暑假預(yù)習(xí)專題15指數(shù)函數(shù)

預(yù)習(xí)三步曲

第一步：導(dǎo)

思維導(dǎo)圖助力掌握知識(shí)框架、學(xué)習(xí)目標(biāo)明確內(nèi)容掌握

第二步：學(xué)

教材精講精析、全方位預(yù)習(xí)

核心考點(diǎn)精準(zhǔn)練

第三步：測

過關(guān)測點(diǎn)提升小試牛刀檢測預(yù)習(xí)效果、查漏補(bǔ)缺快速提升

口串知識(shí)?訊框架

?知猊導(dǎo)圖慌理

指數(shù)函數(shù)1定義

的概念

I定義域

H指數(shù)函數(shù)的圖像

「定義域?yàn)镽,函數(shù)值恒正

,圖像特征卜

I嚴(yán)格減函數(shù)

「定義域?yàn)镽,函數(shù)值恒正

函數(shù)性質(zhì)_

I單調(diào)性

r匕徽大小

-解不等式

-性質(zhì)應(yīng)用-

一求參數(shù)的取值范圍

在實(shí)際問題中的簡單應(yīng)用

砥析教材學(xué)知識(shí)

知識(shí)點(diǎn)1指數(shù)函數(shù)的定義重占

定義當(dāng)?shù)讛?shù)。固定，且時(shí)，等式y(tǒng)=罐確定了變量V隨變量x變化的規(guī)律，稱為底為。的指數(shù)

函數(shù)

需要注意的是:定義域?yàn)镽,函數(shù)值恒為正.

*知識(shí)剖析

1

x

形式上的嚴(yán)格性：只有形如y=a(4〉0且。。1)的函數(shù)才是指數(shù)函數(shù)，像v-7Vv-狼v

3X+1等函數(shù)都不是指數(shù)函數(shù).

特別提醒

判斷一個(gè)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的方法

1.判斷其解析式是否符合y=ax(a>0且awl)這一結(jié)構(gòu)特征.

2.看是否具備指數(shù)函數(shù)解析式具有的三個(gè)特征：

(1)底數(shù)a為常數(shù)，a>0且awl；(2)自變量x的位置在指數(shù)上，且x的系數(shù)是1；(3)

a*的系數(shù)是1.

知識(shí)點(diǎn)2指數(shù)函數(shù)的圖像重占

用五點(diǎn)法作指數(shù)函數(shù)的圖像.

拓展

(1)指數(shù)函數(shù)y=ax與了=［工］的圖像關(guān)于V軸對(duì)稱.

(2)指數(shù)函數(shù)y=a\a>V)的圖像經(jīng)過第一象限和第二象限，且當(dāng)x越來越大時(shí)，圖像離x軸越來

越遠(yuǎn)；j=av(O<a<l)的圖像經(jīng)過第一象限和第二象限，且當(dāng)x越來越大時(shí)，圖像離x軸越來越近.

知識(shí)點(diǎn)3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

y=^xa>\0<a<1

y

圖像(o,i)■.

0-------;

⑴函數(shù)圖像都在X軸上方，無限趨近于X軸，但永不相交

圖像

(2)過定點(diǎn)(0,1)

特征

(3)由左至右圖像上升(3)由左至右圖像下降

(1)定義域?yàn)镽,函數(shù)值恒正

(2)當(dāng)x=0時(shí)/=1

(3)在R上是嚴(yán)格增函數(shù)(3)在R上是嚴(yán)格減函數(shù)

函數(shù)性質(zhì)

⑷對(duì)稱性:指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)的圖像與指數(shù)函數(shù)y=(-］的圖像關(guān)于y

軸對(duì)稱

*知識(shí)剖析

指數(shù)函數(shù)底數(shù)變化與圖像分布規(guī)律如圖所示：

①打，④

(1)y=ax；(2)y=bx；

(3)y=cx；(4)y-dx,

則：0<b<a<l<d<c,

xxxx

即當(dāng)xe(05+oo)時(shí)，b<a<d<c(底大露大);

當(dāng)XG(-OO,0)時(shí)，bx>ax>dx>cx(底大賽小).

④練考點(diǎn)?修知識(shí)

題型1指數(shù)函數(shù)的判定與求值

、/例1函數(shù)-3a+3)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，求”的值.

【答案】2

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義直接求解即可.

【詳解】由＞=(。2-3。+3)/是指數(shù)函數(shù)，

—3。+3=1

可得＜q〉0,解得4=2.

〃w1

1T給出下列函數(shù)：①尸X；；②尸(-3)*;③尸-3工；④尸(兀-3廣其中指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)的概念來判斷.

【詳解】對(duì)于①，函數(shù)的自變量X在底數(shù)位置，不在指數(shù)位置，故不是指數(shù)函數(shù)；

對(duì)于②，函數(shù)了=(-3)'的底數(shù)-3＜0,故不是指數(shù)函數(shù)；

對(duì)于③，函數(shù)y=-3,中的指數(shù)式3*的系數(shù)不為1,故不是指數(shù)函數(shù)；

對(duì)于④，函數(shù)y=(兀-3)”的底數(shù)滿足0＜兀-3＜1,符合指數(shù)函數(shù)的定義，是指數(shù)函數(shù).

