專(zhuān)題06募函數(shù)與指數(shù)函數(shù)

但思維導(dǎo)圖

任知識(shí)梳理__________________________________________________

(-)幕函數(shù)

1.暴函數(shù)的定義

一般地，形如y=x"的函數(shù)稱(chēng)為幕函數(shù),其中尤是自變量，。為常數(shù).

2.常見(jiàn)的5種累函數(shù)的圖象

3.常見(jiàn)的5種幕函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)特征

7

尸Xy=x^y=x3y=x~i

性質(zhì)

定義域RRR[0,+°0){x|xGR,且xWO}

值域R[0,+8)R[0,+°0){ylydR,且>力0}

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

(-)指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

a>l0<〃<1

圖象(^=1

°°x

函數(shù)的定義域?yàn)镽；值域?yàn)?0,+8)

函數(shù)圖象過(guò)定點(diǎn)(0.1),即當(dāng)x=。時(shí)，y=l

性質(zhì)當(dāng)x>0時(shí)，恒有v>l；當(dāng)x>0時(shí)，恒有0<v<l；

當(dāng)x<0時(shí)，恒有0<y<l當(dāng)x<0時(shí)，恒有注1

函數(shù)在定義域R上為增函數(shù)函數(shù)在定義域R上為減函數(shù)

2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較

如圖是指數(shù)函數(shù)(l)y=",(2)y=y,(3)y=F,(4)y=tf的圖象，底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d>l>a>b.

由此我們可得到以下規(guī)律：在y軸右(左)側(cè)圖象越高(低)，其底數(shù)越大.

史題型精析

題型一塞函數(shù)的概念

【典例1】(2020?廣東省高一期末)若函數(shù)/(幻=(療—2〃/—2)廿一是塞函數(shù)，則機(jī)=()

A.3B.-1C.3或—1D.1±6

【答案】C

【解析】

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)=(4—2加一2卜力是嘉函數(shù)，所以療一2租-2=1,

解得加二一1或加=3.

故選:C

【典例2】(2022.江蘇徐州.高一期末)若幕函數(shù)了⑺的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),則/⑵的值為()

A.JB.正C.V2D.2

22

【答案】C

【分析】設(shè)/'(幻=/，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，再代入求值即可；

【詳解】解：設(shè)/(幻=/，因?yàn)槟缓瘮?shù)AM的圖象過(guò)點(diǎn)(4,2),所以綢=2,解得&=所以〃x)=￡，

所以42）=25=V2；

故選：C

2

【典例3】（2020.江蘇高考真題）已知y=/（x）是奇函數(shù)，當(dāng)無(wú)K）時(shí)，〃尤）=/，則八8）的值是.

【答案】-4

【解析】

先求/（8）,再根據(jù)奇函數(shù)求/（-8）

【詳解】

2

/（8）=貨=4,因?yàn)?（X）為奇函數(shù)，所以/（-8）=—/（8）=7

故答案為：—4

【特別警示】

形如y=x?的函數(shù)叫幕函數(shù)，這里需有：（1）系數(shù)為1,（2）指數(shù)為一常數(shù)，（3）后面不加任何項(xiàng).例如y=3x、

,=^+1、>=無(wú)2+1均不是嘉函數(shù)，

題型二募函數(shù)的圖象和性質(zhì)

【典例4】（2022.江蘇?高一）若基函數(shù)y=/,y=x〃在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖所示，則的大小關(guān)

系正確的是（）

-y=xa

A.a>l>bB.b>l>aC.0>a>bD.0>b>a

【答案】A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)以及圖象的特點(diǎn)即可得。、b的大小關(guān)系,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).

【詳解】y=x"和y=f在（0,+e）上單調(diào)遞增，所以。>0,b>0,

當(dāng)x>l時(shí)，y=x"圖象在y=x上方，所以。>1,

當(dāng)x>l時(shí)，y=尤”圖象在>=x下方，所以占<1,

所以。>1>6,

故選：A.

【典例5】（2022?江蘇泰州?高一期末）若累函數(shù)〃彳人—―在區(qū)間（0,+功上是減函數(shù)，則整數(shù)機(jī)=

【答案】2

【分析】由題意可得病一4m+3<0,求出加的取值范圍，從而可出整數(shù)機(jī)的值

【詳解】因?yàn)槟缓瘮?shù)〃x）=+3在區(qū)間（0,+功上是減函數(shù)，

所以〃/一4，〃+3<0,解得

因?yàn)椤▃eZ,

所以“2=2,

故答案為：2

【典例6】（2021?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中，

①事函數(shù)的圖象不可能在第四象限；

②當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)y=x"的圖象是一條直線；

③當(dāng)a>0時(shí)，塞函數(shù)y=x"是增函數(shù)；

④當(dāng)a<0時(shí)，塞函數(shù)>=尤"在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x值的增大而減小.

