專題：不規(guī)則圖形的體積算法

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一、選擇題

1.下面使用轉化思想解決問題的是（）。

求不規(guī)則物體的體積

④

A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④

2.一個棱長是30cm的正方體盒子里面裝了一些水，水深20cm,將一塊石頭完全浸入水中,

水面上升了4cm,這塊石頭的體積是（）cn?。

A.1600B.2400C.3600D.18000

3.如圖，如果將同樣大小的石塊放在四個不同的容器中（石塊完全浸沒，且水未溢出），

5.如圖，兩個圓柱形容器盛有相同體積的水，①號容器原來水面高是8cm,放入小球后水

面的高是10cm,②號容器放入同樣大的小球和一個小正方體后水面的高是28cm，小球的

體積與小正方體體積的比是（）。

①②

A.15：32B.3：32C.32：15D.64：15

二、填空題

6.有小中大三個正方體水池，從里面測量它們的邊長分別是2米、3米、6米，把兩堆沙分

別倒入小、中號水池，水面分別上升了4厘米、6厘米，如果把兩堆沙都倒入大號水池，大

號水池水面上升（）厘米。

7.根據下圖信息（單位：厘米），石塊的體積是（）立方厘米。

小石塊

2020

8.一個長5dm、寬3dm、高5dm的長方體玻璃缸內盛有2dm深的水，放入一個石塊后，

水深2.2dm,這個石塊的體積是（）dm3o

9.把一塊石頭，浸沒在一個底面積是60平方厘米的圓柱形容器里，容器的水面上升了1.5

厘米，這塊石頭的體積是（）立方厘米。

10.一個棱長5厘米的正方體玻璃水箱，里面裝有3厘米深的水，當把一塊不規(guī)則的石頭完

全浸入水中后，水面上升到4厘米，這塊石頭的體積是（）立方厘米。

11.一個圓柱形透明水缸，底面直徑40厘米，把一個石球浸沒在水中，缸內水面上升了2.5

厘米，這個石球的體積是（）立方厘米。

12.一瓶水750mL,如下圖，小剛喝了一些后，把瓶蓋擰緊后倒置放平，小剛喝了

)mLo

凈含量

750mL

o

3

13.一個圓柱形杯子從里面量底面直徑是20厘米，里面裝有一些水，正好是杯子容積的;，

將一塊石子浸沒在水里，水面上升了12厘米，剛好和杯口齊平。這個杯子的容積是（）

毫升。

14.一個從里面量底面直徑是20厘米的圓柱形玻璃杯內盛有一些水，恰好占杯子容量的

40%,將一塊石塊完全沒在水中，這時水面上升了12厘米，剛好與杯子口相平，這個玻璃

杯的容積是（）毫升。

15.有一個長方體水箱，從里面量底面積是24平方分米，水面高度是5分米。將一個西瓜

放入水箱，完全浸沒在水中，水面高度上升到5.4分米。這個西瓜的體積是（）立方

分米。

16.在一個從里面量底面半徑是5厘米，高是10厘米的圓柱形杯內倒入高8厘米的水后，

再放入一個小石塊全部浸沒水中，水滿后又溢出水10毫升，放入的小石塊的體積是（）

立方厘米。

17.一個棱長為3dm的正方體水箱中裝有半箱水，現(xiàn)在把一塊石頭完全浸沒在水中，水面

上升了6cm,這塊石塊的體積是（）dm3o

三、判斷題

18.在一個裝有50毫升水的量杯中放入一塊石頭，水面上升到75毫升，這塊石頭的體積就

是75立方厘米。（）

19.小麗將一塊建筑用磚放入一個里面長40cm、寬30cm的水槽中，完全浸沒，過一會她

將磚塊拿出后發(fā)現(xiàn)水面下降0.8cm,所以磚塊的體積是40x30x0.8=960（cm3）0（）

20.如圖（單位：cm）,正方體的體積比小球的體積大。（）

21.把一個物體放入水中（完全浸沒，水未溢出），上升的水的體積就是這個物體的體積。

22.把皮球放入盛滿水的容器中，溢出水的體積比皮球的體積大。（)

四、計算題

23.求下面圖形的體積。（無取3.14）

,10,,10

24.計算出石頭的體積是多少立方厘米?