故選：A.

1-2(24-25高一上?上海奉賢?期末)已知函數(shù)》=/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，

〃x)=2/+2工+1,則〃-2)+/(0)=.

【答案】-21

【分析】利用給定的函數(shù)式，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求得答案.

【詳解】依題意，/(-2)+/(0)=-/(2)+0=-(2x23+22+1)=-21.

故答案為：-21.

1-3(24-25高一上?上海寶山?階段練習(xí))若函數(shù)J=/(x),xeD滿足對(duì)任意的xeD都有=1成立,

則稱函數(shù)＞=/(x)為“倒函數(shù)”.

⑴判斷函數(shù)〃無)=丹和g(x)=3印是否為“倒函數(shù)”；

⑵若〃(切=5/%以薪+次(”>0)為唯(1函數(shù)”，求實(shí)數(shù)相、”的值；

(3)若°(x)=[p(x)*Cp(x)為正數(shù)),其中p(x)是偶函數(shù)，q(x)是奇函數(shù),求證：°(x)是“倒函數(shù)”.

【答案】⑴函數(shù)“X)和g(x)都不是“倒函數(shù)”

⑵加==1

(3)證明見解析

【分析】(1)求出函數(shù)“X)定義域即可判斷；利用給定定義計(jì)算判斷g(x)即可作答.

(2)利用給定定義直接計(jì)算可得機(jī)、〃的值.

(3)探討。(x)的定義域，再利用給定的定義計(jì)算即可作答.

【詳解】(1)依題意，函數(shù)y=/(x)為“倒函數(shù)”，函數(shù)y=/(x)的定義域必關(guān)于數(shù)o對(duì)稱，

函數(shù)”工戶；，的定義域?yàn)?-哂i)u(i,+?o,顯然-1在定義域內(nèi)，而1不在定義域內(nèi)，

即“X)不是"倒函數(shù)”，

函數(shù)g(X)=3向定義域?yàn)镽,而g(X)?g(-x)=3"=9w1,即g(x)不是“倒函數(shù)”，

所以函數(shù)/(X)和g(X)都不是“倒函數(shù)”.

(2)顯然，函數(shù)旗x)的定義域關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，又〃(x)是倒函數(shù)，

于是得=(Jx2+m+nx).(Jx。+加-〃x)=(l-/)》？+加=1,貝”]，又〃>0,解得加==1,

所以實(shí)數(shù)〃八〃的值分別為心=1,〃=1;

(3)因函數(shù)0(x)是偶函數(shù)，4(x)是奇函數(shù)，則它們的定義域必關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，

依題意，夕(x)的定義域是函數(shù)P(x)與q(x)定義域的交集，也必關(guān)于數(shù)0對(duì)稱，

因此，0(x).0(-x)=[p(x)了=[p(x)]°=1,

所以。(x)是倒函數(shù).

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：正確理解給定定義，是解決新定義題的關(guān)鍵.

題型2根據(jù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)求參數(shù)

、/例2若函數(shù)y=(/-3a+3)“，為指數(shù)函數(shù)，貝吐=.

【答案】2

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義得到方程(不等式)組，解得即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)了=(/-3a+3)a，為指數(shù)函數(shù)，

所以。2-3。+3=1且。>0且。力1,解得a=2.

故答案為：2

2-1函數(shù)夕=(。-2)2優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，貝

【答案】3

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義得到方程和不等式，求出答案.

(a-2)2=1

【詳解】由指數(shù)函數(shù)定義知a>0，解得。=3.

awl

故答案為：3

2-2(23-24高一上?上海浦東新?階段練習(xí))已知函數(shù)了=(/-3)/是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值是

【答案】2

【分析】根據(jù)給定條件，利用指數(shù)函數(shù)定義列式計(jì)算即得.

a>0

【詳解】由函數(shù)丁=(/-3)優(yōu)是指數(shù)函數(shù)，得awl,解得a=2,

a2-3=1

所以實(shí)數(shù)。的值是2.

故答案為：2

2-3(1)已知指數(shù)函數(shù)y=(2a-l)，，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是；

(2)已知指數(shù)函數(shù)了=優(yōu)(。>0)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(-1,2),貝Ux=2時(shí)，函數(shù)值為.

【答案】⑹1

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義求解；

(2)把已知點(diǎn)坐標(biāo)代入求得。后，再計(jì)算函數(shù)值.

【詳解】(1)由已知2〃一1>0且2a-lwl,解得且awl,所以。的范圍是(g,l)U(l,+8);

由己知。=；,函數(shù)式為＞=￡

(2)2=4-,x=2時(shí)，y=

4

故答案為：(；,l)U(l,+s)；

題型3求指數(shù)函數(shù)解析式

.、//例3(24-25高一上?上海奉賢?期中)已知指數(shù)函數(shù)y=(〃?-2)、的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,m)，則機(jī)=

【答案】4

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義及圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,⑼求解即可.

m=(加-2)”

【詳解】由題意得，＜加-2＞0,解得加=4.

m-2*1

故答案為：4.

