第06講勾股定理的逆定理

s???

如果兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正

好相反，那么這樣的兩個命題

互逆命題e叫做互逆命題.______________

如果f定理的逆命題經(jīng)過證明是正

互逆命題與互逆定理?確的，那么它也是一個定理，則稱這

互逆定理0兩個定理互為逆定理

勾股定理的如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?

+b2=c2,那么這個三角形是直角三角

逆定理形

勾股定理的逆定理?~--------------------------------

能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)

勾股數(shù)O---------------------------------------------------

@@@@

1.互逆命題與互逆定理

(1)互逆命題的定義

如果兩個命題的題設(shè)和結(jié)論正好相反，那么這樣的兩個命題叫做互逆命題.如果把其中一個叫做原命題，

那么另一個叫做它的逆命題.

(2)互逆定理的定義

一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，則稱這兩個定理互為逆定理，

其中一個定理叫做另一個定理的逆定理.

2.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a,b,c滿足/+按=02,那么這個三角形是直角三角形，我們稱它為勾股定理的逆定理.

【注意】(1)若用勾股定理的逆定理判定一個三角形是直角三角形，那么其中最長邊所對的角是直角.不

能機械地認為c邊所對的角必是直角，例如：若。2/2=C2,則a邊所對的角是直角.

(2)勾股定理的逆定理在敘述時不能說成“當(dāng)斜邊長的平方等于兩條直角邊長的平方和時，這個三角形是

直角三角形”，在未判定三角形為直角三角形前，不能稱最長邊為“斜邊”，較短的兩邊為“直角邊”.

3.勾股數(shù)

能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)，即次+岳=02中，呢b,c為正整數(shù)時，稱a,b,

c為一組勾股數(shù).

勾股數(shù)的求法：

如果a為一個大于1的奇數(shù)，b,c是兩個連續(xù)自然數(shù)，且有。2=b+c,那么a,b,c為一組勾股數(shù).如3為

大于1的奇數(shù)，4,5為兩個連續(xù)自然數(shù)，且32=4+5,則3,4,5為一組勾股數(shù)，還有：5,12,13；1,24,

25；9,40,41；11,60,61；

1.互逆命題與互逆定理的關(guān)系

（1）命題有真有假，而定理都是真命題；

（2）每個命題都有逆命題，但不是所有的定理都有逆定理；

（3）互逆的兩個命題不一定同真或同假，互逆的兩個定理都是真命題.

2.利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是不是直角三角形的一般步驟

①確定三角形的最長邊；

②分別計算出最長邊的平方與另兩邊的平方和；

③通過比較來判斷最長邊的平方與另兩邊的平方和是否相等；

④作出結(jié)論，若相等，則說明這個三角形是直角三角形，否則不是直角三角形.

3.常見的勾股數(shù)有：①3,4,5；②6,8,10；③8,15,17；④7,24,25；⑤5,12,13；@9,12,15.常

見的勾股數(shù)需牢記，平時在解決問題時常用，有利于打開思路.

A考點剖析

【考點11直角三角形的判定

【例1】在AIBC中，BC=a,AB=c,AC=b,則不能作為判定△ABC是直角三角形的條件的是（）

A.ZA=ZB-ZCB.（a+b）（a-b）=c2

C.a:b:c=1:2:3D.ZA:ZB:NC=3:4:7

【答案】C

【解析】A、VZA=ZB-ZC,ZA+ZB+ZC=180°,ZB=ZA+ZC=90°,能判定ABC是直角三角形，

故不符合題意；

B,'：｛a+b\a-b）=c2,.-.a1-b2=c2,^a2=c2+b2,根據(jù)勾股定理逆定理可判定,ABC是直角三角形，故

不符合題意；

C、由匕:c=l:2:3可設(shè)。=元,6=2元,c=3無，則有a+Z?=3x=c,所以不能構(gòu)成三角形，更不能判定ABC

是直角三角形，故符合題意；

D、由NA:NB:NC=3:4:7可設(shè)NA=3左=4左,/。=7左，所以麻+44+7左=180。，解得7左=90。，能判

定，ABC是直角三角形，故不符合題意.

故選C.