五、解答題

25.一個長方體魚缸長7.2分米、寬5分米，魚缸里的水深3分米，把淹沒在里面的一塊假

山石撈出來后，魚缸里的水面下降了3厘米，這塊假山石的體積是多少？

26.一個棱長為16厘米的正方體容器內水深8厘米，將一個不規(guī)則的鐵塊放入水中（完全

浸沒)，水面上升，此時水面與容器口處相差3厘米。這個鐵塊的體積是多少立方厘米?

27.一個盛滿水的底面內半徑為20厘米的圓柱形容器里，有一個底面半徑是10厘米的圓錐

完全浸入水中，取出圓錐后，容器里的水面下降了2厘米。

(1)圓錐的體積是多少立方厘米？

(2)圓錐的高是多少厘米？

28.如圖所示，玻璃容器的底面半徑為4厘米，它的里面裝有一部分水，水中浸沒著一個高

6厘米的圓錐形鉛錘，當鉛錘從水中取出后，水面下降了1.5厘米，這個鉛錘的底面積是多

少平方厘米?

29.一個長12厘米、寬6厘米的長方體水槽中裝有水，把一塊石頭浸沒在水中，水面高度

由5厘米上升到8厘米(水未溢出)。求這塊石頭的體積。

30.一個長方體容器裝有45升的水，將一個鐵球浸沒在水中時，容器內的水深達到5.7分

米。如果再放入一個體積為3.2立方分米的鐵球，這個長方體容器里的水會溢出來嗎？（請

通過計算說明）

5.7dm

31.如圖是從一段鋼材上截下的一段（單位：厘米），如果每立方厘米的鋼材重7.8克，這

段鋼材重多少克？

H-8-H

32.學了體積后，媽媽拿出一塊不規(guī)則的土豆問小華，你能算出它的體積嗎？小華想了想，

找來一個從里面量長12厘米，寬10厘米，高15厘米的長方體容器，里面水深8厘米，放

入土豆后，土豆全部浸沒在水中，水面上升到9.5厘米，你能幫小華算出土豆的體積是多少

立方厘米？

《專題：不規(guī)則圖形的體積算法(專項訓練)小升初數(shù)學復習》參考答案

1.D

【分析】①把圓柱的體積轉化為長方體，利用長方體體積公式，推導出圓柱的體積公式,

用了轉化思想解決問題。

②把圓柱的側面積轉化為長方形，利用長方形面積公式，推導出圓柱的側面積公式，用了

轉化思想解決問題。

③把瓶子中的液體轉化為兩個圓柱的容積，求出瓶子的容積，用了轉化思想解決問題。

④把不規(guī)則物體的體積轉化為圓柱的體積，求出不規(guī)則物體的體積，用了轉化思想解決問

題。據此解答。

【詳解】根據分析可知，使用轉化思想解決問題的是①②③④。

推導圓柱體積公式推導圓柱側面積公式求瓶子的容積求不規(guī)則物體的體積

①②③④

故答案為：D

2.C

【分析】由題意可知，上升的水的體積等于這塊石頭的體積，上升的水的體積可以看成長是

30cm,寬是30cm,高是4cm的長方體的體積，根據長方體的體積=長乂寬x高，代入數(shù)據

計算即可。

【詳解】30x30x4=3600(cm3)

一個棱長是30cm的正方體盒子里面裝了一些水，水深20cm,將一塊石頭完全浸入水中，

水面上升了4cm,這塊石頭的體積是3600cm5。

故答案為：C

3.D

【分析】將石塊浸沒在水中，水面上升部分的體積就是石塊的體積。水面上升部分形成了一

個長方體，長方體體積=底面積x高。由于石塊的體積是一樣大的，那么底面積越大，對應

水面上升的高度越低反之底面積越小，水面上升的高度越高。據此，先求出四個容器的底

面積，再找出底面積最小的即可。

【詳解】A.25x20=500(cm2)；

B.24x18=432(cm2)；

C.20x20=400(cm2)；

D.30x12=360(cm2)；

360<400<432<500,即D選項容器的底面積最小，那么將石塊放入后，水面上升得最多。

故答案為：D

4.B

【分析】左圖：放入1個大球與2個小球，溢出水的體積是36毫升；右圖：放入1個大球

與4個小球，溢出水的體積是56毫升；

右圖比左圖多了2個小球，水的體積多了(56—36)毫升，據此用除法計算求出每個小球的

體積。注意單位的換算：1毫升=1立方厘米。

【詳解】(56—36)+(4-2)

=20+2

=10(毫升)