其中正確的序號(hào)為.

【答案】①④

【分析】根據(jù)基函數(shù)的定義與性質(zhì)判斷.

【詳解】x>0時(shí)，尤">0,因此①正確；

當(dāng)a=0時(shí)，是直線y=l但去掉（0,1）這一點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；

當(dāng)a>0時(shí)，累函數(shù)y=x"僅在第一象限是遞增的，如y=/,故③錯(cuò)誤；

當(dāng)aVO時(shí)，塞函數(shù)y=x"在第一象限內(nèi)是減函數(shù)，④正確.

故答案為：①④.

【規(guī)律方法】

累函數(shù)>=犬的形式特點(diǎn)是，，塞指數(shù)坐在x的肩膀上，，，圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1).它們的單調(diào)性要牢記第一象限的圖

象特征：當(dāng)a>0時(shí)，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)a<0時(shí)，第一象限圖象是下坡遞減.然后根據(jù)函數(shù)的奇

偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可.

題型三寨函數(shù)圖象和性質(zhì)的應(yīng)用

【典例7】(2021?江蘇?高一單元測(cè)試)已知幕函數(shù)/'。)=(加+〃L1)尤是增函數(shù)，則7〃=()

A.1B.-2C.1或一2D.2或-1

【答案】A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義和單調(diào)性可得答案.

【詳解】塞函數(shù)=(/+m-l)xm是增函數(shù)，

所以〃/+，"-1=1,解得,2=1,或m=一2,

當(dāng)口=1時(shí)，貝Ijf(x)=尤是增函數(shù)，

當(dāng)m=-2時(shí)，/(無(wú))=工一2不是增函數(shù)，；.根=1.

故選：A.

【典例8】(2020?黑龍江省鐵人中學(xué)高二期中(文))已知函數(shù)〃%)=(病—加—1)，+小是累函數(shù)，且

在(0,+co)上為增函數(shù)，若且a+b>0,ab<0,則/(a)+/(E)的值()

A.恒等于0B.恒小于0C.恒大于0D.無(wú)法判斷

【答案】C

【解析】

函數(shù)/(%)=(m2—m—1卜蘇+R是基函數(shù)，則1一加一i=i,解得機(jī)=2或m=—1.

當(dāng)爪=—1時(shí)，f(x)=x-',在(0,+8)上為減函數(shù)，排除；

當(dāng)相=2時(shí)，f(x)=x5,在(0,+8)上為增函數(shù)，滿足；

f(x)=x5,函數(shù)為奇函數(shù)，故在H上單調(diào)遞減.

a+b>0,故。>一)，/(?)>/(-/?)=-/(/?),故+

故選：c.

【典例9】（2021?江蘇?高一課時(shí)練習(xí)）求下列各式中實(shí)數(shù)a的取值范圍：

33

⑴a4>0.5"

22

（2）（-2）3>（2a+4）3

【答案】（1）a>0.5；（2）（-3,-1）.

【分析】（1）根據(jù)基函數(shù)y=￡的單調(diào)性得結(jié)論；

（2）由函數(shù),=/的單調(diào)性得結(jié)論.

33

【詳解】解（1）因?yàn)樾?行，所以位0.又函數(shù)/=/在［0,+◎上為單調(diào)增函數(shù)，所以a>05

22

（2）（-2））=2獲

2

①當(dāng)2a+4N0時(shí)，由函數(shù)、=戶在［0,+8）上為增函數(shù)知2>2a+4N0,即-2%<—1；

2

②當(dāng)2a+4<0時(shí)，由函數(shù),=;（5在（一0，0］上為減函數(shù)知一2<2a+4<0,即一3<。<一2.

綜上所述，。的取值范圍是（一3,-1）.

【總結(jié)提升】

1.在比較幕值的大小時(shí)，必須結(jié)合塞值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不

同次數(shù)的暴函數(shù)值比較大小：常找到一個(gè)中間值，通過(guò)比較募函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷.準(zhǔn)確掌握

各個(gè)塞函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.利用累函數(shù)的性質(zhì)比較累值大小的方法步驟.