37(24-25高一上?上海?期中)已知指數(shù)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,4),則該指數(shù)函數(shù)的解析式為.

【答案】y=2,

【分析】設(shè)出解析式為歹=優(yōu)，。＞0且。片1,將⑵4)代入，求出。=2,求出解析式.

【詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)解析式為＞=。＞0且將(2,4)代入得

"=4,解得。=2,負(fù)值舍去，故指數(shù)函數(shù)解析式為了=2、.

故答案為：了=2、

3-2(24-25高一上?上海?課后作業(yè))指數(shù)函數(shù)/(x)的圖像經(jīng)過,2,士)，則/(-1)=.

【答案】y/0.25

【分析】首先設(shè)指數(shù)函數(shù)，再代入點(diǎn)求函數(shù)的解析式，最后求函數(shù)值.

【詳解】設(shè)函數(shù)〃切=優(yōu)(”＞0且。片1),

〃-2)=/=[,得a=4,即，(x)=4"

16

所以/(T)=]

故答案為：:

題型4判斷指數(shù)型函數(shù)的圖象形狀

例4已知函數(shù)/(x)=/在(0,2)內(nèi)的值域是(/,]),則函數(shù)y=/(x)的圖象是

【答案】A

【分析】利用函數(shù)的值域確定。的取值范圍，進(jìn)而確定指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到答案.

【詳解】由題意，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知〃0)=1,/(2)=/,

所以由函數(shù)〃叼=優(yōu)在(0,2)內(nèi)的值域?yàn)閐,l),

可得函數(shù)〃尤)為單調(diào)遞減函數(shù)，即0<。<1,所以函數(shù)〃x)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象為選項(xiàng)A,

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中利用指數(shù)函數(shù)的值域確定函數(shù)的單調(diào)性，得

出實(shí)數(shù)。的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力.

4-1函數(shù)了=氣戶的部分圖象大致為()

【答案】A

【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再對(duì)x<0和x>0時(shí)函數(shù)值的情況討論，利用排除法即可判斷;

【詳解】解：因?yàn)閥==;定義域?yàn)镽，又〃-）=常。（2；）=_?。?，

所以y=/（x）=NJ;為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除B；

當(dāng)x<0時(shí)0<2*<1,2-x>1,2忖>1，所以2:2r<0,所以〃x）<0,故排除D；

>__11

當(dāng)x>0時(shí)"Q_2,-2T_N-F-11,因?yàn)?<小<1,所以BP0</(X)<1,故排除C；

/(1一州一2,一下44

故選：A

【分析】〃x）中含有國，故〃x）是分段函數(shù)，根據(jù)x的正負(fù)寫出分段函數(shù)的解析式，對(duì)照?qǐng)D象選擇即可.

/、/、優(yōu)（x〉0）

【詳解】/（X）是分段函數(shù)，根據(jù)X的正負(fù)寫出分段函數(shù)的解析式，/（x）=:；

x>0時(shí)，圖象與v=優(yōu)（。>1）在第一象限的圖象一樣是增函數(shù),

x<0時(shí)，圖象與7=優(yōu)（。>1）的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱.

故選：B.

4-3函數(shù)7=2*的圖像與函數(shù)>=[￡|的圖像關(guān)于對(duì)稱，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)是

【答案】丁軸（0,1）

【分析】由指數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)可得結(jié)論.

【詳解】了=2,與y=中，由于2T=&］,它們的圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，交點(diǎn)在V軸上為點(diǎn)（0,1）.

故答案為：了軸；（0,1）.

題型5根據(jù)指數(shù)型函數(shù)圖象判斷參數(shù)的范圍

/例5若函數(shù)>=優(yōu)-（6+1）（〃>0,。*1）的圖像經(jīng)過第一、三、四象限，則必有（）

A.0<^<1,Z?>0B.b<0C.a>l,b<0D.a>\,b>0

【答案】D

【解析】函數(shù)y=優(yōu)-3+1）的圖像是由y=優(yōu)的圖像向下平移S+1）個(gè)單位長度得到，根據(jù)題意得到。>1且

6+1>1,計(jì)算得到答案.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)y=優(yōu)圖像的性質(zhì)知函數(shù)>=優(yōu)的圖像過第一、二象限，且恒過點(diǎn)（0,1）,

而函數(shù)丁=/-（6+1）的圖像是由歹=優(yōu)的圖像向下平移3+1）個(gè)單位長度得到的，

故若函數(shù)了=優(yōu)-（6+1）的圖像過第一、三、四象限，則。>1且6+1>1,從而。>1且6>0,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的平移，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)圖像的應(yīng)用能力.

5T（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）若直線>=3。與函數(shù)y=m，+J2］（a>0,awl）圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)

數(shù)。的取值范圍是.

【答案】?

【分析】根據(jù)和0<。<1分類討論，作出函數(shù)>=|優(yōu)”-2|的圖象與直線y=3a,由它們有兩個(gè)交點(diǎn)得出

。的范圍.

