對公式的理解。同時，可引入“分層作業(yè)”機制，基礎(chǔ)題覆蓋全體學(xué)生，拓展題供學(xué)有余力者挑戰(zhàn)，實現(xiàn)差異化教學(xué)。

3.后續(xù)跟蹤

建議進行后續(xù)聽課跟進改進情況。計劃采取以下支持措施幫助教師成長：

（1）安排二次聽課，重點觀察改進措施的落實效果，特別是cos(α-β)公式的教學(xué)處理和技能訓(xùn)練環(huán)節(jié)的設(shè)計。課后開展深度評課，聚焦“問題是否解決”“效果如何”等核心指標(biāo)，避免泛泛而談。

（2）提供教學(xué)資源支持，推薦《高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)教學(xué)案例集》等文獻，幫助教師學(xué)習(xí)對比教學(xué)和分層作業(yè)的設(shè)計方法。可分享本節(jié)課的多媒體課件和學(xué)案模板，供教師