第一步，據(jù)指數(shù)分清正負(fù)；

第二步，正數(shù)區(qū)分大于1與小于1,a>\,ot>O時(shí)，aa>l；0<a<l,a>0時(shí)0<aa<l；a>l,a<0時(shí)0<aa<l；0<tz<L

a<0時(shí),aa>l；

第三步，構(gòu)造募函數(shù)應(yīng)用哥函數(shù)單調(diào)性，特別注意含字母時(shí)，要注意底數(shù)不在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的情形.

2.給定一組數(shù)值，比較大小的步驟.

第一步：區(qū)分正負(fù).一種情形是募函數(shù)或指數(shù)函數(shù)值即累式確定符號(hào)；另一種情形是對(duì)數(shù)式確定符號(hào)，要

根據(jù)各自的性質(zhì)進(jìn)行.

第二步：正數(shù)通常還要區(qū)分大于1還是小于1.

第三步：同底的幕，用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性；同指數(shù)的暴用事函數(shù)單調(diào)性；同底的對(duì)數(shù)用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性.

第四步：對(duì)于底數(shù)與指數(shù)均不相同的事，或底數(shù)與真數(shù)均不相同的對(duì)數(shù)值大小的比較，通常是找一中間值

過(guò)渡或化同底（化同指）、或放縮、有時(shí)作商（或作差）、或指對(duì)互化，對(duì)數(shù)式有時(shí)還用換底公式作變換等等.

【易錯(cuò)警示】用幕函數(shù)的性質(zhì)解題時(shí)，易忽略函數(shù)的定義域及不同單調(diào)區(qū)間的討論.

題型四指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用

【典例10】(2021?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)/(x)=qj的圖像如圖所示，其中。，6為常數(shù)，則下列結(jié)論正確

的是()

A.a>l,b<0B.a>l,b>0C.0<?<l,b>0D.0<a<l,b<0

【答案】D

【分析】由函數(shù)的單調(diào)性得到。的范圍，再根據(jù)函數(shù)圖像平移關(guān)系分析得到6的范圍.

【詳解】由函數(shù)/(x)=ai的圖像可知，函數(shù)/5)=優(yōu)5在定義域上單調(diào)遞減，排除AB選項(xiàng);

分析可知：

函數(shù)=圖像是由丁=優(yōu)向左平移所得，,-b>0,.?.bcO.故D選項(xiàng)正確.

故選：D

【典例11](2021?江蘇?高一單元測(cè)試)若直線y=2a與函數(shù)丫=忙-1|的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則。的

取值范圍()

A.(0,—)B.[―,+<?)C.{0}u(—,+co)D.{0}u[—,+co)

【答案】D

【分析】畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象，數(shù)形結(jié)合分析即得解.

【詳解】畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象,

貝!j2<7=0或2a21,:.a=0^,a>—.

2

故選：D.

【典例12】（2021?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）函數(shù)+7（。>0,且。中1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)尸，尸在幕函數(shù)

/（無(wú)）=嚴(yán)的圖象上，則/（3）=；

【答案】27

【分析】先求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo)，然后代入幕函數(shù)/（耳=/中，即可求出事函數(shù)的方程，進(jìn)而可以求出/（3）.

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)>=。2-，+7（?>0,且。/1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)尸，

所以由指數(shù)型函數(shù)性質(zhì)得P（2,8）,

因?yàn)槭谌瘮?shù)/（%）=j的圖象上

所以2。=8,解得a=3,

所以/（x）=x3,f（3）=27.

故答案為：27

【總結(jié)提升】

1.?？碱}型及技法

（1）已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷選項(xiàng)中的圖象是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除.

（2）對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱(chēng)變換

而得到.特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類(lèi)討論.

（3）有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往是利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合求解.

（4）判斷指數(shù)函數(shù)圖象上底數(shù)大小的問(wèn)題，可以先通過(guò)令x=l得到底數(shù)的值再進(jìn)行比較.

2.識(shí)圖的三種常用方法

(1)抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：

①?gòu)暮瘮?shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置；②從函數(shù)的單調(diào)性，判

斷圖象的變化趨勢(shì)；③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù)；④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱(chēng)性.⑤從函

數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

(2)抓住函數(shù)的特征，定量計(jì)算：

從函數(shù)的特征點(diǎn)，利用特征點(diǎn)、特殊值的計(jì)算分析解決問(wèn)題.

(3)根據(jù)實(shí)際背景、圖形判斷函數(shù)圖象的方法：

①根據(jù)題目所給條件確定函數(shù)解析式，從而判斷函數(shù)圖象(定量分析)；

②根據(jù)自變量取不同值時(shí)函數(shù)值的變化、增減速度等判斷函數(shù)圖象(定性分析).