10毫升=10立方厘米

每個小球的體積是10立方厘米。

故答案為：B

5.C

【分析】因為兩個圓柱形容器盛有相同體積的水，①號容器原來水面高是8cm,根據圓柱

的體積公式V=nr2h,求出水的體積；

已知①號容器放入小球后，水面升高了(10—8)cm,那么水上升部分的體積就是小球的體

積；根據圓柱的體積公式V=7tr2h,求出小球的體積；

已知②號容器放入同樣大的小球和一個小正方體后水面的高是28cm,先根據圓柱的體積公

式V=nr2h,求出水面高28cm時，水、小球和正方體的體積之和，再減去水、小球的體積,

即是正方體的體積；

根據比的意義寫出小球的體積與小正方體體積的比，再化簡比。

【詳解】水的體積：

兀x(16-2)2x8

=71x82x8

=仆64*8

=512兀(cm3)

小球的體積:

71X(16-2)2x(10-8)

=71X82x2

=7ix64x2

3

=128兀(cm)

正方體的體積：

兀X(10+2)2x28—512兀一128兀

=71x52x28—512兀一128兀

=71x25x28—512兀一128兀

=700兀-512兀~12871

3

=60兀(cm)

小球的體積與小正方體體積的比是：

128兀：60兀

=(128兀+4兀)：(60兀+4兀)

=32：15

小球的體積與小正方體體積的比是32：15o

故答案為：C

,35

6.—

18

【分析】有大、中、小三個正方形的水池，可知這三個水池底面都是正方形的，把兩堆沙分

別沉沒在中、小水池的水里，可知底面是不變的，只是水面會升高，升高那部分水的體積就

是所放沙的體積，利用長方體的體積公式長寬高，求出兩堆沙的體積再將這兩堆沙石都倒

入大水池的水里，底面變了，體積沒變，水面升高的那部分水的體積就是兩堆沙的體積，再

用兩堆沙的體積和除以大正方形水池的底面積，即可解答，注意單位名數(shù)的統(tǒng)一。

【詳解】2米=200厘米

3米=300厘米

6米=600厘米

200x200x4

=40000x4

=160000(立方厘米)

300x300x6

=90000x6

=540000(立方厘米)

(160000+540000)+(600x600)

=700000-360000

=弓35(厘米)

1O

如果把兩堆沙都倒入大號水池，大號水池水面上升3弓5厘米。

1O

7.628

【分析】觀察可知，放入小石塊，水面上升了(1270)厘米，上升的水的體積就是小石塊的

體積，根據半徑=直徑+2,圓柱的體積公式%=兀7々，代入數(shù)據計算上升的水的體積，即可

得解。

【詳解】3.14x(20+2)2x(12-10)

=3.14X102X2

=3.14x100x2

=628(立方厘米)

石塊的體積是628立方厘米。

8.3

【分析】水面上升的體積就是這個石塊的體積，長方體玻璃缸的長x寬x水面上升的高度=

石塊體積，據此列式計算。

【詳解】5x3x(2.2-2)

=15x0.2

=3(dm3)

這個石塊的體積是3dm3。

9.90

【分析】由題意可知，上升的水的體積就是石頭的體積。根據圓柱的體積=底面積x高，代

入數(shù)據計算即可。

【詳解】60x1.5=90(立方厘米)

這塊石頭的體積是90立方厘米。

10.25

【分析】這塊石頭的體積=上升的水的體積。根據題意，上升的水的形狀是長5厘米，寬5

厘米，高(4-3)厘米的長方體，根據長方體的體積=長、寬x高，代入數(shù)據計算即可求出

這塊石頭的體積。

【詳解】5x5x(4-3)

=5x5x1

=25(立方厘米)

則這塊石頭的體積是25立方厘米。

11.3140

【分析】石球的體積相當于缸內水上升的體積，水的體積等于底面直徑40厘米，高2.5厘

米的圓柱體積，圓柱的體積V=7tr2h,據此代入數(shù)據計算即可。

【詳解】3.14x(40+2)2x2.5

=3.14x202x2.5

=3.14x400x2.5

=1256x2.5

=3140(立方厘米)

所以，這個石球的體積是3140立方厘米。

12.500

【分析】lmL=1cn?,750mL=750cm3；由圖可知，這瓶水的體積相當于高5+10=15(cm)