【變式1】以下列各組數(shù)為邊長的三角形中，能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.3,4,6B.12,18,22

C.5n，45D.8,15,17

【答案】D

【解析】A、42+32^62,故不是直角三角形，不符合題意；

B,122+182^222,故不是直角三角形，不符合題意；

C.(74)2+(A/3)\(A/5)2,故不是直角三角形，不符合題意；

D,152+82=17\故是直角三角形，符合題意.

故選D.

【考點2］勾股數(shù)

【例2】若6、8、。為勾股數(shù)，貝U。的值為()

A.277B.10C.12D.2也

【答案】B

【解析】若6、8、。為勾股數(shù)，

當(dāng)8為最大數(shù)時，a2+62=82,解得a=二養(yǎng)=2力，6、8、2旨不符合勾股數(shù)定義；

當(dāng)a為最大數(shù)時，62+82=a2,解得a=Jg+6?=10，6、8、10符合勾股數(shù)定義.

。的值為10,故選B.

【變式2】下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()

A.6,9,12B.0.3,0.5,0.4C.52,122,132D.7,24,25

【答案】D

【解析】62+92^122,不能組成直角三角形，故選項A不符合題意；

0.3,0.5,0.4不是整數(shù)，不滿足勾股數(shù)的定義，故選項B不符合題意；

522+1222^1322,不能組成直角三角形，故選項C不符合題意；

,-72+242=252,能組成直角三角形，故選項D符合題意.

故選D.

【考點3】網(wǎng)格內(nèi)判定直角三角形

【例3】如圖，5x5網(wǎng)格中每個小正方形的邊長都為1,AABC的頂點均為網(wǎng)格上的格點.

B

(l)Afi=,BC=,AC=

(2)△A5C的形狀為__________三角形；

⑶求△ABC中AC邊上的高.

【解析】(1)由題可知，AB=6+2?=2內(nèi);

BC=V42+42=4A/2；

AC=A/22+62=2^0-

⑵解：'：AB2=8,BC2=32,AC2=(2A/10)2=40；

/.AB2+BC2=AC2;

，.MC為直角三角形.

(3)如下圖，過點8作AC的垂線，垂足為。；

?.BDLAC-,

：."C是直角三角形；

：.-AB-BC^-AC-BD-

22

.Rn20x40

2V10

**-BD=-A/10,即△ABC中AC邊上的高為一石.

55

B

【變式3】如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,求下列問題:

(1)試說明AABC是直角三角形；

(2)求點C到48的距離.

【解析】(1)解：由題圖可知：

BC2=12+22=5,AC2=42+22=20,AB2=42+32=25.

BC-+AC2=AB2,

ABC是直角三角形.

(2)由(1)可知：BC=非,AC=5/20=2A/5,AB=y/25=5,

：.S=|AC-BC=1X^X2A/5=5,

點C到AB的距離是當(dāng)胃=咎=2.

AB5

【考點4］利用勾股定理的逆定理求解

【例4】如圖，在△A3。中，AB=AC,BC=5,。為AB上一點，且CD=4,BD=3.

⑵求AC的長.

【解析】(1)證明：在△3CZ)中，

BD2+DC2=42+3?=25=52=BC",

Z\BCD為直角三角形,即Z.CDB=90°,

/.CD1AB-,

(2)解：設(shè)AB=AC=x,則AD=x—3,

在RtzXACD中，CD1+=AC1,

BP42+(x-3)2=x2,

25

解得：x=胃，

6

【變式4】如圖，在△ABC中，AB=13,AC=12,AC±BC,點。為△AfiC內(nèi)一點，且CZ)=3,BD=4.

⑴求BC的長;

(2)求圖中陰影部分(四邊形ABDC)的面積.

【解析】(1)解：在RtZ\ABC中，AC2+BC-=AB2,

■■BC=-^ABT-AC1=V132-122=5?

⑵解：VCD=3,BD=4,BC=5,

CD2+BD2=BC2,

：.ABCD為直角三角形，且XBDC=90°,

S?——BD-CDx4x3=6.

LAXD^rUn22

SyABC=5BC——xl2x5=30,

$四邊形4BZ>C=SABC—SBCD=24.

【考點5］勾股定理的逆定理的應(yīng)用

【例5】如圖，在筆直的公路A3旁有一座山，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路48上的。處開鑿隧道修通一條

公路到C處，已知點C與公路上的停靠站A的距離為15km,與公路上另一?？空?的距離為20km，?？?/p>

站之間的距離為25km,且CD_LAB.