3.過(guò)定點(diǎn)的圖象

(1)畫(huà)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,aWl)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(0,1),(1,a),?特別注意，指數(shù)函數(shù)的

圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)；

(2)>=相與>=?！?的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；

(3)當(dāng)a>l時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象呈上升趨勢(shì)，當(dāng)0<a<l時(shí)，指數(shù)函數(shù)的圖象呈下降趨勢(shì)；簡(jiǎn)記：撇增捺

減.

題型五：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

【典例13】(北京高考真題(理))已知函數(shù)/(》)=3'—(g廠，貝U/(x)()

A.是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)B.是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù)D.是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)

【答案】A

【解析】

分析：討論函數(shù)/(x)=3*—的性質(zhì)，可得答案.

詳解：函數(shù);?(x)=3=[g]的定義域?yàn)镽,且

/(—》)=3一"-[g[=-3-1-f1=-/(x),即函數(shù)是奇函數(shù),

乂y=3',y=—[g）在R都是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)/（x）在R上是增函數(shù).

故選A.

【典例⑷（2021?江蘇?揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高一期中）己知.=b=/，c=Hj'貝"，乩。的大小

順序?yàn)椋ǎ?/p>

A.c>b>aB.a>obC.a>b>cD.b>c>a

【答案】D

【分析】由指數(shù)函數(shù)和幕函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.

【詳解】?.?>=,）為減函數(shù)，又;〉g，

心卜出,即…，

又y=x（為增函數(shù)，且2>（

1

:.b>c,

:?b>c>a,

故選：D

【典例15】（2021?眉山市彭山區(qū)第一中學(xué)高三月考（理））已知函數(shù)/（x）=2_77是減函數(shù)，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】"

【分析】

根據(jù)減函數(shù)定義可直接構(gòu)造方程組求得結(jié)果.

【詳解】

1—3〃<0

“X）是定義域R上的減函數(shù)，，0<。<1

（l-3a）x7+10〃>

1一3a<0

即，0<a<l,解得：.?.實(shí)數(shù)”的取值范圍為.

故答案為：.

【典例161(2022?江蘇省響水中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試)已知函數(shù)/(工)=優(yōu)(〃>0且。。1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-2,16).

71

(1)求a,并比較/■(〃/+：)與/(相-:)的大??；

44

(2)求函數(shù)g(x)=a*+21的值域.

171

【答案】(1).="/(m2+-)</(/?--)

(2)[64,+co)

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(-2,16)代入求出。，即可得到函數(shù)解析式，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用作

差法比較加+!7與1的大小，即可判斷；

44

(2)首先求出內(nèi)函數(shù)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；

(1)

解：由已知得：1=16,解得〃=所以

因?yàn)?(%)=')在R上單調(diào)遞減，(相之+^)-(m-i)=m2-m+2=(m-1)2+j>°,

7i

所以f(病+-)</o?--)；

(2)

解：H^J-X2+2X-4=-(^-D2-3^-3,

所以'J"I士QJ"=64，故g(x)的值域是歷4,+8).

【總結(jié)提升】

1在比較幕值的大小時(shí)，必須結(jié)合塞值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較，既不同底又不同

次數(shù)的募函數(shù)值比較大?。撼Ｕ业揭粋€(gè)中間值，通過(guò)比較哥函數(shù)值與中間值的大小進(jìn)行判斷.準(zhǔn)確掌握各

個(gè)累函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)底大圖高（逆時(shí)針?lè)较虻讛?shù)依次變大）.當(dāng)幕的底數(shù)不確定時(shí)，要注意討論

底數(shù)的不同取值情況.

3.根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象判斷底數(shù)大小的問(wèn)題，可以通過(guò)直線x=l與圖象的交點(diǎn)進(jìn)行判斷.如圖是指數(shù)函數(shù)（l）y

=ax,（2）y=b",（3）y=cx,（4）y=d”的圖象，底數(shù)a,b,c,d與1之間的大小關(guān)系為c>d>l>a>b.

規(guī)律：在y軸右（左）側(cè)圖象越高（低），其底數(shù)越大.

4.幕函數(shù)y=x"的形式特點(diǎn)是“塞指數(shù)坐在x的肩膀上”，圖象都過(guò)點(diǎn)（1,1）.它們的單調(diào)性要牢記第一象

限的圖象特征：當(dāng)。>0時(shí)，第一象限圖象是上坡遞增；當(dāng)時(shí)，第一象限圖象是下坡遞減.然后根據(jù)

函數(shù)的奇偶性確定y軸左側(cè)的增減性即可.