【詳解】。>1時(shí)，作出函數(shù)了T尸-2］的圖象，如圖，此時(shí)在xW-1時(shí)，04y<2,

而3a>3>2,因此y=3a與函數(shù)y=|優(yōu)+，2|的圖象只有一個(gè)交點(diǎn),不合題意；

一刀靖+|-2|（心1）

片3a

/0<。<1時(shí)，作出函數(shù)尸忖M-2的圖象，如圖，此時(shí)在XN-1時(shí),

0

0<y<2,

若y=3a與函數(shù)y=|優(yōu)M-2|的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則0＜3。＜2,解得

5-2（24-25高一上?上海長寧?期末）函數(shù)y=+加的圖象不經(jīng)過第一象限，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為

【答案】

【分析】借助函數(shù)圖像即可求解；

【詳解】畫出了=的圖像（紅線），同時(shí)向下平移一個(gè)單位得到＞=-1（黑線）

結(jié)合圖象可知：機(jī)W-1,

故答案為：（-?,-1]

5-3（24-25高一上?上海嘉定?期末）若函數(shù)y=5-+加的圖象不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)%的取值范圍是

【答案】，鞏-（

【分析】由y=5i的圖象過點(diǎn)根據(jù)平移知識(shí)可知由此-加2；,可得冽的范圍.

【詳解】函數(shù)y=5i的圖象過點(diǎn)（03），至少向下平移!個(gè)單位才能使圖象不過第二象限，

則一加＞,即加W-；，

所以實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為18,-g.

故答案為：.

題型6指數(shù)型函數(shù)圖象過定點(diǎn)問題

/例6函數(shù)〃耳=優(yōu)+2（°>0且"1）的圖象恒過定點(diǎn)P,則尸點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（1,2）D.（0,3）

【答案】D

【分析】由指數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)可得答案.

【詳解】/（O）=a°+2=l+2=3,故函數(shù)/（%）恒過定點(diǎn)（0,3）.

故選：D.

6-1（24-25高一上?上海閔行?期中）函數(shù)了=優(yōu)-2°24+2024（"0,"1）的圖像恒過定點(diǎn).

【答案】（2024,2025）

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可求圖像所過的定點(diǎn).

【詳解】由函數(shù)解析式可得當(dāng)且僅當(dāng)無=2024時(shí)，函數(shù)值與。無關(guān)且為2025,

故函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)（2024,2025）,

故答案為：（2024,2025）

6-2.（23-24高一上?上海徐匯?期末）函數(shù)了=優(yōu)+1+3（。>0且。w1）的圖像過定點(diǎn).

【答案】（-1,4）

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.

【詳解】當(dāng)x+l=0nx=-l時(shí)，_y=G°+3=4,

故圖像過定點(diǎn)（-1,4）,

故答案為：（-1,4）.

6-3對(duì)任意實(shí)數(shù)0<a<1,函數(shù)y=（1-+4的圖象必過定點(diǎn).

【答案】（0,5）

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合題意求解即可.

【詳解】因?yàn)楫?dāng)尤=0時(shí)，了=（1-。）°+4=5為常數(shù),

所以函數(shù)＞=（1-。）,+4的圖象必過定點(diǎn)（0,5）.

故答案為：（。,5）

題型7指數(shù)函數(shù)圖像應(yīng)用

、//例7若函數(shù)y=/（x）的圖像可由函數(shù)丁=2工的圖像向右平移一個(gè)單位長度得至IJ,則函數(shù)y=的解

析式為（）

A.?=2抖1B.y=2X-'C.y=2x+lD.y=2x-l

【答案】B

【分析】直接根據(jù)函數(shù)平移的規(guī)則得答案.

【詳解】將函數(shù)y=2"的圖像向右平移一個(gè)單位長度得到y(tǒng)=2a

即/（力=2工1

故選：B.

7-1（23-24高一上?上海浦東新?階段練習(xí)）若函數(shù)〃x）和g（x）=10"的圖象關(guān)于〉軸對(duì)稱，則函數(shù)

/3=-

【答案】10-'

【分析】利用兩個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于了軸對(duì)稱的特征，直接求出函數(shù)解析式即得.

【詳解】函數(shù)“X）和g（X）=10'的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以〃x）=g（-X）=l（r，.

故答案為：io-、

7-2（22-23高一上?上海楊浦?期中）若無＜0時(shí)，指數(shù)函數(shù)＞廠的值總大于1,則實(shí)數(shù)a的取值范圍

.

【答案】。,2）

【分析】直接根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得答案.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得

解得\＜a＜2

故答案為:。,2）

7-3幕的基本不等式是：當(dāng)。＞1,s〉0時(shí)，as1恒成立

【答案】＞

【解析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，直接判斷符號(hào).

【詳解】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知當(dāng)。＞1,$＞0時(shí)，底＞1.

故答案為：＞

7-4函數(shù)了=/(x)的圖像向右平移1個(gè)單位長度，所得圖像與函數(shù)＞=/的圖像關(guān)于了軸對(duì)稱，則〃無)=

【答案】

【解析】從了="出發(fā)，逆向探求即可.

