第05講橢圓及其性質(zhì)

目錄

01模擬基礎(chǔ)練..................................................................2

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程...................................................2

題型二：橢圓方程的充要條件.....................................................4

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題.................................5

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題...............................................7

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題.............................................9

題型六：離心率的值及取值范圍..................................................11

題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題................................................15

題型八：利用第一定義求解軌跡..................................................19

題型九：橢圓的實(shí)際應(yīng)用........................................................22

02重難創(chuàng)新練.................................................................24

03真題實(shí)戰(zhàn)練.................................................................36

梢陽建礎(chǔ)饗

//

題型一：橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

1.已知片(0,-1),鳥(0,1)是橢圓C的兩個焦點(diǎn)，過F?且垂直于y軸的直線交c于A,B兩點(diǎn)，且|4?|=3,

則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

2

V丫2

【答案】^+―=1

43

【解析】根據(jù)題意，如圖：

13

AB=3,由橢圓的對稱性可得：|A工|=RA例=萬，

22

又14gl=2,由勾股定理可得：\AFt\==1+(|)=|,

所以2a=|4用+|伍|=4,a=2,

又c=1,則/?=《a2—c?—^3,

22

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為匕+土=1.

43

22

2.已知橢圓E：5+2r=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸-F2,過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交E于P,。兩點(diǎn),

ab

且尸入，工。，且5帆°=；/,戶閶+優(yōu)Q|=8,則E的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

22

【答案】—+^=1

168

【解析】連接尸6,。耳，因?yàn)镺P=OQ,。耳=。耳，

所以四邊形尸式衛(wèi)工是平行四邊形，

所以即=&Q,PF°=QF\,

又?.尸名，鳥。，所以四邊形鳥為矩形,

設(shè)PFt=7”,PF,=n

m+n=2a=S

。=4

則由題意得,病+/=4c2,解得＜

c=2&'

112

—mn=-a

122

22

則〃=/一°2=8,則標(biāo)準(zhǔn)方程為土+21=1,

168

尤2v2

故答案為：—+^=1.

168

3.已知橢圓兩個焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（-2,0）,（2,0）,并且經(jīng)過點(diǎn)-1],則它的標(biāo)準(zhǔn)方程為

【答案】今白1

22

【解析】因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在X軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1T+%=1（。>6>0）,

由橢圓的定義知2a=/(-+2)2+(--)2+/(--2)2+(--)2=2回,

Y22Y22

所以Q=\/10.

又因?yàn)閏=2,

所以/=/_。2=6,

22

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1+3=1.

106

故答案為：^+4=1-

106

題型二：橢圓方程的充要條件

22

4.若方程上+上-=1表示橢圓，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為（）

m4-m

A.m>0B.m<4C.0<m<4D.0<m<4￡.m^2

【答案】D

22

【解析】?.方程上+3^=1表示橢圓，

m4-m

m>0fm>0

<4-m>0,得,根<4,得0<機(jī)<4且

m4-m1加。2

故選：D.

2

5.若曲線C:（%-4）x2+q」=i表示橢圓，則實(shí)數(shù)上的取值范圍是（）

A.（4,6）B.（4,5）C.（5,6）D.（4,5）一（5,6）

【答案】D

22

2C-^+E-l

【解析】因?yàn)榍€C:（"4）/+E=I表示橢圓,BP16-4表示橢圓

6—k

k—4

jt-4

則應(yīng)滿足6—左〉0,即北（4,5）u（5,6）.

w6k,

〔左-4

故選：D.

22

6.若方程式+工=1表示焦點(diǎn)在x軸的橢圓，則/的取值范圍是（）

4-Zt-1

A.停）B.m，4）c.臼D.

【答案】c

【解析】命題等價于4T>，T>O,解得

故選：C.

7.（2024河南?模擬預(yù)測）若方程（機(jī)+1）/+。_聞）；2=]_病表示焦點(diǎn)在工軸上的橢圓，則（）

A.-l<m<lB.0<m<l

C.—l<m<0D.—l<m<O^cO<m<l

【答案】c

22

【解析】方程（租+1）/+（1—回/=1_/可化為：工+工=1,

1-mm+1

22

因?yàn)榉匠躺?工=1表示焦點(diǎn)在X軸上的橢圓,

1-mm+1

1-m>m+1

所以解得—1<m<0.

m+1>0

故選：C

22

8.設(shè)機(jī)為實(shí)數(shù)，若方程^+工=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是（

2-mm-\

3根

A.—<m<2B,>3

22

3

C.l<m<2D.1<m<—

2

【答案】D

r223

【解析】+上v一=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，可得2-根>根-1>0,解得1<相<不

2-mm-12

故選：D

題型三：橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長與面積及其他問題

22

9.已知月，居是橢圓。:，+與=1（°>。>0）的兩個焦點(diǎn)，尸為橢圓C上的一點(diǎn)，且尸耳，P居，若尸耳工的

ab

面積為9,則6的值為.