題型六：指數(shù)函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【典例17］（2021?江蘇?高一單元測(cè)試）某科技研發(fā)公司2021年全年投入的研發(fā)資金為300萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)

上，計(jì)劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%.則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)60。萬(wàn)元的年份是

（）（參考數(shù)據(jù)：lg2。0.301,但3。0.477,35土0.699,Igll21.041）

A.2027年B.2028年C.2029年D.2030年

【答案】C

【分析】設(shè)出未知數(shù)，列出不等式，求出〃的最小值為8,故答案為2029年.

【詳解】設(shè)九（〃eN*）年后公司全年投入的研發(fā)資金為貝Uy=300（1+10%）",令300（1+10%）”>600,

1g21g2

解得：1g2?0.301,lgll=L041代入后，解得：—^―?7.3,故〃的最小值為8,即2029

1g11-11g11-1

年后，該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)600萬(wàn)元.

故選：C

【典例18】（2022?江蘇常州?高一期末）2021年初，某地區(qū)甲、乙、丙三位經(jīng)銷(xiāo)商出售鋼材的原價(jià)相同.受

鋼材進(jìn)價(jià)普遍上漲的影響，甲、乙計(jì)劃分兩次提價(jià)，丙計(jì)劃一次提價(jià).設(shè)0<P<4,甲第一次提價(jià)P%,第

二次提價(jià)4%;乙兩次均提價(jià)與2％;丙一次性提價(jià)（P+4）%.各經(jīng)銷(xiāo)商提價(jià)計(jì)劃實(shí)施后，鋼材售價(jià)由高到

低的經(jīng)銷(xiāo)商依次為（）

A.乙、甲、丙B.甲、乙、丙

C.乙、丙、甲D.丙、甲、乙

【答案】A

【分析】根據(jù)題意，分別計(jì)算出提價(jià)后的價(jià)格，結(jié)合基本不等式，分析即可得答案.

【詳解】設(shè)提價(jià)前價(jià)格為1,

則甲提價(jià)后的價(jià)格為：(1+P%)(1+q%)=1+。％+4%+0.01網(wǎng)％,

乙提價(jià)后價(jià)格為：11+與9%)[+史19%)=1+0%+4%+0.01義]"191%,

丙提價(jià)后價(jià)格為：l+(P+q)%=l+P%+q%,

因?yàn)?<p<g,

所以(與幺)>pq,

所以++>(1+0%)(l+q%)>l+(p+q)%,即乙>甲>丙.

故選：A

【規(guī)律方法】

解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題重點(diǎn)解決以下幾點(diǎn)：

(1)閱讀理解、整理數(shù)據(jù)：通過(guò)分析快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等等；

(2)建立函數(shù)模型：關(guān)鍵是正確選擇自變量將問(wèn)題表示為這個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)的模型的過(guò)程主要是

抓住某些量之間的相等關(guān)系列出函數(shù)式，注意不要忘記函數(shù)的定義域；

(3)求解函數(shù)模型：主要是研究函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的值域、最大(小)值；

(4)回答實(shí)際問(wèn)題結(jié)果：將函數(shù)問(wèn)題的結(jié)論還原成實(shí)際問(wèn)題，結(jié)果明確表述出來(lái).

M專(zhuān)題訓(xùn)練

一、單選題

(2Xr>0

1.(2021.江蘇泰州.高一期末)函數(shù)/(幻=\;則/(/(-2))的值為()

[x+3,x<0,

A.-B.gC.2D.4

42

【答案】C

【解析】由分段函數(shù)定義先計(jì)算〃-2),再計(jì)算/(/(-2)).

【詳解】由題意/(—2)=-2+3=1,/./(/(-2))=f(l)=2.

故選：C.

2.(2022?江蘇省阜寧中學(xué)高一階段練習(xí))函數(shù)f(x)=1的圖象大致為()

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分析函數(shù)在x?0時(shí)的單調(diào)性及值域即可得解.

【詳解】由=-1可知，當(dāng)x?0時(shí)，“X)=61-1單調(diào)遞減，且/'(x)?/(0)0,

故選：C

3.(2021?江蘇?南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一期中)下列函數(shù)是奇函數(shù)且在(0,+8)上是增函數(shù)的是()

11

A.-3B.y=xd—C.y=|x|D.y=x

)vrx

【答案】A

【分析】利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性依次判斷選項(xiàng)即可.

1

【詳解】對(duì)選項(xiàng)A,設(shè)〃尤)=無(wú)"定義域?yàn)镽,

111

/(-x)=(-X)3=-^=-/(x)>所以函數(shù)=必為奇函數(shù).