【詳解】函數(shù)V=/圖像關(guān)于7軸對(duì)稱的圖像對(duì)應(yīng)函數(shù)的表達(dá)式是y="，,

函數(shù)y=向左平移1個(gè)單位長度得＞=/則，即/(x)=e*i

7-5在圖中畫出函數(shù)y=3工+J1的圖像，說明函數(shù)了=3，+|-1的圖像與y=3*圖像的關(guān)系

>

X

【答案】答案見解析

【分析】由圖像的平移性質(zhì)求解.

函數(shù)了=3、的圖像向左平移1個(gè)單位，然后向下平移1個(gè)單位即為函數(shù)了=3m-1的圖像.

題型8求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的定義域

7/例8函數(shù)〃x)=亍匕的定義域是.

【答案】(F,0)U(0,+8)

【解析】由分式分母不為0,解不等式即可.

【詳解】由2，-1片0,得XW0,故函數(shù)〃X)的定義域?yàn)?-8,0)U(o,+00).

故答案為：(-8,0)U(0,+8)

2

8-1(23-24高一上?上海浦東新?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=iw+b，其中。＞0且"Hl，6是實(shí)數(shù)常數(shù).

(1)求函數(shù)V=/(x)的定義域；

(2)是否存在常數(shù)6,使函數(shù)V=/(x)為奇函數(shù)？

【答案】(l)(-8,0)U(0,+co)

(2)存在，b=I

【分析】(1)函數(shù)定義域滿足十-1*0,解得答案.

(2)假設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，計(jì)算/(x)+/(-x)=2b-2=0,得到答案.

【詳解】(1)/(%)==v+b的定義域滿足優(yōu)-1。0,即"0,

故函數(shù)定義域?yàn)?-s,o)U(o,+⑹；

(2)若函數(shù)y=/(x)為奇函數(shù)，

則+=+6+二一+6=2-、"+26=26-2=0,即6=1.

'''/優(yōu)-1ax-1優(yōu)-]

故存在常數(shù)6=1,使＞=/(x)為奇函數(shù).

8-2求下列函數(shù)的定義域：

⑴y=

1

(2)y—5%-4；

(3)kG-J.

【答案】⑴[。,+⑹

(2)(T?,4)"4,+00)

（3）1鞏]

【分析】（1）（3）根據(jù)二次根式與指數(shù)函數(shù)性質(zhì)求解；

（2）利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)結(jié)合分式的定義求解；

【詳解】（1）由題意2，-120,2*21，x>0,所以定義域?yàn)閇0,+（?）；

（2）由題意x-4/O,即xw4,所以定義域?yàn)椋ㄒ?,4）U（4,+8）；

（3）由題意3-2工一9W0,即3-，232,1-2x22,x<-1,所以定義域?yàn)椋ㄒ唤?J.

題型9求指數(shù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的值域

7/例9（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）設(shè)/=<xp=x],8={y|y=2'},則/口8=.

【答案】（0,+8）

3

【分析】首先要明確集合A是函數(shù)）="的定義域，根據(jù)塞函數(shù)的性質(zhì)求出集合A；集合B是函數(shù)>=2,的

值域，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出集合B,最后求兩個(gè)集合的交集.

3

【詳解】對(duì)于函數(shù)>=戶=值，要使根式有意義，則根號(hào)下的數(shù)非負(fù)，即X20,所以/=[0,+?0.

對(duì)于函數(shù)了=2工，因?yàn)?，>0對(duì)于任意XCR都成立，所以3=（0,+8）.

因?yàn)?=[0,+co）,B=（0,+a））,所以Nc2?=（0,+oo）.

故答案為：（0,+s）.

2x+]

9-1（24-25高一上?上海寶山?階段練習(xí)）已知a=----,b=\x-]\,c=3-x,d=2X,xeR,則下列命題中真命

x—1

題的個(gè)數(shù)為（）

①a,b,c,d至少有一個(gè)不小于1；②a,6,c,d至少有一個(gè)不大于1；

③a+6+c+d24恒成立；④a+b+c+dW4恒成立

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【分析】用反證法判斷①②；用作差法判斷③④.

【詳解】解：因?yàn)?￥=2『+3=2+二,所以。力2；

x-1x-1x-1

6=卜-1,0；c=3-xeR；d=2、>0,

對(duì)于①，假設(shè)。,仇。川都小于1,

C3I

Q=2H--------<1—2<x<1

x-1

0<x<2

則有=|x-l|<1，即，解得XG0,

x>2

c=3-x<1

x<0

d=2x<1

故假設(shè)錯(cuò)誤,

所以/b,c,d至少有一個(gè)不小于1,故①正確；

對(duì)于②，假設(shè)a/cd都大于1,

3r/、\

Q=2H------->1X（-2或X）1

則有人=|1|>1,即卜（°或"2,解得xe0,

c=3-x>lx<2

d=Y>\J>0

故假設(shè)錯(cuò)誤，

所以a,6,c,d至少有一個(gè)不大于1,故②正確;

2r+1

對(duì)于③④，因?yàn)閍+b+c+d—4=--------+|X-1|+3-X+2X-4

x-1

2x+l

+|l|_(x+l)+2”

x-1

2x+l__1

----------2x+2x,x<I

3

--+2\x>l

x-l

3

~^—+2x,x>]

x-l

令/(%)=<

3

2H----------2x+2”,x<l

x-l

3

則當(dāng)x〉l時(shí)，/(x)—------+2X>0,

x-l

止匕日寸a+6+c+d-4>0,q+b+c+d>4；

3

當(dāng)x<l時(shí),/(x)=2-2x+―-+2\此時(shí)有"0)=4,

x-l

即a+6+c+d-4=0,Q+6+c+d=4；

/(1)=2-l-6+V2=V2-5<0,

即a+6+c+d—4<0,q+6+c+d<4；

所以a+b+c+d"與a+6+c+d44均不成立,

故③④均錯(cuò)誤.

