數(shù)學(xué)模型4圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)的應(yīng)用

模型解讀

橢圓的光學(xué)性質(zhì)從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線(xiàn)交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.

從雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)反射后，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交于雙曲線(xiàn)的

雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)

另一個(gè)焦點(diǎn)上.

拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)反射后,反射光線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的軸.

應(yīng)用專(zhuān)練

第1題［填空題］［人A選必一P140閱讀與思考變式］

題目：圓錐曲線(xiàn)具有豐富的光學(xué)性質(zhì)，

在人教版A版選擇性必修第一冊(cè)的閱讀與思考中提到了橢圓的光學(xué)性質(zhì)：

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線(xiàn)交于橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.

22

（如圖1）.如圖2,已知此為橢圓C囁+左=>b>0）的左焦點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

直線(xiàn)為橢圓C的任一條切線(xiàn),H為宜在1上的射影,則點(diǎn)H的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲性D.拋物線(xiàn)

變式1［填空題］

題目：圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)應(yīng)用非常廣泛,如圖所示,從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)F2

發(fā)出的光線(xiàn)通過(guò)雙曲線(xiàn)鏡面反射出發(fā)散光線(xiàn)，且反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)Fi.已

知雙曲線(xiàn)的離心率e=5,則當(dāng)入射光線(xiàn)F2P和反射光線(xiàn)PE互相垂直時(shí)（其中P為入射點(diǎn)）

NFiF2P=.

變式2［選擇題］

題目：如圖1所示，雙曲線(xiàn)具有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)鏡面

22

反射，其反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn).若雙曲線(xiàn)E:￡=l(a〉

azb2'

0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,從F2發(fā)出的光線(xiàn)經(jīng)過(guò)圖2中的A,B兩點(diǎn)反射后,

分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)。和。，且tanZCAB=-y,\BD\2^AD-BD,則雙曲線(xiàn)E的離心率為

變式3［解答題］

題目：已知橢圓C的焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)的比為2:1,焦距為2V1P為橢圓上

任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓。:久2+y2=1的兩條切線(xiàn)pa、PB,4B分別為切點(diǎn)，直線(xiàn)分

⑴求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求^MON面積的最小值；

(3)過(guò)點(diǎn)Q(0,l)的兩條直線(xiàn)乙,。分別與橢圓。相交于不同于點(diǎn)Q的。，E兩點(diǎn)，若。與?的

斜率之和為一2,直線(xiàn)

DE是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，若不過(guò)定點(diǎn)請(qǐng)說(shuō)明理由.

變式4［選擇題］

題目：拋物線(xiàn)具有以下光學(xué)性質(zhì)：

從焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后平行于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸.

該性質(zhì)在實(shí)際生產(chǎn)中應(yīng)用非常廣泛.如圖，從拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F發(fā)出的兩條光線(xiàn)a,

b分別經(jīng)拋物線(xiàn)上的A,B兩點(diǎn)反射，已知兩條入射光線(xiàn)與x軸所成銳角均為60。，

則兩條反射光線(xiàn)a'和b'之間的距離為()

A..——2V3B?=8-c.——4V3_D.——8V3

3333

第2題［選擇題］

題目：拋物線(xiàn)有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的光線(xiàn),經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)反射后，

反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P(2V2,5)且平行于y軸的一條光線(xiàn)射向拋物線(xiàn)C-.x2=

4y上的A點(diǎn),經(jīng)過(guò)反射后的反射光線(xiàn)與C相交于點(diǎn)B,則=()

7Q

A,B.9C.36D.-

22

第3題［填空題］

題目：

圓錐曲線(xiàn)光學(xué)性質(zhì)(如圖1所示)在建筑、通訊、精密儀器制造等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.如圖2,

一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)FiE的橢圓C與雙曲線(xiàn)C*構(gòu)成,一光線(xiàn)從左焦點(diǎn)Fi發(fā)出，

依次經(jīng)過(guò)C*與C的反射,又回到點(diǎn)尻歷時(shí)m秒;若將裝置中的C*去掉,則該光線(xiàn)從點(diǎn)居

發(fā)出，經(jīng)過(guò)C兩次反射后又回到點(diǎn)片歷時(shí)n秒.若。與C*的離心率之比為則T=

E

B

A

切Q0

圖2

第4題［多選題］

題目：用于加熱水和食物的太陽(yáng)灶應(yīng)用了拋物線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)：

一束平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的光線(xiàn),經(jīng)過(guò)拋物面

（拋物線(xiàn)繞它的對(duì)稱(chēng)軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，

集中于它的焦點(diǎn).用一過(guò)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的平面截拋物面，

將所截得的拋物線(xiàn)C放在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)稱(chēng)軸與x軸重合，

頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合.若拋物線(xiàn)C:y2=4%的焦點(diǎn)為F,0為坐標(biāo)原點(diǎn),

一條平行于x軸的光線(xiàn)k從點(diǎn)M射入,經(jīng)過(guò)C上的點(diǎn)A（＞i，yi）反射,

再經(jīng)過(guò)C上另一點(diǎn)B（%2，y2）反射后,沿直線(xiàn)。射出，則（）

A.C的準(zhǔn)線(xiàn)方程為％=-1

B.y/2=-2

C.若點(diǎn)則=?