根據(jù)募函數(shù)的性質(zhì)，->o,所以函數(shù)/⑺=/在(0,+力)為增函數(shù)，

故A正確.

對(duì)選項(xiàng)B,設(shè)/(x)=尤+,,令％=工，x2=l,xl<x2

x2

f(x1)-f(%2)=1+2-(l+l)=1>0,不滿足(0,+力)為增函數(shù)，

故B錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)C,設(shè)〃尤)=可，定義域?yàn)镽,/(-x)=|-x|=|x|=/(x)i

所以函數(shù)〃x)=K|為偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤.

對(duì)選項(xiàng)D,y=d,由募函數(shù)的性質(zhì)，一3＜0,函數(shù),=婷(0,+8)為減函數(shù)，

故D錯(cuò)誤.

故選：A

4.(2021?江蘇?高一單元測(cè)試)如圖是塞函數(shù)y=x°的部分圖像，已知a分別?。骸?、-3、-：這四個(gè)值，則與

C.—、3、一3、一D.3、一、一3、—

3333

【答案】A

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】當(dāng)。＜0時(shí)，幕函數(shù)y=/在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)。＞0時(shí)，幕函數(shù)y=x0在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，

所以G、G＞。。3、。4＜。，

當(dāng)時(shí)，幕函數(shù)y=丁在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增，

所以工-3＜%3＜戶＜爐，

所以相應(yīng)曲線G、G、。3、G的。依次為3,3.

故選：A

x.-x

5.(2021?江蘇?高一單元測(cè)試)函數(shù)y=的圖象大致為()

2

【答案】B

【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用特殊值法排除即可；

【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)y=〃x)=二二的定義域?yàn)镽,且/(-1)=￡等=〃耳，所以丫=/何=父產(chǎn)

為偶函數(shù)，又〃0)=等二=1,故排除A、C；又〃1)=與:>1,即/⑴>〃0),故排除D；

故選：B

6.(2022.江蘇省天一中學(xué)高一期末)“〃=1”是“第函數(shù)“句=(/-3〃+3)?/-3"在(0,+8)上是減函數(shù)”的一

個(gè)()條件

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】A

2

【分析】由幕函數(shù)〃x)=W-3“+3)”"一3"在(0,+向上是減函數(shù)，可得由充分、必要條件

的定義分析即得解

【詳解】由題意，當(dāng)九=1時(shí)，〃力=/在(0,+8)上是減函數(shù)，故充分性成立；

若幕函數(shù)“元)=W-3〃+3)?在(0,+“)上是減函數(shù)，

n2—3〃+3=1,、

則｛2C八，解得〃=1或〃=2

[n2-3n<0

故必要性不成立

因此=1”是“幕函數(shù)"X)=(/_3"+3)?/f在(0,+向上是減函數(shù)”的一個(gè)充分不必要條件

故選：A

7.(2020.江蘇.如皋市第一中學(xué)高一階段練習(xí))已知函數(shù)〃x)=(x-o)(x-6)(其中〃>>)的圖象如下圖所

示，貝iJg(x)=a'+Z7的圖象是()

【答案】A

【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象上特殊點(diǎn)的正負(fù)性,結(jié)合指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

/(0)<0ab<0(1)

【詳解】解：由圖象可知：/(D>0(l-a)(l-Z?)>0(2)

/(-D<0(-l-a)(-l-Z?)<0(3)

因?yàn)椤?gt;萬(wàn)，所以由⑴可得：a>0>b,

由(3)可得：-l-b>0=>b<-l,

由(2)可得：1一0>0=。<1,

因此有

所以函數(shù)g(x)=a*+8是減函數(shù)，g(0)=l+》<0,所以選項(xiàng)A符合,

故選：A

8.（2021?江蘇?高一期中）若指數(shù)函數(shù)y=b-優(yōu)在［42］上的最大值與最小值的和為6,則。=（）

A.2或-3B.-3

C.2D.—

2

【答案】C

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得出力=1,然后分。＞1、。＜“＜1兩種情況討論，分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合

已知條件可得出關(guān)于實(shí)數(shù)。的方程，解出即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)＞=6-優(yōu)為指數(shù)函數(shù)，所以6=1.

當(dāng)。＞1時(shí)，y=優(yōu)在［1,2］上的最大值為/,最小值為則/+a=6,解得a=2或a=-3（舍）；

當(dāng)0＜a＜l時(shí)，y=a*在［L2］上的最大值為a,最小值為則/+°=6,解得a=2（舍）或a=—3（舍）.