故選：B.

9-2(24-25高一上?上海徐匯?期末)若函數(shù)V=-1,的值域?yàn)?-叫3],則實(shí)數(shù)。的取值范圍是________.

[-X+a,x>l

【答案】1<?<4

【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，及指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)求區(qū)間值域，結(jié)合函數(shù)值域求參數(shù)范圍.

【詳解】由>=3,在(-鞏1]上值域?yàn)?0,3],

由y=a-/在(1,+co)上單調(diào)遞減，則值域?yàn)?-no,a-1),

又原函數(shù)的值域?yàn)?-鞏3],所以0<”143,可得l<a?4.

故答案為：1<r4

t

9-3(24-25高一上?上海浦東新?階段練習(xí))己知函數(shù)/(x)=x+l,g(x)=3+W,若對(duì)任意的國e[0,1],存

在x°e[0,l],使得/a)=g(%),則整數(shù)m的取值集合真子集的個(gè)數(shù)為

【答案】3

【分析】由“X)的值域是g(M的值域的子集確定加的值，然后由子集定義得出結(jié)論.

【詳解】國€[0再時(shí),/(洋=4+1』,2],

X2

x2e[0,1]時(shí)，g(x2)=3+me[l+m,3+m],

fl+m<1

由題意口,2]=[1+優(yōu),3+機(jī)],所以%,解得-14加WO,

[3+m>2

其中整數(shù)-1和0,即整數(shù)加的取值集合為{-1,0},真子集有3個(gè).

故答案為：3.

題型10求指數(shù)型復(fù)合函數(shù)的值域

例10求下列函數(shù)的定義域：

⑴昨

(2)y=,3

【答案】（1）（-8,0]

（2）弓，+8）

【分析】根據(jù)題意都只需要保證被開方數(shù)非負(fù)，解出不等式即可.

【詳解】（1）由于y=；,則-x?0,解得xWO,故定義域?yàn)椋ㄒ唤?].

即0V2X-1,解得x2j故定義域?yàn)椤?8）.

10-1（24-25高一上?上海長寧?期末）若關(guān)于x的不等式9-忖一小3%-上20的解集為R，則實(shí)數(shù)上的取值范圍

是（）

A.[-4,0]B.C.[-3,0]D.（一叫一3]

【答案】D

【分析】設(shè)”3卡，由換元法轉(zhuǎn)化為〃-左20在區(qū)間（0』上恒成立，進(jìn)而可得.

【詳解】設(shè)f=3用，當(dāng)xeR時(shí)，0</41,

故由題意可得關(guān)于t的不等式-左20在區(qū)間（0,1]上恒成立，

設(shè)-左，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知/■⑺在區(qū)間（0川上單調(diào)遞減，

故/（1）=1一4一左20,得上4一3,

故選：D

10-2（24-25高一上?上海閔行?期中）已知函數(shù)/（力=，則〃x）的值域?yàn)?/p>

【答案】（0,2024]

【分析】利用換元法結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.

【詳解】由題意/=工2-1\0-1=一1,而>=關(guān)于/單調(diào)遞減,

從而0<y==2024,

所以〃x）的值域?yàn)椋?,2024].

故答案為：（0,2024].

f（<7-2）x+4a+l,x<2

10-3（24-25高三上?上海寶山?階段練習(xí)）已知函數(shù)y=.Ic，若該函數(shù)存在意

[2a,x>2

小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

【答案】（0,5

【分析】就分段函數(shù)的每一段判斷其單調(diào)性，求出值域，根據(jù)題意得到關(guān)于。的不等式，解之即得.

【詳解】當(dāng)x>2時(shí)，因>=2罐-1為減函數(shù)，故0<y<2a；

當(dāng)x<2時(shí)，因0<〃<1,>=（。-2）x+4a+l為減函數(shù)，故歹22（。-2）+4。+1=6a-3.

依題意，該函數(shù)存在最小值，需使6a-3W0,解得

故實(shí)數(shù)。的取值范圍是（0,自.

故答案為：（0,；].

題型11根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域或最值求參數(shù)（定義域）

/例11（24-25高一上?上海金山?階段練習(xí)）函數(shù)7="-1]的定義域?yàn)橹涤驗(yàn)?,1,貝

的最大值為.

【答案】晦2

【分析】作出函數(shù)>的圖象，求出>=；時(shí)的x值，結(jié)合圖象可得所求最大值.

