數(shù)學模型4圓錐曲線的光學性質(zhì)的應用

模型解讀

橢圓的光學性質(zhì)從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上.

從雙曲線的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線交于雙曲線的

雙曲線的光學性質(zhì)

另一個焦點上.

拋物線的光學性質(zhì)從拋物線的焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過拋物線上的一點反射后,反射光線平行于拋物線的軸.

應用專練

第1題［填空題］［人A選必一P140閱讀與思考變式］

題目：圓錐曲線具有豐富的光學性質(zhì)，

在人教版A版選擇性必修第一冊的閱讀與思考中提到了橢圓的光學性質(zhì)：

從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線交于橢圓的另一個焦點上.

22

（如圖1）.如圖2,已知此為橢圓C囁+左=>b>0）的左焦點,O為坐標原點，

直線為橢圓C的任一條切線,H為宜在1上的射影,則點H的軌跡是（）

A.圓B.橢圓C.雙曲性D.拋物線

變式1［填空題］

題目：圓錐曲線的光學性質(zhì)應用非常廣泛,如圖所示,從雙曲線右焦點F2

發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射出發(fā)散光線，且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點Fi.已

知雙曲線的離心率e=5,則當入射光線F2P和反射光線PE互相垂直時（其中P為入射點）

NFiF2P=.

變式2［選擇題］

題目：如圖1所示，雙曲線具有光學性質(zhì)：從雙曲線右焦點發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面

22

反射，其反射光線的反向延長線經(jīng)過雙曲線的左焦點.若雙曲線E:￡=l(a〉

azb2'

0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,從F2發(fā)出的光線經(jīng)過圖2中的A,B兩點反射后,

分別經(jīng)過點。和。，且tanZCAB=-y,\BD\2^AD-BD,則雙曲線E的離心率為

變式3［解答題］

題目：已知橢圓C的焦點在x軸上,長軸長與短軸長的比為2:1,焦距為2V1P為橢圓上

任意一點，過點P作圓。:久2+y2=1的兩條切線pa、PB,4B分別為切點，直線分

⑴求橢圓C的標準方程；

(2)求^MON面積的最小值；

(3)過點Q(0,l)的兩條直線乙,。分別與橢圓。相交于不同于點Q的。，E兩點，若。與?的

斜率之和為一2,直線

DE是否經(jīng)過定點？若過定點，求出定點坐標，若不過定點請說明理由.

變式4［選擇題］

題目：拋物線具有以下光學性質(zhì)：

從焦點出發(fā)的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸.

該性質(zhì)在實際生產(chǎn)中應用非常廣泛.如圖，從拋物線y2=4x的焦點F發(fā)出的兩條光線a,

b分別經(jīng)拋物線上的A,B兩點反射，已知兩條入射光線與x軸所成銳角均為60。，

則兩條反射光線a'和b'之間的距離為()

A..——2V3B?=8-c.——4V3_D.——8V3

3333

第2題［選擇題］

題目：拋物線有如下光學性質(zhì)：平行于拋物線對稱軸的光線,經(jīng)過拋物線上的一點反射后，

反射光線經(jīng)過拋物線的焦點.過點P(2V2,5)且平行于y軸的一條光線射向拋物線C-.x2=

4y上的A點,經(jīng)過反射后的反射光線與C相交于點B,則=()