的圓柱的體積，根據圓柱的底面積=體積+高，用750+15列式求出瓶子的底面積；再根據

圓柱的體積=底面積x高，用瓶子的底面積乘空余部分圓柱的高(10cm),即可求出小剛喝

了多少cm，的水，然后化成mL作單位即可。

【詳解】750mL=750cnP

750+(5+10)xio

=750-15x10

=50x10

=500(cm3)

500cm3=500mL

所以小剛喝了500mLo

13.9420

【分析】根據題意，水上升的體積等于石頭的體積，根據V=Sh,計算出石頭的體積，再根

33

據水的體積是杯子容器的（，那么石頭的體積是杯子容器的（1-j）,再根據已知一個數(shù)

的幾分之幾是多少，求這個數(shù)用除法計算。

3

【詳解】（20+2）2x3.14x12+（1—1）

=100x3.14x12--

5

5

=314xl2x-

2

5

=3768x-

2

=9420（毫升）

所以，這個杯子的容積是9420毫升。

14.6280

【分析】根據題意，可以先求出圓柱形杯子的高，已知原來杯子里面的水占杯子容量的

40%,即杯中水的高也占杯子高的40%,將石塊浸沒在水中，這時水面上升12厘米，剛好

與杯子口相平，把杯子的高看作單位“1”，12厘米占杯子高的G-40%）,由此可以求出杯子

的高；再根據圓柱體的體積（容積）公式廠=萬戶〃列式解答。

【詳解】12+（1-40%）

=12+0.6

=20（厘米）

3.14x（20+2）2x20

=3.14x100x20

=314x20

=6280（立方厘米）

6280立方厘米=6280毫升

故這個玻璃杯的容積是6280毫升。

15.9.6

【分析】根據題意可知，水面上升部分的體積，就是西瓜的體積，根據長方體體積公式：體

積=底面積X高，代入數(shù)據，即可解答。

【詳解】24X（5.4-5）

=24x0.4

=9.6（立方分米）

有一個長方體水箱，從里面量底面積是24平方分米，水面高度是5分米。將一個西瓜放入

水箱，完全浸沒在水中，水面高度上升到5.4分米。這個西瓜的體積是9.6立方分米。

16.167

【分析】小石塊的體積=杯子空余部分容積+溢出的水的體積，空白部分的容積=底面積X

（杯子高度一水的高度），據此列式計算。

【詳解】10毫升=10立方厘米

3.14x52“（10-8）+10

=3.14x25x2+10

=157+10

=167（立方厘米）

放入的小石塊的體積是167立方厘米。

17.5.4

【分析】水面上升的體積就是石塊的體積，根據長方體體積公式，水箱棱長x棱長x水面上

升的高度=石塊的體積，據此列式計算。注意統(tǒng)一單位。

【詳解】6cm=0.6dm

3x3x0.6=54（dm3）

這塊石塊的體積是5.4dm3o

18.x

【分析】1毫升=1立方厘米，即50毫升=50立方厘米，75毫升=75立方厘米，由于加入

石頭后，水面上升到75毫升，即75立方厘米，此時的75立方厘米包含了水和石頭的體積,

用75立方厘米減去原來水的體積即可求出石頭的體積。

【詳解】50毫升=50立方厘米；75毫升=75立方厘米

石頭的體積：75-50=25（立方厘米）

故答案為：x

【點睛】本題主要考查不規(guī)則物體的體積求法，熟練掌握它的求法并靈活運用。

19.4

【分析】將磚塊從水槽中拿出來時，下降部分的水的體積就是磚塊的體積，長方體的長x寬

X下降的水位=磚塊的體積，據此列式解答。

【詳解】40x30x0.8

1200x0.8

=960(cm3)

此題說法正確。

故答案為：4

【點睛】此題主要考查了不規(guī)則物體的體積計算，運用長方體的體積進行解答即可。

20.Y

【分析】觀察圖形可知，拿出正方體后，水面下降從10cm下降到7.5cm,下降了10—7.5=

2.5cm,下降部分就是正方體的體積；拿出小球后，水面從7.5cm下降到6cm,水面下降了

7.5—6=1.5cm；下降部分就是小球的體積；根據長方體的體積公式：底面積x高；底面積相

等，比較下降的高度，誰下降的多，誰大，據此解答。

【詳解】正方體下降的高度：10—7.5=2.5(cm)

小球下降的高度：7.5—6=1.5(cm)

2.5>1.5,所以正方體的體積大于小球的體積。

原題干說法正確。

故答案為：Y

【點睛】根據求不規(guī)則物體體積方法；利用長方體體積公式進行解答。

21.'