綜上可知，。=2.

故選：C.

二、多選題

f|Y-l,x＜0

9.（2021.江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一期末）已知函數(shù)〃x）=八2）,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

x^,x＞0

A.〃尤）的值域?yàn)椋╫,+8）B.“X）的圖象與直線＞=2有兩個(gè)交點(diǎn)

C.“X）是單調(diào)函數(shù)D.〃尤）是偶函數(shù)

【答案】ACD

【分析】利用指數(shù)函數(shù)、幕函數(shù)的性質(zhì)畫(huà)出的圖象，由圖象逐一判斷即可.

【詳解】函數(shù)“X）的圖象如圖所示，由圖可知“X）的值域?yàn)椋邸?+⑹，結(jié)論A錯(cuò)誤，結(jié)論C,D顯然錯(cuò)誤,

/（X）的圖象與直線＞=2有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)論B正確.

故選：ACD

10.（2022?江蘇?徐州中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)〃打=忙-1|,實(shí)數(shù)a"滿足/（a）"。）（”〃），則（）

A.2fl+26>2B.Ba,beR,使得0<a+6<l

C.2a+2b=2D.a+b<0

【答案】CD

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，作函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的特征，可得選項(xiàng)A、C的正誤，根據(jù)基本不等式，可

得選項(xiàng)B、D的正誤.

【詳解】畫(huà)出函數(shù)“力=忙-1的圖象，如圖所示.由圖知1一2。=2"-1，則2"+2&=2，故A錯(cuò)，C對(duì).

由基本不等式可得2=2"+2”>2?~^=2亞之，所以則a+b<0,故B錯(cuò)，D對(duì).

11.（2021?江蘇?無(wú)錫市市北高級(jí)中學(xué)高一期中）函數(shù)/（尤）=（：廣-6>5）在下列哪些區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減（）

A.（-8,3）B.（3,5）C.（1,3）D.（2,3）

【答案】ACD

【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)/（X）在（-8,3）上單調(diào)遞減，由此可得到正確選項(xiàng).

【詳解】由題意，函數(shù)>=（；）'在R上單調(diào)遞減，

又由函數(shù)>=-/+6x-5在（-<?,3）上單調(diào)遞增，在（3,+8）上單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)〃盼在（-叫3）上單調(diào)遞減，

結(jié)合選項(xiàng)，可得選項(xiàng)ACD符合題意.

故選：ACD.

12.（2021?江蘇?高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)/（%）=3*+/，若0<根<1<〃，則下列不等式一定成立的有（）

A./(m)>/(n)B.fmn)〈于(m+n)

C./(l-zn)</(n-l)D./(")</(心)

【答案】BD

【分析】結(jié)合f(x)的單調(diào)性以及特殊值、基本不等式，確定正確選項(xiàng).

【詳解】"x)=3*+V在R為增函數(shù)，

依題意0v幾，

所以/(㈤<〃江A錯(cuò)誤.

由基本不等式得2y1mn<m+n，B正確.

^m=-,n=-f則/。一㈤=/(〃一1),C錯(cuò)誤.

若。<”<1<臚,則f(加j</(〃m),D正確.

故選：BD

三、填空題

\[x,x>Q

13.(2021.江蘇.高一專(zhuān)題練習(xí))設(shè)函數(shù)〃幻=1則/"(T)]=________.

(5)",x<o,

【答案】4

【分析】由分段函數(shù)的解析式，先求/(-4),進(jìn)而可求/"(T)]的值.

【詳解】依題意，知：/(-4)=(-)^=16,又/(16)=屈=4,

""(-4)]=加6)=4.

故答案為：4.

14.(2021.江蘇.高一專(zhuān)題練習(xí))函數(shù)y=a"5+i且((”>。且。H1)的圖象必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

【答案】(5,2)

【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析定點(diǎn)

【詳解】令了一5=0,得x=5,此時(shí)y=2

故過(guò)定點(diǎn)(5,2)

15.(2021?江蘇南京?高一期末)已知函數(shù)〃無(wú)"Fz+Lx"',若〃”0))=3"，貝的值為

lx+ox,X>1,

【答案】4

【解析】根據(jù)自變量所屬的區(qū)間，代入相應(yīng)段的解析式求值即可.

【詳解】由題意可知"0）=2°+1=2,/（2）=22+2a=3a,解得a=4,

故答案為：4.

16.（2021.江蘇.高一專(zhuān)題練習(xí)）已知無(wú)論。取何值函數(shù)y=a*T+l（a>0,且awl）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)P,

且尸在幕函數(shù)八。的圖象上，則f（x）的解析式為;

【答案】/（力=?##〃尤）=，

【分析】求出定點(diǎn)尸的坐標(biāo)，然后求出幕函數(shù)的解析式即可.