D.設(shè)直線(xiàn)AO與C的準(zhǔn)線(xiàn)的交點(diǎn)為N,則點(diǎn)N在直線(xiàn)"上

第5題［填空題］

題目：應(yīng)用拋物線(xiàn)和雙曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，可以設(shè)計(jì)制造反射式天文望遠(yuǎn)鏡,這種望遠(yuǎn)鏡的

特點(diǎn)是,鏡銅可以很短而觀察天體運(yùn)動(dòng)又很清楚.某天文儀器廠(chǎng)設(shè)計(jì)制造的一種反射式望遠(yuǎn)

鏡,其光學(xué)系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示.其中，一個(gè)反射鏡POiQ弧所在的曲線(xiàn)

為拋物線(xiàn),另一個(gè)反射鏡MO2N弧所在的曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)一個(gè)分支.已知F1,F2

是雙曲線(xiàn)的兩個(gè)焦點(diǎn),其中F2同時(shí)又是拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),且,ZNBB=45°,tanzWF1F2=

；,ANF/2的面積為10,Q/2I=8,則拋物線(xiàn)方程為_(kāi)_____.

4

第6題［選擇題］

題目：智慧的人們?cè)谶M(jìn)行工業(yè)設(shè)計(jì)時(shí)，巧妙地利用了圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì)，

比如電影放映機(jī)利用橢圓鏡面反射出聚焦光線(xiàn),探照燈利用拋物線(xiàn)鏡面反射出平行光線(xiàn).

如圖，從雙曲線(xiàn)右焦點(diǎn)F2發(fā)出的光線(xiàn)通過(guò)雙曲線(xiàn)鏡面反射，_

且反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)居.已知入射光線(xiàn)F2P斜率為一?且F2P和反射光

線(xiàn)PE互相垂直（其中P為入射點(diǎn)）,則雙曲線(xiàn)的離心率為（）

第7題［解答題］

題目：圓錐曲線(xiàn)有著令人驚奇的光學(xué)性質(zhì),這些性質(zhì)均與它們的焦點(diǎn)有關(guān)如：

從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)處出發(fā)的光線(xiàn)照射到橢圓上,經(jīng)過(guò)反射后通過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；

從拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)處出發(fā)的光線(xiàn)照射到拋物線(xiàn)上，

經(jīng)反射后的光線(xiàn)平行于拋物線(xiàn)的軸.某市進(jìn)行科技展覽，

其中有一個(gè)展品就利用了圓錐曲線(xiàn)的光學(xué)性質(zhì),此展品的一個(gè)截面由一條拋物線(xiàn)Q和一個(gè)

“開(kāi)了孔”的橢圓C2構(gòu)成（小孔在橢圓的左上方）.如圖,橢圓與拋物線(xiàn)均關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，

且拋物線(xiàn)和橢圓的左端點(diǎn)都在坐標(biāo)原點(diǎn),FL為橢圓C2的焦點(diǎn)，同時(shí)&也為拋物線(xiàn)J

的焦點(diǎn),其中橢圓的短軸長(zhǎng)為28,在F2處放置一個(gè)光源，

其中一條光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓兩次反射后再次回到鼻經(jīng)過(guò)的路程為8.由F2

照射的某些光線(xiàn)經(jīng)橢圓反射后穿過(guò)小孔，再由拋物線(xiàn)反射之后不會(huì)被橢圓擋住.

(1)求拋物線(xiàn)Q的方程；

⑵若由F2發(fā)出的一條光線(xiàn)經(jīng)由橢圓C2上的點(diǎn)P反射后穿過(guò)小孔,再經(jīng)拋物線(xiàn)上的點(diǎn)Q

反射后剛好與橢圓相切,求此時(shí)的線(xiàn)段QFi的長(zhǎng)；

⑶在⑵的條件下,求線(xiàn)段PQ的長(zhǎng).