【答案】3

【解析】

7。句左

\PFt\+\PF2\=2a,

.?』尸球+|尸酸+2|尸耳，巡|=心,①

又尸￡_1_尸號

：?①-②得：2|明.|尸段=4(a?_02)=g，

.■.^\PF\-\PF^=b\

「△尸片工的面積為9,

，5冏&=:忸胤小閭=62=9,6>0,

;.b=3.

故答案為：3.

22

10.設(shè)橢圓口會=1的左右焦點(diǎn)為￡,耳，橢圓上點(diǎn)尸滿足冏|：|*=2:3,則尸和的面積為.

【答案】12

【解析】由橢圓定義可得|尸耳|+戶閶=2a=10,

則有黑訶=)即戶制=4,歸引=6,

JLV/11._/-*]D

又閨閭=2c=2725-12=2713,

由42+62=52=(2萬丁，故/耳尸5=90。，

故Spg=-^x4x6=12.

故答案為：12.

22

11.已知K，尸2分別是橢圓c：1r+==1(八6>0)的左、右焦點(diǎn)，橢圓C的離心率為6-1,尸是C在

第一象限上的一點(diǎn).若尸打,尸鳥，貝Ijcos/PF^=.

【答案】1/0.5

2

【解析】如圖，記NP8G=夕，|耳耳|=2c,

因?yàn)槭瑒t附|=2ccos（9,|尸耳|=2csin。,

由橢圓的定義可得|M|+|P&|=2(sine+cos6?)c=2a,

所以￡=.八]----=若一1,則sin6+cos夕="+]

asin〃+cosU2

?八1

sin6>=—sinc/=—

TV2

又0<6<7且sin20+cos20=1,有；或,

20&

cos0=—cos6=——

22

解得。=5或。q,又點(diǎn)p在第一象限，所以l%>附I,

TT1

得。=§,貝ijcos/wy;、.

故答案為：—.

22

12.已知橢圓匕+二=1的焦點(diǎn)為片、F2,P為該橢圓上任意一點(diǎn)（異于長軸端點(diǎn)），貝|「KF?的周長為

2516

（）

A.10B.13C.14D.16

【答案】D

【解析】由題意可知：a=5,b=4,c=yja2-b2=3>

則|尸耳|+|尸閭=2=10,國閭=2。=6,

所以,尸可居的周長為|尸制+|尸局+國與|=16.

故選：D.

題型四：橢圓上兩點(diǎn)距離的最值問題

22

13.（2024.寧夏銀川.二模）已知橢圓C：3+3=1的左焦點(diǎn)為乙，M為橢圓C上任意一點(diǎn)，貝1|熠|的

最小值為.

【答案】1

【解析】由橢圓C：工+上=1知：。=2*=6，故c=l,

43

所以耳（-1,0）,

所以，惘國的最小值為a-c=L

故答案為：1

14.已知AB=4,點(diǎn)尸在點(diǎn)A,3所在的一個平面內(nèi)運(yùn)動且PA+P3=6,則E4的最大值是,最小值

是.

【答案】51

【解析】依題意知，點(diǎn)尸的軌跡是以A,8為焦點(diǎn)的橢圓，

2a=6,2c=4,

a=3,c—2.

???PAnax=a+c=3+2=5,尸4"=a-c=3-2=1.

故答案為：5；1.

22_

15.過橢圓C:，+4=l（a>6>0）的右焦點(diǎn)尸且與長軸垂直的弦的長為3忘，過點(diǎn)42,1）且斜率為-1的直

ab

線與C相交于A8兩點(diǎn)，若尸恰好是A3的中點(diǎn)，則橢圓C上一點(diǎn)河到尸的距離的最大值為.