(1)求修建的公路8的長；

(2)一輛貨車從。點到8點處走過的路程是多少？

【解析】(1)解：：AC=15km,BC=20km,AB=25km,

152+202=25\

ACS是直角三角形，/ACS=90。，

|ACxBC=^ABxCD,

CD=ACxBC4-AB=12(km).

故修建的公路CD的長是12km；

(2)解：在RtBDC中,BD=7BC2-CD2=16(km),

故一輛貨車從D點到B點處的路程是16km.

【變式5】如圖，學(xué)校有一塊三角形空地A5C,計劃將這塊三角形空地分割成四邊形ABDE和△EDC,分

別擺放“秋海棠”和“天竺葵”兩種不同的花卉，經(jīng)測量，ZEDC=90°,DC=3,CE=5,BD=1,AB=8,AE=1,

求四邊形ABDE的面積.

【解析】由題意得：AC=AE+CE=l+5=6,BC=3O+r)C=7+3=10,

ZEDC=90°,

在RtEDC中，由勾股定理得：DE=ylCE2-DC?="52-32=4,

62+82-102,

AC2+AB2=BC2,

：.ABC是直角三角形，且N54C=90°,

S四邊形ABOE=S.ABC~^^EDC=~AB-AC——D￡'Z)C=—x8x6——x4x3=18.

答：四邊形ABDE的面積為18.

【考點6］勾股定理的逆定理的拓展問題

【例6】在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,設(shè)c為最長邊，當(dāng)/+。2=°2時，ZkABC是直角三角形；

當(dāng)時，利用代數(shù)式/+片和,?的大小關(guān)系，探究△A3。的形狀(按角分類).

(1)當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、9時，AABC為________三角形；當(dāng)△ABC三邊分別為6、8、11時，△ABC

為_______三角形；

(2)猜想：當(dāng)"+/C?時，AABC為銳角三角形；當(dāng)°?時，AABC為鈍角三角形;

(填或或“=”)

(3)判斷:當(dāng)。=5,6=12時,

當(dāng)△ABC為直角三角形時，則。的取值為；

當(dāng)△ABC為銳角三角形時，則。的取值范圍________；

當(dāng)△A3C為鈍角三角形時，則。的取值范圍________.

【解析】(1)解：當(dāng)兩直角邊為6、8時，斜邊=病備=10，

.?.當(dāng)ABC三邊分別為6、8、9時，ABC為銳角三角形；

當(dāng)，ABC三邊分別為6、8、11時，ABC為鈍角三角形.

(2)解：由勾股定理逆定理可得，

當(dāng)4+62>02時，ABC為銳角三角形；

當(dāng)時，ABC為鈍角三角形；

(3)解：當(dāng)為直角三角形時，c式$$=13；

當(dāng)，45。為銳角三角形時，a2+b2>c2,

.-.12<c<13；

當(dāng)。為鈍角三角形時，a2+b2<c2,

則c的取值范圍為c>13,

.兩邊之和大于第三邊，

13<c<17.

【變式6】閱讀下列內(nèi)容：設(shè)a,b,c是一個三角形的三條邊的長，且。是最長邊，我們可以利用a,b,c

三條邊長度之間的關(guān)系來判斷這個三角形的形狀：①若/=片+。2,則該三角形是直角三角形；②若

a2>b2+c2,則該三角形是鈍角三角形；③若/<廿+°2,則該三角形是銳角三角形.例如：若一個三角形

的三邊長分別是4,5,6,則最長邊是6,62=36<42+52,故由③可知該三角形是銳角三角形，請解答以

下問題：

(1)若一個三角形的三邊長分別是7,8,9,則該三角形是_______三角形.

(2)若一個三角形的三邊長分別是5,12,無，且這個三角形是直角三角形，求V的值.

(3)當(dāng)。=2,6=4時，判斷△ABC的形狀，并求出對應(yīng)的0?的取值范圍.

【解析】(1)V72+82=49+64=113>92,

...三角形是銳角三角形，

故答案為：銳角；

(2)當(dāng)尤為斜邊，

則52+122=戶,

.'.x2=169,

當(dāng)12是斜邊，

則52+X2=122,

解得：(=119,

故(的值為169或119；

(3)Va=2,b=4,

?4—2<cv4+2,

/.4<C2<36,

若AABC是鈍角三角形，

貝”/VC?或/+,2<凡

則°?>20或0?<12,

20</<36或4<。2<12；

若AABC是直角三角形，

貝Ua2+b2=°2或/+°2=萬2,

則=20或=12；

若AABC是銳角三角形，

貝Ua2+b2Ac?或a?+<?>b~,

貝叱<20或02>12,

/.12<C2<20.