3Tx20

【詳解】函數(shù)>==

-3A+l,x<0

作出函數(shù)的圖象如圖所示,

令"一l|=g，解得X=log3：或X=log3|',

因?yàn)楹瘮?shù)>的定義域?yàn)椋?。回，值域?yàn)閛,1,

42

由圖象可得，6-。的最大值為Iog3§-log3§=log32.

故答案為：logs2.

11-1（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知若函數(shù)V=|2:4］,xe［q,"的值域?yàn)椋?,4］,則的取值

范圍是.

【答案】［1,+s）

【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作出7=|2*-4|的大致圖象，數(shù)形結(jié)合得到。力的取值（范圍），從而得解.

【詳解】依題意，令四一4|=0,解得x=2；令,一4卜4,解得x=3；

當(dāng)x<0時(shí)，0<21<1,貝！|>=［2，一4|=4-2*<4,

由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)作出了=|2'-4|的大致圖象，如圖，

因?yàn)榱?|2、一4|6?凡用的值域?yàn)椋?,4］,所以.42,b=3,

貝|］一。2-2,所以即的取值范圍為［1,+℃）.

故答案為：［1,+<?）.

11-2(22-23高一上?上海徐匯?期末)已知函數(shù)>=2'+。的值域?yàn)?1,+8),

⑴求實(shí)數(shù)。的值；

(2)求函數(shù)y=x2-4x+a,xe<4)的最小值.

【答案］⑴1

⑵/n=M_4/+l,2Wt<4

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域?yàn)?0,+8)可計(jì)算出。的值；

(2)根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱軸以及開口方向，分類討論/<2,24/<4時(shí)函數(shù)的最小值，由此可求結(jié)果.

【詳解】(1)因?yàn)閥=2,,xeR的值域?yàn)?0,+司，所以y=2，+a的值域?yàn)?。,+動(dòng)，

由條件可知，a-1.

(2)y=x?-4x+l圖象的對(duì)稱軸為x=2且開口向上，

當(dāng)，<2時(shí)，y=x2-4x+l在匕2)上單調(diào)遞減，在(2,4］上單調(diào)遞增，

所以=22—4X2+1="3,

當(dāng)24f<4時(shí)，y=f-4x+l在上,4］上單調(diào)遞增，所以％n=產(chǎn)一今+1,

［-3,(<2

所以%。=*_今+1,24<4.

11-3.(24-25高一上?上海閔行?期中)已知函數(shù)/(尤)=/'-2優(yōu)一1,其中。>0且awl.

(1)若。=2,求/(x)的最小值;

⑵若“X)在區(qū)間［0H上的最大值為2,求。的值；

⑶若a=2,且/(x)+4>”2,對(duì)任意xe［-1,1］恒成立，求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】⑴-2

(2)3

⑶卜叫26-2)

【分析】(1)由題知進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)求解即可；

(2)令優(yōu)=人將函數(shù)轉(zhuǎn)化為求>=(/1)2-2的最大值問題，再分0<。<1和。>1討論求解即可;

3

(3)結(jié)合題意，將問題轉(zhuǎn)化為，2，+三>加+2對(duì)任意尤6［-1,1］恒成立，再結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解】(1)當(dāng)a=2時(shí)，函數(shù)/(X)=22，_2X2-1=(2，)2_2X2，—1=(2，-1)2-2,

所以當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)/(刈=(2工-1)2_2有最小值_2.

(2)令W=t,則函數(shù)/(幻=/，-2罐-1=(優(yōu)-l)2-2=?-l)2一2,

當(dāng)0<°<1時(shí)，由xe［O,l］有a*,

由于函數(shù)夕=(-1)2-2在1］上單調(diào)遞減，“X)在區(qū)間［0,1］上的最大值為2,

所以，當(dāng)時(shí)，y=(7-l)2-2有最大值(°一1)2-2=2,

解得。=-1或。=3,均不滿足舍去；

當(dāng)a>l時(shí)，由xe［0,l］有優(yōu),

由于函數(shù)了=(/-)-2在［1,可上單調(diào)遞增，/(%)在區(qū)間21］上的最大值為2,

所以，當(dāng)仁。時(shí)，了=("1)2-2有最大值(。一1)2一2=2,

解得“=-1或。=3,其中。=-1不滿足。>1,舍去；

綜上，a=3.

(3)因?yàn)楫?dāng)“=2時(shí)，/(x)+4>”2'對(duì)任意恒成立

所以，2?'-2x2,+3>”2、對(duì)任意尤e［T,1］恒成立

3

所以，2"+標(biāo)〉加+2對(duì)任意恒成立，

因?yàn)?*+U22VL當(dāng)且僅當(dāng)2'=福，即2工=百戶=嚏26=31嗯3€［-1,1］時(shí)等號(hào)成立，

所以，26>加+2恒成立，即26-2>加，

所以，實(shí)數(shù)加的取值范圍為~,26-2).

題型12判斷指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性

.3

，例12(24-25高一上?上海?階段練習(xí))已知函數(shù)/(x)=」2“一+在區(qū)間(-叫+⑹上對(duì)任意

ax,x<\

的再HX2,都滿足“"J一〃％)<0,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是().