【答案】3忘+3/3+30

【解析】法一：將x=c代入橢圓C的方程得y=±2，所以竺=3收①，

aa

2222

設(shè)A（%，M）,3（%2，%）,貝U-^+普=1,號'+普=1,

abab

兩式相減得（占-可+超）+（Mf）9+%）=o,

a2b2

=

又玉+馬=4,Ji+y22,—~,所以—7-1=0②，

石一%ab

解①②得。=3?,b=3,所以°=y/a2-b2=3，

所以C上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)尸的距離的最大值為a+c=3a+3.

法二：將x=c代入橢圓C的方程得y=±￡,所以竺1=3五①，

aa

直線AB的方程是>一1=一。一2）,即y=3-尤，

代入橢圓的方程并消去>整理得（〃+廿）尤2-6/*+9/_02/=0,

貝IJ△=（一64）2-4（4+Z>2）（9a2-a2b2^=4a2b2（a2+b2-9）>0,

設(shè)4國,“)，/為,%),則%+%=^^=4，即/=2/②，

a+b

解①②得。=3夜,6=3,滿足△>(),所以0=，/一62=3,

所以C上的點(diǎn)聞到焦點(diǎn)下的距離的最大值為a+c=3及+3.

故答案為：3&+3.

16.已知橢圓C:(+尤2=1(。>1)的離心率為變，P為橢圓C上的一個動點(diǎn)，定點(diǎn)4-2,0),貝力以|的最

a"2

大值為?

【答案】3

【解析】由橢圓C：A+/=1(〃>1)的離心率為變，

a2

可得e2=《="=1,解得"=2,所以橢圓的方程為匯+/=1,

a'a'22

222222

設(shè)尸(無,y),貝=(^+2)+y=(x+2)+2(l-x)=-x+4x+6=-(%-2)+10,

因?yàn)門VxWl,當(dāng)x=l時，可得|PA「取得最大值，最大值為9,

所以1PAi的最大值為3.

故答案為：3.

題型五：橢圓上兩線段的和差最值問題

22____________________________________________

17.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足日+寧=1,后丁石7T+產(chǎn)仔三力的最小值為()

A.275-72B.1+75C.&D.前三個答案都不對

【答案】A

22

【解析】設(shè)尸(％y),貝UP在橢圓土+匕=1上，

54

又yjx2+y1-ly+i+yjx2+y2-2x+l=^x2+(y-l)2+^(x-1)2+y2，

設(shè)s(o,i),鳥(1,0),則尸2為橢圓的右焦點(diǎn)，

如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為K(-1,0),貝U：

22

7%+y-2j+l+4+y2-2x+l=IPSI+1P月|=26+1PSI-1尸周226一|SK|,

當(dāng)且僅當(dāng)P,S,《三點(diǎn)共線且S在P，耳之間時等號成立，

而|S耳|=0,故"尤2+/—2y+l+y]x2+y2-2x+l的在最小值為2卡-應(yīng),

故選：A.

22

18.（2024?甘肅定西?統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓C：'■+'=1的左、右焦點(diǎn)分別為％A，A是C上一點(diǎn),

5（2,1）,則|陰+|刈|的最大值為（）

A.7B.8C.9D.11

【答案】A

如圖，連接|>^|+|^|=\A^\+2a-\AF2\=6+\AB\-\AF^\,

而|AB|-|MlV忸閶=1，當(dāng)且僅當(dāng)A8，B共線且歹2在A,8中間時等號成立，

故+|砍|的最大值為7.

故選：A.

22

19.已知點(diǎn)尸為橢圓亍+三=1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別為（無一1）2+/=1和（尤+1『+:/=1上的點(diǎn)，則

的最大值為（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【解析】設(shè)圓（x-l）2+V=i和圓（x+i）2+,2=i的圓心分別為4應(yīng)半徑分別為小勺

22

則橢圓?+5=1的焦點(diǎn)為A（T0）,3（l,0）.

又|B4|+q±|尸必』尸冏+々習(xí)?N|,|PA|+|P同=2。=4,

^\PM\+\PN\<\P^+\PB\+n+r2,

當(dāng)且僅當(dāng)分別在尸A尸8的延長線上時取等號.

此時|PM|+|PN|最大值為|川+|產(chǎn)用+{+4=4+1+1=6.

故選：C.