■過關(guān)檢測

一、單選題

1.若三角形的三邊長分別等于下列各組數(shù)，則能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.1,2,3B.3,4,5C.2,3,5D.6,8,12

【答案】B

【解析】A、儼+2?片32,不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

B、32+不=52,能構(gòu)成直角三角形，符合題意；

C、22+32^52,不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

D、62+82^122,不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

故選B.

2.在ZkABC中，的對邊分別為“，b,c且儲一廿=。2,則下列說法正確的是（）

A.NA是直角B.N3是直角C.IC是直角D.無法確定誰是直角

【答案】A

【解析】在A5C中，NAN5/C的對邊分別為a,b,c且標(biāo)一^二。?，則/=/+C2,

ABC是直角三角形，NA=90。.故選A.

3.如圖，在4x4的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點都在格點上，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A.△ABC的面積為10B.ZR4C=90°

C.AB=245D.點A到直線BC的距離是2

【答案】A

【解析】AC=A/12+22=A/5-AB=A/22+42=2^>BC=732+42=5>

AC2+AB2=(A/5)2+(2百『=5+20=25=BC?,

，N54C=90。，故B、C正確，不符合題意；

.■.SABC=^AC-AB=^xy[5x2y[5=5,故A錯誤，符合題意；

設(shè)點A到直線BC的距離是"

SABC=3BC.拉,

1,

—x5x/?=5,

2

:.h=2,

...點A到直線BC的距離是2,故D正確，不符合題意.

故選A.

4.如圖，在四邊形A3CZ）中，AB=20,3C=15,8=7,ZM=24,且？890?,下列結(jié)論中：①？。90?；

②ZA+/C=180°；③NC=120°；④S四邊形“B8=204.其中正確的結(jié)論是（）

A.②B.①②C.①④D.①③④

【答案】B

【解析】如圖所示，連接AC,

D

?.?在Rt^ABC中，?B90?,AB=20,3c=15,

/.AC"=AB-+BC2=202+152=625,

VCD=1,DA=24,

，CD2+AD2=12+242=625,

，CD-+AD1AC1,

,ACE）是直角三角形，且？O90?,故①正確；

NBAD+NBCD=360?ND-ZB=180?,故②正確；

Sw=S,+=；x15x20+gx7x24=150+84=234，故④錯誤;

根據(jù)現(xiàn)有條件無法得到ZC=120°,故③錯誤.

故選B.

5.在如圖所示的5x5的方格圖中，點A和點8均為圖中格點.若點C也在格點上，且滿足△ABC為以

為斜邊的直角三角形，則這樣的點。有()

B

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【解析】如圖，滿足條件的點C共有4個，故選D.

二、填空題

6.已知△A5C的三邊長分別為AB=10,BC=8,AC=6,則AB邊上的高為.

24

【答案】y

【解析】：ABC的三邊長分別為6、8、10,且6?+82=102,

.ABC是直角三角形，且斜邊長為10,

設(shè)邊上的高為人

根據(jù)三角形的面積得：S^ABC=^xACxBC=^xABxh,

-：AB=10,BC=8,AC=6,

,ACxBC

h=---------=——6x8=——24,

AB105

24

故答案為：—.

7.在ZkABC中，NC=90o,NA,NB,NC的對邊分別為久b、c,下列條件中：①〃=上2：3；②

(a+b)(a-b)=c2；③NA:N3:NC=1:1:2；@a=9,b=40,c=41.能判斷ZkABC是符合條件的直角三角

形的有個.

【答案】3

【解析】①由題意知，a2+b2=c2,貝是符合條件的直角三角形，符合題意;

②由題意知，c2+/?=〃，則ABC是直角三角形，但不是符合NC=90。條件的直角三角形，故不符合題意;

③由題意知NA=45。,/B=45。,/C=90。，則.ABC是符合條件的直角三角形，符合題意；

④由題意知"+/二。?，則.ABC是符合條件的直角三角形，符合題意；

即符合要求的只有3個，故答案為：3.