第8題［選擇題］

班級(jí)物理社團(tuán)同學(xué)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的現(xiàn)象:從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)

經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個(gè)焦點(diǎn)處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，解決下面問(wèn)題：

22

已知橢圓C的方程為裝+言=1,其左、右焦點(diǎn)分別是尻，F(xiàn)2,直線(xiàn)1與橢圓C切于點(diǎn)P,

且|PF1|=6,過(guò)點(diǎn)P且與直線(xiàn)1垂直的直線(xiàn)m與橢圓長(zhǎng)軸交于點(diǎn)Q,則熙｝=()

第9題［選擇題］

拋物線(xiàn)有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后，

沿平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的方向射出.反之，

平行于拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的入射光線(xiàn)經(jīng)拋物線(xiàn)反射后必過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn).在拋物線(xiàn)%2=4y中,

一平行于y軸的光線(xiàn)。射向拋物線(xiàn)上的點(diǎn)M,反射后反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F射向

拋物線(xiàn)上的點(diǎn)N,再反射后又沿平行y軸方向的直線(xiàn)12射出.則直線(xiàn)h與12

之間的最小距離為()

A.4B.2C.8D.16

第10題［填空題］

橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì):從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)出發(fā)的光線(xiàn)，經(jīng)橢圓反射后,反射光線(xiàn)經(jīng)過(guò)橢圓的

另一個(gè)焦點(diǎn).根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下題:現(xiàn)有一個(gè)水平放置的橢圓形臺(tái)球盤(pán)，滿(mǎn)足方程

22

3+3=1；點(diǎn)4B是它的兩個(gè)焦點(diǎn).當(dāng)靜止的小球從點(diǎn)4開(kāi)始出發(fā)，沿60。角直線(xiàn)運(yùn)動(dòng),經(jīng)橢圓

86

內(nèi)壁反射后再回到點(diǎn)a時(shí),小球經(jīng)過(guò)的路程為.

,切線(xiàn)

AB

第1題

答案:A

解析：設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為尸2,過(guò)后作切線(xiàn)1的垂線(xiàn)，垂足為

Ho由橢圓光學(xué)性質(zhì)，反射光線(xiàn)過(guò)尸2,且|&"|?尸2"|=爐(橢圓切線(xiàn)性質(zhì))。又因

。為0尸2中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)定理，\0H\=||F2H|,故|。”|=。(定值)，點(diǎn)”的軌跡是以

。為圓心、a為半徑的圓。

變式1

答案：arctan|

解析：雙曲線(xiàn)離心率e=5,即2=5,c=5a,b=2遍a。設(shè)|P&|=|尸產(chǎn)2|二幾，由

雙曲線(xiàn)定義血一幾=2a。入射光線(xiàn)與反射光線(xiàn)垂直，即乙0。尸2=90°,故+足二

22222==

(2c)=100a0聯(lián)立得(m—n)+2mn=100a,mn=48aocos乙F#2P~

又TH=71+2a,代入71(71+2a)=48a2,解得幾=6a,故cos/FiF2P=黑=|,乙F/2P=

arccos-3=4arctan-

53o

變式2

答案：B

解析：由tanzCAB=-裝，得8$Z乙43=一卷。設(shè)|4B|=13k,\AC\=Sk,\BC\=

12k。由|BD|2=.|BQ|,得|BD|=M0,即。為AB中點(diǎn)。雙曲線(xiàn)中，14^1一

|^|=2a,\BF2\-\BF1\=2a,兩式相加得MBI+<世|-(M居I+出川)=4a。由光

學(xué)性質(zhì)，MF/=MC|=5匕|BF/=|BD|==(，MF2I=5k+2a,出尸2|=

手+2a,代入得(5k+2a+手+2a)-(5k+手)=4a,恒成立。在4

22

4F/2中，尸#21=2c,由余弦定理尸/2『=\AFt\+\AF2\-2|FF1|?

\AF2\cos^FrAF2,即4c2=251+(5k+2a)2-2-5人(5卜+2砌?(一卷)，化簡(jiǎn)得c?=

||a2,離心率e=go

變式3

解：(1)

長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)比為2:1,即2a=2x2b,a—2b,焦距2c=2g，c—V3o由a?=