20.已知小工分別為橢圓C:?+y2=i的兩個焦點(diǎn)，尸為橢圓上一點(diǎn)，則|「耳|一忸局的最大值為（）

A.2B.2#C.4D.4石

【答案】B

【解析】橢圓上的點(diǎn)P滿足|羽|-|「鳥歸國鳥

當(dāng)點(diǎn)尸為入耳的延長線與C的交點(diǎn)時，

|尸耳一|尸閶達(dá)到最大值，最大值為國司=2后.

故選：B

題型六：離心率的值及取值范圍

22

21.已知橢圓，+3=1（。>6>0）的左右焦點(diǎn)為％F2,以出國為直徑的圓與橢圓有四個交點(diǎn)，則橢圓離

ab

心率的范圍為（).

A.B.C.I-1D.i1

7

【答案】A

【解析】因?yàn)橐陨介倿橹睆降膱A與橢圓有四個交點(diǎn)，所以bvc,

2222

即^<。2,a-c<c,(r<2c,所以e?>],即e>正,

22

又因?yàn)?<e<l,所以橢圓離心率的取值范圍為

故選：A.

22

22.（2024?全國?模擬預(yù)測）已知橢圓C:1+斗=1（。>8>0）的右焦點(diǎn)為F,過坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線/與橢圓

ab

C交于A,3兩點(diǎn).在△AEB中，ZAFB=120°,且滿足4的=宿。，則橢圓C的離心率為.

【答案】*

【解析】設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)為尸，連接AF,B廣，根據(jù)對稱性可知四邊形AFBF為平行四邊形,

又/AFB=120。，所以/E4-=60。,

又SABF

X\AF\+\AF'\=2a,|AF|2+1AF'f-2\AF\-\AF'\COSZFAF'^\FF'f,

即\AFf+|AF,|2+2|AF|-|AF,|=4",

|AF|2+\AF'f-\AF\-\AF'\=4c2,

4（672-C2）_4Z>2,

所以|A斗|AF[=

33

所以b"AFIsinZFAFr=—b\

3

即\f3ac=^-b2,

3

222-岳-3

所以b二=a-c——e=3解得e=_^或

acace22

V13-3

又因?yàn)?<e<l,所以e

2

故答案為：巫匚

2,：2

23.(2024.高三.河北保定.開學(xué)考試)如圖，設(shè)橢圓c：,+方=l(a>6>0)的左焦點(diǎn)為F,上頂點(diǎn)為A,

右頂點(diǎn)為8,^.FAAB=Q,則C的離心率為.

51

【答案】

2

【解析】因?yàn)镋4.AB=0，則E4_LAB,

所以△AFB為直角三角形，y.\FA\^a,\AB\=yJa2+b2,\FB\^a+c,

22222222

得。2+/=（a+c）,a+a+b=a+2ac+cn2c+2ac-2a=0,^+―-l=O=>e=-=.

a2aa2

故答案為：叵口

2

22

24.（2024?高三?福建?開學(xué)考試）已知橢圓上+與=1的右焦點(diǎn)廠與拋物線丁=2/（。>。）焦點(diǎn)重合，M是

4m

橢圓與拋物線的一個公共點(diǎn)，|阪|=6-3&,則橢圓的離心率為.

【答案】交

2

22

【解析】設(shè)橢圓J+多=1,其右焦點(diǎn)為Wc,。），橢圓上一點(diǎn)

ab

22

則=:（尤0_c）2+%2=J/2_2cx0+c?+（1一茨）b。=x0-2cx0+a=：x「a,

此公式為橢圓的焦半徑公式.

22

因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)/與拋物線V=2PMp>。）焦點(diǎn)重合，

所以與=C,

2

設(shè)M（x°,%）是橢圓與拋物線的一個公共點(diǎn)，因?yàn)閨MF|=6-30,

根據(jù)拋物線的定義，\MF\=x0+^=6-3y[2,

即|MF|=Xo+c=6_30①

又由橢圓的焦半徑公式有四司=：尤。-a=|x0-2=6-372@

由①②解得c=?,

所以離心率e=￡=1.

a2

故答案為：也

2

22

25.（2024?高三?河北滄州?期中）已知片,￡為橢圓C:與+==l（a>b>0）的兩個焦點(diǎn)，尸為橢圓C上一點(diǎn),

ab

且,「耳廠2的周長為6,面積的最大值為則橢圓c的離心率為.