8.如圖，在AABC中，。是4B邊上一點，BD=1,CD=3,BC=410,AD=百，則AC的長為.

【答案】4

【解析】：30=1,CD=3,BC=M，

：.BD2+CD2=10,BC2=(V10)2=10,

^BD'+CD-^BC1,

故NCttB=NCDA=90°,

,AC7Abi+DC。=j7+9=4,故答案為：4.

9.如圖，某港口尸位于東西方向的海岸線上，甲、乙輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙

輪船每小時分別航行12海里和16海里，1小時后兩船分別位于點A,B處，且相距20海里，如果知道甲船

【答案】北偏東35°

【解析】由題意得："=1x12=12海里，PB=lxl6=16海里，ZAPN=55°,AB=20海里，

AP-+BP-=400=AB2,

ZAPS=90°,

ZBPN=35°,

乙船沿北偏東35。方向航行.故答案為北偏東35°.

10.如圖，點A是某景點所在位置，游客可以在觀光車站8或C處乘車前往，且AB=BC,因道路施工，

點C到點A段現(xiàn)暫時封閉，為方便出行，在BC這條路上的。處修建了一個臨時車站，由。處亦可直達A處,

若AC=1km,AD=0.8km,CD=0.6km.則路線AB的長為km.

【解析】AC=lkm,AD=0.8km,CD=0.6km,

AC2=1,">2=0.82=0.64,CD2=0.62=0.36,

AC2=AD-+CD2,

ACD是直角三角形；

:.AD±BC,

^AB=BC=x,貝1J瓦>=BC—￡>C=x-0.6,

由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，即V=0.82+(x-0.6)2,解得了=1,,

6

.-.AB=|km.故答案為：j.

66

三、解答題

11.如圖，已知ZkABC中，AB=17cm,3C=1女m,D是43上一點，連接CD,且CD=12cm,a>=5cm.求

NA的度數(shù).

【解析】BC=13,CD=12,BD=5,52+122=132,

BD2+CD2=BC2,

.,.△BCD為直角三角形，^BDC=90°,

:.ZADC=90°,

AB=17,BD=5,

:.AD=12=CD,

ZA=ZACD=45°.

12.如圖，在八48。中，A3邊上的垂直平分線OE與A3、AC分別交于點￡＞、E,且CB?=人序一。序.

A

(1)求證：ZC=90°；

(2)若AC=8,8C=6,求CE的長.

【解析】(1)證明：連接BE,如下圖:

：A8邊上的垂直平分線為OE,

AE=BE,

CB2=AE2-CE2,

：.CB-=BE2-CE1,

CB2+CE2=BE2,

???ZC=90°；

(2)設(shè)CE=x,則AEEiT-X,

,在必8CE中，

EC2+BC2=BE2,

即X2+62=(8-X)2,

7

解得：x=~,

4

7

則CE=j

4

13.如圖，四邊形ABC。是公園中的一塊空地，=90°,AB=6m,BC=8m,CD=24m,AD=26m.

(1)連接AC,判斷的形狀并說明理由；

(2)公園為美化環(huán)境，欲在該空地上鋪草坪，已知草坪每平方米需要費用200元，試問鋪滿這塊空地共需費

用多少元？

【解析】(1)解：ACD是直角三角形，理由如下:

如圖所示，連接AC,

在RtaABC中，ZB=90o,AB=6m,BC=8m,

根據(jù)勾股定理得：AC=yjAB2+BC2=10m-

在，ACD中，AC=10m,CD=24m,AD=26m,

V102+242-26\

AC2+CD2=AD2,

,ACD是直角三角形.

2

(2)解：SABC=^-X6X8=24m,

1,

SACD=—xlOx24=120m,

S四邊形745cB=24+120=144m",

144x200=28800元，

即鋪滿這塊空地共需費用28800元.

14.已知AABC的三邊分別為⑺1>〃>0),b=m+n,c=2j嬴.

Cl)求證：AABC是直角三角形；

(2)利用第(1)題的結(jié)論，寫出兩組，明〃的值，要求三角形邊長均為整數(shù).

【解析】(1),a^m-n(m>n>0),b=m+n,c=2>fmn,

cT+c2=(/w—n)"+(2。mn)=m2+n2—2mn+4mn=(m+,

b2=(m+zi)2=a2+c2,

...△ABC是直角三角形，其中a、c為直角邊，6