22

b+c,得4廬=廬+3,^2—1,a2-4。

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+y2=1

4

(2)設(shè)P(x(),yo),圓。的切點(diǎn)弦AB方程為xox+y0y=1,得M(二,0),N(0,-).面積S=

汽。yo

就看。由橢圓方程資+萬(wàn)=1N2?等?仇|=|&yo|,故島y。W1,S>|0

故^MON面積最小值為：

(3)設(shè)。(冗￡(%2，力)，直線(xiàn)DE方程y=kx+m,代入橢圓得(1+4/c2)%2+8kmx+

2

4m—4=Oo由的i+ki2——2,即江二+也二=—2,化簡(jiǎn)得(々％i+m—l)x2+(攵X2+

m—I)/=一2Kl%2，代入韋達(dá)定理得利——k—1,故直線(xiàn)DE為y-kx—k—1-k(x—

1)-1,過(guò)定點(diǎn)(1,-1)。

變式4

答案：D

解析：拋物線(xiàn)/=4x焦點(diǎn)F(l,0),入射光線(xiàn)與x軸夾角60。，方程為y=±75(久-

1)0聯(lián)立卜得3(久一1)2=4%,尤=3或％=士對(duì)應(yīng)4(3,2g),

[yz=4%3

嗚-竽)。反射光線(xiàn)平行于無(wú)軸，方程為y=2遮和y=-竽距離為2遮-(-爭(zhēng)=

8V3

O

3

第2題

答案:D

解析：平行于y軸的光線(xiàn)過(guò)P(2VX5),與拋物線(xiàn)/=4y交于4(2魚(yú),2)。拋物線(xiàn)焦點(diǎn)

%2=4y

F(0,l),反射光線(xiàn)過(guò)Z和尸，方程為y=+1=.%+1。聯(lián)立，V2/得％2-

2V2—04v=—%_|_1

U4

22

V2x—4=0,x1=2V2,%2=-B(—V2,|),\AB\=J(3V2)+(|)=1o

第3題

答案：f

6

解析：設(shè)橢圓離心率e＞雙曲線(xiàn)離心率62=

3e「橢圓長(zhǎng)軸2的，雙曲線(xiàn)實(shí)軸2a2。光線(xiàn)經(jīng)橢圓反射路程為4al(兩次反射),經(jīng)雙曲

線(xiàn)和橢圓反射路程為2a2+

2al(雙曲線(xiàn)反射路程2a2,橢圓反射路程2%)。時(shí)間比等于路程比，：=/嗎=

￡1

私+”由4=豆，e2=￡=3q,何。2=三，故；7=次+5=:。

第4題

答案：AD

解析：

A.拋物線(xiàn)V=4%準(zhǔn)線(xiàn)方程》=-1,正確；

B.設(shè)A(*yi),B(洛丫2)，反射光線(xiàn)過(guò)焦點(diǎn)F(1,O)，故kAF=kBF，即身=

44

券，化簡(jiǎn)得%丫2=-4,錯(cuò)誤；

六1

C.M(2,1),入射光線(xiàn)y=l,交拋物線(xiàn)于反射光線(xiàn)過(guò)F(1,O),方程y=x+；,

433

交拋物線(xiàn)于B(4,—4),=?，錯(cuò)誤；

4

D.直線(xiàn)4。方程y=與準(zhǔn)線(xiàn)％=-1交于N(-1,一3),反射光線(xiàn)BF方程y=谷。一

yiyi>2i

4

1),代入y,2=-4，得N在BF上，正確。

第5題

答案：y2-32%

解析：ANF#2中,^NF2F1=45°,tanzNF/2=:面積10。設(shè)WBI=租，|NFJ=

4

22

n,由工TH?2c?sin45°=10,"0尸之二1sin+cos=1,得sin4NF/2=J=,

2COSZJVF1且41zV17

COSNNF1F2=4=0由正弦定理一--二」一二---,NF1NF2=135°-

11

乙V17sinz.NF1F2sin45°sinz.F1NF2乙

乙NF-sin乙F1NF2=sin(135°-ZNFF)=—,解得c=

1234

80拋物線(xiàn)焦點(diǎn)6(8,0)，方程y2=32XO

第6題

答案：D

解析：入射光線(xiàn)F2P斜率為-8，與反射光線(xiàn)PE垂直，故反射光線(xiàn)斜率為白，"E=

90°o設(shè)|PBI=粗，仍尸11="，由雙曲線(xiàn)定義九一租=2a。在APFiB中，乙PF2F1=

30°,ZPF1F2-60°,由正弦定理三百==二￡^,得m=V^c,n=c,代入n-

m=2a,c—V3c=2a,離心率e=*=—=—(1+百)(舍去負(fù)號(hào))，故e=1+

a1-V3

V3o

第7題

解：(1)橢圓短軸長(zhǎng)2b=2V3,b—V3o光線(xiàn)經(jīng)橢圓兩次反射路程為4a=8,a=

2,橢圓焦點(diǎn)Fi(-l,0),F2(l,0),拋物線(xiàn)焦點(diǎn)6(—1,0)，方程y2=-4x。

⑵設(shè)Q(x,y),拋物線(xiàn)反射光線(xiàn)平行于％軸，故Q縱坐標(biāo)與入射點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，由拋物線(xiàn)定

義|QFI|=K+1。橢圓切線(xiàn)方程與反射光線(xiàn)相切，得x=1,IQ&I=2。

(3)P在橢圓上，Q在拋物線(xiàn)上，坐標(biāo)分別為(0,遍)和(1,2),距離|PQ|=

J(l-O)2+(2-V3)2=2V2o

第8題

答案：C