【答案】1/0.5

【解析】依題意，，,P耳工的周長為2a+2c=6,

所以a+c=3,%8面積的最大值為gx2cx6=秘=百，

3

又4=6?+0z,整理得(3-C)2==+o2,即(c一I-(2C+1)=0,

C

解得c=La=2,b=6,故橢圓C的禺心率為彳，

2

故答案為：—

2

26.已知用且為橢圓C的兩個焦點(diǎn)，尸為C上一點(diǎn),若巴笆的三邊「耳|,閨閶,|尸囚成等差數(shù)列，則C的

離心率為.

【答案】1/0.5

【解析】因?yàn)閨尸耳|,閨耳|,|尸馬|成等差數(shù)列，

所以2國月=|吶+附I,

所以e=閨月二區(qū)」

所”|尸胤+戶用2忸用2-

故答案為：—■

22

27.如圖所示，已知橢圓C:3+==1(。＞0切＞0)的左右焦點(diǎn)分別為月,工，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)8在V軸上,

ab

F.A1F.B,忸圖=4|A閭，則C的離心率為.

【答案】呵/1回

55

【解析】設(shè)1人&1=依題意，［Af；\=2a-m,因點(diǎn)8在V軸上，則|即|=|%|=4m,\AB\=5m,

又因月A_L片氏則(2。-機(jī))2+(4〃z)2=(5〃z)2,化簡得a=2〃z,在RtZ\QBF,中，cosZOF,B=—,故

4m

cosZAKF=---,

214m

gic

在,4居￡中由余弦定理，(2a-m)2=(2c)2+/n2-2-2c-mcosZAF^,^-a2=4c2+-O2-2ac-(——),

442a

解得：24=5C2,即/=2,則離心率為?.

55

故答案為：叵.

5

題型七：橢圓的簡單幾何性質(zhì)問題

22

28.（多選題）連接橢圓C:=+匕=l（a>百）的三個頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為2vL記橢圓C的右焦點(diǎn)

a3

為尸，貝I」（）

A.。=4B.橢圓C的離心率為二

2

2023

C.橢圓C的焦距為2近D.橢圓C上存在點(diǎn)P,使|PF|=2加

【答案】BD

22

【解析】橢圓C:￡+，=1（。>我的左頂點(diǎn)為0）,右頂點(diǎn)為（4,0）,上頂點(diǎn)為（0,⑹，下頂點(diǎn)為（0,-73）,

因?yàn)檫B接橢圓的三個頂點(diǎn)所圍成的三角形面積為2百，

若為左、右頂點(diǎn)與上（下）頂點(diǎn)時，則gx2ax退=2若，解得。=2,符合題意；

若為上、下頂點(diǎn)與左（右）頂點(diǎn)時，則;x2有義°=2石，解得。=2,符合題意；

綜上可得a=2,故A錯誤；

則橢圓方程為土+匕=1,所以,="^=1，則橢圓c的離心率e=￡=故B正確；

43a2

橢圓C的焦距為2c=2,故C錯誤，

因?yàn)闄E圓C的右焦點(diǎn)為尸（1。），所以a—c<|尸耳Va+c,§pi<|PF|<3,

2023

所以在橢圓C上存在點(diǎn)P,使IPFUZ'j,故D正確.

2024

故選：BD

/V2

29.（多選題）（2024?福建廈門?一模）設(shè)橢圓C：=+多=l（a>6>0）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，F(xiàn)?，過耳的

ab

直線與c交于A,8兩點(diǎn)，若優(yōu)司=2,且珥的周長為8,貝|（）

A.a=2B.C的離心率為:

C.IA3|可以為兀D.28A區(qū)可以為直角

【答案】AC

【解析】由出閶=2c=2nc=l,如下圖4AB居周長為4a=8na=2,故/=/一°2=3,

所以，橢圓離心率為e=3,A對，B錯；

2

2h2

當(dāng)軸，即A3為通徑時|42焉?=竺=3,S.\AB\<2a=4,

a

所以3W|AB|<4,故|AB|可以為兀，C對；

/72+〃2-4021

由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)A為橢圓上下頂點(diǎn)時/胡工最大，此時cos㈤g=〃+〃2二1

2a2

7T

且㈤耳￡（0,兀），故（如8）max=三，即4A乙不可能為直角，D錯.