7Q

A,B.9C.36D.-

22

第3題［填空題］

題目：

圓錐曲線光學性質(zhì)(如圖1所示)在建筑、通訊、精密儀器制造等領(lǐng)域有著廣泛的應用.如圖2,

一個光學裝置由有公共焦點FiE的橢圓C與雙曲線C*構(gòu)成,一光線從左焦點Fi發(fā)出，

依次經(jīng)過C*與C的反射,又回到點尻歷時m秒;若將裝置中的C*去掉,則該光線從點居

發(fā)出，經(jīng)過C兩次反射后又回到點片歷時n秒.若。與C*的離心率之比為則T=

E

B

A

切Q0

圖2

第4題［多選題］

題目：用于加熱水和食物的太陽灶應用了拋物線的光學性質(zhì)：

一束平行于拋物線對稱軸的光線,經(jīng)過拋物面

（拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面）反射后，

集中于它的焦點.用一過拋物線對稱軸的平面截拋物面，

將所截得的拋物線C放在平面直角坐標系中，對稱軸與x軸重合，

頂點與原點重合.若拋物線C:y2=4%的焦點為F,0為坐標原點,

一條平行于x軸的光線k從點M射入,經(jīng)過C上的點A（＞i，yi）反射,

再經(jīng)過C上另一點B（%2，y2）反射后,沿直線。射出，則（）

A.C的準線方程為％=-1

B.y/2=-2

C.若點則=?

D.設直線AO與C的準線的交點為N,則點N在直線"上

第5題［填空題］

題目：應用拋物線和雙曲線的光學性質(zhì)，可以設計制造反射式天文望遠鏡,這種望遠鏡的

特點是,鏡銅可以很短而觀察天體運動又很清楚.某天文儀器廠設計制造的一種反射式望遠

鏡,其光學系統(tǒng)的原理如圖（中心截口示意圖）所示.其中，一個反射鏡POiQ弧所在的曲線

為拋物線,另一個反射鏡MO2N弧所在的曲線為雙曲線一個分支.已知F1,F2

是雙曲線的兩個焦點,其中F2同時又是拋物線的焦點,且,ZNBB=45°,tanzWF1F2=

；,ANF/2的面積為10,Q/2I=8,則拋物線方程為______.

4

第6題［選擇題］

題目：智慧的人們在進行工業(yè)設計時，巧妙地利用了圓錐曲線的光學性質(zhì)，

比如電影放映機利用橢圓鏡面反射出聚焦光線,探照燈利用拋物線鏡面反射出平行光線.

如圖，從雙曲線右焦點F2發(fā)出的光線通過雙曲線鏡面反射，_

且反射光線的反向延長線經(jīng)過左焦點居.已知入射光線F2P斜率為一?且F2P和反射光

線PE互相垂直（其中P為入射點）,則雙曲線的離心率為（）

第7題［解答題］

題目：圓錐曲線有著令人驚奇的光學性質(zhì),這些性質(zhì)均與它們的焦點有關(guān)如：

從橢圓的一個焦點處出發(fā)的光線照射到橢圓上,經(jīng)過反射后通過橢圓的另一個焦點；

從拋物線的焦點處出發(fā)的光線照射到拋物線上，

經(jīng)反射后的光線平行于拋物線的軸.某市進行科技展覽，

其中有一個展品就利用了圓錐曲線的光學性質(zhì),此展品的一個截面由一條拋物線Q和一個

“開了孔”的橢圓C2構(gòu)成（小孔在橢圓的左上方）.如圖,橢圓與拋物線均關(guān)于x軸對稱，

且拋物線和橢圓的左端點都在坐標原點,FL為橢圓C2的焦點，同時&也為拋物線J

的焦點,其中橢圓的短軸長為28,在F2處放置一個光源，

其中一條光線經(jīng)過橢圓兩次反射后再次回到鼻經(jīng)過的路程為8.由F2

照射的某些光線經(jīng)橢圓反射后穿過小孔，再由拋物線反射之后不會被橢圓擋住.

(1)求拋物線Q的方程；

⑵若由F2發(fā)出的一條光線經(jīng)由橢圓C2上的點P反射后穿過小孔,再經(jīng)拋物線上的點Q

反射后剛好與橢圓相切,求此時的線段QFi的長；

⑶在⑵的條件下,求線段PQ的長.