再-x2

【答案】C

【分析】由題意可得函數(shù)/'(X)在區(qū)間(-8,+8)上單調(diào)遞減，進(jìn)而結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性求解即可.

【詳解】由題意，函數(shù)/(X)在區(qū)間(-*+8)上單調(diào)遞減,

2〃—1<0

貝

40<Q<1解得。

3

U22?！狪d—

I4

即實(shí)數(shù)。的取值范圍是(0,：

故選：C.

12-1(24-25高一上?上海?期末)已知函數(shù)/(x)=3，,則下列命題正確的是()

①對(duì)于任意占、x2eR,都有〃x/X2)=/(xJ+〃X2)成立；

②對(duì)于任意為、x2eR,且占HX2,都有成立;

Ax-x2

③對(duì)于任意不、七eR,且七，都有"不)；"“)>/廣;成立；

④存在實(shí)數(shù)。，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,都有/(x+a)=/(a-x)成立.

A.①②B.③④C.②③④D.②③

【答案】D

【分析】利用指數(shù)募的運(yùn)算可判斷①；利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可判斷②；利用基本不等式可判斷③；禾煙

函數(shù)的對(duì)稱性可判斷④.

【詳解】因?yàn)?(x)=3、，且該函數(shù)在R上為增函數(shù)，

對(duì)于①，對(duì)于任意X〕、x2eR,都有=3*戶2=/(玉+七)//(再)+/(七)，①錯(cuò)；

對(duì)于②，對(duì)于任意X〕、x2eR,且x產(chǎn)無2，不妨設(shè)為<%2，則/(占)</(七)，

則竽②對(duì)；

△xxx-x2

對(duì)于③，對(duì)于任意x〔、x2eR,且西W無2，

/（芭）+/（%2）=33+3電__________X]+%2玉+x

>4^=尸=f2③對(duì);

2——2~2

對(duì)于④，若存在實(shí)數(shù)。，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)X,都有〃x+a)=/(a-x)成立,

則函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱，事實(shí)上，函數(shù)/(x)=3工的圖象無對(duì)稱軸，④錯(cuò).

故選：D.

12-2（24-25高一上?上海?階段練習(xí)）已知/（x）=［g］,a,b>0,/=/（等］,G=,

H=f\-試寫出A,G,巨的大小關(guān)系

【答案】A<G<H

【分析】根據(jù)基本不等式易得孚之信士當(dāng)，進(jìn)而結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小即可.

【詳解】由凡b>0,則審之必，當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)等號(hào)成立，

而工"，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，

a+b27ab

EI6、i—r、Zab

則一2-

2a+b

因?yàn)楹瘮?shù)=為減函數(shù)，

所以/］金卜/(而)”［篙)，即心GWH.

故答案為：A<G<H.

12-3(24-25高一上?上海?期末)已知函數(shù)了=/(x)的表達(dá)式〃x)=1-a(aeR).

3+1

(1)證明：函數(shù)y=〃x)在其定義域上是嚴(yán)格減函數(shù)；

⑵是否存在實(shí)數(shù)。，使得函數(shù)了=/(x)是奇函數(shù)？并說明理由.

【答案】(1)證明見解析

⑵存在，理由見解析

【分析】(1)利用減函數(shù)的定義即可證明結(jié)論.

(2)證明當(dāng)a=g時(shí)/(x)是奇函數(shù)即可.

【詳解】(1)函數(shù)〃x)=”■-。的定義域?yàn)镽,而對(duì)任意Xj，zeR,再<%,有

3+1

所以函數(shù)了=/(x)在其定義域上是嚴(yán)格減函數(shù).

11

(2)當(dāng)時(shí)，有〃-x)+〃x)=—1—-1+—1—-=^+——-1=1-1=0,即函數(shù)y=/(x)是奇

2」')八)3-x+l23工+123'+13*+1

函數(shù).

所以存在。=；,使得函數(shù)了=/。)是奇函數(shù).

12-4(24-25高一上?上海?階段練習(xí))已知M是滿足下列性質(zhì)的所有函數(shù)/(x)組成的集合：對(duì)于函數(shù)

存在常數(shù)左，使得對(duì)函數(shù)〃x)定義域內(nèi)的任意兩個(gè)自變量X1，％，均有|/(占)-/(%)怕看玉-x?|成

立.

⑴已知函數(shù)g(x)=〃x2+bx+c￡M,寫出實(shí)數(shù)。，b,C必須滿足的條件；

(2)對(duì)于集合初中的元素=x>0,求出滿足條件的常數(shù)人的最小值；

⑶判斷0(x)=3*是不是集合初中的元素，并說明理由.

【答案】⑴a=o,八o),CGR

⑵3

(3)°(x)=3,不是集合M中的元素，理由見解析

即當(dāng)再時(shí)，存在常數(shù)左，使得g(xJ_g(Z)］岸恒成立,進(jìn)而求解

【分析】(1)結(jié)合題意g(x)eM,

再-x2

即可;

〃(西)一〃(%2)

(2)結(jié)合(1)可得當(dāng)&RX2時(shí)，存在常數(shù)無，使得4左恒成立，進(jìn)而結(jié)合題設(shè)求解即可;