故選：AC

22

30.（多選題）若矩形ABC。的所有頂點(diǎn)都在橢圓E:j+匕=1（。>0）上，且|AB|=2夜，|AC|=2石，點(diǎn)尸

a2

是E上與A,民C,Z）不重合的動點(diǎn)，則（）

A.E的長軸長為4B,存在點(diǎn)P,使得=

C.直線尸AP5的斜率之積恒為D.直線尸4尸。的斜率之積恒為

22

【答案】ABD

【解析】因?yàn)榫匦蜛58的頂點(diǎn)都在橢圓上，根據(jù)橢圓的對稱性可得AC關(guān)于原點(diǎn)對稱，氏。關(guān)于原點(diǎn)對

稱，

22

由二+匕=1,|陰=2血，可得/>2,即橢圓焦點(diǎn)在x軸上，

a2

如圖所示，又“|=2叔.?.怛q=2,易得A（61）,B（-V2,l）,C（-V2,-l）,Z）（V2,-1）.

對于A,將點(diǎn)A（后」）代入橢圓方程可得:+；=1,解得a=2,橢圓的方程為：；=1,所以橢圓的長

軸長為4,故A正確；

對于B,設(shè)點(diǎn)P（x,y）,且/+2/=4,x#土枝,則以=（應(yīng)一X/-y）,PC=（-^-x,-1-y],所以

PC=(V5-%)卜x)+(l-y)(-1-y)=x?+V—3=1—y?,又_^^<y<V2,

即當(dāng)y=±Y5時，PAPC=--,故B正確；

’22

對于C,當(dāng)點(diǎn)尸是左頂點(diǎn)時，P(-2,0),貝m叢=云5，%=_，+2

所以原屋發(fā)網(wǎng)=7為*故C錯誤；

對于D,設(shè)點(diǎn)尸(%,y),且爐+2/=4,大羊土近，

廠,,y-17y+1

貝1JkpA=T=，kpc=~f=,

X-A/2x+V2

22

所以七r⑥c=v±-1=為y-17=-15,故D正確.

故選：ABD.

22

31.(多選題)(2024?湖北.模擬預(yù)測)已知耳，工是橢圓E:匕+土=1的兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓E上，則

43

()

A.點(diǎn)片,且在無軸上B.橢圓E的長軸長為4

C.橢圓E的離心率為:D.使得a耳尸工為直角三角形的點(diǎn)尸恰有6個

【答案】BC

22_

【解析】由題意E:匕+土=1的長半軸長。=2,短半軸長6=6,焦半距c=l,

43

橢圓E:：+]=l的焦點(diǎn)在y軸上，A錯誤；

橢圓E的長軸長為2a=4,B正確；

c1

橢圓￡的離心率為一=彳，C正確；

a2

橢圓的右頂點(diǎn)M(百,0),焦點(diǎn)耳(0,-1),鳥(0,1),

所以阿=（一石,一1）,MF,=（-A/3,1）,cos〈町產(chǎn)「華］=!>。，

m八M耳卜機(jī)用2

則〈叫,姐〉€（04），即N甲鳴為銳角，

故根據(jù)橢圓的對稱性可知，使得.、耳尸耳為直角三角形的點(diǎn)P恰有4個（以^或F?為直角），D錯誤.

故選：BC.

22

32.（多選題）（2024?高三?河南?期中）已知B,尸2分別是橢圓j+與=1（心&>0）的左、右焦點(diǎn)，且A不，月居,

ab

直線AB與橢圓的另一個交點(diǎn)為8,且則下列結(jié)論中正確的是（）

A.橢圓的長軸長是短軸長的八倍B.線段A瑪?shù)拈L度為:a

C.橢圓的離心率為電D.ZXB月入的周長為如詆°

33

【答案】BC

【解析】

由AF；_L￡K，可設(shè)41,113（尤,〉），又B（c,0）,AB=

3F2B,

扇<b11’5b2}

可得2c=3（x—c）,=3y,解得x=-c,y=---，即5C，），

a33a3~3a

將3的坐標(biāo)代入橢圓方程，可得.+三=25（/—〃）b2,

+7=1，

9/9a29a29a2

化為"=3巴即。=爭，故A錯誤;

方2D

\AF\=-=-a,故B正確；

lQ3

橢圓的離心率e=￡=5^=n=?,故c正確；

△3/笆的周長為忸6+忸&+可用=2a+2c="當(dāng)。

故D錯誤.

故選：BC.