【分析】當物體是浸沒在水中時，水面上升的體積是物體的體積，據此判斷即可解答。

【詳解】

如一個長方體水箱，從里面量長14分米，寬10分米，高16分米。里面裝了10分米深的

水(如圖)。小明將一塊石頭放入水中后，若水面上升到12.5分米，石頭的體積是多少立

方分米？

水的體積：

14x10x10

=140x10

=1400（立方分米）

水和石頭的體積:

14x10x12.5

=140x12.5

=1750（立方分米）

石頭的體積：

1750-1400=350（立方分米）

石頭的體積是350立方分米。

水上升部分的體積：

14xl0x（12.5-10）

=140x2.5

=350（立方分米）

由此可得：石頭的體積就是水上升部分的體積。即：把一個物體放入水中（完全浸沒，水未

溢出），上升的水的體積就是這個物體的體積。原題說法正確。

故答案為：N

【點睛】本題考查了求不規(guī)則物體的體積，關鍵是理解水上升的體積就是物體的體積。

22.x

【分析】把皮球放入盛滿水的容器中，皮球一部分沉沒在水中，另一部分漂浮在水面上；溢

出水的體積等于皮球沉沒在水中的體積，皮球的體積等于沉沒在水中的體積加上漂浮在水面

上的體積，所以溢出水的體積比皮球的體積小，據此解答。

【詳解】根據分析可知，把皮球放入盛滿水的容器中，溢出水的體積比皮球的體積小。

原題干說法錯誤。

故答案為：x

【點睛】解答本題的關鍵明確皮球的體積分兩部分，一部分沉沒在水中，一部分是漂浮在水

面上。

23.12444.24

【分析】觀察圖形可知，這個組合圖形的體積等于這個長38、寬32、高12的長方體的體積

與底面半徑是（32—10—10）+2=6,高為38的半圓柱的體積之差，據此利用長方體的體積

=長又寬x高，半圓柱的體積=底面積x高+2,代入數(shù)據計算即可解答問題。

【詳解】（32—10—10）+2=12+2=6

38x32x12—3.14X62X38X；

=14592—3.14x36x38x；

=14592-3.14x36x19

=14592-2147.76

=12444.24

這個圖形的體積是12444.24。

24.288立方厘米

【分析】水面上升的體積就是石頭的體積，由題圖可知，水面上升了9—7=2（厘米），根

據長方體的體積=長乂寬x高，代入數(shù)據計算即可。

【詳解】12xl2x（9—7）

=144x2

=288（立方厘米）

25.10.8立方分米

【分析】把3厘米化成0.3分米，由題意可知，假山石的體積等于魚缸里下降的水的體積，

下降的長方體的長為7.2分米、寬為5分米、高為0.3分米，根據長方體的體積=長乂寬x高,

代入數(shù)據計算即可解答。

【詳解】3厘米=0.3分米

72x5x0.3

=36義0.3

=10.8（立方分米）

答：這塊假山石的體積是10.8立方分米。

26.1280立方厘米

【分析】不規(guī)則的鐵塊完全浸入水中水面上升部分水的體積就是鐵塊的體積，棱長減去原來

的水深再減去最后水面與容器口處相差的距離就等于水面上升的高度，根據長方體體積的計

算公式，用容器底面積乘水面上升高度即可解答。

【詳解】16-8-3

=8-3

=5（厘米）

16x16x5

=256x5

=1280（立方厘米）

答：這個鐵塊的體積是1280立方厘米。

27.（1）2512立方厘米

（2）24厘米

【分析】（1）圓柱形容器里下降的水的體積就是圓錐的體積，圓柱形容器的底面半徑是20

厘米，水面下降2厘米，根據圓柱的體積=兀、半徑的平方x高，代入數(shù)據計算即可解答；

（2）圓錐的體積=；x7ix半徑的平方x高，用圓錐的體積乘3,除以（兀*半徑的平方）即

可求出圓錐的高是多少厘米。

【詳解】（1）3.14x202x2

=3.14x400x2

=1256x2

=2512（立方厘米）

答：圓錐的體積是2512立方厘米。

（2）2512x3+（3.14x102）

=7536+（3.14x100）

=7536+314

=24（厘米）

答：圓錐的高是24厘米。

28.37.68平方厘米

【分析】因為圓錐浸沒在水中，取出圓錐后水面下降，下降部分水的形狀為圓柱體，根