【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)丁=優(yōu)-4+1（。>0,且。中1）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)尸（4,2）,

設(shè)塞函數(shù)為〃x）=x",P在嘉函數(shù)的圖象上，

可得：4“=2，解得a=g，

所以/=

故答案為：于=G

四、解答題

17.（2021?江蘇?高一課時(shí)練習(xí)）已知幕函數(shù)>=尤7"-6（mez）和（加GZ）的圖象都與無(wú)軸、y軸無(wú)交點(diǎn),

且函數(shù)y=f—m（m￡Z）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，求m的值.

【答案】m=4.

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的圖像性質(zhì)列不等式求解即可

【詳解】解因?yàn)閮蓚€(gè)幕函數(shù)的圖象都與x軸、y軸無(wú)交點(diǎn)，

[m-6<0

所以c八，解得2<m<6.

[2—相<0

又因?yàn)楹瘮?shù)y=f—W（M￡Z）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，

所以2—用為偶數(shù)，

即得加=4.

18.（2020.江蘇?贛榆智賢中學(xué)高一階段練習(xí)）已知函數(shù)/（x）=/T（a>0,且存D的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,；）.

（1）求a的值；

（2）設(shè)不等式/（元）V3的解集為A,求函數(shù)y=/（x）（xeA）的值域.

【答案】（1）|；（2）（0,3].

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)=的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,；）,由//=；求解.

（2）由於）=§）143=《尸，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得x20,再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)圖象過(guò)點(diǎn)（2,；）,

所以小4

解得“=；.

（2）/（x）=（1r1<3=（1r1,

所以12—1,

解得xNO,故A=[0,+8）,

因?yàn)樗?,

所以尤1N1,

所以0<（；）1*；尸=3.

所以函數(shù)的值域?yàn)椋?,3].

19.（2021.貴州省思南中學(xué)高三一模（理））已知幕函數(shù)〃%）=尤"+同’（加6“），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,、歷），試確

定掰的值，并求滿足條件“2—1）的實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】m=l,。的取值范圍為1,1]

【解析】

先根據(jù)哥函數(shù)的定義求出加的值，再根據(jù)累函數(shù)的單調(diào)性得到不等式組，解得即可.

【詳解】

;塞函數(shù)“X）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,、歷），

?*.y/2=2而+'"尸，

即2?—2（/+，”尸

加2+m=2.解得加=1或機(jī)=-2.

又；meN*，；?m=i.

1「、

二則函數(shù)的定義域?yàn)閇0,+8),并且在定義域上為增函數(shù).

2-a>0

3

由/(2—。)>/(。-1)得<tz-l>0解得1V〃<一.

2

2—a〉a—1

,a的取值范圍為1，1].

20.(2021?江蘇?高一單元測(cè)試)已知函數(shù)〃尤)=2,和g(x)=X3的大致圖象如圖所示，設(shè)這兩個(gè)函數(shù)的圖象

相交于點(diǎn)4(%,%)和3(町%)，且再<三.

(1)請(qǐng)指出圖中曲線C-G分別對(duì)應(yīng)哪一個(gè)函數(shù);

⑵若石e[q,a+l],x^\b,b+\\,且a,&G{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},指出a,6的值，并說(shuō)明理由.

【答案】(1)G：g(x)=/,C2：〃x)=2.

(2)a=l,b=9,理由見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)與幕函數(shù)的增長(zhǎng)速度判斷;

(2)由毛，巧是使兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量元的值，分xl<x<x2,x>x2,得到了(%)與g(x)

的大小關(guān)系判斷.

(1)

解：由指數(shù)函數(shù)與嘉函數(shù)的增長(zhǎng)速度，知:

G對(duì)應(yīng)函數(shù)g(x)=x3,C2對(duì)應(yīng)函數(shù)〃x)=2”.

(2)

依題意知毛，巧是使兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等的自變量元的值，

當(dāng)X<X]時(shí)，2X>x3,即/(x)>g(x)；

當(dāng)不<工<三時(shí)，f(x)<g(x)；

當(dāng)X〉超時(shí)，f(x)>g(x).

因?yàn)椤?)=2,g⑴=1,〃2)=2'4,g⑵=23=8,

所以X]C[1,2],即。=1；

因?yàn)?8)=28=256,g⑻=83=512,/⑻<g⑻，

7(9)=29=512,g(9)=93=729,〃9)<