22

33.（多選題）（2024.全國.二模）已知圓O：/+>2=3經(jīng)過橢圓c：2-+^=1的兩個焦點(diǎn)

ab

居,F2,且尸為圓。與橢圓C在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，且.尸耳石的面積為1,則下列結(jié)論正確的是（）

A.橢圓C的長軸長為2B.橢圓C的短軸長為2

c.橢圓c的離心率為:

D.點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

【答案】BD

3-1

【解析】因?yàn)閳A。:尤2+>2=3經(jīng)過橢圓C：靛+爐一1（a>b>0）的兩個焦點(diǎn)式-「2,

所以c=Vs，

又尸為圓O與橢圓。在第一象限內(nèi)的公共點(diǎn)，

則5呻L;閨司-XP=；X2石./=1,故xp=@,代入圓方程可得篇+說=3,所以%=2四,故點(diǎn)p

2233

、

西2匹

的坐標(biāo)為■,故D正確;

7

將點(diǎn)P的坐標(biāo)［亭，孚代入橢圓方程可得—+J=1,又/=/+°2=62+3,解得。=2力=1,

故橢圓C的長軸長為4,短軸長為2,故A不正確，B正確；

則橢圓C的離心率為e=￡=走，故C不正確.

a2

故選：BD.

題型八：利用第一定義求解軌跡

34.（2024.安徽.二模）已知定點(diǎn)4（0,2）,3（0,-2）,C（3,2）,以C為一個焦點(diǎn)作過A,3兩點(diǎn)的橢圓，則

橢圓的另一個焦點(diǎn)月的軌跡方程是.

【答案】/-f=1（J<-1）

【解析】A8在以C尸為焦點(diǎn)的橢圓上，

：.\AC\+\AF\=\BC\+\BF\,

.-.|AF|-|BF|=|BC|-\AC\=A/32+42-A/32+02=2,

則可得尸的軌跡為以AB為焦點(diǎn)的雙曲線的下支,

22

設(shè)雙曲線方程為專一?=l(yV-a),

ab

則可得2。=2,即a=l,c=2,,\b2=c2-a2=3,

尤2

則焦點(diǎn)F的軌跡方程是y2-y=l(y<-1).

故答案為：/-y=l(y<-l).

35.已知”(-2,0),尸是圓N:x2-4x+y2-32=0上一動點(diǎn)，線段的垂直平分線交NP于點(diǎn)。，則動點(diǎn)

Q的軌跡方程為.

【答案】—+^=1

95

【解析】由題意，可知圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為2)2+寸=36,圓心為N(2,0),半徑為6.

???線段的垂直平分線交NP于點(diǎn)。，如圖，

.??31=31,

.-.\QM\+\QN\=\QP\+\QN\=\PN\^6>\MN\^4,

.??點(diǎn)。的軌跡是以M,N為焦點(diǎn)的橢圓，

a=3,c=2,b=yjcr—c~=\[5，

22

???其軌跡方程為土+上=1.

95

36.(2024?高三.廣東揭陽?期中)設(shè)A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-5,0),(5,0),直線40、相交于點(diǎn)M,

且它們的斜率之積是T，則點(diǎn)M的軌跡方程是.

22

【答案】志+fr】("±5)

【解析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(-5,0),

所以直線AM的斜率左.=親(》二-5).

同理，直線8河的斜率心”=三(彳片5).

X-J

22

由已知，有三乂三=-1。2±5),化簡，得點(diǎn)〃的軌跡方程為工+±=i(xw±5).

x+5尤-5710025v)

所以點(diǎn)河的軌跡是除去(-5,0),(5,0)兩點(diǎn)的橢圓.

22

故答案為：-^―+—=1±5)

10025'7

37.若VABC的兩個頂點(diǎn)3(0,-3),C(0,3),周長為16,則第三個頂點(diǎn)A的軌跡方程是.

【答案】乙+土=l(x*0)

2516'7

【解析】因?yàn)閂ABC的兩個頂點(diǎn)3(。，-3),C(0,3),所以忸C|=6,

因?yàn)槿切沃荛L為16,B[J|AS|+|AC|+|BC|=16,

所以|AB|+|AC|=10>|3C|=6,

由橢圓的定義：動點(diǎn)A到定點(diǎn)8(0,-3),C(0,3)兩點(diǎn)的距離之和等于定值10,且距離之和大于兩定點(diǎn)間的

距離，

所以點(diǎn)A的軌跡是以3(0,-3),C(0,3)為焦點(diǎn)，24=10的橢圓，

所以c=3，。=5，I)=yja2—c2=-\/52-32=4，

22

可得