第8題［選擇題］

班級物理社團同學在做光學實驗時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象:從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線

經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點處.根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)，解決下面問題：

22

已知橢圓C的方程為裝+言=1,其左、右焦點分別是尻，F(xiàn)2,直線1與橢圓C切于點P,

且|PF1|=6,過點P且與直線1垂直的直線m與橢圓長軸交于點Q,則熙｝=()

第9題［選擇題］

拋物線有如下光學性質(zhì)：由其焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后，

沿平行于拋物線對稱軸的方向射出.反之，

平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.在拋物線%2=4y中,

一平行于y軸的光線。射向拋物線上的點M,反射后反射光線經(jīng)過拋物線的焦點F射向

拋物線上的點N,再反射后又沿平行y軸方向的直線12射出.則直線h與12

之間的最小距離為()

A.4B.2C.8D.16

第10題［填空題］

橢圓有這樣的光學性質(zhì):從橢圓的一個焦點出發(fā)的光線，經(jīng)橢圓反射后,反射光線經(jīng)過橢圓的

另一個焦點.根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)解決下題:現(xiàn)有一個水平放置的橢圓形臺球盤，滿足方程

22

3+3=1；點4B是它的兩個焦點.當靜止的小球從點4開始出發(fā)，沿60。角直線運動,經(jīng)橢圓

86

內(nèi)壁反射后再回到點a時,小球經(jīng)過的路程為.

,切線

AB

第1題

答案:A

解析：設橢圓右焦點為尸2,過后作切線1的垂線，垂足為

Ho由橢圓光學性質(zhì)，反射光線過尸2,且|&"|?尸2"|=爐(橢圓切線性質(zhì))。又因

。為0尸2中點，根據(jù)中位線定理，\0H\=||F2H|,故|。”|=。(定值)，點”的軌跡是以

。為圓心、a為半徑的圓。

變式1

答案：arctan|

解析：雙曲線離心率e=5,即2=5,c=5a,b=2遍a。設|P&|=|尸產(chǎn)2|二幾，由

雙曲線定義血一幾=2a。入射光線與反射光線垂直，即乙0。尸2=90°,故+足二

22222==

(2c)=100a0聯(lián)立得(m—n)+2mn=100a,mn=48aocos乙F#2P~

又TH=71+2a,代入71(71+2a)=48a2,解得幾=6a,故cos/FiF2P=黑=|,乙F/2P=

arccos-3=4arctan-

53o

變式2

答案：B

解析：由tanzCAB=-裝，得8$Z乙43=一卷。設|4B|=13k,\AC\=Sk,\BC\=

12k。由|BD|2=.|BQ|,得|BD|=M0,即。為AB中點。雙曲線中，14^1一

|^|=2a,\BF2\-\BF1\=2a,兩式相加得MBI+<世|-(M居I+出川)=4a。由光

學性質(zhì)，MF/=MC|=5匕|BF/=|BD|==(，MF2I=5k+2a,出尸2|=

手+2a,代入得(5k+2a+手+2a)-(5k+手)=4a,恒成立。在4

22

4F/2中，尸#21=2c,由余弦定理尸/2『=\AFt\+\AF2\-2|FF1|?

\AF2\cos^FrAF2,即4c2=251+(5k+2a)2-2-5人(5卜+2砌?(一卷)，化簡得c?=

||a2,離心率e=go

變式3

解：(1)

長軸長與短軸長比為2:1,即2a=2x2b,a—2b,焦距2c=2g，c—V3o由a?=

22

b+c,得4廬=廬+3,^2—1,a2-4。

故橢圓C的標準方程為—+y2=1

4

(2)設P(x(),yo),圓。的切點弦AB方程為xox+y0y=1,得M(二,0),N(0,-).面積S=

汽。yo

就看。由橢圓方程資+萬=1N2?等?仇|=|&yo|,故島y。W1,S>|0

故^MON面積最小值為：

(3)設。(冗￡(%2，力)，直線DE方程y=kx+m,代入橢圓得(1+4/c2)%2+8kmx+

2

4m—4=Oo由的i+ki2——2,即江二+也二=—2,化簡得(々％i+m—l)x2+(攵X2+

m—I)/=一2Kl%2，代入韋達定理得利——k—1,故直線DE為y-kx—k—1-k(x—

1)-1,過定點(1,-1)。

變式4

答案：D

解析：拋物線/=4x焦點F(l,0),入射光線與x軸夾角60。，方程為y=±75(久-

1)0聯(lián)立卜得3(久一1)2=4%,尤=3或％=士對應4(3,2g),

[yz=4%3

嗚-竽)。反射光線平行于無軸，方程為y=2遮和y=-竽距離為2遮-(-爭=

8V3

O

3

第2題

答案:D

解析：平行于y軸的光線過P(2VX5),與拋物線/=4y交于4(2魚,2)。拋物線焦點

%2=4y

F(0,l),反射光線過Z和尸，方程為y=+1=.%+1。聯(lián)立，V2/得％2-

2V2—04v=—%_|_1

U4

22

V2x—4=0,x1=2V2,%2=-B(—V2,|),\AB\=J(3V2)+(|)=1o

第3題

答案：f

6

解析：設橢圓離心率e＞雙曲線離心率62=

3e「橢圓長軸2的，雙曲線實軸2a2。光線經(jīng)橢圓反射路程為4al(兩次反射),經(jīng)雙曲

線和橢圓反射路程為2a2+

2al(雙曲線反射路程2a2,橢圓反射路程2%)。時間比等于路程比，：=/嗎=

￡1

私+”由4=豆，e2=￡=3q,何。2=三，故；7=次+5=:。

第4題

答案：AD

解析：

A.拋物線V=4%準線方程》=-1,正確；

B.設A(*yi),B(洛丫2)，反射光線過焦點F(1,O)，故kAF=kBF，即身=

44

券，化簡得%丫2=-4,錯誤；

六1

C.M(2,1),入射光線y=l,交拋物線于反射光線過F(1,O),方程y=x+；,

433

交拋物線于B(4,—4),=?，錯誤；

4

D.直線4。方程y=與準線％=-1交于N(-1,一3),反射光線BF方程y=谷。一

yiyi>2i

4

1),代入y,2=-4，得N在BF上，正確。

第5題

答案：y2-32%

解析：ANF#2中,^NF2F1=45°,tanzNF/2=:面積10。設WBI=租，|NFJ=

4

22

n,由工TH?2c?sin45°=10,"0尸之二1sin+cos=1,得sin4NF/2=J=,

2COSZJVF1且41zV17

COSNNF1F2=4=0由正弦定理一--二」一二---,NF1NF2=135°-

11

乙V17sinz.NF1F2sin45°sinz.F1NF2乙

乙NF-sin乙F1NF2=sin(135°-ZNFF)=—,解得c=

1234

80拋物線焦點6(8,0)，方程y2=32XO

第6題

答案：D

解析：入射光線F2P斜率為-8，與反射光線PE垂直，故反射光線斜率為白，"E=

90°o設|PBI=粗，仍尸11="，由雙曲線定義九一租=2a。在APFiB中，乙PF2F1=

30°,ZPF1F2-60°,由正弦定理三百==二￡^,得m=V^c,n=c,代入n-

m=2a,c—V3c=2a,離心率e=*=—=—(1+百)(舍去負號)，故e=1+

a1-V3

V3o

第7題

解：(1)橢圓短軸長2b=2V3,b—V3o光線經(jīng)橢圓兩次反射路程為4a=8,a=

2,橢圓焦點Fi(-l,0),F2(l,0),拋物線焦點6(—1,0)，方程y2=-4x。

⑵設Q(x,y),拋物線反射光線平行于％軸，故Q縱坐標與入射點縱坐標相同，由拋物線定

義|QFI|=K+1。橢圓切線方程與反射光線相切，得x=1,IQ&I=2。

(3)P在橢圓上，Q在拋物線上，坐標分別為(0,遍)和(1,2),距離|PQ|=

J(l-O)2+(2-V3)2=2V2o

第8題

答案：C